X 2 x 3 решение: Калькулятор онлайн — Решение уравнений и неравенств с модулями

3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x2 +x +1).

Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x3 -2x +1.

Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

Число «Пи» записывается, как pi

Тригонометрические функции: sin, cos, tan, ctan, arcsin, arccos, arctan, arcctan

Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

Содержание

Производные и интегралы

Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim, а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity).8

Оператор factor

раскладывает число на множители

! выводит факториал, например 123!

Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный

|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

 

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших - положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

 

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.

Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

 

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.

Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

  • ||3x-3|-2|=5-2x;
  • ||5x-3|-3|=3x-1;
  • ||2x-7|-4|=x-2;
  • ||5x-4|-8|=x+4;
  • ||2x-2|-3|=1;
  • ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

 

 

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют

диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xn + yn = zn

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

  • способ перебора вариантов;

  • применение алгоритма Евклида;

  • представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

  • разложения на множители;

  • решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

  • метод остатков;

  • метод бесконечного спуска.

 

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

 

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

 

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x0 = 1, y0 = 2.

Тогда

5x0 + 7y0 = 19,

откуда

5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,

5(х – x0) = –7(у – y0).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

 

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

 

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x3 + y3 = 3333333;

б) x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1).

Решение

а) Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x3 + y3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

 

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

 

4. Решить

а) в простых числах уравнение х2 – 7х – 144 = у2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2.

Решение

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

 

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0. 

Дискриминант этого уравнения равен –3y2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

 

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 ?

Решение

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y3 и z3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

x2 + 2y2 = x3

или, иначе,

x2(x–1) = 2y2.

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n2+1. Подставляя в x2(x–1) = 2y2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n2+1) = 2n3+n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n2+1; 2n3+n; –2n3– n).

Ответ: существует.

 

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu.

Решение

Число x2 + y2 + z2 + u2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, u = 2u1,

и исходное уравнение примет вид

x12 + y12 + z12 + u12 = 8x1y1z1u1.

Теперь заметим, что (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x1, y1, z1, u1 нечётны, то x12 + y12 + z12 + u12 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x12 + y12 + z12 + u12 не делится даже на 4. Значит,

x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2, u1 = 2u2,

и мы получаем уравнение

x22 + y22 + z22 + u22 = 32x2y2z2u2.

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

 

7. Докажите, что уравнение

(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

 

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у2.

Решение

Очевидно, что

если х = 1, то у2 = 1,

если х = 3, то у2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х1 = 1, у1 = 1;

х2 = 1, у2 = –1;

х3 = 3, у3 = 3;

х4 = 3, у4 = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

 

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a3 – b3 – c3 = 3abc,  a2 = 2(b + c).

Решение

Так как

3abc > 0, то a3 > b3 + c3;

таким образом имеем

b

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a2

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

 

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2 + х = у4 + у3 + у2 + у.

Решение

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у2 + 1),

или

х(х + 1) = (у2 + у)(у2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х1 = 0, у1 = 0;

х2 = 0, у2 = –1;

х3 = –1, у3 = 0;

х4 = –1, у4 = –1.

Произведение (у2 + у)(у2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х5 = 5, х6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

х5 = 5, у5 = 2;

х6 = –6, у6 = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

 

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

а) ху = х + у + 3;

б) х2 + у2 = х + у + 2.

 

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х3 + 21у2 + 5 = 0;

б) 15х2 – 7у2 = 9.

 

3. Решить в натуральных числах уравнение:

а) 2х + 1 = у2;

б) 3·2х + 1 = у2.

 

4. Доказать, что уравнение х3 + 3у3 + 9z3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

x = y = z = 0.

 

5. Доказать, что уравнение х2 + 5 = у3 в целых числах не имеет решений.

 

О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа / Хабр

Историческая справка

Поиск решения алгебраических уравнений оказал колоссальное влияние на развитие математики. Формула решения общего кубического уравнения впервые была получена итальянскими математиками 16-го века. Это событие ставшее первопричиной рассмотрения комплексных чисел, считается одним из поворотных моментов в истории математики. Судьбы Джероламо Кардано, Никколо Тартальи, Сципиона дель Ферро и их поисков решения кубического уравнения заслуживают отдельного романа со своими интригами, скандалами и расследованиями. Столь яркие истории достаточно редки в математике.

Начиная с 19-го века поиск формул для решения уравнений произвольных степеней положил начало теории групп и абстрактной алгебре, которые преобразили практически все разделы современной математики. Думаю, многие, кто интересовался историей и развитием алгебры, знают, что формулы для решения общего алгебраического уравнения степени выше четвертой не существует. Как сообщается, первое доказательство этого факта было дано итальянским математиком Паоло Руффини в самом конце восемнадцатого века, оно составляло около 500 страниц и все же содержало некоторые пробелы. Хотя отдельные математики, как Огюстен Коши, и признавали данное доказательство, но ввиду столь большого объема и сложности изложения, оно так и не было принято математическим сообществом. Считается, что первое полное доказательство дано норвежским математиком Нильсом Абелем и содержалось в двух работах, изданных в 1824 и 1826 годах. С тех пор оно носит название теоремы Абеля или теоремы Абеля-Руффини.

Если вы попытаетесь изучить это доказательство в его современном изложении, то окажется, что оно практически полность опирается на Теорию Галуа. Эварист Галуа был французским математиком 19-го века и современником Нильса Абеля. Помимо занятий математикой он вел активную политическую жизнь из-за чего несколько раз попадал в тюрьму. В возрасте всего двадцати лет был застрелен на дуэли, поводом для которой послужила любовная интрига, хотя есть предположения, что дуэль была подстроена его политическими противниками. Об этой истории написано достаточно много, кроме того, имеется перевод на русский язык его мемуаров и писем. Последнее письмо его другу Огюсту Шевалье было написано в ночь накануне дуэли, в нем он наспех излагает свои последние идеи. Несмотря на столь короткую жизнь, Эварист Галуа считается одним из родоначальников современной алгебры. Хотел бы заметить, что в популярном изложении создается некий романтический образ Галуа, как подростка-гения, который в одиночку, с нуля создал теорию групп и преобразил всю алгебру. Несомненно его идеи сыграли огромную роль, но если почитать его сочинения, то мы увидим, что он хорошо знал и опирался на знаменитые работы Лагранжа, Эйлера, Гаусса, Абеля, Якоби. Зачатки теории групп и перестановок появляются еще в работах Жозефа Луи Лагранжа по теории алгебраических уравнений, а также Карла Фридриха Гаусса в его знаменитых "Арифметических исследованиях". К тому же, теория Галуа в современном изложении была оформлена многими последующими математиками - Дедекиндом, Кронекером, Гильбертом, Артином и другими.

Мотивация данной статьи

Чуть менее года назад меня сильно увлекла статья об истории решения кубического уравнения и последующих безуспешных поисков формулы уравнения 5-й степени, длившихся почти триста лет. Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет и поэтому, попробовав прочесть современную версию доказательства теоремы Абеля-Руффини, я естественно ничего не понял. В моем сознании термины группа, кольцо и поле никак не ассоциировались с алгебраическими структурами. Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.

На первых этапах абстрактная алгебра была наверное самым сложным из того, что мне приходилось изучать ранее. Объем новых терминов и определений просто зашкаливал: группы, факторгруппы, моноиды, поля, кольца, тела, модули, идеалы, ядра, векторные пространства, биекции, сюръекции, инъекции, изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы, эндоморфизмы и тд. Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.

Дело в том, что практически все современные доказательства неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах сводятся к следующему. Рассматривается некоторое неприводимое уравнение, например x5-10x+2, после чего методами мат анализа определяется, что оно имеет три действительных и два комплексно-сопряженных корня. После чего заключается, что группой Галуа данного уравнения есть группа S5, которая не является разрешимой, и следовательно данное уравнение неразрешимо в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини о неразрешимости общего уравнения также сводится к неразрешимости группы Sn. Для меня данные доказательства были слишком абстрактными и оторванными от конкретных уравнений. Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось. Возможно для тех, кто занимается этим достаточно долго, эти вещи могут казаться интуитивно понятными.

Немного иной подход описан в книге Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях", основанной на лекциях Владимира Арнольда, но в изложенном там доказательстве помимо теории групп используются элементы комплексного анализа и Римановых поверхностей. Я также находил похожие статьи, использующие топологические аргументы в виде комбинаций петель и коммутаторов, но мне хотелось найти что-то чисто алгебраическое.

Параллельно изучая историю математики и понимая, что современная формулировка и доказательство сильно отличаются от того, как излагали свои идеи Лагранж, Руффини, Абель и Галуа, я решил прочесть первоисточники. К сожалению, на русский или английский по этой теме переведены лишь сочинения Галуа и одна из работ Абеля.

После некоторых поисков я наткнулся на статью 1845 года французского математика Пьера Лорана Ванцеля, в которой он переработал и сильно упростил доказательство Абеля-Руффини, о чем он пишет во введении. В этой работе, он так же упоминает мемуары Галуа и отмечает, что они будут опубликованы в скором времени. Для заметки - работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году Жозефом Лиувиллем, спустя почти 15 лет после смерти Галуа. Кстати, Пьер Лоран Ванцель, также был первым, кто доказал неразрешимость трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки - знаменитых задач стоявших еще со времен античности. Доказательства Ванцеля были изложены без использования абстрактной алгебры и теории Галуа, поскольку на тот момент они еще не были разработаны. Хотя работа и была доступна лишь на французском, которого я до этого практически не знал, но ввиду специфической темы, небольшого размера (всего 7 страниц) и наличия гугл переводчика, я справился достаточно быстро. По моему субъективному мнению, его доказательство теоремы Абеля-Руффини является наиболее простым для понимания.

Уже позже я нашел пример подобного доказательства основанного на работе Руффини в книге Чеботарёва “Основы Теории Галуа”. Далее я постараюсь кратко изложить принцип решения уравнений в радикалах и идею доказательства неразрешимости уравнения 5-й степени.

Решения уравнений в радикалах

Для дальнейшего понимания, потребуются минимальные пререквизиты:

Формулы Виета - напомню, что коэффициенты произвольного уравнения являются элементарными симметрическими функциями от его корней, то есть функциями, которые не меняют своего значения при любых перестановках корней. Примеры: x1 + x2 + x3, x1x2x3, x1x2 + x1x3 + x2x3.

Теорема о симметрических многочленах - каждую симметрическую функцию от корней, можно выразить с помощью элементарных симметрических функций (коэффициентов уравнения).

Первообразные корни n-й степени из единицы - комплексные величины не равные единице, но n-я степень которых, равна единице. Примеры: (-1)2 = 1, (-1/2 + sqrt(-3)/2)3 = 1, i4 = 1 соответственно квадратный, кубический и биквадратный корни из единицы.

Основная теорема алгебры - гласит о том, что уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом кратности (корни могут быть одинаковые).

Первоначальная идея восходит к работе Жозефа Луи Лагранжа “Размышления о решении уравнений” 1770-1771 годов. Это достаточно объемное сочинение и я не нашел его перевода на русский или английский язык. Как указывается в разных источниках, в попытке найти формулу для уравнения 5-й степени, Лагранж проанализировал все имеющиеся к тому времени способы решения уравнений и выделил общий принцип, позволяющий решить уравнения 4-й и низших степеней. В этой же работе, изучая перестановки корней, он пришел к теореме, которая сейчас носит его имя. Принцип, открытый Лагранжем, заключался в том, чтобы найти выражения от корней заданного уравнения n-й степени, которые при всех возможных перестановках этих корней принимали n-1 значений, но в тоже время через них выражались первоначальные корни. На эти значения, можно составить уравнение n-1 степени и повторить операцию, тем самым сводя изначальное уравнение к цепочке уравнений меньших степеней, решив которые, можно получить корни первоначального уравнения. Рассмотрим один из примеров:

Пусть f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d общее уравнение 4-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d и x1, x2, x3, x4 его корни.

Напомним, что его коэффициенты - это элементарные симметрические функции от корней, в чем можно убедиться просто раскрыв скобки в выражении (x - x1)(x -x2)(x - x3)(x - x4):

x1 + x2 + x3 + x4 = a

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = b

x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = c

x1x2x3x4 = d

Так как корни являются произвольными, то существует 4! = 24 различных вариантов их расположения, но можно составить выражение x1x2 + x3x4, которое принимает всего три разных значения при всех 24-х перестановках корней:

x1x2 + x3x4 = y1

x1x3 + x2x4 = y2

x1x4 + x2x3 = y3

На эти три значения мы можем составить уже кубическое уравнение, корнями которого они и будут являться. Таким образом, мы сводим решение уравнения 4-й степени к уравнению 3-й степени. Для решения кубического уравнения мы можем воспользоваться резольвентой Лагранжа (y1 + wy2 + w2y3)3, где w - это кубический корень из единицы. Данное выражение принимает всего два разных значения при всех возможных 3! = 6 перестановках. Оно будет сохранять значение при циклических перестановках и менять знак при любой транспозиции. Получим:

(y1 + wy2 + w2y3)3 = z1

(y1 + w2y2 + wy3)3 = z2

Теперь составим квадратное уравнение на z1 и z2:

(t - z1)(t - z2) = t2 - t(z1+z2) + z1z2

z1+z2 и z1z2 - будут симметрическими функциями от корней нашего изначально уравнения f(x), следовательно, по теореме о симметрических многочленах, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d. Решив квадратное уравнение мы получим значения z1, z2. После чего, извлекая кубические корни из z1, z2, и складывая с коэффициентом b, сможем выразить y1. Далее, c помощью y1 и коэффициентов a, b, d, решив два квадратных уравнения, мы доберемся до корней x1, x2, x3, x4 изначального уравнения.

Данный пример показывает, что произвольное уравнение 4-й степени решается путем составления вспомогательных кубического и квадратных уравнений. Далее я приведу рассуждение, почему подобный прием невозможен для общего уравнения 5-й степени.

Неразрешимость уравнения 5-й степени

Итак, мы хотим показать, что ни один корень общего уравнения 5-й степени не может быть выражен через его коэффициенты путем решения цепочки вспомогательных двучленных уравнений низших степеней.

Пусть f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + xd + e общее уравнение 5-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d, e и x1, x2, x3, x4, x5 его корни. Обозначим за y1 первый радикал входящий в значение x1 в порядке вычисления. Пусть y1n = p, где p будет какой-то симметрической функцией от корней и, следовательно, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d, e. Заметим, что y1 уже не будет симметрической, а лишь рациональной функцией g от корней - g(x1, x2, x3, x4, x5). Следовательно, g должно менять значение при перестановке любых двух корней. Тогда эти значения будут являться корнями уравнения y1n = p, которые имеют вид g, zg, z2g, z3g … zn-1g, где z - первообразный корень n-й степени из единицы (zn=1). Рассмотрим произвольную транспозицию, например (x1, x2), тогда

g(x2, x1, x3, x4, x5) = zg(x1, x2, x3, x4, x5)

если мы применим ее еще раз, то получим:

g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x2, x1, x3, x4, x5)

что равносильно g(x1, x2, x3, x4, x5) = z2g(x1, x2, x3, x4, x5)

Из этого следует, что z2 = 1, то есть z должен быть квадратным корнем из единицы (z = -1) и соответственно первый радикал y1 будет квадратным. Поясним: так как корни являются произвольными, то g должно сохранять значение при любых четных перестановках корней и менять знак при нечетных. Теперь покажем, что значение функции g не будет меняться при циклической перестановке трех корней (x1, x2, x3). Здесь стоит пояснить, что циклическая перестановка (x1, x2, x3) четная и может быть представлена, как произведение транспозиций (x1, x2)(x2, x3). То есть, функция g не поменяет своего значения при данной перестановке. Еще заметим, что функция g не изменится при циклической перестановке пяти корней, так как она так же раскладывается в произведение четного количества транспозиций. Присоединяя радикал y1 к выражениям от коэффициентов с помощью базовых арифметических операций, мы будем получать симметрические функции относительно всех циклов на трех и пяти корнях и вообще любых четных перестановок, но при перестановке содержащей нечетное количество транспозиций, y1 будет менять знак. Дальнейшее присоединение квадратных радикалов не даст нам ничего нового. Теперь предположим, что мы пришли к радикалу, который меняет свое значение лишь при тройных циклах. Обозначим его y2, тогда y2n = q, где q - это рациональная функция от коэффициентов a, b, c, d, e и радикала y1.

g(x2, x3, x1, x4, x5) = zg(x1, x2, x3, x4, x5)

g(x3, x1, x2, x4, x5) = zg(x2, x3, x1, x4, x5)

g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x3, x1, x2, x4, x5)

что равносильно g(x1, x2, x3, x4, x5) = z3g(x1, x2, x3, x4, x5)

В данном случае z3 = 1, то есть z здесь будет кубическим корнем из единицы.

Теперь произведем циклическую перестановку 5-и корней

g(x2, x3, x4, x5, x1) = zg(x1, x2, x3, x4, x5)

g(x3, x4, x5, x1, x2) = zg(x2, x3, x4, x5, x1)

g(x4, x5, x1, x2, x3) = zg(x3, x4, x5, x1, x2)

g(x5, x1, x2, x3, x4) = zg(x4, x5, x1, x2, x3)

g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x5, x1, x2, x3, x4)

Так как z должен быть кубическим корнем из единицы, как мы выяснили ранее, то единственным вариантом будет z = 1 и g должна быть инвариантна при любой из этих циклических перестановок. Но тогда она должна быть инвариантна и при циклической перестановке x3,x2,x5,x1,x4 -> x2,x5,x1,x4,x3. Отсюда, одной транспозицией мы можем получить, что

g(x3, x4, x5, x1, x2) = g(x2, x3, x1, x4, x5)

но, выше мы уже видели, что

g(x1, x2, x3, x4, x5) = g(x3, x4, x5, x1, x2)

а из этого следует

g(x1, x2, x3, x4, x5) = g(x2, x3, x1, x4, x5)

что приводит нас к противоречию, так как мы предполагали, что g меняет значение при циклической перестановке трех корней (x1, x2, x3).

Еще одним вариантом, было бы показать что все четные перестановки на пяти корнях порождаются тройными циклами, то есть, если есть тройные циклы, то никаких выражений от корней, которые бы сохраняли значения при всех четных перестановках, не существует. Если теперь перевести это на теоретико-групповой язык, то получается, что группа общего уравнения пятой степени есть симметрическая группа S5, в которой существует 5! = 120 различных перестановок пяти корней. Далее, путем присоединения квадратного корня из дискриминанта, мы можем понизить ее до знакопеременной группы четных перестановок A5, которая содержит 120/2 = 60 перестановок. Но A5 является простой группой, в которой нет никаких нетривиальных нормальных подгрупп, которым бы соответствовали выражения от корней сохраняющие значения при определенных перестановках, из чего следует, что присоединение любых дополнительных радикалов не приблизит нас к решению.

Заключение

Поводом для написания данной статьи послужило желание структурировать свои мысли по этой теме и представить идеи о неразрешимости уравнений в радикалах без привлечения абстрактной алгебры и теории Галуа. По моему мнению, в подавляющем большинстве современных изложений теряется связь между областью, в которой происходит доказательство и конкретными уравнениями. Если у кого-то есть замечания, дополнения или ссылки на подобные элементарные изложения, буду рад услышать.

2 ".

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1.1 Факторинг x 2 -x-3

Первый член x 2 его коэффициент равно 1.
Средний член, -x, его коэффициент равен -1.
Последний член, «константа», равен -3

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -3 = -3

Шаг-2: Найдите два множителя -3, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, равному -1.

-3 + 1 = -2
-1 + 3 = 2


Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
Заключение: Трехчлен не может быть разложен на множители

Уравнение в конце шага 1:
 x  2  - x - 3 = 0
 

Шаг 2:

 
Парабола, поиск вершины:

2.1 Найдите вершину y = x 2 -x-3

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 0,5000

Подставив в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * 0,50 * 0,50 - 1,0 * 0,50 - 3,0
или y = -3,250

Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения по оси X:

Корневой график для: y = x 2 -x-3
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50}
Вершина в точке {x, y} = {0,50, - 3.25}
x -Перехват (корни):
Корень 1 при {x, y} = {-1.30, 0.00}
Корень 2 при {x, y} = {2.30, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

2.2 Решение x 2 -x-3 = 0, заполнив квадрат.

Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения:
x 2 -x = 3

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4

Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения:
В правой части имеем:
3 + 1/4 или, (3/1) + (1/4)
Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (12/4) + (1/4) дает 13/4
Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем:
x 2 -x + (1/4) = 13/4

Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат:
x 2 -x + (1/4) =
(x- (1/2)) • (x- (1/2)) =
( x- (1/2)) 2
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как
x 2 -x + (1/4) = 13/4 и
x 2 -x + (1/4) = (x- (1/2)) 2
то по закону транзитивности,
(x- (1/2)) 2 = 13/4

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x- (1/2)) 2 равен
(x- (1/2)) 2/2 =
(x- (1/2)) 1 =
x- (1/2)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 2.2.1 получаем:
x- (1/2) = √ 13/4

Добавляем 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 1/2 + √ 13/4

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 - x - 3 = 0
имеет два решения:
x = 1/2 + √ 13/4
или
x = 1/2 - √ 13/4

Обратите внимание, что √ 13/4 можно записать как
√ 13 / √ 4, что равно √ 13/2

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

2.3 Решение x 2 -x-3 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C - числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 1
B = -1
C = -3

Соответственно B 2 - 4AC =
1 - (-12) =
13

Применяя квадратную формулу:

1 ± √ 13
x = —————
2

√ 13, округленное до 4 десятичных цифр, равно 3.6056
Итак, теперь мы смотрим на:
x = (1 ± 3.606) / 2

Два реальных решения:

x = (1 + √13) / 2 = 2.303

или:

x = (1- √13) /2=-1.303

Было найдено два решения:

  1. x = (1-√13) /2=-1.303
  2. x = (1 + √13) / 2 = 2.303

Абсолютное значение Уравнения

Уравнения абсолютных значений Уравнения абсолютных значений

Выполните следующие действия, чтобы найти равенство по абсолютной величине. который содержит одно абсолютное значение:

  1. Выделите абсолютное значение на одной стороне уравнения.
  2. Число на другой стороне уравнения отрицательное? Если вы ответили утвердительно, то уравнение не имеет решения. Если вы ответили нет, переходите к шагу 3.
  3. Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое уравнение установит количество внутри столбцов, равное количеству на другом сторона знака равенства; второе уравнение установит количество внутри столбцы равны противоположному числу на другой стороне.
  4. Решите два уравнения.


Выполните следующие действия, чтобы найти равенство абсолютного значения. который содержит два абсолютных значения (по одному с каждой стороны уравнения):

  1. Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое уравнение установит количество внутри столбцов с левой стороны равным количество внутри полос с правой стороны. Второе уравнение установит количество внутри столбцов с левой стороны равным противоположному количества внутри полос с правой стороны.
  2. Решите два уравнения.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Решить | 2x - 1 | + 3 = 6

Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | 2x - 1 | + 3 = 6

| 2x - 1 | = 3

Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? Нет, это положительное число, 3, так что продолжайте шаг 3
Шаг 3: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений 2x - 1 = 3 2х - 1 = -3
Шаг 4: Решить оба уравнения 2x - 1 = 3

2x = 4

х = 2

2х - 1 = -3

2x = -2

х = -1


Пример 2: Решить | 3x - 6 | - 9 = -3

Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | 3х - 6 | - 9 = -3

| 3x - 6 | = 6

Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? Нет, это положительное число, 6, так что продолжайте шаг 3
Шаг 3: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений 3х - 6 = 6 3х - 6 = -6
Шаг 4: Решить оба уравнения 3x - 6 = 6

3x = 12

х = 4

3х - 6 = -6

3x = 0

х = 0


Пример 3: Решить | 5x + 4 | + 10 = 2

Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | 5x + 4 | + 10 = 2

| 5x + 4 | = -8

Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? Да, это отрицательное число, -8.Нет решения к этой проблеме.

Пример 4: Решить | x - 7 | = | 2x - 2 |

Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений х - 7 = 2х - 2 х - 7 = - (2х - 2)
Шаг 4: Решить оба уравнения х - 7 = 2х - 2

-x - 7 = -2

-x = 5

х = -5

х - 7 = -2x + 2

3x - 7 = 2

3x = 9

х = 3


Пример 5: Решить | x - 3 | = | x + 2 |

Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений х - 3 = х + 2 х - 3 = - (х + 2)
Шаг 4: Решить оба уравнения х - 3 = х + 2

- 3 = -2

ложное заявление

Нет решения из этого уравнения

х - 3 = -x - 2

2x - 3 = -2

2x = 1

х = 1/2

Итак, единственное решение этой проблемы - x = 1/2

Пример 6: Решить | x - 3 | = | 3 - x |

Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений х - 3 = 3 - х х - 3 = - (3 - х)
Шаг 4: Решить оба уравнения х - 3 = 3 - х

2x - 3 = 3

2x = 6

х = 3

х - 3 = - (3 - х)

х - 3 = -3 + х

-3 = -3

Все действительные числа являются решениями этого уравнения

Так как 3 входит в набор действительных чисел, мы просто скажем, что решение этого уравнения - все действительные числа

Решение квадратных уравнений с факторингом

Purplemath

Этот урок охватывает множество способов решения квадратичных вычислений, таких как извлечение квадратного корня, вычисление квадрата и использование квадратичной формулы.Но начнем с решения по факторингу.

(Прежде чем перейти к решению квадратных уравнений, вы уже должны знать, как разложить квадратные выражения на множители. Если нет, сначала просмотрите, как разложить квадратичные уравнения на множители.)

Вы уже разложили квадратные выражения на множители. Новым здесь является то, что квадратное выражение является частью уравнения, и вам предлагается найти значения переменной, которые делают уравнение истинным. Вот как это работает:

MathHelp.com

  • Решите (
    x ​​ - 3) ( x ​​ - 4) = 0 путем факторизации.

Хорошо, эта квадратичная для меня уже учтена.Но как мне использовать эту факторизацию для решения уравнения?

Для решения квадратичных вычислений путем факторинга мы используем нечто, называемое «Свойство нулевого произведения». Это свойство говорит о том, что кажется довольно очевидным, но только после того, как нам на это указали; а именно:

Свойство нулевого произведения: если мы умножаем две (или более) вещи вместе и результат равен нулю, то мы знаем, что по крайней мере одна из тех вещей, которые мы умножили, также должны быть равны нулю.Другими словами, единственный способ получить ноль при умножении двух (или более) множителей состоит в том, чтобы один из множителей был равен нулю.

Итак, если мы умножаем два (или более) множителя и получаем нулевой результат, то мы знаем, что по крайней мере один из множителей сам был равен нулю. В частности, мы можем установить каждый из факторов равным нулю и решить полученное уравнение для одного решения исходного уравнения.

Мы можем сделать полезный вывод о факторах (а именно, что один из этих факторов должен был быть равен нулю, поэтому мы можем установить факторы равными нулю), только если сам продукт равен нулю.Если произведение факторов равно на все , отличное от нуля, то мы не можем сделать какое-либо утверждение о значениях факторов.

Следовательно, при решении квадратных уравнений путем факторизации мы, , должны всегда иметь уравнение в форме «(квадратное выражение) равно (нулю)», прежде чем мы попытаемся решить квадратное уравнение путем факторизации.

Возвращение к упражнению:

Принцип нулевого фактора говорит мне, что хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.Поскольку хотя бы один из коэффициентов должен быть равен нулю, я могу установить , каждые коэффициентов равны нулю:

x ​​ - 3 = 0 или x ​​ - 4 = 0

Это дает мне простые линейные уравнения, которые легко решить:

И эти два значения - то решение, которое они ищут:

Обратите внимание, что « x ​​ = 3, 4» означает то же самое, что и « x ​​ = 3 или x ​​ = 4»; единственное отличие - это форматирование.Формат « x ​​ = 3, 4» является более распространенным.


  • Решите
    x ​​ 2 + 5 x ​​ + 6 = 0 и проверьте.

Это уравнение уже имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», но, в отличие от предыдущего примера, оно еще не учтено. Я ДОЛЖЕН сначала разложить квадратичный фактор на множители, потому что только когда я УМНОЖДАЮ и получаю ноль, я могу что-либо сказать о факторах и решениях.Я не могу сделать никаких выводов об отдельных членах квадратичной без факторизации (например, 5 x ​​ или 6), потому что я могу добавить много всего, что в сумме равно нулю.

Итак, первое, что мне нужно сделать, это фактор:

x ​​ 2 + 5 x ​​ + 6 = ( x ​​ + 2) ( x ​​ + 3)

Теперь я могу переформулировать исходное уравнение в терминах произведения факторов, при этом произведение равно нулю:

Теперь я могу решить каждый фактор, установив каждый из них равным нулю и решив получившиеся линейные уравнения:

x ​​ + 2 = 0 или x ​​ + 3 = 0

x ​​ = –2 или x ​​ = - 3

Эти два значения являются решением исходного квадратного уравнения.Итак, мой ответ:

Однако я еще не закончил, потому что в исходном упражнении мне предлагалось «проверить», что означает, что мне нужно вставить свои ответы обратно в исходное уравнение и убедиться, что оно верное. В этом случае я буду вставлять выражение в левой части исходного уравнения и проверять, что я получаю правую часть; а именно, с 0:

проверка x ​​ = –3:

[–3] 2 + 5 [–3] + 6

9–15 + 6

9 + 6–15

15–15

0

проверка x ​​ = –2:

[–2] 2 + 5 [–2] + 6

4–10 + 6

4 + 6 - 10

10–10

0


Когда в упражнении указано, что вы должны решить «и проверить» вышеуказанное «plug-n-chug», они ищут вас, чтобы показать, что вы включили свой ответ в исходное упражнение и получили что-то, что сработало правильно.Выше, где я показал свои чеки, все, что им нужно. Но делайте свою работу аккуратно!

Между прочим, вы можете использовать эту технику «проверки», чтобы проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение. Так, например, если вы не уверены в своем ответе на вопрос «фактор и решение» в следующем тесте, попробуйте включить свои ответы в исходное уравнение и убедиться, что ваши решения приводят к истинным утверждениям.


Это уравнение не в форме «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я пока не могу его решить.Первое, что мне нужно сделать, это перебрать все термины с одной стороны, а с другой стороны - ноль. Только тогда я могу разложить на множители и решить:

x ​​ 2 - 3 = 2 x ​​

x ​​ 2 -2 x ​​-3 = 0

( x ​​-3) ( x ​​ + 1) = 0

x ​​ - 3 = 0, x ​​ + 1 = 0

x ​​ = 3, x ​​ = –1

Тогда мое решение:


  • Решите (
    x ​​ + 2) ( x ​​ + 3) = 12.

Студенты часто видят уравнения такого типа и говорят:

«Круто! Это уже учтено! Я установлю множители равными 12 и решу, чтобы получить x = 10 и x = 9. Это было легко!»

Да, это было легко; это тоже было неправильно. Очень-очень неправильно.

Помимо того факта, что ни (10 + 2) (10 + 3), ни (9 + 2) (9 + 3) не равно 12, мы никогда не должны забывать, что мы должны иметь «(квадратичное) равно (нулю)», прежде чем мы сможем решить по факторингу.

Возвращение к упражнению:

Каким бы заманчивым это ни казалось, я не могу приравнять каждый из множителей в левой части уравнения к другой части уравнения и решить. В противном случае я бы получил совершенно неправильную путаницу.

Вместо этого мне сначала нужно умножить и упростить левую часть, затем вычесть 12 из левой и повторно разложить на множители. Только тогда я смогу решить.

( x ​​ + 2) ( x ​​ + 3) = 12

x ​​ 2 + 5 x ​​ + 6 = 12

x ​​ 2 + 5 x ​​ - 6 = 0

( x ​​ + 6) ( x ​​ - 1) = 0

x ​​ + 6 = 0, x ​​ - 1 = 0

x ​​ = –6, x ​​ = 1

Тогда мое решение:


Эту двухчленную квадратичную легче разложить на множители, чем предыдущие квадратичные: я сразу вижу, что могу вынести за скобки x ​​ из обоих членов, взяв x ​​ вперед.Это дает мне:

Очень распространенная ошибка, которую делают ученики на этом этапе, - это «решить» уравнение для « x ​​ + 5 = 0» путем деления на x ​​. Но это неверный шаг. Почему? Потому что мы не можем делить на ноль. Как это здесь играет роль?

При делении на коэффициент x ​​ делается неявное предположение, что x ​​ не равно нулю.Для такого предположения нет абсолютно никаких оснований! И такое предположение привело бы к потере половины нашего решения этого уравнения.

Возвращение к упражнению:

Мне нужно помнить, что фактор может содержать только переменную без добавления к другим терминам; в частности, « x ​​» - вполне допустимый коэффициент. Мне нужно установить и коэффициентов равными нулю, а затем решить два результирующих линейных уравнения:

x ​​ ( x ​​ + 5) = 0

x ​​ = 0, x ​​ + 5 = 0

x ​​ = 0, x ​​ = –5

Тогда мое решение:


В предыдущем примере было два члена, и его легко разложить на множители.Есть еще один случай двухчленной квадратичной системы, который мы можем разложить на множители. Это только немного сложнее:

Это уравнение имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я могу решить его с помощью факторизации. Но как это учесть? Заметив, что это разница квадратов. Применим формулу разности квадратов, которую выучил:

x ​​ 2 - 4 = 0

( x ​​-2) ( x ​​ + 2) = 0

x ​​ - 2 = 0, x ​​ + 2 = 0

x ​​ = 2, x ​​ = –2

Тогда мое решение:


Примечание. Приведенное выше решение также можно отформатировать как « x ​​ = ± 2».Это произносится как « x ​​ равно плюс-минус 2».

В последнем примере, приведенном выше, на следующей странице мы расскажем, как вычислить квадратный корень.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений путем факторизации. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить с факторингом», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или перейдите к следующей странице.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad.htm

Математическая сцена - Уравнения III - Урок 2

Математическая сцена - Уравнения III - Урок 2 - Квадратные уравнения
2008 Rasmus ehf и Jhann sak Ptursson

Уравнения III

Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени


Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение показано здесь?

x 3 - x 2 4x + 4 = 0

Существует чрезвычайно сложная формула решения кубические уравнения.Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут использоваться для решения кубических уравнений.

Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a, b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом:

x 3 - x 2 4x + 4 = (x - а) (х - б) (х - в) = 0

Умножая скобки, видим, что константа член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе.

abc = 4

Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать.

У нас есть только следующие возможности:

1, 2 и 4

Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них являются решениями уравнения.

f (1) = 1 3 - 1 2 4 × 1 + 4 = 0 1 - решение

f (-1) = (-1) 3 - (-1) 2 4 × (-1) + 4 = 6

f (2) = 2 3 - 2 2 4 × 2 + 4 = 0 2 - решение

f (−2) = (−2) 3 - (−2) 2 4 × (−2) + 4 = 0 −2 - решение

Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно попробуйте 4 и −4 как кубический уравнение имеет максимум три решения.

Эти три числа дают нам значения a, b и c и мы можем факторизовать уравнение.

x 3 - x 2 4x + 4 = (x - 1) (х - 2) (х + 2) = 0

Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями (можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти целые числа являются решениями уравнения.
К сожалению, мы не можем предполагать, что решения уравнения третьей степени являются все целые числа.
Однако, если мы можем найти одно целочисленное решение, допустим, что это x = a, тогда Теорема остатка, мы знаем, что (x - a) является фактором уравнения. Мы можно найти другой множитель, квадратичный множитель, путем деления. Затем мы можем решить квадратное уравнение, используя формула для решения квадратиков.

Пример 1

Решите уравнение x 3 - 3x 2 2x + 4 = 0

Ставим числа, кратные 4 в уравнение, чтобы проверить, верны ли какие-либо из них.

f (1) = 1 3 - 3 × 1 2 2 × 1 + 4 = 0 1 - решение

f (−1) = (−1) 3 - 3 × (−1) 2 2 × (-1) + 4 = 2

f (2) = 2 3 - 3 × 2 2 2 × 2 + 4 = −4

f (−2) = (−2) 3 - 3 × (−2) 2 2 × (−2) + 4 = −12

f (4) = 4 3 - 3 × 4 2 2 × 4 + 4 = 12

f (−4) = (−4) 3 - 3 × (−4) 2 2 × (−4) + 4 = −100

Единственное целочисленное решение - x = 1.Когда мы нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять другие числа, потому что теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x - 1) и попытавшись решить квадратичный получаем из деления.

Теперь мы можем разложить наши выражение следующим образом:

x 3 - 3x 2 2x + 4 = (х - 1) (х 2 - 2х - 4) = 0

Теперь нам остается решить квадратичную уравнение.

x 2 - 2x - 4 = 0

Воспользуемся формулой квадратичных с a = 1, b = −2 и c = −4.

Мы нашли все три решения уравнение x 3 - 3x 2 2x + 4 = 0. Это: эфтирфаранди:

.

х = 1

х = 1 + 5

x = 1- 5

Пример 2

Мы можем легко использовать тот же метод для решения уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени.Решите уравнение f (x) = x 4 - x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0.

Сначала мы находим целые множители постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1 и 2.

f (1) = 1 4 - 1 3 - 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0 1 - решение

f (−1) = (−1) 4 - (−1) 3 - 5 × (−1) 2 + 3 × (−1) + 2 = −4

f (2) = 2 4 - 2 3 - 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = −4

f (−2) = (−2) 4 - (−2) 3 - 5 × (−2) 2 + 3 × (−2) + 2 = 0 ср. нашли вторую решение.

Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x - 1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа.
Сначала разделим на x + 2

Теперь разделите полученное кубический коэффициент по x - 1.

Теперь мы разложили
f (x) = x 4 - x 3 - 5x 2 + 3x + 2 на
f (x) = (x + 2) (x - 1) (x 2 - 2x - 1) и только Осталось решить квадратное уравнение

x 2 - 2x - 1 = 0.Мы используем формула с a = 1, b = −2 и c = −1.

Всего мы нашли четыре решения. Их:

х = 1

х = −2

х = 1 +

х = 1 -

Иногда мы можем решить уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере.

Пример 3.

Решите уравнение x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0

x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0

(x 3 - 2x 2 ) - (4x - 8) = 0

[x 2 (x - 2) - 4 (x - 2)] = 0

(x - 2) [x 2 - 4] = 0

(х - 2) (х - 2) (х + 2) = 0

Здесь скобка (x - 2) является общим множителем и может быть вынесена за пределы общая скобка.

Обратите внимание, что скоба (x - 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 - это поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это:

х = 2 и х = -2 .

Лауснир: x = 2 og x = −2 .

Примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, являются уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1.

Как мы иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент - какое-то другое число?

Общая форма - f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d - целые числа.

Мы можем искать целочисленные решения в том же как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше.

Если ни один из факторов d не дает нам решения затем мы ищем решения, которые являются дробями.
Предположим, есть дробное решение, и назовем его решение x = t / n.

Это означает, что x - t / n является фактором f (x), или, если мы умножаем на n, то xn - t является множителем.

Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn. - t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его
Ax 2 + Bx + C.

Теперь у нас есть результат

ax 3 + bx 2 + cx + d = (xn - t) (Ax 2 + Bx + C)

сравнивая коэффициенты х 3 на обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем а.
Аналогично, сравнивая постоянные члены, мы видим, что d = −tC и, следовательно, t является множителем d.

Мы заключаем, что любая дробь является решением кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d должен иметь вид t / n, где t - множитель числа d, а n - фактор числа a.

Обобщение для функции степени n:

ф (х) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + × × × × + а 1 х + 0

с коэффициентами a 0 , а 1 , а 2 , × × × × × а n − 2 , n − 1 и n .

Если эта функция имеет рациональное решение, скажем, t / n, тогда t - коэффициент 0 , а n - коэффициент n .

Пример 4

Решите уравнение f (x) = 2x 3 - 7x 2 + 4x + 3 = 0.

Возможные целые корни f (x) - это делители 3, это 1 и 3. Дроби, которые могут быть корнями, - это эти четыре числа, разделенные на множители 2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам нужно рассмотреть, - это , 1, 3 / 2 и 3.

Сразу видно, что нам не нужно рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не 0.

Теперь попробуем другие возможности

f () = 2 () 3 - 7 () 2 + 4 × + 3 = 3

f (1) = 2 × 1 3 - 7 × 2 + 4 × 1 + 3 = 2

ф ( 3 / 2 ) = 2 ( 3 / 2 ) 3 - 7 ( 3 / 2 ) 2 + 4 × 3 / 2 + 3 = 0, поэтому мы нашли решение.

x = 3 / 2 - это решение, поэтому (x - 3 / 2 ) является множителем. Разделить на (x - 3 / 2 ) может быть сложно. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x - 3). Если (x - 3 / 2 ) является фактор

, значит, (2x - 3).

Теперь нам нужно решить уравнение x 2 - 2x - 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2. Решениями были: 1 + 2 og 1 - 2.

Итак, мы нашли три решения. Их:

х = 3 / 2 = 1

х = 1 + 2

х = 1 - 2


Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

Решение кубических уравнений - методы и примеры

Решение полиномиальных уравнений высшего порядка - важный навык для любого, кто изучает естественные науки и математику.Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.

В этой статье будет обсуждаться, как решать кубические уравнения, используя различные методы, такие как метод деления, теорема о множителях и факторизация по группировке.

Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.

Многочлен - это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма многочлена: ax n + bx n-1 + cx n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены. Примеры полиномов: 3x + 1, x 2 + 5xy - ax - 2ay, 6x 2 + 3x + 2x + 1 и т. Д.

Кубическое уравнение - это алгебраическое уравнение третьей степени.
Общий вид кубической функции: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx 1 + d.Кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c - коэффициенты, а d - постоянная.

Как решать кубические уравнения?

Традиционный способ решения кубического уравнения - свести его к квадратному уравнению, а затем решить его с помощью факторизации или квадратной формулы.

Как квадратное уравнение имеет два действительных корня , так и кубическое уравнение может иметь три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь реального решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

Два других корня могут быть действительными или мнимыми.

Всякий раз, когда вам задают кубическое уравнение или какое-либо уравнение, вы всегда должны сначала преобразовать его в стандартную форму.

Например, если вам дано что-то вроде этого, 3x 2 + x - 3 = 2 / x, вы перегруппируете в стандартную форму и запишете это как, 3x 3 + x 2 - 3x - 2 = 0. Тогда вы можете решить это любым подходящим методом.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже для лучшего понимания:

Пример 1

Определите корни кубического уравнения 2x 3 + 3x 2 - 11x - 6 = 0

Решение

Так как d = 6, то возможными множителями являются 1, 2, 3 и 6.

Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.

f (1) = 2 + 3 - 11 - 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 - 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 - 22 - 6 = 0

Следовательно, x = 2 - первый корень.

Мы можем получить другие корни уравнения, используя метод синтетического деления.
= (x - 2) (ax 2 + bx + c)
= (x - 2) (2x 2 + bx + 3)
= (x - 2) (2x 2 + 7x + 3 )
= (x - 2) (2x + 1) (x +3)

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = -1/2 и x = -3.

Пример 2

Найдите корни кубического уравнения x 3 - 6x 2 + 11x - 6 = 0

Решение

x 3 - 6x 2 + 11x - 6

(x - 1) - один из факторов.

Разделив x 3 - 6x 2 + 11x - 6 на (x - 1),

⟹ (x - 1) (x 2 - 5x + 6) = 0

⟹ (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0

Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.

Пример 3

Решить x 3 - 2x 2 - x + 2

Решение

Факторизуйте уравнение.

x 3 - 2x 2 - x + 2 = x 2 (x - 2) - (x - 2)

= (x 2 - 1) (x - 2)

= (x + 1) (x - 1) (x - 2)

x = 1, -1 и 2.

Пример 4

Решите кубическое уравнение x 3 - 23x 2 + 142x - 120

Решение

Сначала разложите многочлен на множители.

x 3 - 23x 2 + 142x - 120 = (x - 1) (x 2 - 22x + 120)

Но x 2 - 22x + 120 = x 2 - 12x - 10x + 120

= x (x - 12) - 10 (x - 12)
= (x - 12) (x - 10)

Следовательно, x 3 - 23x 2 + 142x - 120 = ( x - 1) (x - 10) (x - 12)

Приравняйте каждый множитель к нулю.

x - 1 = 0

x = 1

x - 10 = 10

x - 12 = 0

x = 12

Корни уравнения - x = 1, 10 и 12.

Пример 5

Решите кубическое уравнение x 3 - 6 x 2 + 11x - 6 = 0.

Решение

Чтобы решить эту задачу методом деления, возьмите любой множитель постоянная 6;

let x = 2

Разделите многочлен на x-2 до

(x 2 - 4x + 3) = 0.

Теперь решите квадратное уравнение (x 2 - 4x + 3) = 0 чтобы получить x = 1 или x = 3

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = 1 и x = 3.

Пример 6

Решите кубическое уравнение x 3 - 7x 2 + 4x + 12 = 0

Решение

Пусть f (x) = x 3 - 7x 2 + 4x + 12

Поскольку d = 12, возможные значения - 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Методом проб и ошибок мы находим, что f (–1) = –1 - 7 - 4 + 12 = 0

Итак, (x + 1) является множителем функции.

x 3 - 7x 2 + 4x + 12
= (x + 1) (x 2 - 8x + 12)
= (x + 1) (x - 2) (x - 6)

Следовательно, x = –1, 2, 6

Пример 7

Решите следующее кубическое уравнение:

x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.

Решение

x 3 + 3x 2 + x + 3
= (x 3 + 3x 2 ) + (x + 3)
= x 2 (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (x 2 + 1)

Следовательно, x = -1, 1-3.

Пример 8

Решить x 3 - 6x 2 + 11x - 6 = 0

Решение

Разложить на множители

x 3 - 6x 2 + 11x - 6 = 0 ⟹ (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0

Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

x = 1, x = 2 и x = 3

Пример 9

Решить x 3 - 4x 2 - 9x + 36 = 0

Решение

Разложить каждый набор два срока.

x 2 (x - 4) - 9 (x - 4) = 0

Извлеките общий множитель (x - 4), чтобы получить

(x 2 - 9) (x - 4) = 0

Теперь разность двух квадратов разложите на множители

(x + 3) (x - 3) (x - 4) = 0

Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

x = −3, 3 или 4

Пример 10

Решите уравнение 3x 3 −16x 2 + 23x - 6 = 0

Решение

Divide 3x 3 −16x 2 + 23x - 6 на x -2, чтобы получить 3x 2 - 1x - 9x + 3

= x (3x - 1) - 3 (3x - 1)

= (x - 3) ( 3x - 1)

Следовательно, 3x 3 −16x 2 + 23x - 6 = (x- 2) (x - 3) (3x - 1)

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить,

x = 2, 3 и 1/3

Пример 11

Найдите корни 3x 3 - 3x 2 - 90x = 0

Решение

множитель 3x

3x 3 - 3x 2 - 90x ⟹3x (x 2 - x - 30)

Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

⟹ 3x [(x 2 - 6x) + (5x - 30)]

Разложите уравнение на множители;

⟹ 3x [(x (x - 6) + 5 (x - 6)]

= 3x (x - 6) (x + 5)

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем:

x = 0, 6, -5

Решение кубических уравнений с использованием графического метода

Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графическим способом.Для этого вам необходимо иметь точный набросок данного кубического уравнения.

Точка (точки), где его график пересекает ось x, является решением уравнения. Количество реальных решений кубических уравнений равно количеству пересечений его графиком оси абсцисс.

Пример 12

Найдите корни x 3 + 5x 2 + 2x - 8 = 0 графически.

Решение

Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:

f (x) = x 3 + 5x 2 + 2x - 8

. График отсекает ось абсцисс в 3 точках, следовательно, существует 3 реальных решения.

На графике решения следующие:

x = 1, x = -2 & x = -4.

Практические вопросы

Решите следующие кубические уравнения:

  1. x 3 - 4x 2 - 6x + 5 = 0
  2. 2x 3 - 3x 2 - 4x - 35 = 0
  3. x 3 - 3x 2 - x + 1 = 0
  4. x 3 + 3x 2 - 6x - 8 = 0
  5. x 3 + 4x 2 + 7x + 6 = 0
  6. 2x 3 + 9x 2 + 3x - 4 = 0
  7. x 3 + 9x 2 + 26x + 24 = 0
  8. x 3 - 6x 2 - 6x - 7 = 0
  9. x 3 - 7x - 6 = 0
  10. x 3 - 5x 2 - 2x + 24 = 0
  11. 2x 3 + 3x 2 + 8x + 12 = 0
  12. 5x 3 - 2x 2 + 5x - 2 = 0
  13. 4x 3 + x 2 - 4x - 1 = 0
  14. 5x 3 - 2x 2 + 5x - 2 = 0
  15. 4x 3 900 16 - 3x 2 + 20x - 15 = 0
  16. 3x 3 + 2x 2 - 12x - 8 = 0
  17. x 3 + 8 = 0
  18. 2x 3 - x 2 + 2x - 1 = 0
  19. 3x 3 - 6x 2 + 2x - 4 = 0
  20. 3x 3 + 5x 2 - 3x - 5 = 0
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение квадратичных вычислений на множители

Решение квадратичных вычислений на множители Вот шаги, необходимые для решения квадратичных расчетов по факторингу:
Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.Чтобы получить правильную форму, вы должны удалить все круглые скобки с каждой стороны уравнения путем распределения, объединить все одинаковые члены и, наконец, установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы учесть проблему.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равным нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Пример 1 - Решить: x 2 + 16 = 10x

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Пример 2 - Решить: 18x 2 - 3x = 6

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 - Решить: 50x 2 = 72

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 - Решить: x (2x - 1) = 3

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки путем распределения и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 - Решить: (x + 3) (x - 5) = –7

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 6 - Решить: 3x (x + 1) = (2x + 3) (x + 1)

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Щелкните здесь для практических задач

Решение уравнения абсолютных значений

Далее мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения .Чтобы решить такое уравнение, как [latex] | 2x - 6 | = 8 [/ latex], мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри столбцов абсолютного значения равно [latex] 8 [/ latex] или [латекс] -8 [/ латекс]. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо.

[латекс] \ begin {array} {lll} 2x - 6 = 8 \ hfill & \ text {или} \ hfill & 2x - 6 = -8 \ hfill \\ 2x = 14 \ hfill & \ hfill & 2x = - 2 \ hfill \\ x = 7 \ hfill & \ hfill & x = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Полезно знать, как решать проблемы, связанные с функциями абсолютного значения.Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

Общее примечание: уравнения абсолютных значений

Абсолютное значение x ​​ записывается как [latex] | x | [/ latex]. Он имеет следующие свойства:

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} x \ ge 0, \ text {then} | x | = x. \ Hfill \\ \ text {If} x <0, \ text {тогда } | x | = -x. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Для действительных чисел [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс], уравнение вида [латекс] | A | = B [/ латекс] с [латексом] B \ ge 0 [/ latex], будут решения, когда [latex] A = B [/ latex] или [latex] A = -B [/ latex].Если [latex] B <0 [/ latex], уравнение [latex] | A | = B [/ latex] не имеет решения.

Уравнение абсолютного значения в форме [latex] | ax + b | = c [/ latex] имеет следующие свойства:

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} c <0, | ax + b | = c \ text {не имеет решения}. \ Hfill \\ \ text {If} c = 0, | ax + b | = c \ text {имеет одно решение}. \ hfill \\ \ text {If} c> 0, | ax + b | = c \ text {имеет два решения}. \ hfill \ end {array} [ / латекс]

Как: решить уравнение абсолютного значения.

  1. Изолировать выражение абсолютного значения по одну сторону от знака равенства.
  2. Если [latex] c> 0 [/ latex], запишите и решите два уравнения: [latex] ax + b = c [/ latex] и [latex] ax + b = -c [/ latex].

Пример 8: Решение уравнений абсолютных значений

Решите следующие уравнения абсолютных значений:

а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]
б. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]
c. [латекс] | 3x - 5 | -4 = 6 [/ латекс]
d. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

Решение

а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]

Напишите два уравнения и решите каждое:

[латекс] \ begin {array} {ll} 6x + 4 \ hfill & = 8 \ hfill & 6x + 4 \ hfill & = - 8 \ hfill \\ 6x \ hfill & = 4 \ hfill & 6x \ hfill & = - 12 \ hfill \\ x \ hfill & = \ frac {2} {3} \ hfill & x \ hfill & = - 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Два решения: [латекс] x = \ frac {2} {3} [/ latex], [latex] x = -2 [/ latex].

г. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]

Нет решения, так как абсолютное значение не может быть отрицательным.

г. [латекс] | 3x - 5 | -4 = 6 [/ латекс]

Выделите выражение абсолютного значения и запишите два уравнения.

[латекс] \ begin {array} {lll} \ hfill & | 3x - 5 | -4 = 6 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & | 3x - 5 | = 10 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 3x - 5 = 10 \ hfill & \ hfill & 3x - 5 = -10 \ hfill \\ 3x = 15 \ hfill & \ hfill & 3x = -5 \ hfill \\ x = 5 \ hfill & \ hfill & x = - \ frac {5} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Есть два решения: [латекс] x = 5 [/ latex], [latex] x = - \ frac {5} {3} [/ latex].

г. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

Уравнение установлено равным нулю, поэтому нам нужно написать только одно уравнение.

[латекс] \ begin {array} {l} -5x + 10 \ hfill & = 0 \ hfill \\ -5x \ hfill & = - 10 \ hfill \\ x \ hfill & = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Есть одно решение: [латекс] х = 2 [/ латекс].

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *