X умножить на x сколько будет: Сколько будет x умножить на (-x)

Содержание

Почему умножение матриц такое / Хабр

Наверное, каждый задавался вопросом, почему умножение матриц такое. В этой статье мы разберём из каких соображений оно вводится именно так.

Маленькое предисловие

В дальнейшем нам понадобится такая структура, как векторное пространство, а точнее его частный случай — пространство столбцов высотынад Кратко напомню, что под этим понимается.

Во-первых, — это следующее множество

где таким образом обозначен вектор-столбец высотыто есть

Во-вторых, для любых векторовопределено сложение

и для любого вектораопределено умножение на скаляр

В-третьих, каждый векторединственным образом представим в следующем виде

где — скаляры, а — следующая система векторов

Такая система векторов называется базис, а скаляры, участвующие в разложение вектора, называются координатами этого вектора в данном базисе. Стоит отметить, что в это не единственный базис, но везде далее под «зафиксируем базис» можно понимать именно эту систему векторов.

Умножение матрицы на вектор

Прежде чем переходить к умножению матриц, посмотрим, из каких соображений вводится умножение матрицы на вектор. Для этого рассмотрим линейное отображение

То, что— линейное отображение, означает, что для любых векторови любого скаляравыполняются следующие два условия:

Или их можно объединить в одно

Нас интересует, как линейное отображениедействует на произвольный вектор Для этого зафиксируем в базис а в базис Теперь мы можем разложить векторпо базису

и представитьв следующем виде

Заметим, что а поскольку в зафиксирован базис, то эти векторы также можно разложить по базису

или тоже самое в векторной записи

Подставляем в равенство выше и получаем

Но правая часть равенства есть не что иное, как формула умножения матрицы на вектор-столбец

где столбцы матрицы есть векторы

Получается, можно ввести умножение матрицы на вектор по следующему правилу

И такое определение умножения будет согласовано с тем, как линейное отображениедействует на вектор

Если теперь обозначить то координаты вектора выражаются через координаты вектора следующим образом

Кроме того, мы получили и другой важный результат, вернёмся к выражению для

Из него следует, что линейное отображениеполностью определяется своими значениями на базисных векторах, то есть, если нужно найтито достаточно знать

Далее, мы поместили эти векторы в матрицу и определили умножение так, чтоесть произведение соответствующей матрицынаПолучается, что линейному отображению можно поставить в соответствие матрицу, которая полностью его определяет

Такая матрица называется матрицей линейного отображенияв выбранных базисах пространств и

Если говорить более строго, то существует взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями из в и матрицами размера

Теперь мы можем перейти к умножению матрицы на матрицу.

Умножение матрицы на матрицу

Рассмотрим линейные отображенияи

и их композицию

Легко проверяется, что будет линейным отображением

Поэтому, если зафиксировать в и базисы, то каждому линейному отображению можно поставить в соответствие его матрицу

Нас теперь интересует, как между собой они связаны. Для этого рассмотрим следующее равенство

и найдём координаты вектора через координаты вектора

Так както

Но из равенстваследует, что

Подставляем в равенство выше и получаем

С другой стороны,то есть

Сравнивая первое и второе равенство для координатполучаем такое соотношение

которое является формулой умножения матрицы на матрицу.

Таким образом, умножение матрицы на матрицу вводится исходя из того, как действует композиция линейных отображений.

Другими словами, если линейным отображениямипоставить в соответствие их матрицыито композиции этих отображенийставится в соответствие матрица, которая является произведением матриц

Отсюда, кстати, следует, что матрицыиможно умножить только тогда, когда число столбцов матрицыравно числу строк матрицы

Пусть — матрица размера а — матрица размера Тогда, если в пространствах и зафиксировать базисы, то этим матрицам ставятся в соответствие линейные отображенияи

Но композиция определена только тогда, когда то есть число столбцов матрицыравно числу строк матрицы

Заключение

Таким образом, умножение матриц вводится исходя из того, как действуют линейные отображения. И это намекает на некую связь между ними.

Ниже оставлю различные учебники по алгебре, где можно про всё это прочитать более подробно, и другие различные источники.

Ссылки на литературу и различные источники

Основное:

[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 1. Основы алгебры. Кострикин А.И.

Дополнительное:

[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 2. Линейная алгебра. Кострикин А.И.

[2] Линейная алгебра и геометрия, Кострикин А.И., Манин Ю.И.

Прочее:

Для создания графики использовался manimCE: https://github.com/manimCommunity/manim

Кому интересно, то вот видео к статье:

Помогите решить уравнение x умножить на 14 =364, 324:x=9 … -reshimne.ru

Новые вопросы

Ответы

Х·14=364
х=364/14
х=26

324:х=9
х=324/9
х=36

19х-12х=126
7х=126
х=18

различий — «в X раз больше» или «в X раз больше, чем»

Недавняя статья с веб-сайта OpenSecrets. org носит заголовок «Темные деньги тратят в три раза больше, чем в то же время в цикле 2012 года, свидетельствует CRP» ( 30 апреля 2014 г.). График в фактическом документе CRP («Приложение 2» на странице 9 представленных показаний) показывает, что соответствующие цифры составляют чуть более 4 миллионов долларов США в 2012 году («на сегодняшний день») и чуть более 12 миллионов долларов США в 2014 году (« на сегодняшний день»). Ясно, что автор заголовка считает «в три раза больше, чем» синонимом «в три раза больше, чем». В основном тексте показаний (на стр. 3) обнаруживается похожее понимание в описании разницы между двумя фигурами:

По состоянию на 29 апреля текущего цикла, несмотря на то, что это промежуточные выборы, расходы групп, не раскрывающих информацию, почти на
в три раза выше, чем на тот же момент в 2012 году, и составили 12,3 млн долларов по сравнению с 4,4 млн долларов на тот же момент в 2012 году. 2012.

Мне кажется, что многие писатели и носители английского языка склонны использовать «в X раз больше, чем» и «в X раз больше, чем» взаимозаменяемо и интерпретировать их как эквивалентные. Но в статье под названием «Распространенные ошибки при формировании арифметических сравнений» профессор Майло Шильд из Аугсбургского колледжа в Миннеаполисе, штат Миннесота, рассматривает это понимание как распространенную ошибку:

Путают «в разы больше» с «в разы больше». Если В в три раза больше, чем А, то В в два раза больше, чем А, а не в три раза больше, чем А. Существенным признаком является различие между «столько же, сколько» и «более чем». «Столько, сколько» указывает на отношение; «больше чем» указывает на разницу. «Больше чем» означает «добавлено к базе». Это существенное различие игнорируется теми, кто говорит, что преобладает «раз», так что «в три раза больше» на самом деле то же самое, что «в три раза больше».

Конечно, тот факт, что «больше, чем» указывает на разницу, не меняет того факта, что «раз больше, чем» указывает на отношение определенного вида. На самом деле вопрос состоит в том, понимают ли люди отношение, подразумеваемое выражением «в разы больше, чем», для сравнения всего количества большего количества с меньшим количеством, или понимают ли они его как сравнение только разницы между большим и меньшим количеством и меньшим количеством.

Исторически, по крайней мере, один довольно ранний текст подтверждает отличие профессора Шильда. Из перевода 9 Вольтера 1657 г.0014 Всеобщая история и состояние Европы

, Часть V:

Фермеры этих отчужденных повинностей ограбили людей в четыре раза больше, чем составили их требования; и когда, наконец, всеобщий грабеж вынудил Генриха IV передать все управление финансами герцогу де Сюлли, этот способный и честный министр обнаружил, что в 1596 году они собрали на народе около ста пятидесяти миллионов ливров. , внести около тридцати в казначейство.

В этом примере Вольтер замечает, что 150 миллионов в четыре раза больше, чем 30 миллионов, хотя это также явно в пять раз больше, чем 30 миллионов.

На мой взгляд, если значительное число носителей английского языка и читателей имеют противоречивое понимание этих двух терминов — некоторые придерживаются позиции, согласно которой «в X раз больше, чем» и «в X раз больше, чем» относятся к эквивалентным отношениям, а другие придерживаются мнения профессора По мнению Шильда, эти два соотношения принципиально различаются: писатель, который не хочет быть неправильно понятым какой-то значительной частью читателей, может поступить правильно, если никогда не будет использовать потенциально двусмысленную фразу «в X раз больше, чем», тем более, что любое такое соотношение легко преобразовать (и пересчитать, если необходимо) как недвусмысленное отношение «в X раз больше, чем».

«В Х раз больше» — это то же самое, что «В Х раз больше»? — Фактические вопросы

Доска объявлений Straight Dope

АаронX 30 мая 2013 г., 2:37

В 3 раза больше места для хранения!
В 3 раза больше места для хранения!

Я думал, что «столько же» означает, что вы получаете столько раз, например. 3 в приведенном выше примере, а «больше» означало, что вы получаете оригинал + эту сумму, поэтому 1 + 3 = 4. Это кажется верным для величин от 0 до 1:9.0043 На 50% больше жира!

На 50% больше белка!

Но для более высоких количеств они, кажется, означают одно и то же — то же самое, что и «столько же». Так что, если что-то имеет «на 150% больше хомяков», они имеют в виду, что финал имеет 150% или 250% оригинала?

Тринопус 30 мая 2013 г. , 3:28

Думаю, это означает «в два раза больше».

У меня есть коробка на один кубический фут. У меня есть еще одна коробка, вмещающая в три раза больше, т. е. три кубических фута. Это еще два кубометра.

В 3 раза больше = в 2 раза больше.

ETA: 150% больше хомяков означает 250% от первоначального количества. У меня было 100 хомяков, но с увеличением на 150% теперь у меня 250 хомячков.

Грязные маленькие гады…

Гэри Робсон 30 мая 2013 г., 3:44

АаронX:

Но для более высоких количеств они, похоже, означают то же самое — то же, что и «столько же». Так что, если что-то имеет «на 150% больше хомяков», они имеют в виду, что финал имеет 150% или 250% оригинала?

Для более высоких величин они асимптотически приближаются к одному и тому же.

Начните с 10 хомяков.
в 2 раза больше = 20; в 2 раза больше = 30.
в 20 раз больше = 200; в 20 раз больше = 210.
в 200 раз больше = 2000; в 200 раз больше = 2010.
В 2000 раз больше = 20000; 2000 раз больше = 20010.

Чем больше становятся множители, тем ближе (в процентах) «раз больше» к «раз больше», но они никогда не равны.

дракои 30 мая 2013 г., 4:04

Если бы я писал книгу по математике, 3 раза больше 100 было бы 400 и 3 раза больше 100 было бы 300.

j_sum1 30 мая 2013 г., 5:06

Добро пожаловать в одну из моих любимых мозоль. Создается впечатление, что язык рекламы намеренно искажает смысл подобных утверждений. В результате высказываниям в обыденной речи не хватает точности, и они могут быть истолкованы неоднозначно или даже быть двусмысленными. Математическая идея всегда довольно проста, но перевод с английского языка на математический проблематичен. В связи с этим от меня требуется преподавать проценты ученикам средней школы с небольшим математическим складом ума. Они регулярно тонут в языке.

«В три раза меньше жира, чем в обычном маргарине». Мех. Не имеет точного значения, и рекламодатели это знают.

Сенегоид 30 мая 2013 г., 5:33

j_sum1:

Добро пожаловать в одну из моих любимых тем. Создается впечатление, что язык рекламы намеренно искажает смысл подобных утверждений.
<фрагмент>
«В три раза меньше жира, чем в обычном маргарине». Мех. Не имеет точного значения, и рекламодатели это знают.

Да, я уверен, что они делают это нарочно. Еще одним досадным обманом является использование в рекламе слова «значительный». Они используют его в научно-статистическом смысле, который может быть технически точным и правдивым, но технический смысл очень точен и специфичен, и не совсем то, что понимает под этим словом обычный телезритель.

Мне тоже всегда было интересно, что значит «в Х раз меньше». Лучшее предположение (при условии, что это вообще что-то значит) — «в 1/X[sup]th[/sup] больше»

Что касается примера OP с увеличением количества хомяков на 250%: исходит от участника SDMB, это просто принятие желаемого за действительное.

боб_2 30 мая 2013 г., 15:53

В любом случае всегда добавляли волшебные слова «До». Таким образом, допуская любые мыслимые вариации.

Здесь был случай, касающийся (я думаю) сухариков Farleys (печенье, предназначенное для жевания младенцев, у которых прорезываются зубы), которые рекламировались как содержащие на 50% меньше сахара, без указания того, с чем они сравнивали продукт. На самом деле в одном сухарике было больше сахара, чем в шоколадном печенье.

Дарт_Панда 30 мая 2013 г., 16:14

Путеводитель по газетам: Каждая газета содержит определенный процент переработанной бумаги.

Лиза: Сколько это процентов?

Путеводитель по газете: Зеро. Ноль — это процент, не так ли?

Гэри_Т 30 мая 2013 г., 16:45

боб_2:

В любом случае всегда добавляли волшебные слова «До».

Или еще лучше, «до [всего] и БОЛЬШЕ!»

Хогарт 30 мая 2013 г., 16:48

#10

Если бы кто-то сказал мне, что я получаю на 100% больше флура, я бы предположил, что это в два раза больше флура.

Если бы кто-то сказал мне, что я получаю в 1 раз больше флюрма, я бы подумал, что он сошел с ума.

Хронос 30 мая 2013 г., 16:53

#11

На самом деле вполне логично, что когда вы даете процентное увеличение, оно превышает исходную сумму, а когда это не процентное значение, это просто прямое умножение. Только не спрашивайте меня, почему это так.

ЭдвардПотерян 31 мая 2013 г., 1:35

#12

Сенегоид:

Еще одним досадным обманом является использование в рекламе слова «значительный». Они используют его в научно-статистическом смысле, который может быть технически точным и правдивым, но технический смысл очень точен и специфичен, и не совсем то, что понимает под этим словом обычный телезритель.

Недавно в журнале American Scientist была опубликована статья, призывающая к запрету слова «значительный» даже в технических текстах. Это был не просто комментарий — в этом был весь смысл статьи.

Тринопус 31 мая 2013 г., 1:44

№13

Сенегоид:

. . . Я тоже всегда задавался вопросом, что значит «в X раз меньше». Лучшее предположение (при условии, что это вообще что-то значит) — «1/X[sup]th[/sup] столько же». . .

Есть! Это абсурд! Недавний выпуск Science News споткнулся об это использование, и редактор признал его неуклюжесть. Если у меня десять хомяков, а завтра «в семь раз меньше» — значит, у меня сейчас минус шестьдесят хомячков? Вот что это должно означать. Но, да, на (глупом!) распространенном языке рекламы это означало бы, что у меня либо 10/7 хомяка… или, может быть, 3/7?

j_sum1 31 мая 2013 г., 1:51

№14

отрицательный шестьдесят хомяков кажется подходящим для досок на данный момент.

Гэри Робсон 31 мая 2013 г. , 4:00

№15

Гэри_Т:

Или еще лучше, «до [всего] и БОЛЬШЕ!»

Раньше меня это бесило, а теперь немного забавляет.

СЭКОНОМЬТЕ ДО 60% И БОЛЬШЕ.

В лексическом анализе это означает: «Это может быть полная цена. Это может быть бесплатно. Или это может быть что-то среднее между ними. Но 60% — это то, что вы запомните!»

j_sum1 31 мая 2013 г., 4:30

№16

Прочитал:
«Соли меньше в три раза»

Ничего не понял.

смик 31 мая 2013 г., 5:42

# 17

Да, путаницу вызывает омоним «раз» . Обычно специально.

Здесь используется слово «время», как в «Уууу! Кататься на этой акуле было весело, давай сделаем это еще три раза!». Таким образом, вы будете кататься на акуле 4 раза.

Это не то же самое, что математическая операция умножения, которую мы называем «раз». Не было бы предшествующей меры чего-либо, как в первом примере, на которую начисляли бы сложные суммы; так что это чистое умножение, когда вы начинаете с чистых величин.

Маркетинг опирается на подобную чушь, намеренно смешивая эти два слова, чтобы максимизировать то, что может показаться потребителям более выгодной сделкой.

Например, что звучит лучше?

** «На 200% больше ChumBites!» ** (50 унций ChumBites™ оригинального размера x 200% = всего 100 унций)

или

** «Теперь в два раза больше ChumBites!»™ **(50 унций ChumBites™ оригинального размера плюс еще два… +50 унций, +50 унций = всего 150 унций).

Если бы вы занимались бизнесом ChumBites™ и продвигали 100 унций вместо исходной 50-унциевой банки по той же цене, вы могли бы возразить, что «в два раза больше» против 200 % — это просто семантика, и привести доводы в пользу одного больше. другой, если вас когда-либо призывали к нему. Итак, будучи проницательным, вы не позволите такой глупой путанице помешать печатать последний пример на каждой банке, не так ли? Нет, вы бы использовали это в своих интересах.

смик 31 мая 2013 г., 5:49

# 18

Хогарт:

Если бы кто-то сказал мне, что я получаю на 100 % больше флура, я бы предположил, что это в два раза больше флура.
Если бы кто-то сказал мне, что я получаю в 1 раз больше флюрма, я бы подумал, что он сошел с ума.

Вот почему я всегда покупаю флум оптом. Таким образом, я экономлю на 100 % больше на вдвое большем количестве флумов.

пуликамель 31 мая 2013 г. , 11:39

# 19

Гэри «Вомбат» Робсон:

Раньше меня это бесило, а теперь немного забавляет.
СЭКОНОМЬТЕ ДО 60% И БОЛЬШЕ.
При лексическом анализе это означает: «Это может быть полная цена. Это может быть бесплатно. Или это может быть что-то среднее между ними. Но 60% — это то, что вы запомните!»

Чёрт возьми, именно об этом я и хотел упомянуть. Меня не бесит, а просто смешит, потому что это по сути бессмысленно.

АаронX 31 мая 2013 г., 12:35

#20

смик:

Например, что звучит лучше?
**«На 200% больше ChumBites!» ** (50 унций ChumBites™ оригинального размера x 200% = всего 100 унций)
или
** «Теперь в два раза больше ChumBites!» ** (50 унций ChumBites™ оригинального размера плюс еще два… +50 унций, +50 унций = всего 150 унций).
No related posts.