Системы линейных уравнений — Бесплатная помощь по математике
Системы линейных уравнений имеют место, когда существует более одного связанного математического выражения. Например, в \(y = 3x + 7\) есть только одна линия со всеми точками на этой линии, представляющими набор решений для приведенного выше уравнения.
Когда вам дают 2 уравнения в одном и том же вопросе и просят решить для получения уникального ответа, вы можете визуализировать проблему как две линии на одной плоскости xy. Следующие два уравнения изображены на одной и той же плоскости xy:
$$ у = 3x + 5 $$ $$ у = — х $$
Решением любого уравнения является место, где встречаются ОБА уравнения на плоскости xy. Это место встречи называется точкой пересечения. Если у вас есть линейное уравнение и квадратное уравнение в одной и той же плоскости xy, может быть ДВЕ ТОЧКИ, где график каждого уравнения будет встречаться или пересекаться. Вот геометрическое представление:
Вот пример двух уравнений с двумя неизвестными:
Пример
$$ х + у = 10 $$ $$ 3x + 2y = 20 $$
Есть три способа решить наш примерный вопрос.
- 1) Мы можем решить это графически
- 2) Мы можем решить это алгебраически
- 3) Мы также можем решить это с помощью алгебраического исключения
Решу вопрос всеми 3 способами. Метод 1: Решить графически:
Для графического решения лучше всего написать ОБА уравнения в форме наклона-пересечения или в виде: \(y = mx + b\), где m = наклон и b = y- перехват как ваш первый шаг. Итак, \(x + y = 10\) становится \(y = — x + 10\) (форма пересечения наклона). Далее, \(3x + 2y = 20\) становится \(y = -\frac{3x}{2} + 10\), если записать его в виде пересечения наклона.
Затем нарисуйте две линии, ведущие к точке пересечения. После построения графика этих линий вы обнаружите, что ОБА уравнения встречаются в точке (0,10). Точка (0,10) означает, что если вы подставите x = 0 и y = 10 в ОБА исходные уравнения, вы обнаружите, что они решают оба уравнения. Вот как эти два уравнения выглядят в плоскости xy:
Метод 2: Решите алгебраически
Шаги:
1) Решите либо x, либо y в первом уравнении (\(x + y = 10\)).
Я решу для y. Таким образом, \(x + y = 10\) становится \(y = -x + 10\).
2) Подставьте значение y (то есть -x + 10) во второе уравнение, чтобы найти x. Наше второе уравнение было \(3x + 2y = 20\) и после подстановки становится \(3x + 2(-x + 10) = 20\)
Далее: Решите для x.
$$ 3x -2x + 20 = 20 $$ $$ х + 20 = 20 $$ $$ х = 0 $$
3) Подставьте x = 0 в ЛЮБОЕ исходное уравнение, чтобы найти значение y. Я буду использовать наше второе уравнение.
$$ 3x + 2y = 20 $$ $$ 3(0) + 2г = 20 $$ $$ 0 + 2 года = 20 $$ $$ у = 10 $$
Итак, наша точка пересечения снова (0,10).
Метод 3: Алгебраическое исключение
Этот метод имеет дело с сопоставлением переменных с ELIMINATE или удалением одной из них. Имейте в виду, что это ваш выбор, какую переменную вы хотите удалить первой.
ЦЕЛЬ: исключить x и найти y или наоборот. Вернемся к нашим исходным уравнениям.
Во втором уравнении 3x + 2y = 20 можно исключить 3x, умножив -3 на КАЖДЫЙ член нашего первого уравнения (x + y = 10).
х + у = 10
3х + 2у = 20
-3(x) + -3(y) = -3(10)
3x + 2y = 20
-3x + -3y = -30
3x + 2y = 20
ВНИМАНИЕ, что -3x и 3x исключаются . Видеть это? Понять, почему? Вот почему: отрицательный ПЛЮС положительный = НОЛЬ.
Теперь у нас есть это:
-3y = -30
2y = 20
-3y + 2y = -30 + 20
-y = -10
y = 10.
Далее: найти x мы подставляем y = 10 в ЛЮБОЕ из исходных уравнений. К настоящему времени вы должны увидеть, что наш ответ для x будет НОЛЬ.
Вот оно:
Я буду использовать x + y = 10
x + 10 = 10
x = 0.
Вы видите, что я вижу? Да, я снова нашел ТУ ЖЕ точку пересечения, которая равна (0,10).
Г-н Фелиз
(c) 2005
X + Y = 10, X + Z = 20, Y + Z = 24, что такое X + Y + Z = ?
Эзам З.
X + Y = 10
X + Z = 20
Y + Z = 24
что такое X + Y + Z = ?
Укажите шаги для получения ответа. Спасибо.
Подписаться І 5
Подробнее
Отчет
4 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: Лучшие новыеСамые старые
Гамильтон А. ответил 19.01.16
Репетитор
5,0 (38)
Степени по математике, более 10 лет репетиторства
См. таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Некоторые другие ответы являются хорошими примерами решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными, что и задает эта задача.
Хотя самый простой способ решить эту задачу — заметить, что если мы суммируем три уравнения, мы получим:
X + Y = 10
X + Z = 20
+ Y + Z = 24
—————-
2X + 2Y + 2Z = 54
Выделив 2, мы получим 2(X + Y + Z) = 54, а деление обеих сторон на 2 показывает, что X + Y + Z = 27.
Это не всегда работает, когда вы решение трех уравнений с тремя неизвестными, но это трюк, который достаточно часто встречается в заданиях, стандартизированных тестах и т. д., и его стоит упомянуть.
Голосовать за 2 Понизить
Подробнее
Отчет
Эндрю М. ответил 19.01.16
Репетитор
Новое в Византе
Математика – алгебра специальность / Ф.И.
Т. Град — Б.С. w/Honors
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
1) X + Y = 10
2) X + Z = 20
что такое X + Y + Z = ?
Из уравнения 1: x = 10-y
Подставьте 10-y вместо x в уравнение 2
10-y+z = 20 = вычтите 10 с обеих сторон
Теперь у нас есть 2 уравнения только с y и z. —
2z = 34
z = 34/2
z = 17
Теперь у нас есть значение z.
Подключение, которое в уравнение 3
y + z = 24
y + 17 = 24
y = 24-17
y = 7
Теперь мы имеем значение как z, так и y.
Подставьте значение y в уравнение 1, чтобы найти x
x + y = 10
x + 7 = 10
x = 10-7
x = 3
Ваши значения x = 3, y = 7, z = 17
Подставив эти значения в исходные уравнения
, вы увидите, что они сбалансированы.
Голосовать за 0 Понизить
Подробнее
Отчет
Эрик С. ответил 01/19/16
Репетитор
5,0 (180)
Инженер, Чувак-серфер, Футболист, Выпускник USC, Любитель математики
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
Привет, Эзам.
Самый простой способ сделать это — настроить матрицу. Вот уравнения, которые вы составите:
X + Y + 0Z = 10
X + 0Y + Z = 20
0x + y + z = 24
Таким образом, ваша матрица будет выглядеть как:
1 1 0 10
1 0 1 20
Punch This Matrix Resolver как на Вольфрам Альфе.
Функция, которую вы хотите использовать, — это «rref» для «уменьшенной формы эшелона строк». Введите в Wolfram следующий код:
rref([1,1,0,10],[1,0,1,20],[0,1,1,24])
Что даст вы:
1 0 0 3
0 1 0 7
0 0 1 17
Таким образом, x = 3, y = 7, z = 17.
x + y + z = 27
это помогает.
Голосовать за 0 Понизить
Подробнее
Отчет
Марлен С. ответил 19.01.16
Репетитор
4.9 (2633)
Актуарии на пенсии Преподаватели математики
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
Указано
x+y = 10
x+z = 20
y+z = 24
Давайте пересмотрим первые два уравнения
y = 10-x
z = 20-x
И подставьте эти выражения Y и Z в 3-е уравнение
(10-X) + (20-X) = 24
Теперь переставьте члены и решите для X
-2X = 24-10-20 = -6
X = 3
3 Используйте это значение X для нахождения Y и Z
Y = 10-X = 10-3 = 7
Z = 20-X = 20-3 = 17
Так как X = 3, Y = 7 и Z = 17
X + Y + Z = 3+7+17 = 27
Голосовать за 0 Понизить
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.
