Комплексные числа — роль в науке, понятие, история возникновения и использования
Комплексные числа
Математика оперирует понятием действительные числа, но часто этого недостаточно, чтобы провести все операции и решить все уравнения. Поэтому математиками было введено понятие комплексные числа, более широкое понятие, чем действительные.
Чтобы решить простые примеры из натуральных чисел, не нужны новые понятия. Но вот чтобы найти решение уравнения с буквенными обозначениями, нужно использовать комплексные числа. Комплексное число — это число двухмерного вида, которое отличается от обычных своим составом: в нем есть действительная и мнимая часть. Его вид — z = a+bi, где i — это и есть такая самая мнимая единица. Представить в реальности комплексное число так же, как натуральное, невозможно, зато его можно записать с помощью обычной оси координат, геометрическим способом.
Понятие комплексных чисел
Комплексные числа — основное понятие не только математики.
Их применяют для построения математических моделей волн и колебаний в смежных дисциплинах. Поэтому тема комплексные числа входит в основной блок физики для студентов физико-математических вузов.
Комплексные числа как математический термин появились в 16 веке. Уже тогда итальянские математики ввели в обиход эти числа и формальное решение уравнения, которое сводилось к извлечению квадратного корня из минус 1. Сначала такие числа получили название мнимых, затем им дали названия комплексные числа. Интересно, что сам математик, который ввел их в научное употребление, решил, что они бесполезны и никому не нужны, так как имеют парадоксальную сущность. Он даже назвал их софистическими числами, показывая всю их нестандартность. Это действительно был научный парадокс — квадратный корень из минус единицы был бессмысленным числом, но если сложить два таких числа, то результат получается вполне реальным. Из-за неясной сущности комплексных чисел, их необычного вида ученые считали их даже чем-то мистическим, “прибежищем божественного духа”.
Первые применения комплексных чисел
Впервые применять комплексные числа в решениях уравнений начали Лейбниц и Бернулли. Лейбницу же принадлежит утверждение, что комплексное число — не что иное, как логарифм отрицательного числа. Эйлер и Даламбер развили понятие комплексных чисел и стали широко применять в смежных дисциплинах. Они открыли несколько полезных свойств комплексных чисел и выяснили их удобство в решении задач по геодезии, составлению карт, гидродинамики.
Однако несмотря на все достижения, математики опасались широко использовать комплексные числа в повседневной практике, считая их ненастоящими и фантастичными. Вносило путаницу само словосочетание “мнимая единица”. Математики рассуждали так — ведь не существует квадрата, сторона которого равна минус одному? Но почему тогда вычисления с такими ненастоящими числами приводят к вполне осязаемому и правильному результату?
Поэтому главная задача математики того времени — либо принять комплексные числа, как некие допущения, либо объяснить их существование.
Существенный вклад в изучение комплексных чисел внес немецкий математик Гаусс, давший их обоснование с точки зрения арифметики и нашел способ записать их геометрически.
Гиперкомплексные числа
Активнее всего над теорией комплексных чисел работал математик Гамильтон, который расширил их понятие и ввел новый термин — гиперкомплексные числа.
Основная задача, которую успешно решает комплексное число, — любое уравнение имеет решение, даже если для этого придется извлечь корень из отрицательного числа. Если принять, что любое действительное число — это точка на оси координат, а комплексное число тоже можно отложить на оси координат, получим, что оно — не более чем расширение понятия действительного числа, а действительные числа — это элемент множества комплексных чисел.
Для комплексных чисел нельзя сказать: больше оно или меньше, поэтому между ними нельзя поставить знак неравенства. Основное правило комплексных чисел — они равны тогда, когда равны обе их части, и мнимая, и действительная.
Если числа отличаются только своей мнимой частью, они получают название сопряженных.
Тригонометрическая формулировка комплексных чисел
Комплексные числа записывают методами алгебры, и тогда с ними можно выполнять разные арифметические действия: складывать между собой, вычитать, получать произведение, делить и возводить в степень. Однако если говорить об извлечении корня, выполнить это действие над алгебраической формой нельзя. Для этого у числа должна появиться тригонометрическая форма, согласно которой комплексное число — точка на плоскости между осями координат.
Аргумент комплексного числа — это угол, образуемый между вектором (это и есть геометрическое начертание комплексного числа) и осью координат. Длина вектора — модуль комплексного числа. У каждого комплексного числа есть две важнейшие характеристики — модуль и аргумент. Причем модуль — это всегда положительное и действительное число. Иногда он равняется нулю, но если вектор состоит из точки 0. А вот аргумент — любое число, с плюсом или минусом.
Над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, можно выполнять арифметические действия. Например, умножение — чтобы умножить комплексные числа между собой, складывают числовые значения аргументов и перемножают модули. Можно возвести их в натуральную степень — это действие производится по формуле Муавра. Согласно ей, чтобы возвести в натуральную степень комплексное число, нужно посчитать произведения аргумента и показателя степени, а его модуль возвести в эту степень. Эта же формула работает и для отрицательных чисел.
Комплексное число можно записать не только с помощью средств алгебры и тригонометрии, но и показательной форме. Именно в таком виде они используются в электротехнике. Эту форму изобрел и предложил математик Эйлер, который записал комплексное число как число со степенью с комплексным показателем. В этой форме можно производить любые операции — сложение, вычитание, деление, умножение, возведение в степень и извлечение из него.
Презентация-урок Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Геометрическая интерпретация комплексного числа
z = a + bi
у-мнимая ось
М( a,b)
b
a
х-действительная ось
0
z 3
z 1
z 2
1.
Изобразить на комплексной плоскости следующие числа:
у
2
z 5
-3
3
0
х
z 4
-2
Модуль комплексного числа
- Модулем комплексного числа
у-мнимая ось
М( a,b)
b
0
х-действительная ось
a
2. Найти модуль комплексного числа:
Аргумент комплексного числа
- Аргументом комплексного числа называется угол , который образует вектор OM с положительным направлением оси абсцисс. = arg z
у-мнимая ось
М( a,b)
b
х-действительная ось
0
a
Аргумент определяется неоднозначно
у
у
у
1
1
1
3
2
1
х
х
0
х
0
1
1
1
0
Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2 π .
Для нашего примера:
3. Найти аргументы комплексного числа:
у
у
0
х
х
1
0
-1
у
0
-1
х
4.Найти модуль и аргумент комплексного числа:
у
1
0
х
Тригонометрическая форма комплексного числа
у
М( a,b)
b
0
х
a
5.Записать число в тригонометрической форме:
у
х
0
-2
6. Записать число в алгебраической форме:
7. Записать число в алгебраической форме:
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме Умножение комплексных чисел.
- Пусть
8. Найти произведение комплексных чисел:
Деление комплексных чисел.
9. Найти частное комплексных чисел:
10. Записать в тригонометрической форме комплексное число:
- Пусть
Запишем каждое из чисел в тригонометрической форме.
у
1
х
0
у
1
х
-10
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Возведение в степень.
- Пусть
— формула Муавра
11. Возвести в четвертую степень комплексное число:
по формуле
Муавра:
ОТВЕТ
12.
Возвести в степень комплексное число и записать результат в алгебраической форме:
Пусть
Запишем каждое из чисел в тригонометрической форме.
у
2
х
0
у
х
0
Разделим одно число на другое в тригонометрической форме:
А теперь возведём в степень:
Теперь можно результат записать в алгебраической форме:
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корня.
- Пусть
Корнем n -ой степени из числа z ( n ∈N, n≥2 ) называется такое комплексное число u , для которого справедливо равенство
Корень n -ой степени из комплексного числа z имеет ровно n значений , которые находятся по формуле:
13.
Найти все значения корня:
Пусть
Запишем данное число в тригонометрической форме:
у
1
х
0
у
u 2
u 1
u 3
х
u 0
u 4
u 5
14. Решить уравнение:
Пусть
Запишем данное число в тригонометрической форме:
у
1
х
0
у
u 1
u 2
u 0
х
u 3
u 4
15. Сделать действия в тригонометрической форме и ответ записать в алгебраической форме:
Ответ.
Ответ.
16. Сделать действия над комплексными числами и ответ записать в тригонометрической форме:
Ответ.
Ответ.
17. Представить числа в тригонометрической форме:
Ответ.
Ответ.
18. Найти в тригонометрической форме для чисел
Ответ.
Ответ.
19. Найти в тригонометрической
форме и результат представить в алгебраической форме, если
Ответ.
20. Найти все значения корня:
Ответ.
34.1 — 34.6 ( г )
34.21 — 34.25 ( г )
тригонометрия — Как возвести комплексное число в степень другого комплексного числа?
спросил
Изменено 7 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 6к раз
$\begingroup$
Как рассчитать результат возведения одного комплексного числа в степень другого, т.