Параграф 2.2. Свойства и графики основных функций.
Работу выполнила: Казанцева А.А. студентка группы 45.2
Объяснение и обоснование
1. Линейная функция y = kx + b.Линейной функцией называется функция вида
y = kx + b, где k и b — некоторые числа.
Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область
значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.
Область определения — множество всех действительных чисел: D (y) = R,
поскольку формула kx + b имеет смысл при всех действительных значениях
x, то есть для любого действительного x мы можем вычислить значение
kx + b (из свойств действительных чисел, которые строго доказываются в
курсах математического анализа, следует, что для любых действительных
чисел х, k и b однозначно определены произведение kх и сумма kх + b = у).
Область значений
чения коэффициента k.
Если k = 0, то функция имеет вид y = b, то есть ее
область значений состоит из одного числа b. В таком
случае графиком линейной функции y = b является
прямая, параллельная оси Ox, которая пересекает
ось Oy в точке b (рис. 19).
Если k ≠ 0, то E (y) = R (обоснование приведено в примере 3).
Четность и нечетность линейной функции существенно
зависит от значений коэффициентов b и k.
При b = 0 и k ≠ 0 функция y = kx + b превращается в функцию y = kx,
которая является нечетной, поскольку для всех x из ее области определения
Таким образом, график функции y = kx (рис. 22) симметричен относительно
точки O.
При k = 0 получаем функцию y = b, которая является
четной, поскольку для всех x из ее области определения
f (-x) = b = f (x). То есть график функции y = b
21). В общем случае при k ≠ 0 и b ≠ 0 функция
y = kx + b не является ни четной, ни нечетной, поскольку
f (-x) = k (-x) + b = -kx + b ≠ f (x) и также
f (-x) = -kx + b = -(kx — b) ≠ -f (x).
Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента k.
При k = 0 получаем функцию y = b — постоянную. При k > 0 функция y = kx + b
возрастает, а при k < 0 — убывает (обоснование приведено в примере 4).
В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции y = kx + b всегда является прямая линия.
Поскольку при x = 0 функция принимает значение y = b, то эта прямая всегда
пересекает ось Oy в точке b. Графики линейных функций приведены в таблице 3/
2. Функция y = k/x (k ≠ 0).
Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.
Область значений: у Ф 0.
Это можно записать также так:
Для обоснования области значений функции y = k/x обозначим k/x = a.
Тогда из этого равенства получим x = k/a для всех a ≠ 0. То есть
для всех a ≠ 0 существует значение x = k/a, при котором
y =k/x = k/(k/a) = a. Таким образом, y принимает все
действительные значения, не равные нулю.
Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество,
симметричное относительно точки О, и f (-x) = -k/x = -f(x). Таким образом,
её график симметричен относительно начала координат (рис. 23).
Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента k.
Если х2 > х1 (то есть х2 — х1 > 0), то для сравнения значений f(х2) и f(х1)
На промежутке (0; +∞) значение х1 > 0 и х2 > 0, следовательно, х1х2 > 0.
На промежутке (-∞;0) значение х1 < 0 и х2 < 0, значит, х1х2 > 0.
Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) или (0; +∞), при
k > 0 из равенства (1) получаем f(х2) — f(х1) < 0, а при k < 0 получаем f(х2) — f(х1) > 0.
При k > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) < f (х1),
таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.
При k < 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) > f (х1),
следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.
Из курса алгебры известно, что график функции у = k/x называется
находятся в I и III координатных четвертях, а при k < 0 — во II и IV четвертях (рис. 23).
Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции у = k/x (k ≠ 0),
следует помнить, что, например, функция у = 1/x (рис. 24) убывает
каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), но на всей области определения (х ≠ 0)
эта функция не является убывающей (и не является возрастающей).
Действительно, если взять х1 = —1 и х2 = 1, то x2 > x1, но f(x2) = f(1) = 1, а f(x1) = f(—1) = —1,
то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции,
и на всей ее области определения функция f(x) = 1/x не является убывающей.
Поэтому же нельзя сказать, что функция f (x) = 1/x — убывает на
объединении интервалов (—∞; 0) U (0; +∞).
3. Функция y = ax² (a ≠ 0).Как известно из курса алгебры, графиком этой
функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0 (рис. 25, а)
и вниз при а < 0 (рис. 25, б). Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график
всегда проходит через начало координат.
<Область определения: х ∈ R, поскольку значение у = ах² можно вычислить при
любых значениях х (из свойств действительных чисел, которые строго
доказываются в курсах математического анализа, следует, что для любых
действительных чисел х и а однозначно определены произведения х • х = х2 и ах²
и ax² = y).
Функция четная, поскольку f (—x) = а (—х)² = ах² = f (x). Таким образом, ее
график симметричен относительно оси Оу.
Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax²
уравнение (*) имеет решение для любого u ≥ 0, а при а < 0 уравнение (*) имеет
решение для любого u ≤ 0.
Следовательно, при а > 0 Е (у) = [0; +∞), а при а < 0 Е (у) = (—∞; 0].
Возрастание и убывание.
Если x2 > x1 ( то есть x2 — x1 >0), то для сравнения значений y(x2) и y(x1) рассмотрим их разность
y(x2)-y(x1) = ax2² — ax1² = a(x2² — x1²) = a(x2-x1)(x2+x1). (2)
На промежутке [0; +∞) значение х1 ≥ 0 и х2 > 0, следовательно, х2 + х1 > 0.
На промежутке (—∞; 0] значение х1 < 0 и х2 ≤ 0, значит, х2 + х1 < 0.
Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из указанных промежутков, из равенства (2)
получаем:
— при a > 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) > 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) < 0.
— при a < 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) < 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) > 0.
Следовательно, при х2 > х1, если a > 0, то на промежутке [0; +∞) у(х2) > y(x1)
функция возрастает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) < у (х1) функция убывает.
если же a < 0, то на промежутке [0; +∞) у (х2) < у (х1)
функция убывает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) > у (х1) функция возрастает.
Соответствующие графики приведены также в таблице 3.
4. Квадратичная функция y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
Из курса агебры за 9 класс известно, что функция вида
y = ax² + bx +c, где a,b,c — действительные числа, причём
a≠0, называется квадратичной.Ее графиком является парабола,
ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.
Абсцисса вершины этой параболы x0 =-b/2a. Для обоснования этого
достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:
y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + y0, где y0 = (4ac — b²)/4a = -D/4a (3)
(D = b² — 4ac — дискриминант квадратного треёхчлена ax² + bx + c).
Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта D парабола или
пересекает ось Ох (D > 0), или не пересекает (D < 0), или касается ее (D = 0).
Основные варианты расположения графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
представлены в таблице 4.
Охарактеризуем свойства функции у = ax² + bx + с (a ≠ 0).
Область определения: D (у) = R, поскольку значение у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
можно вычислить при любых значениях х (из свойств действительных чисел,
которые строго доказываются в курсах математического анализа, следует, что для
любых действительных чисел х, а, b и с однозначно определены произведения
Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax² + bx + с
используем формулу (3) и обозначим a(x + b/2a)² + y0 = u. Поскольку a ≠ 0, то
из этого равенства: (x + b/2a)² = (u — y0)/a.
ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:
1.
Какая функция называется линейной? Назовите свойства линейной функции.
Какая линия является графиком линейной функции? Приведите примеры
линейных функций и их графиков.
2. Какая линия является графиком функции у = k/x (k≠ 0)? Приведите
графиков функций у = k/x при k > 0 и при k < 0. По графикам
укажите свойства этой функции при k > 0 и при k < 0. Докажите нечетность
функции у = k/x (k≠ 0).
3. Какая линия является графиком функции у = ax² (a ≠ 0)?
Как расположен этот график при а > 0 и при а < 0? Приведите примеры графиков функций
у = ax² при а > 0 и при а < 0. По графикам укажите свойства этой
функции при а > 0 и при а < 0. Докажите четность функции у = ax² (a ≠ 0).
4. Какая линия является графиком функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Как расположен график при а > 0 и при а < 0? Как найти абсциссу
вершины графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Приведите примеры графиков этой функции при а > 0 и при а < 0.
По графикам укажите свойства этой функции при а > 0 и при а < 0.
| УПРАЖНЕНИЕ 1. Постройте график функции: 1.y = 2x + 1 2.y = -3x — 1 3. y = 4 |
|
|
УПРАЖНЕНИЕ 2. По приведённому графику функции y= kx+b укажите знаки k и b. |
|
| УПРАЖНЕНИЕ 3. Постройте график функции y = x² — 4x + 3. | |
1. Постройте график функции:
1) y = 3x — 2; 2)y = -x + 4; 3) y = -2 4) y = -5x 5) y = 0 6)y = 4x
Есть ли среди этих функций чётные или нечётные? Ответ обоснуйте.
2. По приведёнными графикам функций y = kx + b (рис. 26) укажите знаки k и b в каждом случае.
Постройте график функции (3 — 5 ).
3. 1) y = -2/x; 2) y = 3/x 3) y = 1/x 4) y = 5/x
4. 1) y = -2x² 2) y = 3x² 3) y = -3x² 4) y = 5x²
5. 1) y = x² — 6x + 7 2) y = -x² + 4x + 2 3) y = 2x² — 2x + 1 4) y = -3x² + 6x
6. По приведённым графикам функции y = ax² + bx + c (a≠) (рис. 27)
укажите знаки a, b, c в каждом случае.
определение, свойства, график функции и способы решения
Общие сведения о функции y=k/x
Определение 1Функция — зависимость переменных друг от друга. Данная функция носит название функции обратной пропорциональности и выражается уравнением вида y=k/x, при этом х≠0. В данной зависимости x — независимая переменная (аргумент), y — зависимая переменная (функция), k — коэффициент пропорциональности (число).
Определение 2График данной функции — кривая, которая называется гиперболой.
Многие путают с параболой (парабола — квадратичная функция). Построение графика осуществляется в стандартной декартовой системе координат. За основу построения функции обратной пропорциональности берется график y=1/x с помощью растяжения ( при k<0 симметрией относительно оси абсцисс).
Область определения и допустимые значения функции y=k/x
Важными пунктами для построения графика гиперболы являются область определения и допустимые значения.
Определение 3Область определения — это множество значений х, на котором задана функция.
Определение 4Допустимые значение — множество всех значений, которое принимает функция.
При построении гиперболы принимают, что к≠0. Так как при к=0, функция обращается в 0.
Агрумент (х) также не может быть равен 0, так как делить на 0 нельзя. Поэтому область определения принимает вид D (y)=(-∞;0)∪(0;+∞).
Область значения имеет вид Е (y)=(-∞;0)∪(0;+∞).
Ассимптотами (прямые, которые не пересекает график) являются OX(y≠0), OY(x≠0).
Центром симметрии (в стандартном случае, при построении из точки с координатами (0;0)) является начало координат.
Свойства и график функции y=k/x
Основные свойства обратной пропорциональности y=k/x:
- Стремится к осям абсцисс и ординат, но никогда не пересекает их (они являются для нее ассимптотами).
- Имеет центр симметрии.
- Имеет ось симметрии, которая выражается уравнением y=x.
- При k>0 или x>0 y>0, при k<0 и x<0 y<0.
- Когда функция положительна, она расположена в 1 и 3 четвертях системы координат. Когда отрицательная — во 2 и 4.
- Функция может характеризоваться убыванием или возрастанием. Когда функция положительна, она убывает на (-∞;0)∪(0;+∞), когда отрицательна, то возрастает на (-∞;0)∪(0;+∞).
- Непрерывна на (-∞;0)∪(0;+∞).
- Выпукла вверх на (-∞;0), выпукла вниз на (0;+∞).
- Функция нечетная.
- Чем больше коэффициент k, тем дальше от начала координат будет график. Чем меньше коэффициент k, тем ближе к началу координат будет график.
Способы построения функции y=k/x
Алгоритм построения:
- Построить систему координат в необходимом масштабе.
- Выяснить, в каких четвертях будет находиться гипербола.
- Построить ассимптоты.
- Задать, как минимум, 3 положительных и 3 отрицательных значения аргумента и найти через заданное уравнение значение функции.
Пример: y=(2/(x-1))+1
Решение: функция будет смещена, так как k=2, a=1, b=1
Решите пример для самостоятельной работы. Или выберите из множества подобных примеров в интернете.
y=(1/(2-x))-1
После можно проверить, насколько верен ваш ответ:
Свойства обратной функции
Свойства обратной функцииОбратная
Свойства обратной функции
Здесь представлены свойства обратной функции с доказательством.
Ниже f находится функция из набора A в набор B .
Свойство 1:
Если f биекция,
тогда его инверсия f -1 является инъекцией.
Доказательство собственности 1 :
Предположим, что f -1 (y 1 ) = f -1 (y 2 ) для некоторых y 1 и y 2 в B .
Тогда, поскольку f является сюръекцией, существуют элементы x 1 и x 2 в A такое, что y 1 = f(x 1 ) и у 2 = f(x 2 ) .
Затем с f -1 (y 1 ) = f -1 (y 2 ) по предположению, f -1 (f(x 1 )) = f -1 (f(x 2 )) верно.
Также по определению обратной функции, f -1 (f(x 1 )) = x 1 , и f -1 (f(x 2 )) = x 2 .
Отсюда х 1 = х 2 .
Тогда, поскольку f является функцией, f(x 1 ) = f(x 2 ) , то есть y 1 = y 2 .
Итак, мы показали, что если f -1 (y 1 ) = f -1 (y 2 ) , затем y 1 = y 2 .
Следовательно, f -1 является инъекцией.КЭД
Свойство 2: Если f биекция, тогда его обратное f -1 является сюръекцией.
Доказательство собственности 2 :
Поскольку f является функцией от A до B , для любого x в A есть элемент y в B так что y = f(x) .
Тогда за это г , ф -1 (г) = f -1 (f(x)) = x , так как f -1 обратно f .
Следовательно, для любого x в A есть элемент y в B так что f -1 (y) = x .
Следовательно, f -1 является сюръекцией.
КЭД
Свойство 3: Если f — биекция, f(f -1 (y)) = y для любого y в B .
Доказательство собственности 3 :
Поскольку f является сюръекцией от A до B , для любого y в B есть элемент x в A так что y = f(x) .
Так как по определению ф -1 , f -1 (f(x)) = x , и поскольку f -1 (f(x)) = f -1 (y) , f -1 (y) = x .
Отсюда f(f -1 (y)) = f(x) = y .
Отсюда f(f -1 (y)) = y .
КЭД
Вернуться к расписанию
Вернуться к оглавлению
| 6 | Решите для ? | cos(x)=1/2 | ||
| 7 | Найти x | sin(x)=-1/2 | ||
| 8 | Преобразование градусов в радианы | 225 | ||
| 9 | Решите для ? | cos(x)=(квадратный корень из 2)/2 | ||
| 10 | Найти x | cos(x)=(квадратный корень из 3)/2 | ||
| 11 | Найти x | sin(x)=(квадратный корень из 3)/2 | 92=9 | |
| 14 | Преобразование градусов в радианы | 120 градусов | ||
| 15 | Преобразование градусов в радианы | 180 | ||
| 16 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(195) | 92-4||
| 38 | Найти точное значение | грех(255) | ||
| 39 | Оценить | лог база 27 из 36 | ||
| 40 | Преобразовать из радианов в градусы | 2 шт. |