Y 4 в степени x график: График функции y = 4^x (4 в степени x). Построить онлайн. Таблица точек.

{-\frac{3}{7}}$ в точке $х=1$.

Напомним свойства и графики степенных функций с целым отрицательным показателем.

При четных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида — их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.

Рис. 1. График функции

При нечетных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида — их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

Рис. 2. График функции

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .

Для выполняется равенство:

Например: ; — выражение не существует по определению степени с отрицательным рациональным показателем; существует, т.

к. показатель степени целый,

Перейдем к рассмотрению степенных функций с рациональным отрицательным показателем.

Например:

Для построения графика данной функции можно составить таблицу. Мы поступим иначе: сначала построим и изучим график знаменателя — он нам известен (рисунок 3).

Рис. 3. График функции

График функции знаменателя проходит через фиксированную точку (1;1). При построении графика исходной функции данная точка остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 4).

Рис. 4. График функции

Рассмотрим еще одну функцию из семейства изучаемых функций.

Важно, что по определению

Рассмотрим график функции, стоящей в знаменателе: , график данной функции нам известен, она возрастает на своей области определения и проходит через точку (1;1) (рисунок 5).

Рис. 5. График функции

При построении графика исходной функции точка (1;1) остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 6).

Рис. 6. График функции

Рассмотренные примеры помогают понять, каким образом проходит график и каковы свойства изучаемой функции — функции с отрицательным рациональным показателем.

Графики функций данного семейства проходят через точку (1;1), функция убывает на всей области определения.

Область определения функции:

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Функция непрерывна, принимает все положительные значения от нуля до плюс бесконечности.

Функция выпукла вниз (рисунок 15.7)

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз. Рис. 7.

Рис. 7. Выпуклость функции

Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют. 3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ?

cos(x)=( квадратный корень из 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень из 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень из 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени из x 13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

Содержание

Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N) с примерами решения

Содержание:

Зависимость, при которой каждому неотрицательному числу ставится в соответствие значение корня заданной четной степени, задает функцию

Действительно, по свойствам арифметического корня существует единственный арифметический корень четной степени из неотрицательного числа, значит, каждому неотрицательному

При  функция принимает вид  свойства которой рассматривались в 8-м классе.

Для любого действительного числа существует единственный корень нечетной степени (по свойствам корня нечетной степени).

Рассмотрим свойства функции  для четных и нечетных показателей корня.

Функция y=2kx, где K∈N

Функция 

1. Область определения функции. По свойству арифметического корня 

2. Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. По определению арифметического корня из числа:  и  По свойству степени с натуральным показателем для любого  существует значение  т. е. множеством значений функции  является множество неотрицательных чисел: 

При  функция принимает наименьшее значение  Наибольшего значения у функции не существует.

3. Нули функции. Так как  при  то значение  является единственным нулем функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции,  при всех 

5. Промежутки монотонности функции. Функция возрастает на всей области определения.

Действительно, если  В противном случае 

или  Противоречие доказывает утверждение.

6.Четность (нечетность) функции. Так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то функция не является четной и не является нечетной.

7. График функции. Графики функций  при  изображены на рисунке 120.

Функция y=2k+1x, где K∈N

Функция   

1. Область определения функции. По свойству корня нечетной степени   

2. Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. По определению корня  По свойству степени с натуральным показателем для любого  существует  Таким образом, множеством значений функции  является множество всех действительных чисел: 

Наибольшего и наименьшего значений у функции  не существует.  

3. Нули функции. Так как  при  то значение  является единственным нулем функции.  

4. Промежутки знакопостоянства функции,  если если   

5. Промежутки монотонности функции. Функция возрастает на всей области определения.

Если  В противном случае  или   Противоречие доказывает утверждение.  

6. Четность (нечетность) функции. Так как область определения функции  симметрична относительно начала координат и  то функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

7. График функции. Графики функций  при  изображены на рисунке 121.  

Примеры заданий и их решения
Пример №1

Найдите область определения функции:

Решение:

а) Так как область определения корня четной степени есть множество неотрицательных чисел, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решим неравенство  получим 

б) Так как область определения корня нечетной степени есть множество всех действительных чисел, то подкоренное выражение может принимать любые значения при 

Пример №2

Найдите множество значений функции:

Решение:

а) Множеством значений функции  является промежуток  По свойству неравенств:  значит, 

б)Множеством значений функции  является множество всех действительных чисел    Значит, и множеством значений функции  является множество всех действительных чисел, т. е. 

Пример №3

Определите наименьшее значение функции 

Решение:

Так как функция  для четных  имеет наименьшее значение, равное нулю, при  Следовательно, наименьшее значение данной функции равно 7 и достигается при 

Пример №4

Найдите нули функции:

Решение:

а) Так как значение корня  степени равно нулю, если его подкоренное выражение равно нулю, то решим уравнение  Его корни  являются нулями функции 

б) Так как значение корня  степени равно нулю, если его подкоренное выражение равно нулю, то решим уравнение  Его корни  являются нулями функции 

  • Заказать решение задач по высшей математике
Пример №5

Какие значения принимает функция на указанных промежутках:

Решение:

а) Так как  для  то принимает положительные значения для 

б)Так как  то функция  не определена для отрицательных значений  из промежутка 

в)Так как  то функция  принимает неотрицательные значения для 

г)Так как  то функция  принимает неотрицательные значения для 

Пример №6

Расположите числа  в порядке возрастания.

Решение:

Запишем числа  в виде корней с одинаковыми показателями:

Поскольку функция  возрастает на промежутке  то  значит, 

Пример №7

Какой (четной или нечетной) является функция:

Решение:

а) Функция  является нечетной, так как  при нечетном  есть нечетная функция.

б) Функция  ни четная, ни нечетная, так как  при четном  не является четной и не является нечетной функцией.

в)    Так как область определения функции  есть множество всех действительных чисел и  то функция четная.

г)    Так как область определения функции  есть множество всех действительных чисел и  то функция четная.

Пример №8

Постройте график функции:

Решение:

а) График функции  получается из графика функции  сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (рис. 122).

б)    График функции  получается из графика функции сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (см. рис. 122).  

Пример №9

Постройте график функции:

Решение:

а) График функции  получается из графика функции  сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ( рис. 123) 

б) График функции  получается из графика функции  сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (см. рис. 123)

График функции е в степени 1 х. Функции и их графики

«Натуральный логарифм» — 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» — У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» — 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

«Квадратичная функция и её график» — Решение. у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» — 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат — значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные — при 0 наименьшее значение функция у = х 2 — 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:


Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:


Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция

y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х

(рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x)

.

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т.

е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции.

Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

График функции 2 в степени модуль х. График функции

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. 3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Экспоненциальный рост и спад

PDF

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ И ЗАПАД


Обзор устройства
В этом разделе мы рассмотрим различные приложения, моделируемые экспоненциальными функциями. Экспоненциальные функции моделируют многие научные явления. Некоторые приложения экспоненциальных функций включают рост населения, сложные проценты и радиоактивный распад. Радиоактивный распад используется для датирования древних предметов, найденных на археологических раскопках.

Экспоненциальные функции

Рассмотрим каждую из следующих функций.

у = х 2

 

у = 2 х

Это квадратичная функция, поскольку основание является переменной, а показатель степени фиксирован.   Это экспоненциальная функция, поскольку основание фиксировано, а показатель степени является переменной.

Показательная функция — это функция, имеющая общий вид y = ab x , a ≠ 0, b — положительное действительное число, а b ≠ 1. В экспоненциальной функции 909 основание b — константа. Показатель степени x — это независимая переменная, где областью определения является набор действительных чисел.

Существует два типа экспоненциальных функций: экспоненциальный рост и экспоненциальный спад .
В функции f ( x ) = b x когда b > 1, функция представляет экспоненциальный рост.
В функции f ( x ) = b x , когда 0 < b < 1 функция представляет собой экспоненциальный спад.

Например, :
Пример № 2

а.) F ( x ) = 5 x будет представлять экспонентальный рост, потому что B > .
b. f ( x ) = 0,83 x будет представлять экспоненциальное затухание, поскольку 0 < b 9), оцените 4 x для x = 0,5.

                     Замените данное значение на x и оцените.

4 x = 4 0,5 = 2

5 x = 5 4 = 625
Выражение 100 ⋅ 2 n называется экспоненциальным выражением , потому что показатель степени n является переменной, а основание 2 является фиксированным числом. Основание экспоненциального выражения обычно называют множителем .
Пример №3 :  Вычислить 10(2) x вместо x = 3.

                             Замените данное значение на x и оцените.

10(2) x = 10(2) 3 = 10(8) = 80 *Напоминаем, что показатели степени имеют приоритет перед умножением.

Пример #4 :  Вычислить 8(3) x − 1 вместо x = 5.

                      Замените данное значение на x и оцените.

8(3) x − 1  = 8(3) 5 − 1 = 8(3) 4 = 8(81) = 0 648

 
Экспоненциальные функции (03:50) 

Стоп!

  Перейдите к вопросам 1–5 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.

Графики экспоненциальных функций

Как и в случае с другими функциями, для построения графика экспоненциальной функции можно использовать упорядоченные пары. В этом разделе мы рассмотрим графики, демонстрирующие экспоненциальный рост и экспоненциальное затухание.

График экспоненциальной функции с помощью b > 1


В первом примере будет показан график экспоненциального роста , поскольку основание больше 1.  ( b = 2)
Пример №1 : График y = 2 x .

Шаг 1 : Составьте таблицу значений. Выберите значения x и подставьте значения в функцию и вычислите y .


Шаг 2 . Нарисуйте упорядоченные пары и соедините точки плавной кривой.



*Обратите внимание, что график сначала растет медленно, но затем растет экспоненциально по мере увеличения значений x .

Графики показательных функций, показывающие рост , имеют следующие характеристики:
  • Графики функций вида y = b x , где b > 1 имеют ту же форму, что и график, показанный выше.
  • Этот график всегда увеличивается. График растет все быстрее и быстрее по мере увеличения размера x . Обратите внимание, что значение функции всегда положительно во всей области определения. Следовательно, диапазон — это все положительные числа.
  • Когда значения и приближаются к оси x как x соответствует меньшим отрицательным числам, график не будет пересекать ось x . Поэтому перехвата x не существует.
  • Точка пересечения y равна 1.  (Помните, что точка пересечения y является значением y-, когда x = 0. )

 
Экспоненциальный рост — деление клеток (02:33)

График экспоненциальной функции с b < 1


В следующем примере показан график экспоненциального убывания , поскольку основанием является число от 0 до 1.  ( b = 1/2)
Пример № 2 : График .

Шаг 1 : Составьте таблицу значений. Выберите x значений и подставьте значения в функцию и вычислите и .


Шаг 2 . Нарисуйте упорядоченные пары и соедините точки плавной кривой.



Графики экспоненциальных функций, показывающие рост , имеют следующие характеристики:
  • Графики функций вида y = b x , где 0 < b < 1, имеют ту же форму, что и график, показанный выше.
  • Этот график всегда убывающий. График падает по мере увеличения размера x . Обратите внимание, что значение функции всегда положительно во всей области определения. Следовательно, диапазон — это все положительные числа.
  • Когда 9Значения 0939 и все ближе и ближе к оси x , поскольку x равны большим числам, график не будет пересекать ось x . Поэтому перехвата x не существует.
  • Точка пересечения y равна 1.  (Помните, что точка пересечения y является значением y-, когда x = 0.)

График экспоненциальной функции с у = аб х


Множитель a в y = ab x может растянуть или сжать граф родительского графа y = b x . Если a < 0, график будет отражаться по оси x .

Графики y = 2 x (синего цвета) и y = 3(2) х (красным цветом) показаны ниже. Каждый и -значение y = 3(2) x в 3 раза превышает соответствующее y значение родительской функции y = 2 x .


График родительской функции y = 2 x растянут в 3 раза. Обратите внимание на y — точка пересечения y = 3(2) x равно 3. Домен функции — действительные числа, а диапазон — все положительные числа.
Пример №3 : Сравните характеристики графиков заданных функций.

Графики (красный) и (синий) показаны ниже.


В графе  сжимает граф родительского графа в . г — перехват. Весь диапазон состоит из положительных чисел, поэтому y > 0. 

На графике  отражает график родительского графика по оси x и сжимает его в   раз. Перехват и равен . Диапазон состоит из отрицательных чисел, поэтому y < 0,

Теперь давайте рассмотрим характеристики экспоненциальных графиков.

Что такое домен у = 4 х ?

Настоящие числа.

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

*Домен ВСЕХ экспоненциальных функций — действительные числа.

Каков диапазон y = 3 x ?

Диапазон равен г > 0.

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Что такое y — точка пересечения y = 2 x ?

y -перехват равен 1.

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Что такое y -пересечение y = ?

Точка пересечения и равна 1/3.

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Каков диапазон y = ?

Диапазон и

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.


*Диапазон состоит из отрицательных чисел, поскольку отрицательный знак заставлял график отражаться по оси x .

Стоп!

  Перейдите к вопросам № 6–13 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.

Применение экспоненциального роста и затухания

Для решения задач экспоненциального роста и затухания применяйте правила, приведенные в таблице.


Пример №1 : Найдите множитель для скорости экспоненциального роста, равной 4%.

                     Поскольку это представляет собой экспоненциальный рост, добавьте 100% + 4%  = 104%.

                      Выразите процент в виде десятичной дроби. 104% = 1,04

                      Множитель равен 1,04

Пример 2. Найдите множитель для скорости экспоненциального затухания, 9,3%.

                     Поскольку это представляет собой экспоненциальное затухание, вычтите 100% – 9,3% = 90,7%.


Когда количество увеличивается на фиксированный процент через равные промежутки времени, закономерность может быть представлена ​​следующей функцией.


Теперь давайте посмотрим, как эти правила применяются к некоторым обычным приложениям роста и распада в реальном мире.
Пример № 3 : Предположим, что вы вложили 1000 долларов США в акции компании в конце текущего года, и прогнозировалось, что стоимость акций будет увеличиваться примерно на 15% в год. Предскажите стоимость акций с точностью до цента через пять лет, а затем через десять лет.

В конце 5-го года:

Шаг № 1 : Рассчитайте множитель.

100% + 15% = 115% или 1,15 используется для множителя.

Шаг № 2
: Используйте предоставленную информацию и y = ab n , чтобы рассчитать прогнозируемую стоимость акции.
Начальное число ( a ) равно 1000, множитель ( b ) равен 1,15, а время ( n ) равно 5 лет.
y = ab n

y = (1000)(1,15) 5 = 2011,36 долл.


Следовательно, стоимость акций прогнозируется на уровне $2011,36 через пять лет.

В конце 10-го года:
Множитель (1,15) был рассчитан в предыдущей задаче.

Начальное число 1000, множитель 1,15, время 10 лет.

y = ab n

y = (1,000)(1.15) 10 = $4,045.56


Таким образом, стоимость акций прогнозируется на уровне 4045,56 долларов через десять лет.

 
Deriving the Equation for Annual Compound Interest (02:19)

 
Using a Graphing Calculator to Calculate Annual Compound Interest (02:38)
Example #4 :  Suppose that вы покупаете автомобиль за 15 000 долларов, и его стоимость уменьшается примерно на 8% в год. Предскажите стоимость автомобиля с точностью до цента через 4 года, а затем через 7 лет.

Значение через 4 года:

Шаг № 1 : Рассчитайте множитель.

100% – 8% = 92% или 0,92 используется для множителя.


Шаг № 2 :  Используйте предоставленную информацию и y = ab n для расчета прогнозируемой стоимости акции.
Стартовое число ( a ) равно 15 000, множитель ( b ) равно 0,92, а время ( n ) равно 4 лет.
y = ab n

y = (15,000)(0.92) 4 = $10,745.89


Таким образом, автомобиль будет стоить $10 745,89 после 4 лет.

Значение через 7 лет:
Множитель (0,92) был рассчитан в предыдущей задаче.

Начальное число 15 000, множитель 0,92, время 7 лет.

111

9

9

9

911111919.

y = AB N

y = (15 000) (0,92) 7 = $ 8677.7.7.70

9199

919

0909.70919

1

Следовательно, машина будет стоить $8 367,70 после 7 лет.

Удвоение и утроение


В следующем примере демонстрируется экспоненциальный рост, когда исходная сумма неоднократно умножается на положительное число, называемое коэффициентом роста.

Коэффициент роста определяется путем добавления 100% и скорости роста.

Если сумма удваивается, это означает, что 100% прибавляются к 100%, поэтому множитель становится равным 200% или 2.

Если сумма утроена, то множитель будет 300% или 3.

Пример #5 : Тридцать кроликов помещают в укромное место, где нет хищников. Предположим, что популяция кроликов удваивается каждые шесть месяцев. Сколько кроликов будет на участке через три (3) года?
а.) Поскольку население удваивается дважды в год, через 3 года оно удвоится в 6 раз. Есть 6 периодов времени (3 года = 6 полугодий). ( n = 6)

b.) Есть 30 оригинальных кроликов. ( a = 30)

c.) Кролики удваиваются каждые 6 месяцев. The multiplier for doubling is 2.  ( b = 200% = 2)

y = ab n

y = 30 × 2 6 = 1920


Через 3 года будет 1920 кроликов.

Если популяция кроликов утроится по каждые 6 месяцев, сколько будет в этом районе через три года?

21 870 [ y = 30(3) 6 ]

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Сложные проценты


Сложный процент моделируется экспоненциальной функцией.



A = общая сумма инвестиции

P

= основная сумма

r

= годовая процентная ставка

n = количество начислений процентов в год

t = время в годах


Пример № 6 : Найдите окончательную сумму инвестиции в размере 500 долларов США через 8 лет под 7% годовых, ежеквартально, ежемесячно и ежедневно и сравните результаты.
Основной    P = 500           Ставка    r = 7% = 0,07              Время    t = 8   

Начисляется ежегодно (Сумма начисляется один раз в год, n = 1).


Начисление ежеквартально (Сумма начисляется каждые 3 месяца в году, то есть 4 раза в год; таким образом, n = 4).

Ежемесячно начисляется (Сумма начисляется ежемесячно в течение года, то есть 12 раз в году; таким образом, n = 12).

Начисление ежедневно (Сумма начисляется ежедневно в течение года, то есть 365 раз в году; таким образом, n = 365).


Суммируя результаты в таблице, мы можем провести быстрое сравнение сумм.



Какой тип начисления наиболее выгоден?

Компаундирование ежедневно

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

 
Деньги в банке: сложные проценты (06:18)

Стоп!

  Перейдите к вопросам № 14–30 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.

6.5 Экспоненциальные функции | Функции

6.

5 Экспоненциальные функции (EMA4V) 9{Икс}\).

9{х}\)

\(-\текст{2}\)

\(-\текст{1}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{1}\)

9{х}\)

9{х}\)

  1. В какой точке эти графики пересекаются?

  2. Объясните, почему они не обрезают ось \(х\).

  3. Укажите домен и диапазон \(h(x)\).

  4. При увеличении \(x\) увеличивается или уменьшается \(h(x)\)?

  5. Какой из этих графиков увеличивается медленнее всего? 9{x}\) и \(k>1\), тем больше значение \(k\), тем круче кривая графика. Правда или ЛОЖЬ?

Заполните следующую таблицу для каждой функции и начертите графики та же система координат: \(F(x)={\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{x}\), \(G(x)={\left(\dfrac{1}{3}\right)}^{x}\), \(H(x)={\left(\dfrac{1}{5}\right)}^{x}\)

9{х}\)

\(-\текст{2}\)

\(-\текст{1}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{1}\)

9{х}\)

9{х}\)

  1. Укажите точку пересечения \(y\) для каждой функции.

  2. Опишите связь между графиками \(f(x)\) и \(F(x)\).

  3. Опишите связь между графиками \(g(x)\) и \(G(x)\).

  4. Укажите домен и диапазон \(H(x)\).

    9{x}\) и \(k>1\), больше значение \(k\), тем круче кривая график. Правда или ложь?

  5. Приведите уравнение асимптоты для функций.

Подставьте значения в уравнения

\(-\текст{2}\)

\(-\текст{1}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{1}\) 9{х}\)

\(\ гидроразрыва{1}{4}\)

\(\ гидроразрыва{1}{2}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{2}\)

9{х}\)

\(\ гидроразрыва{1}{9}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{3}\)

9{х}\)

\(\ гидроразрыва{1}{25}\)

\(\frac{1}{5}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{5}\)

\(\текст{25}\)

9{х}\)

9{х}\)

9{х}\)

\(-\текст{2}\)

\(-\текст{1}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{2}\)

\(\текст{4}\)

\(\текст{2}\)

\(\текст{1}\)

\(\ гидроразрыва{1}{2}\)

\(\текст{9}\)

\(\текст{3}\)

\(\текст{1}\)

\(\ гидроразрыва{1}{3}\)

\(\текст{25}\)

\(\текст{5}\)

\(\текст{1}\)

\(\ гидроразрыва{1}{5}\)

\(\ гидроразрыва{1}{25}\)

Нанесите точки и соедините их плавной кривой

  1. Заметим, что все графики проходят через точку \((0;1)\). Любое число с показателем степени \(\text{0}\) равно \(\текст 1}\).

  2. Графики не пересекают ось \(x\), потому что вы никогда не сможете получить \(\text{0}\), возведя любое ненулевое число в степень любого другого числа.

  3. Домен: \(\left\{x:x\in \mathbb{R}\right\}\)

    Диапазон: \(\left\{y:y\in \mathbb{R}, y>0\right\}\)

  4. По мере увеличения \(x\) увеличивается \(h(x)\). 9{0}=1 \qquad z \ne 0\).

  5. \(F(x)\) есть отражение \(f(x)\) относительно оси \(y\).

  6. \(G(x)\) есть отражение \(g(x)\) относительно оси \(y\).

  7. Домен: \(\left\{x:x\in \mathbb{R}\right\}\)

    Диапазон: \(\left\{y:y\in \mathbb{R}, y>0\right\}\)

    9{x}+q\) (EMA4X)

    CAPS заявляет, что исследует только влияние \(a\) и \(q\) на экспоненциальную график. Однако учащимся также важно видеть, что \(b\) имеет различное влияние на график в зависимости от того, \(b > 1\) или \(0

    По этой причине эффект \(b\) включен в исследование, так что учащиеся можно увидеть, что происходит, когда \(b > 1\) и когда \(0

    Также обратите внимание, что приведенный выше рабочий пример дополнительно усиливает влияние \(b\) на экспоненциальный график.

    Эффекты \(a\), \(q\) и \(b\) на экспоненциальном графике.

    На том же наборе осей постройте следующие графики (\(a=1\), \(q=0\) и \(b\) изменения):

    9{х}\)

9{х}\)

\(-\текст{2}\)

\(-\текст{1}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{1}\)

9{х}\)

9{х}\)

9{х}\)

Используйте свои результаты, чтобы вывести эффект \(b\). 9{х}+2\)

9{х}-2\)

\(-\текст{2}\)

\(-\текст{1}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{1}\)

9{х}-1\)

9{х}\)

9{х}+1\)

9{х}+2\)

Используйте полученные результаты, чтобы определить эффект \(q\). 9{х}\)

9{х}\)

\(-\текст{2}\)

\(-\текст{1}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{1}\)

9{х}\)

9{х}\)

9{х}\)

Используйте свои результаты, чтобы вывести эффект \(a\).

Эффект \(q\)

Эффект \(q\) называется вертикальным сдвигом, потому что все точки перемещаются на одинаковое расстояние в том же направлении (скользит весь график вверх или вниз).

  • Для \(q>0\) график смещается вертикально вверх на \(q\) единиц.

  • Для \(q<0\) график смещается вертикально вниз на \(q\) единиц.

Горизонтальная асимптота смещена на \(q\) единиц и представляет собой прямую \(y=q\).

Эффект \(а\)

Знак \(a\) определяет, изгибается ли график вверх или вниз.

Для \(0

  • Для \(a>0\) график изгибается вниз. Он отражает график о горизонтальная асимптота.

  • Для \(a<0\) график изгибается вверх.

Для \(b > 1\):

  • Для \(a>0\) график изгибается вверх.

  • Для \(a<0\) график изгибается вниз. Он отражает график о горизонтальная асимптота.

\(б>1\)

\(а<0\)

\(а>0\)

\(д>0\)

\(д<0\)

Влияние \(a\) и \(q\) на экспоненциальный график, когда \(b > 1\).

9{x}+1& > 1 \конец{выравнивание*}

Следовательно, диапазон равен \(\left\{g(x):g(x)>1\right\}\). {0}+q \\ & = а(1)+q \\ & = а + д \конец{выравнивание*} 9{x}+q\), нам нужно определить четыре характеристики:

  1. знак \(а\)

  2. \(y\)-перехват

  3. \(х\)-перехват

  4. асимптота

В следующем видеоролике показаны некоторые примеры создания эскизов экспоненциальных функций.

Видео: 2FYW

Рабочий пример 14: набросок экспоненциальной функции

Нарисуйте график \(g(x)=3\times {2}^{x}+2\). {0}+2 \\ & = 3+2 \\ & = 5 \конец{выравнивание*} 9{х}& = -\фракция{2}{3} \конец{выравнивание*}

Реального решения нет, следовательно, нет \(x\)-перехвата.

Определите асимптоту

Горизонтальной асимптотой является прямая \(y=2\).

Нанесите точки и нарисуйте график

Домен: \(\left\{x:x\in \mathbb{R}\right\}\)

Диапазон: \(\left\{g(x):g (х)>2\вправо\}\) 9{х}+6\)

Изучите стандартную форму уравнения

Из уравнения видно, что \(a<0\), следовательно, кривые графика вниз. \(q>0\), поэтому график сдвинут вертикально вверх на \(\text{6}\) единиц. {0}+6 \\ & = 4 \конец{выравнивание*} 9{Икс} \\ \поэтому х& = 1 \конец{выравнивание*}

Это дает точку \((1;0)\).

Определите асимптоту

Горизонтальной асимптотой является прямая \(y=6\).

Нанесите точки и нарисуйте график

Домен: \(\left\{x:x\in \mathbb{R}\right\}\)

Диапазон: \(\left\{g(x):g (х)<6\вправо\}\)

Учебник Упражнение 6.5

Вычислить точку пересечения \(y\). Ваш ответ должен быть исправить до 2 знаков после запятой. {(0)} + \текст 1} \\ & = \left( -\frac{2}{3} \right). (\текст{1}) + \текст 1} \\ & = (-\текст{0,66666…}) + \текст{1} \\ & = \текст{0,33} \конец{выравнивание*}

\(y\)-отрезок равен \((0;\text{0,33})\).

Теперь вычислите точку пересечения \(x\). Оцените свой ответ до одного десятичного знака, если необходимо.

Вычислим точку пересечения \(x\), полагая \(y = 0\). Затем находим \(x\):

\начать{выравнивать*} 0 & = \left(-\frac{2}{3} \right). {x} \конец{выравнивание*} 91 & = \текст{3} \конец{выравнивание*}

Мы видим, что показатель степени должен быть между 0 и 1. Затем мы пробуем значения, начинающиеся с \(\text{0,1}\) и посмотреть, каково значение показателя степени. Делает это мы находим, что \(x = \text{0,4}\). 9{х} + q\). дается одно очко на кривой: Точка А находится в \((-3;\text{3875})\). Определить значения \(а\) и \(q\), исправить до ближайшего целого числа. {x} + q\). дается одно очко на кривой: 9{\ влево (-3 \ вправо)} \\ -\текст{0,125} & = а (\текст{0,125}) \\ -1 & = а \конец{выравнивание*}

Следовательно \(a = -1 \text{ и } q = 5\).

Вычислить точку пересечения \(y\). Ваш ответ должен быть исправить до 2 знаков после запятой. 9{(0)} -\текст 1} \\ & = \left( \frac{1}{4} \right) \cdot (1) — 1 \\ & = (\текст{0,25}) — 1 \\ & = -\текст{0,75} \конец{выравнивание*}

Следовательно, \(y\)-перехват \((0;-\text{0,75})\). {х} \\ х &= 1 \конец{выравнивание*} 9{x}\):

\(a\) положительно и меньше 1, поэтому график изгибается вниз. \(y\)-перехват \((0;1)\). Нет \(x\)-перехвата. асимптотой является прямая \(x = 0\).

График:

Является ли ось \(х\) асимптотой или осью симметрии на оба графика? Поясните свой ответ. 9{x}\) графически и проверьте правильность своего ответа с помощью замена. 0 = 1 \конец{выравнивание*} 9{х}-3\)

РЕШЕНИЕ: Графики экспоненциальных функций y=4 x 2 в степени x, помощь с домашним заданием по алгебре

1. Предполагается, что ниже представлена ​​таблица распределения вероятностей. Какое пропущенное значение? XP(X)30.450.59?2. Найдите ожидаемое значение X, используя приведенную ниже таблицу. XP(X)00.410.3─10.33. Если стандартное отклонение случайной величины равно 5, какова ее дисперсия?4. Любое нормальное распределение является непрерывным дискретным5. некоторые из них дискретны, некоторые имеют непрерывное биномиальное распределение6. является распределением Пуассона5. Пусть X — биномиальная случайная величина с числом испытаний 100 и математическим ожиданием 20. Какова вероятность успеха X?6. В банке 17 синих, 5 зеленых и 3 красных шара. Случайным образом выбираем шарик и возвращаем его обратно в банку. Повторяем 8 раз. Чтобы найти вероятность того, что каждый раз, когда мы получаем зеленый шар, нам нужно использовать следующее распределение: биномиальное с числом попыток 8 и вероятностью успеха 0,2 биномиальное с числом попыток 25 и вероятностью успеха 0,5 биномиальное с числом попыток 5 и вероятность успеха 0,2 биномиальная с числом испытаний 8 и вероятностью успеха 0,8 биномиальная с числом испытаний 8 и вероятностью успеха 1/3 Распределение Пуассона со средним 5 Распределение Пуассона со средним 8 биномиальное с числом испытаний 25 и вероятностью успеха 0,27. Среднее количество домов с 3 и более спальнями, продаваемых Acme Reality, составляет 14 домов в неделю. Чтобы найти вероятность того, что ровно 3 таких дома будут проданы завтра, нам нужно использовать следующее распределение: Распределение Пуассона со средним 2 Распределение Пуассона со средним 14 Распределение Пуассона со средним 7 с числом испытаний 2 и вероятностью успеха 2/7 Биномиальное с числом испытаний 7 и вероятностью успеха 1/7Стандартное нормальное распределение8. Случайная величина X принимает значения 1,2,3,…,8,9, и 10, каждое с одинаковой вероятностью, а именно с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что X получит не менее 3,9. Случайная величина X принимает значения 1,2,3,…,8,9,10, каждое с одинаковой вероятностью, а именно с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что X получит не более 4,10. Карта вытягивается с заменой из обычной колоды карт 16 раз. Пусть случайная величина X представляет собой количество треф среди выбранных 16 карт (в каждой колоде 13 треф; в колоде 52 карты). Найдите дисперсию X,11. Срок службы инструмента, изготовленного машиной, имеет нормальное распределение со средним значением 12 месяцев и стандартным отклонением 2 месяца. Найдите вероятность того, что инструмент, изготовленный на этом станке, прослужит менее 7 месяцев. Округлите до тысячных.12. Срок службы инструмента, изготовленного машиной, имеет нормальное распределение со средним значением 12 месяцев и стандартным отклонением 2 месяца. Найдите вероятность того, что инструмент, изготовленный этой машиной, прослужит от 7 до 12 месяцев. Округлить до тысячных.13. Срок службы инструмента, изготовленного машиной, имеет нормальное распределение со средним значением 12 месяцев и стандартным отклонением 2 месяца. Найдите длину инструмента, который отделяет дно 83,398% хватит? Округлить до сотых.14. Срок службы инструмента, изготовленного машиной, имеет нормальное распределение со средним значением 12 месяцев и стандартным отклонением 2 месяца. Какова вероятность того, что среднее количество месяцев, в течение которых прослужат эти 100 инструментов, больше 12,2 месяцев? Округлить до тысячных.15. Игральную кость бросают 360 раз. Если вы хотите использовать нормальное приближение, чтобы найти вероятность того, что число 4 выпало не менее 100 раз, какое среднее значение нормального распределения вы бы использовали в этом случае. 16. Игральную кость бросают 180 раз. Если вы хотите использовать нормальное приближение, чтобы найти вероятность того, что число 4 выпало не менее 20 раз, какое стандартное отклонение нормального распределения вы бы использовали в этом случае17. Игральную кость бросают 360 раз. Допустим, вы хотите использовать нормальное приближение, чтобы найти вероятность того, что число 4 выпало менее 100 раз. Вам нужно найти вероятность того, что X<100. Объясните, как бы вы использовали поправку на непрерывность в этом случае.18. Игральную кость бросают 360 раз. Допустим, вы хотите использовать нормальное приближение, чтобы найти вероятность того, что число 4 выпало ровно 100 раз. Вам нужно найти вероятность того, что X=100. Объясните, как бы вы использовали поправку на непрерывность в этом случае.19. Как называется теорема, утверждающая, что выборочное распределение выборочного среднего приблизительно нормально, когда выборка большая?20. Определите, имеют ли следующие случайные величины биномиальное распределение: А) Из ​​класса статистики (с заменой) из 400 учеников выбираются десять учеников. Пусть X будет числом учеников, сдавших класс. Б) Жребий бросают три раза. Пусть X будет суммой трех полученных чисел. C) Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет решка. Пусть X — число бросков. Только А — биномиальное распределение, только В — биномиальное распределение, только С — биномиальное распределение, только А и В — биномиальное распределение, только А и С — биномиальное распределение, только В и С — биномиальное распределение, все А, В и C являются биномиальными распределениями, ни одно из них не является биномиальным

Functions Exponential Functions


The exponential functions we’ll deal with here are functions of the form

y = ab (linear function of x ) + c

where a и c — действительные числа, а b больше 1. На самом деле это просто означает, что у нас есть число больше 1, возводимое до x . Числа меньше 1, вы можете сесть на следующий поезд до Outtahereville.

Простейший вид экспоненциальной функции будет примерно таким:

y = 2 x

, such as:

y = 2 (0. 5 x + 1)

We could multiply by something:

y = 4(2) (0.5 x + 1)

Мы также можем добавить константу: 

y = 4(2) (0,5 x + 1) + 11

Все это экспоненциальные функции. Некоторые уродливее других, но, к счастью для них, мы находим красоту внутри.

Как это отразится на графиках?

Пример задачи

Постройте график функции y = 2 x .

Если мы подставим x = 0, мы получим y = 2 0 = 1, так что мы получим точку (0, 1), которая заботится о и -перехват.

Эта функция не будет иметь пересечений x , так как никакое значение x не будет удовлетворять уравнению 2 x = 0.

Тьфу, так трудно угодить.

Для общей формы графика найдем еще несколько точек и посмотрим, что получится.

Итак, если x идет вправо, y становится больше (и делает это быстро). Что происходит, когда x идет влево?

Хм. Поскольку x уходит влево, значения y становятся очень маленькими. Может быть, они просто украли термоусадочный луч из сверхсекретной правительственной лаборатории. Они никогда не достигнут нуля, поэтому эта функция не имеет перехватов x , но они очень и очень близки. Настолько близко, что когда мы попытаемся нарисовать график, будет казаться, что функция касается оси x . Это как когда твой младший брат подносил руку очень близко к твоему лицу, фактически не касаясь твоей кожи, и дразнил тебя, крича: «Я тебя не трогаю!»

Теперь соединим точки красивой изогнутой формой:

На этом рисунке показан общий вид экспоненциальной функции. Все экспоненциальные функции будут выглядеть так. Их можно перевернуть вверх дном или сдвинуть, но все они будут иметь примерно одинаковую кривую. Любая экспоненциальная функция также будет иметь асимптоту — значение, к которому функция очень близко подходит, но никогда не достигает его. В нашем предыдущем примере с вашим младшим братом ваше лицо было бы асимптотой.

Асимптота функции y = 2 x есть прямая y = 0. На графике можно изобразить асимптоту штриховой линией:

функция никогда не достигает этого значения. Это также указывает на то, что транспортным средствам разрешено свободно проезжать через него, если они сначала пройдут проверку.

Пример задачи

Постройте график функции y = 2 (0,5 x + 1) .

Эта функция по-прежнему не будет иметь перехватов x , поскольку 2 (0,5 x + 1) не равно 0 ни для каких значений x . Вместо 1, когда x = 0, эта функция будет равна 1, когда x = -2, с тех пор мы получим:

2 (0,5(-2) + 1) = 2 0 = 1

Продолжаем искать точки.

Этот график очень похож на предыдущий. Сильно разлучены при рождении?

Пример задачи

Постройте график функции y = 2 x .

Найдем несколько точек:

Кажется, мы перевернули график. Далее мы попытаемся изменить ритм.

Поскольку x становится больше, y теперь становится меньше. По мере того, как x становится меньше и уходит со страницы влево, y становится больше. График выглядит так:

A fancy way to say this is that the function y = 2 x is what we get when we reflect y = 2 x across the y — ось.

Пример задачи

Постройте график функции y = -3(2) x .

Что теперь будет? Давайте подумаем об этом, прежде чем найдем точки. Может быть, мы можем вытащить Нострадамуса и предсказать этого лоха.

Во-первых, все значения функции y- будут отрицательными, так как получить 0 все равно невозможно. так что -3(2) x тоже будет далеко от 0. Ничего страшного, еще могут написать или отправить открытку.Если мы найдем пару точек, то увидим именно это:

Как насчет отрицательного значения x ? В этом случае 2 x будет «близко» к 0, поэтому -3(2) x тоже будет близко к 0. Это не удивительно. Ведь они росли вместе.

Если мы найдем некоторые точки с отрицательными значениями x , мы увидим, что по мере того, как x становится меньше (более отрицательным), y становится ближе к 0:

далеко и соединив точки кривой, мы находим ту же общую форму, что и график y = 2 x , только в перевернутом виде:

Давайте рассмотрим некоторые вещи, которые мы уже поняли из примеров. В общем, добавление константы в конец функции перемещает график этой функции вверх или вниз. Будем надеяться, что в функцию не проберется ни один непослушный ребенок, иначе он нажмет все кнопки, и график остановится на каждом этаже.

График y = 3 x + 5 будет на 5 выше, чем график y = 3 x , а график y = 3 x – 5 будет на 5 ниже, чем график y = 3 x .

Асимптота показательной функции задается постоянным членом. Как видно из графика, асимптота y = 3 x + 5 равна y = 5, а асимптота y = 3 x = -5.

Такая функция, как y = 3 x , на графике образует красивую кривую:

И если вместо того, чтобы поменять знак у экспоненты, мы умножим всю функцию на -1, график перевернется вверх дном, как будто он невероятно испуган:

Один большой вопрос в этот момент: «А какое мне дело? Калькулятор может нарисовать это для меня. Я кланяюсь и поклоняюсь электронному мини-богу». Ну да ладно, но иногда, особенно на экзамене, можно сэкономить драгоценное время, чтобы посмотреть на график вроде:

. ..и распознать его как экспоненциальный график с отрицательным показателем степени. Поскольку это сэкономит вам время, а время — деньги, способность распознавать экспоненциальный график приносит вам деньги. Или что-то вроде того.

Экспоненциальные функции и их графики

4.1 — Экспоненциальные функции и их графики

Экспоненциальные функции

До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями. Алгебраические функции — это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем Рациональное число. Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены в виде рациональных чисел или корней рациональных чисел. числа.

Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную. Трансцендентальные функции часто могут решить вручную с помощью калькулятора необходимо, если вы хотите десятичной аппроксимации. Однако когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение.

Простейшая экспоненциальная функция: f(x) = a x , a>0, а≠1

Причины ограничений просты. Если a≤0, то при возведении в рациональную степень вы не можете получить реальный номер. Пример: Если a=-2, то (-2) 0,5 = sqrt(-2), что не реально. Если а=1, то независимо от того, что такое x, значение f(x) равно 1. Это довольно скучная функция, и она определенно не один в один.

Вспомните, что у функций «один к одному» есть несколько свойств, которые делают их желательными. У них есть обратные, которые также являются функциями. Их можно применять к обеим частям уравнения.

Графики экспоненциальных функций

График y=2 x показан справа. Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1.

  • График проходит через точку (0,1)
  • Домен состоит из всех действительных чисел
  • Диапазон: y>0.
  • График увеличивается
  • График асимптотичен относительно оси x при приближении x отрицательная бесконечность
  • График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность
  • График непрерывный
  • График гладкий

Каким будет перевод, если заменить каждый x на -Икс? Это будет отражение относительно оси Y. Мы также известно, что когда мы возводим основание в отрицательную степень, один результат состоит в том, что берется обратное число. Так, если бы мы построили график y=2 -x , график будет отражение относительно оси y y=2 x , и функция будет быть эквивалентным y=(1/2) x .

График y=2 -x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при основании даются от 0 до 1.

  • График проходит через точку (0,1)
  • Домен состоит из всех действительных чисел
  • Диапазон: y>0.
  • График уменьшается
  • График асимптотичен относительно оси x, когда x приближается к положительной бесконечности
  • График неограниченно увеличивается, когда x приближается к отрицательной бесконечности
  • График непрерывный
  • График гладкий

Обратите внимание, что разница только в том, является ли функция возрастающей или убывающей, и поведение на левом и правом концах.

Переводы экспоненциальных графиков

Вы можете применить свои знания о переводах (из раздела 1.5), чтобы помочь вам нарисовать график показательных функций.

Горизонтальный перевод может влиять на увеличение/уменьшение (при умножении на минус) левое/правое поведение графика и y-перехват, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты.

Вертикальное смещение может повлиять на увеличение/уменьшение (при умножении на отрицательное значение), пересечение оси Y и положение горизонтальной асимптоты. Это не изменится, если график пойдет без границ или асимптотически (хотя может меняться там, где оно асимптотично) влево или Правильно. 9Икс приблизится к трансцендентному числу и .

Показанные предельные обозначения взяты из исчисления. Предельное обозначение — это способ задать вопрос, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел — это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление — это алгебра с понятием предела. Люди всегда есть этот страх исчисления, что я не могу понять. Сам расчет несложный. Причина люди не преуспевают в вычислениях не из-за вычислений, а потому что они плохие по алгебре.

Значение для e приблизительно равно 2,718281828. Вот чуть точнее, но не более полезный, приблизительный.

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187

21540 89149 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 539Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева, как a [2 nd ] [Ln]. экспоненциальная функция с основанием e иногда обозначается аббревиатурой exp(). Одно общее место это Аббревиатура появляется именно при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, когда пишу exp(x), ты знаешь о чем я говорю.

Сложные проценты

Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с помощью экспоненциальной функции. Каждый период (я предполагается ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету. Новый сумма на счету составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r%/12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100%+r%/12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что оно будет основано на том, что у вас было в конце первого месяца.

Запутанно, я знаю. На странице 304 текста есть пояснение, но результирующая формула для сложные проценты равны A = P (1+i) n .

A — Сумма на счете. P — это принципал, с которого вы начали. я — периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, млн. n — количество периодов начисления процентов, что равно число периодов в году, m, умноженное на время в годах, t. Формула Показанная мной выше формула немного отличается от формулы в книге, но согласуется с формулой, которую вы будете использовать, если пойдете к конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целую главу о финансах и соответствующих формулах.

Непрерывное соединение и рост/распад

Раньше проценты начислялись непрерывно. Вы не найти его больше, потому что он дает наибольшую отдачу от инвестиций, и банки находятся в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.

Модель для непрерывного компаундирование: A = P e rt .

A — Сумма, P — Основная сумма, r — годовая процентная ставка (записывается в виде десятичной дроби), а t — время в годах. e — основание натуральных логарифмов.

Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа меняется не раз в месяц в конце месяца, а постоянно меняется.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта

\(0

\(а<0\)

\(а>0\)

\(д>0\)

\(д<0\)