Y ax b: Mathway | Популярные задачи

36Risolvere per ?cos(x)=1/27Risolvere per xsin(x)=-1/28Преобразовать из градусов в радианы2259Risolvere per ?cos(x)=( квадратный корень из 2)/210Risolvere per xcos(x)=( квадратный корень из 3)/211Risolvere per xsin(x)=( квадратный корень из 3)/212Графикg(x)=3/4* корень пятой степени из x 13Найти центр и радиусx^2+y^2=914Преобразовать из градусов в радианы120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp, Ax+B

Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции

Пример 1. y»’ — 2y» — 24y’ = (x+5)e^6x
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx через онлайн сервис. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r³-2r²-24r = 0
Вынесем r за скобку. Получим:
r(r²-2r-24) = 0
Здесь r₁ = 0. Найдем остальные корни.
r² -2 r — 24 = 0
D = (-2)² — 4 • 1 • (-24) = 100


Корни характеристического уравнения:
r₁ = 0
r₂ = 6
r₃ = -4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^0x
y₂ = e^6x
y₃ = e^-4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = (x+5)e^6x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x+5, Q(x) = 0, α = 6, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 6 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r₂).
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y’ = e^6x(2•A•x(3•x+1)+6•B•x+B)
y» = 2•e^6x(18•A•x²+12•A•x+A+18•B•x+6•B)
y»’ = 36•e^6x(6•A•x²+6•A•x+A+6•B•x+3•B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y»’ -2y» -24y’ = (36•e^6x(6•A•x²+6•A•x+A+6•B•x+3•B)) -2(2•e^6x(18•A•x²+12•A•x+A+18•B•x+6•B)) -24(e^6x(2•A•x(3•x+1)+6•B•x+B)) = (x+5)•e^6•x
или
120Ax e^6•x +32A e^6•x + 60B e^6•x = (x+5)•e^6•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
120A = 1
32A + 60B = 5
Решая ее, находим:
A = ¹/₁₂₀; B = ⁷¹/₉₀₀

Частное решение имеет вид:
y^* = x ((¹/₁₂₀x+ ⁷¹/₉₀₀)e^6x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C₁ + C₂e^6x + C₃e^-4x + x ((¹/₁₂₀x+ ⁷¹/₉₀₀)e^6x)

Перейти к онлайн решению своей задачи

см. также:

1. Сборник решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть e^x*(Ax + B)
4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

5.

Графики рациональных функций формы F (x) = (AX+B)/(CX+D)

Терминология, стратегии, соединения: . :  Значения x, при которых график функции положителен (над осью x). Отрицательные интервалы: Значения x, при которых график функции отрицателен (ниже оси x). Пример:  Положительные интервалы: (-2,8, -бесконечность)&(2,8, +бесконечность)  Отрицательные интервалы: (-2,8, 2,8)  Как определить положительные и отрицательные интервалы рациональная функция Стратегия: Чтобы построить рациональные функции быстро и эффективно, не забывайте всегда определять ключевые характеристики функции до создания эскиза. Этими характеристиками являются домен, точки пересечения, асимптоты и положительные/отрицательные интервалы. Проблемы с образцами: . . Шаг 1:  Определить домен функции.  *Домен связан с виртуальными активами* 3x+4=0 3x=-4 x=-4/3 ∴ D={xER丨x≠-4/3 } Шаг 2:  Определить точки пересечения x и y функции.   y-отрезок: f(0)=(0-3)/(3(0)+4) f(0)=(-3)/(4) ∴ y- точка пересечения находится в точке y= -3/4   x-точка пересечения:  0=(x-3)/(3x+4) (3x+4)(0)=x-3 0= x-3 3=x ∴ точка пересечения x при x= 3 Шаг 3: Определите HA/OA функции. Пусть x=+1000 f(+1000)=(1000-3)/(3(1000)+4) f(+1000) = 0,33 ∴ HA при y=0,33 Пусть x= — 1000 f(-1000)=(-1000-3)/(3(-1000)+4) f(-1000)= 0,33 Шаг 4: ):   3x+4=0 3x=-4 x=-4/3 ∴ VA at x= -4/3 Step 5:  Determine the function’s положительные и отрицательные интервалы. ПРИМЕЧАНИЕ. Интервалы +- можно определить двумя способами. Первый способ заключается в построении графика функции, однако есть и второй, гораздо более быстрый способ. Стратегия:  Пересечение по оси x и VA(s) рациональной функции обозначают области, в которых функция может изменяться в положительные или отрицательные интервалы. Быстрый способ определить, в каком интервале находится функция, — создать таблицу, в которой числитель, знаменатель и частное выровнены по вертикали, а интервалы значений x — по горизонтали. Подставьте значения для x, соответствующие заданному интервалу, чтобы определить, является ли функция положительной или отрицательной в обозначенной области. Ex:     x < -4/3  -4/3 < x < 3 x > 3  x-3 — — + 3x+ 4 — + + Коэффициент + — +

—

+

—+ 9000—+—+—+ 9000—+. < -4/3 и когда x > 3. Отрицательно, когда -4/3< x<3.

Стратегия:

После определения положительных и отрицательных значений функции заштрихуйте области графика, которые не использовались для помощи в наброске функции. Дополнительное объяснение

• Ex:

• .

Стратегия:

Быстрый способ определить, в каком направлении функция приближается к VA(s) и HA/OA, подставляя значение x, расположенное слева от асимптоты. и значение x, расположенное справа от асимптоты.

• Пример: Существует VA при x=-4/3, чтобы определить, как функция приближается к нему, пусть x=-1,4.

f(-1,4)= (-1,4-3)/(3(-1,4)+4)

f(-1,4)=22 ∴ Функция перемещается вверх к VA с левой стороны.

f(-1,2) = (-1,2-3)/(3(-1,2)+4) 

f(-1,2) = -10,5 ∴ Функция перемещается вниз к VA с правой стороны.

Общие стратегии:

1. Для большинства рациональных функций, выраженных в форме f(x)=b/(cx+d) и (ax+b)/(cx+d), следует иметь как VA, так и HA.
2. Если вы не знаете, какие интервалы разместить в горизонтальном столбце таблицы интервалов +-, выпишите значения x, при которых числитель и знаменатель равны нулю, и нарисуйте их на числовой прямой. Наименьшее число будет указано в столбце «x меньше (вставьте наименьшее число)», а в среднем столбце будет указано «x больше наименьшего числа, но меньше наибольшего числа». И самое большое число будет идти в столбце «x больше, чем самое большое число». Для функций с более чем двумя разными значениями x концепция остается прежней.

Практические вопросы: 

• Уровень 1: (a) Учитывая следующую функцию, определите уравнение вертикальной асимптоты и нарисуйте линию. (b) Нарисуйте стрелки, указывающие направление, в котором функция приближается к VA с любой стороны.

  No related posts.