Сложные производные функции: Производная сложной функции (u(v(x))’

Производная сложной функции — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Тема урока: «Производная сложной функции». Выполнила преподаватель математики ГАОУ СПО «АПТ»: К.Р. Абдуллина

Тема урока: «Производная
сложной функции».
Выполнила преподаватель математики
ГАОУ СПО «АПТ»: К.Р. Абдуллина

2. Цели:

образовательная:
– знать понятие сложной функции;
— уметь находить по правилу производную сложной
функции;
— изучить алгоритм вычисления производной сложной
функции;
развивающая:
— развить умение обобщать, систематизировать на основе
сравнения,
делать вывод;
— развить наглядно-действенное творческое воображение;
— развить навыки самоконтроля, умение конспектировать,
переключаться с одного вида деятельности на другой.
2
воспитательная:
— воспитать чувство долга, ответственности, воли и
настойчивости для
достижения конечных результатов при нахождении
производных
сложных функций;
— формирование умения рационально, аккуратно оформить
задание на
доске и в тетради.
— воспитать умение слушать и уважать мнение других.
3

4. План урока:

1. Организационный момент. Рефлексия
настроения.
2. Обсуждение темы занятия, мотивация
обучения, целепологание.
3. Проверка домашнего задания.
4. Актуализация знаний, умений и навыков.
5. Усвоение новых знаний.
6. Закрепление изученного материала.
7. Формирование навыков.
8. Самостоятельная работа.
9. Домашнее задание.
10. Подведение итогов. Рефлексия.
4

5. Ответы

у
1 х 2 (2 х 7)
2
х
х
у 2 х 1
2
6
х
14 х
2
х
х2
х3 1
х4 2х
( х 3 1) 2
Слайд №
х 5
5х
6
5
3х 3
х
7
15
21х 4
х
6
5

6.

Лист контроляФ.И.О
студента
Группа
Домашнее
задание
Игра
«Лото»
Тест
Итоговая
оценка
6

7. Таблица производных.

Функция
Производная
С
Х
Хn
0
1
xn 1
n
1
Х
1
х2
х
sin x
cos x
tg x
ctg x
1
2 х
cos x
-sin x
1
cos 2 x
1
sin 2 x
Функция
arcsin x
arccos x
Производная
1
1 x2
1
1 x2
arctg x
1
1 x2
arcctg x
1
1 x2
a
x
e
x
a
xlna
ex
log a x
1
xlna
Ln x
1
x
Слайд №
7

8. Тест

6 5
1. Найдите производную функции:у 9 9 x x
1 6
5
9
1) у 9 х х х ; М
2
5
7
4
2) у 9 х 72 х 5х ; П
7
4
3) у 72 х 6 х ; Л
4) у 17 х 6 х ; К
7
4
8
2. Найдите производную функции: у 3х 2 сosx
1) у 6 х cos x; Е
2) у 6 х cos x 3x 2 sin x; А
3) у х3 cos x 3x 2 sin x; О
4) у 6 х cos x 3x 2 sin x;У
9
3. Найдите производную функции:
у ( х 1)( х 2) ( х 1)( х 3)
1) у 7; В
2) у 7; Г
3) у 1; Д
4) у 1; М
10
4. Найдите производную функции: у х 4 1
1
1) у 4 х х 2 ; Е
3
у
4
х
2)
х
1
;С
2
х
1
3) у 4 х х 2 ; Р
3
1
4) у 4 х х 2 ; А
11
5. Найдите производную функции у 2 х 1
4х 2
2
1) у (2 х 1) 2 ; В
2
;А
2) у
2
(2 х 1)
2
х
3) у
;Е
2
(2 х 1)
4)
у
2х
;У
2
(2 х 1)
12
6. Найти значение производной функции
2
у х sin x в х0
1) у 2 1;У
2) у 2 1; Н
3) у 2 1; П
4) у 2 ; Д
13
7. Найдите f (1) , если: f ( x) 5 4e x
х
1) 9;Т.
2) 5 4e; Ж
3) 5;Р
4) 5 4e; О
14

15. Ответы

Задание
1
2
3
4
5
6
7
Ответы
3
2
2
3
2
2
2
Л
А
Г
Р
А
Н
Ж
1
Жозе́ф Луи́ Лагра́нж-(1736-1813)-французский
математик , астроном и механик . Сначала Лагранж
заинтересовался филологией. Но в руки Лагранжа
случайно попал трактат по математической оптике,
и он почувствовал своё настоящее призвание.
В 1755 году Лагранж был назначен преподавателем
математики в Королевской артиллерийской школе в
Турине. В 1766 Лагранж переехал в Берлин . Здесь
он вначале руководил физико-математическим
отделением Академии наук, а позже стал
президентом Академии. агранж внёс существенный
вклад во многие области математики,
включая вариационное исчисление, теорию
дифференциальных уравнений, решение задач на
нахождение максимумов и минимумов, теорию
чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию
вероятностей. Формула конечных приращений и
несколько других теорем названы его именем.
Слайд №
16

17. Производная сложной функции

Сложная функция: y g f x .
y f 5;
Примеры: 1) y 3 x 2 x .
2
2
5
f 3 x 2 x.
y f;
y cos f ;
3) y cos 2 x .
f sin x.
3
f 2x .
3
Правило нахождения производной сложной функции
/
/
/
g f x g f f x
2) y sin x .
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Слайд №
17

18. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
(производная сложной функции равна
/
/
/
g f x g f f x производной основной функции
Простая
функция
x
Производная
простой
функции
n
1
x
x
sin x
nx
n 1
1
2
x
1
2 x
cos x
на производную внутренней функции)
Сложная функция
Производная сложной
функции
f
n
x
1
f x
f x
sin f x
Слайд №
n f n 1 x f / x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
cos f x f / x
18

19. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая
функция
Производная
простой
функции
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
1
f x
1
x
1
2
x
1
1
Пример:
1) y
. y ;
f
sin x
f / sin x.
Производная сложной функции
/
f
x
1
/
2
f x 2
f x
f x
1
1
cos x
/
1
y
sin 2 x sin x sin 2 x cos x sin 2 x .
Слайд №
19
sin x
/

20. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
y
/
Производная сложной функции
f x
1
x
Пример:
Сложная
функция
2 x
1
2 f x
f / x
f / x
2 f x
1) y 2 x x . y f ;
f 2 x 3 x.
2x
3
3
x
4
/
1
2 2x x
3
2 x 1
3
Слайд №
/
6×2
2x 2x 1
2
3x
.
2 x 2 120

21. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
sin x
cos x
Пример:
Сложная
функция
1) y sin 2 x .
3
sin f x
Производная сложной
функции
cos f x f / x
y sin f ;
f 2x .
3 /
y sin 2 x cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .
3
3
3
3
/
/
Слайд №
21

22. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Простая
функция
x
n
Производная
простой
функции
nx n 1
Сложная
функция
f n x
Производная сложной функции
n f n 1 x f / x
f / x
2
f x
f / x
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
cos x
sin f x
cos f x f / x
cos x
sin x
cos f x
sin f x f / x
tgx
1
2
cos x
sin x
1
tgf x
Слайд №
2 f x
/
f
x
1
/
f x
2
cos f x
cos 2 f 22x

23. Закрепление изученного материала.

Вычислите производные:
4
у
(
x
3
)
1)
2) у ( х3 х 2 11)3
3) у sin( 5 x 3)
4) у cos10 x
5) у tg 4 x
6)
Слайд №
у х2 1
23

24.

Домашнее задание. • Выучить алгоритм.
• Найти производную.
8
у
(
2
3
х
)
«3» 2
у
5
х
3
«4» —
«5» — у (2 х 3) 4
Слайд №
24
Подведение итогов урока, рефлексия:
— сдача листов контроля;
— рефлексия.
Вам предлагается каждому для себя ответить на
следующие вопросы:
-Что вы узнали нового?
-Смогли бы вы объяснить новый материал другу?
-Над чем вам надо еще поработать в данной теме?
-Какой вопрос сегодняшнего урока был самым трудным?
-Поставьте оценки по пятибалльной шкале за работу на
уроке
а) себе, оценив свою активность на уроке,
самостоятельность, правильность выполнения заданий.
б) классу,
в) учителю.
Слайд №
25
Спасибо за
урок.
Слайд №
26

English     Русский Правила

Сложная функция — определение термина

функция от функции; если y = f(u) и u = φ(x), то y = f[φ(x)] является сложной функцией от x

Научные статьи на тему «Сложная функция»

Определение Сложная функция — это функция, аргументом которой является другая функция. {2}

Статья от экспертов

Предлагается способ применения специальных интервальных операций при вычислениях в задачах диагностики, если объект диагностики задан простейшей композицией произвольных функций сложной функцией. Предполагается, что функции-компоненты композиции заданы их интервальными формами.

Creative Commons

Научный журнал

Определение 1 Функция $z$, заданная уравнением \[z=F(u,v),\] в котором $u$ и $v$ — функции независимых…
переменных $x$ и $y$, называется сложной функцией от аргументов $x,y$….
Замечание 1 Запись функции $z$ через переменные $x,y$ выглядит следующим образом: \[z=F[\varphi (…
y$, называется сложной функцией от аргументов $x,y$….
\[y=f(x),u=\varphi (x),v=\psi (x).

\] Данная функция является функцией одного аргумента $x$.

Статья от экспертов

В статье рассмотрен метод построения графиков сложных функций без помощи производной, если известны графики внутренней и внешней функций. Определяются асимптоты графика, промежутки монотонности, нули функции. По графикам внутренней и внешней функций исследуется «поведение» функции в окрестностях определенных точек и при неограниченном возрастании и убывании аргумента, выясняется характер изменения функции. Составляется таблица зависимости переменных и строятся в координатной плоскости соответствующие фрагменты графика заданной функции.

Creative Commons

Научный журнал

Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!

1. Напиши термин
2. Выбери определение из предложенных или загрузи свое
3. Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных карточек

Введение в комплексный анализ | Coursera

Об этом курсе

25 216 последних просмотров

Этот курс представляет собой введение в комплексный анализ, который является теорией сложных функций комплексной переменной. Мы начнем с введения комплексной плоскости вместе с алгеброй и геометрией комплексных чисел, а затем пройдем через дифференцирование, интегрирование, сложную динамику, представление степенных рядов и ряды Лорана на территории, находящиеся на грани того, что известно сегодня. . Каждый модуль состоит из пяти видеолекций со встроенными тестами, за которыми следует домашнее задание с электронной оценкой. Кроме того, модули 1, 3 и 5 также содержат экспертную оценку.

Домашние задания потребуют времени, чтобы обдумать и отработать концепции, обсуждаемые в лекциях. На самом деле, значительная часть вашего обучения будет происходить во время выполнения домашних заданий. Эти задания не предназначены для быстрого выполнения; скорее вам понадобится бумага и ручка, чтобы ответить на вопросы. В целом, мы ожидаем, что курс займет 6-12 часов работы на модуль, в зависимости от вашего опыта.

Гибкие сроки

Гибкие сроки

Сбросить сроки в соответствии с вашим расписанием.

Общий сертификат

Общий сертификат

Получите сертификат по завершении

100% онлайн

100% онлайн

Начните сразу и учитесь по собственному графику.

Средний уровень

Средний уровень

Часов на прохождение

Прибл. 27 часов

Доступные языки

Английский

Субтитры: арабский, французский, португальский (европейский), итальянский, вьетнамский, немецкий, русский, английский, испанский

Навыки, которые вы приобретете

• Конформное картирование
• Серия Laurent
• Серия Power
• Комплексный анализ
• Комплексные числа

Гибкие сроки

Сброс ваших сроков в соответствие5. Гибкие сроки

Общий сертификат

Общий сертификат

Получите сертификат по завершении

100% онлайн

100% онлайн

Начните сразу и учитесь по собственному графику.

Средний уровень

Средний уровень

Часов на прохождение

Прибл. 27 часов

Доступные языки

Английский

Субтитры: арабский, французский, португальский (европейский), итальянский, вьетнамский, немецкий, русский, английский, испанский

Instructor

Dr.

Petra Bonfert-Taylor

Top Instructor

Бывший профессор математики Уэслианского университета / профессор инженерии Инженерной школы Тайера в Дартмуте

62 960 Ученики

1 Курс

, предлагаемый

Университет Уэслиан

Университет Уэслин, основанного в 1831 году, является разнообразным, эндоровским либеральным сообществом, где критическая идеала и практика, в которой есть критические идеалистские и практичные. Благодаря нашей самобытной культуре «ученый-преподаватель», творческим программам и приверженности междисциплинарному обучению Уэслиан побуждает учащихся исследовать новые идеи и изменять мир. Наши выпускники продолжают лидировать и внедрять инновации в самых разных отраслях, включая правительство, бизнес, развлечения и науку.

Reviews

4.8

Filled StarFilled StarFilled StarFilled StarFilled Star

333 reviews

• 5 stars

  85. 67%

• 4 stars

  12.83%

• 3 stars

  1.09%

• 1 звезда

  0,39%

ЛУЧШИЕ ОТЗЫВЫ ОТ ВВЕДЕНИЯ К КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ

Заполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звезда

от SRA13 августа 2020 г.

Действительно хороший курс для всех, кто интересуется комплексным анализом. Объяснения и презентации очень понятные. Спасибо доктору Тейлору за этот замечательный курс.

Filled StarFilled StarFilled StarFilled StarFilled Star

от NSJun 25, 2018

Профессор делает его простым для понимания, но увлекательным. Мне понравились видео контрольные точки, викторины и рецензируемые задания. Этот курс побуждает вас думать и открывать для себя что-то новое.

Заполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звезда

от WSS 24 сентября 2017 г.

Вау, отличный вводный курс по комплексному анализу, я надеялся на немного больше анализа и немного больше фактических доказательств, но это Coursera, не могу ожидать здесь полноценного курса.

Filled StarFilled StarFilled StarFilled StarFilled Star

от YX11 июля 2017 г.

Большое спасибо д-ру Бонферт-Тейлор за проведение этого онлайн-курса на Coursera. Я действительно многому научился на этом курсе. И я надеюсь, что еще раз пройду у нее курс.

Посмотреть все отзывы 92(x)$… возможности практически безграничны. Есть несколько основных правил, которые позволяют вам иметь дело с этими более сложными функциями, не прибегая к использованию «основных принципов».

Правило суммы/разности

Функция может быть определена как сумма (или разность) двух или более других функций, например $f(x)=g(x)+h(x)$. Нетрудно показать из первых принципов, что производная этой функции равна:

. (1)

\begin{equation} f'(x)=g'(x)+h'(x) \end{equation}

или в нотации Лейбница:

(2)

\begin{align} \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx}g(x) + \frac{d}{dx} h(x) \end{align}

Этого нет в буклете с формулой IB, но мы все надеемся, что вы помните.

Правило продукта

Функция может быть определена как произведение двух (или более) функций, например $f(x)=g(x)h(x)$. Приложив некоторые усилия и смекалку, можно показать, что производная от произведения двух функций равна:

. (3)

\begin{equation} f'(x)=g(x)h'(x) + h(x) g'(x) \end{equation} 92} \end{align}

Цепное правило

Последнее часто оказывается самым сложным. Это включает в себя нахождение производной сложной функции. Например, функция $f(x)=g(h(x))$. Производная сложной функции:

(7)

\begin{equation} f'(x)=g'(h(x)) h'(x) \end{equation}

На словах это означает, что производная равна производной «внешней» функции оценивается по «внутренней» функции, умноженной на производную от внутренней функции.

Да уж, полный рот. В обозначениях Лейбница правило цепи может выглядеть совсем иначе. Если мы определим:

(8)

\begin{equation} y=g(u) \end{equation}

с

(9)

\begin{equation} u=f(x) \end{equation}

Обратите внимание, что $y=g(f(x))$ просто старая добрая составная функция.