Y e степени e в степени x: Число е. Функция у = е^x, её свойства, график, дифференцирование — урок. Алгебра, 11 класс.

е в степени пи или пи в степени е? — Колпаков Александр Николаевич

by Колпаков А.Н. on 11 июня 2011

Недавно ко мне обратился один школьник с вопросом о сравнении двух чисел. Нужно было выяснить, что больше: е в степени пи или пи в степени е? Красивое сочетание. Не правда ли? Репетитор по математике, который с ним занимался весь год, не смог справиться с такими иррациональностями, а мне всегда было интересно повозиться с теми номерами, которые у кого-либо не получились. Должен же репетитор уметь решать нестандартные задачи.

Ученик попался на удивление пробивной и вместе с вопросом прислал ссылку на самостоятельно найденное решение в интернете. Оно оказалось для него слишком сложным и непонятным, так как использовало свойство числовых рядов. Конечно, выпускнику 11 класса в них не разобраться, и поэтому Ваш покорный слуга принялся за дело. Интересно было бы не просто найти доступное для школьника решение задачи и опубликовать его в готовом виде, а показать, каким образом репетитор по математикеищет решения нестандартных задач.

Хотелось описать ход своих мыслей.

Итак, нужно сравнить и Как я размышлял?

Понятно, что вычислять «в лоб» нереально, а калькулятор в таких случаях применять запрещается. Думаю так: скорее всего необходимо растащить показатели и основания степеней, по ходу меняя сравнение на что-то равносильное. Иначе во множестве элементарных функций мы не найдем ту самую функцию, которая поможет сравнить числа на основании свойств своей монотонности. Разорвать термоядерную иррациональную парочку можно только при вычислении логарифма. Поэтому я сразу же прологарифмировал степени устремил мысль в направлении и . Основание логарифма было выбрано не случайно. Сказалось присутствие экспоненты.

Задача свелась к сравнению чисел и . Далее я заметил, что замена в их записях на дает равные числа. Как бы это использовать? Держу в уме главную идею: если у задания есть элементарное решение, то рано или поздно придется ввести какую-нибудь монотонную функцию. Это явно не так как число не является значением в удобной для сравнения с точке.

Тем не менее выявленное равенство результатов, наверное, необходимо как-то использовать. Как?

Вспоминаю, что доказательство какого-либо неравенства в математике равносильно доказательству того, что разность рассматриваемых чисел имеет определенный знак. А это все равно, что сравнивать разность с нулем. Именно он получается при замене в ней числа на число . Как теперь должен действовать репетитор по математике? Конечно же рассматривать функцию и доказывать ее монотонность при . Если функция окажется возрастающей, то так как > , то > и поэтому получаем, что >

Осталось найти производную и проверить, что возрастает при . Имеем . Очевидно, что если x>e, то > . Следовательно возрастает на промежутке . Поэтому > и следовательно

е в степени пи больше чем пи в степени е

Удаляя все рассуждения решение задачи запишем его компактно:
Весь процесс занял около 10-15 минут и большую его часть я думал. Не могу сказать, что каждый репетитор по математике обязан уметь консультировать ученика по заданиям олимпиадного характера, но знать о некоторых приемах размышлений ему было бы полезно.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич.
репетитор по математике в Москве,
Профессиональный репетитор в Строгино, м.Щукинская.

Метки: Интересные задачки, Примеры объяснений

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера / Хабр

Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».

Рисунок 1. 0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».

Рисунок 2.0: обложка журнала The Mathematical Intelligencer

Рисунок 3.0: опрос Дэвида Уэллса из журнала

Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».

Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».

Рисунок 4.0: в этой сцене уравнение Эйлера можно заметить на второй книге в самой правой стопке.

Рисунок 5.0: в этой сцене уравнение Эйлера написано на футболке второстепенного персонажа.

Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.

Рисунок 6. 0: марка, выпущенная в 1983 году в Германии в память о двухсотлетии со смерти Эйлера.

Рисунок 7.0: марка, выпущенная Швейцарией в 1957 году в честь 250-й годовщины Эйлера.

Почему уравнение Эйлера так важно?

Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.

• Константа e связана со степенными функциями.
• Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.
• Знаменитая константа π (пи) связана с окружностями.

Впервые тождество Эйлера появилось в 1748 году в его книге Introductio in analysin infinitorum. Позже другие люди увидели, что эта формула связана с тригонометрическими функциями синуса и косинуса, и эта связь удивительна, ведь степенная функция стремится к бесконечности, а тригонометрические функции колеблются в интервале от — 1 до -1.

e в степени i, умноженного на ϕ (фи) = cos ϕ + i * sin ϕ

Рисунок 8.0: экспоненциальная функция y=e^x.

Рисунок 8.1: график тождества Эйлера.

Рисунок 8.2: частоты, испускаемые LC-цепью.

Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.

1: число для счёта

Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.

Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.

323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)

Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 10 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:

1001 = (2³) + (0²) + (0¹) + (2⁰) = [9 в системе с основанием 10]

Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?

Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.

Рисунок 11: показанные здесь иероглифы образуют число 4622; это одно из чисел, вырезанных на стене в храме в Карнаке (Египет).

Рисунок 12: иероглифы — это изображения, обозначающие слова, а в данном случае — числа.

В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.

Рисунок 13: вавилонские числа из шестидесятиричной системы счисления (с основанием 60).

Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус.

Рисунок 14: романский абакус в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе счисления

Рисунок 15: таблица преобразования из арабских в римские числа

Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.

Рисунок 15: таблица букв древних греков.

В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.

Рисунок 16: китайский способ счёта с числами-палочками. Использовался как минимум с 400 года до нашей эры. Квадратная счётная доска использовалась примерно до 1500 года, когда её заменил абакус.

Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.

Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами

Рисунок 18: ещё один способ записи чисел майя.

Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.

Рисунок 19: вырезанный на стене храма в Гвалиоре круг обозначает ноль. Ему примерно 1500 лет.

Рисунок 20: чёрные точки в манускрипте Бакхшали обозначают нули; это самый старый письменный пример использования числа, ему примерно 1800 лет.

Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.

Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.

Рисунок 21: на этой схеме показана эволюция чисел, происходящих от чисел брахми и заканчивающаяся числами, которыми мы используем и сегодня.

Рисунок 22: классическая гравюра «Арифметика» из Margarita Philosophica Грегора Рейша, на которой изображено соревнование между Боэцием, улыбающимся после открытия индо-арабских чисел и письменных вычислений, и нахмуренным Пифагором, до сих пор пытающимся пользоваться счётной доской.

Пи (π): самое известное иррациональное число

Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.

π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²

Рисунок 22: анимированная связь между окружностью и диаметром в отношении пи.

Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).

Рисунок 23: данные опроса 941 респондентов для определения процента людей, способных запомнить знаки пи после запятой.

Рисунок 24: На стене станции метро Karlsplatz в Вене записаны сотни разрядов пи.

На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.

Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к диаметру описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.

Рисунок 24: вавилонская глиняная табличка с отношением периметра шестиугольника к длине описанной окружности.

Рисунок 25: Numberwarrior

Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:

Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:

Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).

Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.

Рисунок 26: математический папирус Ахмеса.

Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разрядов числа пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.

Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 2⁶²-сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи. Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне.

В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно

Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.

Рисунок 29: Формула Мэчина для пи

Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!

Рисунок 30: Juliabloggers

В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.

Рисунок 31: комната пи

С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.

Рисунок 32.0: Science Friday

А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.

Рисунок 32.1: бросание 1000 иголок для оценки приблизительного значения пи

e: история экспоненциального роста

e — это ещё одно знаменитое иррациональное число. Дробная часть e тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем e, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.

Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.

Рисунок 33: источник

Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 2⁰ зерна на первую клетку шахматной доски, 2¹ зерна на вторую клетку доски, 2² зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 2⁶³ зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!

Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.

Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.

Рисунок 34: источник: Wikipedia

Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.

Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.

В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.

Рисунок 35: закон Ньютона-Рихмана

Рисунок 36: мальтузианская катастрофа

Мнимость числа: i, квадратный корень -1

Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным. Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом i, был Эйлер.

Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить мнимые числа. Сложение, вычитание и умножение просты, а деление немного сложнее. Вещественные и мнимые части складываются по отдельности. В случае умножения i² будет равно -1.

После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).

Рисунки 37 и 38: комплексные числа

В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением. Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам.

Самое красивое уравнение: тождество Эйлера

Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений

Рисунок 39: открытие тождества Эйлера

Рисунок 40: тождество Эйлера

Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Значение логарифма — Введение, свойства, таблица лога и значения

Время, необходимое для умножения целых чисел на многочисленные цифры, было существенно сокращено благодаря логарифмам, которые были введены в 17 ^-м -м веке для ускорения расчетов. В течение почти 300 лет они были незаменимы в числовых вычислениях, пока в конце 1800-х годов не были изобретены механические вычислительные машины, а компьютеры в 1900-х годах не сделали их устаревшими для крупномасштабных вычислений. С приложениями в физических и биологических моделях натуральный логарифм (с основанием e 2,71828 и написанным ln n) по-прежнему остается одной из самых полезных функций в математике.

Значение Log e

Степень, в которую нужно возвести число, чтобы получить заданное число, называется логарифмом этого числа. Например, логарифм по основанию 10 числа 1000 равен 3, потому что 10, возведенное в степень 3, равно 1000. Логарифмическая функция — это математическая функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция log ax = y равна x = a ^y .

В математике обычно используются два типа логарифмов. Это десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.

1. Десятичный логарифм — это любая логарифмическая функция с основанием 10. Обычно она представляется как y = log x или y = log ₁₀ x.

2. Натуральные логарифмы — это логарифмические функции, основание которых равно e. Натуральные логарифмы обычно представляются как y = log ex или y = ln x . e — иррациональная константа, используемая во многих математических вычислениях. Значение «е» равно 2,718281828…

Значение «е»

Число «е» является иррациональной математической константой и используется в качестве основания натуральных логарифмов. Число «е» — единственное уникальное число, значение натурального логарифма которого равно единице. Значение «е» было рассчитано в 1683 году Якобом Бернулли. Эта математическая константа находит свое значение в различных областях математики, включая:

Значение log e можно рассчитать в двух разных случаях. Эти два случая находят натуральное логарифмическое значение e и десятичное логарифмическое значение «e».

Случай 1: Значение Log e по основанию «e» (натуральный логарифм «e»):

По определению, любая логарифмическая функция является обратной функцией экспоненциальной функции.

Итак, если log _e e = y, это можно записать как e = e ^y .

логарифм _е е = у

е = е ^y

Так как основания экспоненциальных функций с обеих сторон одинаковы, степени также должны быть одинаковыми в соответствии со свойствами экспоненциальных функций. Следовательно, можно сделать вывод, что значение «y» равно единице.

Первоначально предполагалось, что log ee = y. Итак, мы можем сделать вывод, что log ee = 1. Натуральный логарифм «e» равен единице.

Случай 2: Каково значение Log e по основанию 10 (десятичный логарифм ‘e’):

Это факт, что десятичный логарифм функции, значение натурального логарифма которой известно, может быть определен путем деления значения натуральный логарифм на 2,303. (Натуральный логарифм любой функции делится на 2,303, чтобы получить десятичное логарифмическое значение, поскольку натуральный логарифм 10, т. е. log 10 по основанию e, рассчитывается как 2,303).

В случае 1 вычисленное значение log e по основанию e равно 1. Log e по основанию 10 получается путем деления 1 на 2,303.

\[ log_{10}x =  \frac{ In x}{2,303} \]

\[ log_{10} e =  \frac{ In e}{2,3033} \]

\[ log_{10} e = \frac{1}{2,303} \]

\[ log_{10}e = 0,43421 \]

Следовательно, значение log e по основанию 10 равно 0,43421 с точностью до пяти знаков после запятой.

Свойства логарифмических функций

Свойство 1: правило произведения

Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов отдельных чисел.

ln (x.y) = ln (x) + ln (y)

Свойство 2: Правило частных

Натуральный логарифм дроби двух чисел равен вычитанию натурального логарифма знаменателя из натурального логарифма числителя.

ln\[ \frac{x}{y} \]= ln (x) − ln (y)

Свойство 3: Степенное правило

Натуральный логарифм числа, возведенного в степень другого числа, равен произведение степени на натуральный логарифм основания.

ln (xy) = y ln x

Свойство 4: Производная натурального логарифма

Производная первого порядка натурального логарифма равна обратной величине этой функции.

Если y = ln (x), то y’ = 1/x.

Свойство 5:

Натуральный логарифм любого числа меньше нуля (отрицательные числа) не определен.

Свойство 6:

Натуральный логарифм 1 равен нулю.

Свойство 7:

Натуральный логарифм бесконечности равен бесконечности.

Свойство 8:

Натуральный логарифм -1 — это константа, известная как константа Эйлера.

ln (-1) = i (константа Эйлера)

Примеры задач:

1. Оцените значение натурального логарифма √e.

Решение:

ln √e = ln e½ 

= ½ ln e (степенное правило логарифмической функции)

= ½ x 1  (натуральное значение log e равно единице)

= ½ ln

2,090 Оценить \[ \frac{\sqrt{x-1}}{e} \] .

Решение: 9{\ frac {1} {2}}} {e} \]

= ½ ln (x — 1) — ln e (степенное правило и правило частных)

= ½ ln (x — 1) — 1 (напомнить каково значение log e по основанию e)

Интересные факты:

• Производная натурального логарифма ‘e’ равна нулю, потому что значение log e по основанию e равно единице, что является постоянным значением. Производная любой постоянной величины равна нулю.

• Логарифмическое значение любого числа равно единице, если основание равно числу, логарифм которого необходимо определить.

  No related posts.