Свойства натурального логарифма
- Из основного определения логарифма можно сформулировать главное логарифмическое тождество (уравнение).
elna=a
- Для равенства двух простых натуральных логарифмов следует равенство логарифмируемых значений выражения.
- В случае, когда возрастает значения любого аргумента, следовательно, будет возрастать и логарифмическое значение функции.
Описание функции натурального логарифма
Логарифмическая функция выражается как: y=log nk
Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы.
Область определения логарифма и функции — это совокупность положительных значений и действительных чисел.
Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.
Пример №1:
y = ln x, вычислить область определения.
\[\mathrm{D}(\mathrm{y})=(0 ;+\infty)\]
На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.
\[ y=\ln x=\frac{1}{x}; \]
Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.
\[ \lim _{x \rightarrow 0+0} \ln x=\ln (0+0)=-\infty; \]
\[ \lim _{x \rightarrow \infty} \ln x=\ln (+\infty)=+\infty. \]
Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
График натурального логарифма
Значение логарифма принято обозначается при положительных числовых значениях переменной x. Затем он монотонно начинает возрастать по всей своей области определения.
При значении, которое стремится к нулю (x → 0) пределом натурального логарифма, будет считаться значение до бесконечности с отрицательным значением ( – ∞ ).
Для значений x, которые имеют большие значения, логарифм возрастает относительно медленно.
Значение степенной функции xn, имея при этом положительное значение показателя степени, будет возрастать намного быстрее, чем сама функция.
Ниже приведены рисунки графического изображения функции.
Оценить статью (0 оценок):
Поделиться
Натуральный логарифм, свойства, графики и функция. Урок и презентация по алгебре для 11 класса
Дата публикации: .
Урок и презентация на темы: «Натуральные логарифмы. Основание натурального логарифма. Логарифм натурального числа»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:Натуральные логарифмы (PPTX)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов «Тригонометрия»
Что такое натуральный логарифм
Ребята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число – е.
x$ в точке (0;1) равен 45°. Тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) также будет равен 45°. Обе эти касательные будут параллельны прямой $y=x$. Давайте схематично изобразим касательные:Свойства функции $y=\ln{x}$
1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Выпукла вверх.
9. Дифференцируема всюду.
В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции
Углубляться в доказательство не имеет большого смысла, давайте просто запишем формулу: $y’=(\ln{x})’=\frac{1}{x}$.
Пример.
Вычислить значение производной функции: $y=\ln(2x-7)$ в точке $х=4$.
Решение.
В общем виде наша функция представляют функцию $y=f(kx+m)$, производные таких функций мы умеем вычислять.
2}$.
Область, объем и состав функций
Область, объем и состав функцийОбласть, диапазон и состав функций
Студентам было предложено дать решение второй задачи для
третья мастерская. Центральным аспектом этой проблемы было рассмотрение
сложной формулы, определяющей функцию. Формула была
состав из 4 (а может и 5, смотря как «читать» его)
функции. Каждое произведение было «легким» или (по крайней мере, я надеялся) будет хорошо
известен. Это были:
ln arctg куб (формула: x 3
Основываясь на решениях, которые я прочитал, это был очень сложный проблема. Я не предполагал, что решение будет таким недоступным и
сложно писать. Может быть, здесь я могу показать некоторые более простые примеры
композицию, и вы можете увидеть, какие трудности. Мастерская
проблема была довольно сложной.
Итак, давайте посмотрим на область определения, диапазон и графики двух функций. надеюсь, что то, что следует здесь, знакомо. После этого мы увидим некоторые примеры композиций и обсудить, что происходит с доменами, диапазоны и графики.
График периодический и повторяется каждые 2Π. я Думаю, эта функция должна быть вам знакома. | ||
Все реальные номера: R , также записывается как (–∞, +∞). Мы можем введите любое действительное число. | Выход из блока функции «синус» (извините, я действительно думай так!) ограничивается числами от –1 до 1, включая обе конечные точки. Итак, [–1,1]. | Или достаточно в этом разобраться, надеюсь! |
Слева от оси Y ничего нет, и то, что справа, на самом деле довольно «просто» — оно просто идет вверх, от –∞ до +∞.  Надеюсь, это тоже знакомо. | ||
Мы можем ввести только положительные числа. Таким образом, домен равен (0,+∞). | Выход для ln неограниченно: возможно любое действительное число. Итак, диапазон R или (–∞,+∞). | Или достаточно в этом разобраться, надеюсь! |
Теперь попробуем поработать с этими функциями. я посмотрю на некоторые композиции.
sin(ln(x))
Ну, логический «поток» выглядит примерно так:
x→ln(x)→sin(ln(x). Первая стрелка накладывает ограничение на
домен. Нам лучше не подавать ничего ≤0. Вторая стрелка
будет «принимать» что угодно, потому что областью синуса является вся Р . Следовательно, домен этой композиции
(0,∞). Что насчет диапазона? Поскольку вывод ln — это все R , набор входов, «подаваемых» на синус, реален
числа.
И мы знаем, что сбор выходных данных для этого
набор входных данных [–1,1]. Так что держу пари, что вывод
sin(ln(x)), диапазон равен [–1,1].
| Это менее обычное окно, в котором что происходит для x в интервале [≈0,.5]. | В этом окне x находится в диапазоне [≈0,.05]. Там больше шевелится и вниз, поскольку входные параметры синусоидального марша кратны 2Π.  На самом деле существует бесконечно много колебаний вверх и вниз до непосредственно справа от 0. Это все колебания синуса в (–∞,0) как бы переупаковывается, становится все быстрее и быстрее по мере x→0 + . Я думаю, что «колебание» более достойно, чем «покачивание» но они означают то же самое. | А вот и другая сторона, и сильно измененный горизонтальный масштаб (посмотрите внимательно, пожалуйста). ln(x) возрастает при x→∞, и на самом деле все положительные действительные числа в конечном итоге становятся выходами. Ну, это значит что также бесконечно много колебаний , когда х достигает большой, но волны идут все медленнее и медленнее. Итак, вершины неровности становятся все дальше и дальше друг от друга. Так что это тоже запутанно картина. Эти колебания представляют собой все колебания синуса в (0,∞) как бы перепаковывается с другими часами, становится медленнее и медленнее. |
лн(грех(х))
Попробуем так: x→sin(x)→ln(sin(x)).
Конечно есть
нет ограничения на по входам на синус, но есть сильное
ограничение на входы в ln: они должны быть положительными. Таким образом, каждый интервал
где значения синуса (то, что я называю выходами )
не являются положительными, должны быть выброшены, чтобы эта композиция была
определенный. Посмотрим: в [0,2П] синус положителен ровно в (0,П)
(обратите внимание, что конечные точки отсутствуют!) так что домен
ln(sin(x)) включает интервал (0,Π).
Вещи повторяются для каждого
кратно 2П, так как синус периодичен с периодом 2П и
поэтому область определения ln(sin(x) включает (2Π, 3Π) и
(4П, 5П) и (6П, 7П) и т. д. И, идя в обратном направлении,
включает также (–2Π,–Π) и
(–4Π,–3Π) и т. д. Итак, домен такой странный
набор открытых интервалов длины Π, каждый из которых имеет расстояние Π
со следующего куска домена.
Но что может быть более интересным, так это ассортимент.
значения синуса на (0,Π) — это просто числа от 0 до 1. Чтобы быть
точным, эти числа представляют собой интервал (0,1].
Когда (0,1] скармливается
в ln, ну мы только получаем как выводим значения которые
соответствуют этим входам. Я знаю, что ln(1) равно 0. И я знаю
что ln имеет все отрицательные числа в качестве выходных данных для чисел от 0 до
1. Таким образом, выходы для этой композиции равны (–∞,0].
композиция ln(sin(x)) делает НЕ имеют
тот же диапазон, что и просто ln. Его диапазон составляет всего (–∞,0), намного
меньший набор чисел.
Что вы должны получить от этого, пожалуйста?
Состав очень странный . Композиция функций может сделать
как домен
| Функция | Домен | Диапазон |
|---|---|---|
| sin(x) | (–&infin,∞) | [–1,1] |
| ln(x) | (0,∞) | (–&infin,∞) |
| sin(ln(x)) | (0,∞) | [–1,1] |
| ( 0,П) и все интервалы, полученные путем «перемещения» этого интервала на целое число, кратное (положительный или отрицательный) числа 2Π | (–∞,0] |
Дополнительные комментарии
Учащиеся делали интересные и полезные комментарии в классе и после него
класс об этом обсуждении.
Эти комментарии были оценены.
Например, г-жа О’Салливан заметила
что ее изображение (на графическом калькуляторе) y=ln(sin(x))
выглядело не так нормально и красиво, как на картинке выше. Этот
потому что (по сути) то, что калькулятор делает для отображения графика,
оценить функцию по 87 равномерно расположенным по горизонтали значениям в
ширину окна по горизонтали, а затем включить «включить» или подсветить, как
ну насколько это возможно, пиксели, локации на экране калькулятора,
соответствующие этим значениям. Если расстояние между образцами не соответствует
красиво с кратными Π, которые важны для функции,
тогда изображение не будет выглядеть хорошо или не будет хорошо связано с реальным
график функции. Справа график, полученный путем выборки 87
ценности. Вы можете видеть, что части кривой не выглядят
такой же. Мой график выше был не моя первая попытка создать
картинка для этих заметок. Мне на самом деле нужно было около полдюжины
пытается. Картинка, которую я использовал, имела частоту дискретизации около 350 точек, и я
выбирал окно очень тщательно, чтобы картина выглядела так должно быть ! Технологии очень мощны, но компьютеры, как правило,
именно то, что им говорят делать.
Иногда нужен уход!
Другой студент (имя которого я, к сожалению, не знаю) обсуждал мастерская проблема со мной после нашего анализа функций здесь. Задача мастерской требует домен и диапазон (arctan(ln(sqrt(x)-1))) 3 . Он сказал, что, может быть, он мог только «беспокоиться» об арктангенсе и кубах. Мой комментарий был таким рецензия, объясняющая решение проблемы, должна быть рассмотреть все «кусочки» композиции, и что объяснение должно быть довольно осторожным. В двух более простых композиции, обсуждаемые здесь, я попытался объяснить, как соображения область и диапазон требовали от нас рассмотрения обеих задействованных функций и того, как эти функции взаимодействуют друг с другом. Это взаимодействие обеспечивает большинство раздражающих особенностей (извините, «интересные аспекты» могут быть более дипломатичная фраза) примера. Итак, для проблемы с мастерской, некоторое обсуждение взаимодействия каждой части композиции необходимый.
Поддерживается
greenfie@math.
rutgers.edu и последнее изменение 02.10.2009.
График y = |ln x|
График y = |ln x|ТИ-89 очень хороший калькулятор, и ловить его очень необычно это в «ошибке», но бывает. Рассмотрение ситуаций, когда калькулятор выдает странные результаты указывает, что калькулятор, каким бы «умным» он не казался, это всего лишь инструмент — вы надо быть математиком.
Проблема:
Введите функцию y1 = abs(ln(x)) на экране «y =», и графически в стандартном окне. | |
На скриншоте справа показано, что вы (вероятно) получите.
Если вы бдительны, вы спрашиваете себя: «График на
первый квадрант выглядит нормально, но что происходит во втором
квадрант? Область определения y = ln(x) равна x > 0, поэтому y = |ln
(х)| также должно быть неопределенным, когда x = 0, верно?» Да, вы
правы — мы не ожидаем увидеть часть графика в
II. |
Читай дальше.Решение:
Установите угол вашего калькулятора в «степень» и перерисуйте функцию. | |
На этот раз вы получите «правильный» график. (Если вы получили это изначально график, переключитесь в режим радиан, чтобы увидеть график выше.) Так как мы обычно (всегда?) работаем в радианном режиме в AP Исчисление, это немного беспокоит. Что происходит? |
Причина этой странности:
Вернуться к
экран снова. Установите режим угла на RADIAN и сложный формат.
на «2: Прямоугольный». | |
Теперь немного теории. Вы помните из предалгебры (т. «старые добрые времена»!) уравнение, включающее полярную форму комплексный номер: Если позволите, это становится: Это форма уравнения Эйлера, уравнение, которое содержит все важные константы элементарная математика («Смысл жизни»)! Предположим, мы попробуйте оценить ln(-3) как комплексное число: Это результат, который дает вам TI-89, если вы оценить ln(-3). | |
Хорошо, а как насчет |ln(-3)|? Ну а в «комплексном числе земля», «| |» означает «величину», а не «абсолютную value»! Помните, что комплексные числа изображались на комплексных (Арган) самолет? Величина комплексного числа ln(-3): , что является реальным числом! (примерно 3,328)! | |
На снимке экрана справа показано, что калькулятор
действительно нарисовал точку (-3, 3,32815)! Итак, калькулятор
не ошибается — это просто применение немного более сложной математики, чем
мы действительно хотим видеть в этом случае. |
