Y модуль cos x график функции: y=|cos x| как пойдет график косинус икс по модулю? желательно с картинкой. заранее

Содержание

График функции y = cos(|x+2|)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (\left|{x + 2}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x + 2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5.14159265359$$
$$x_{2} = 51.407075111$$
$$x_{3} = -99.3893722613$$
$$x_{4} = 70.2566310326$$
$$x_{5} = -61.6902604182$$
$$x_{6} = -2$$
$$x_{7} = 57.6902604182$$
$$x_{8} = -80.5398163397$$
$$x_{9} = 85.9645943005$$
$$x_{10} = 41.9822971503$$
$$x_{11} = -27.1327412287$$
$$x_{12} = -71.115038379$$
$$x_{13} = 7.42477796077$$
$$x_{14} = -42.8407044967$$
$$x_{15} = 35.6991118431$$
$$x_{16} = 29.4159265359$$
$$x_{17} = 73.3982236862$$
$$x_{18} = 92.2477796077$$
$$x_{19} = 76.5398163397$$
$$x_{20} = -33.4159265359$$
$$x_{21} = -83.6814089933$$
$$x_{22} = -30.2743338823$$
$$x_{23} = -14.5663706144$$
$$x_{24} = -23.9911485751$$
$$x_{25} = 19.9911485751$$
$$x_{26} = 48.2654824574$$
$$x_{27} = -58.5486677646$$
$$x_{28} = -55.407075111$$
$$x_{29} = 54.5486677646$$
$$x_{30} = 67.115038379$$
$$x_{31} = -17.7079632679$$
$$x_{32} = 32.5575191895$$
$$x_{33} = -234.477856366$$
$$x_{34} = 13.7079632679$$
$$x_{35} = 60.8318530718$$
$$x_{36} = 16.8495559215$$
$$x_{37} = 82.8230016469$$
$$x_{38} = -39.6991118431$$
$$x_{39} = 10.5663706144$$
$$x_{40} = 4.28318530718$$
$$x_{41} = -74.2566310326$$
$$x_{42} = -115.097335529$$
$$x_{43} = -67.9734457254$$
$$x_{44} = -96.2477796077$$
$$x_{45} = -89.9645943005$$
$$x_{46} = -8.28318530718$$
$$x_{47} = -269.035375555$$
$$x_{48} = -93.1061869541$$
$$x_{49} = -52.2654824574$$
$$x_{50} = 98.5309649149$$
$$x_{51} = 89.1061869541$$
$$x_{52} = -49.1238898038$$
$$x_{53} = -86.8230016469$$
$$x_{54} = 26.2743338823$$
$$x_{55} = -77.3982236862$$
$$x_{56} = 63.9734457254$$
$$x_{57} = 95.3893722613$$
$$x_{58} = 45.1238898038$$
$$x_{59} = 151.938040026$$
$$x_{60} = 38.8407044967$$
$$x_{61} = 7861.40641194$$
$$x_{62} = -20.8495559215$$
$$x_{63} = 23.1327412287$$
$$x_{64} = 79.6814089933$$
$$x_{65} = -36.5575191895$$
$$x_{66} = -64.8318530718$$
$$x_{67} = 1.14159265359$$
$$x_{68} = -11.4247779608$$
$$x_{69} = -45.9822971503$$
Зн. экстремумы в точках:
(-5.14159265359, -1)
(51.407075111, -1)
(-99.3893722613, -1)
(70.2566310326, -1)
(-61.6902604182, -1)
(-2, 1)
(57.6902604182, -1)
(-80.5398163397, -1)
(85.9645943005, 1)
(41.9822971503, 1)
(-27.1327412287, 1)
(-71.115038379, 1)
(7.42477796077, -1)
(-42.8407044967, -1)
(35.6991118431, 1)
(29.4159265359, 1)
(73.3982236862, 1)
(92.2477796077, 1)
(76.5398163397, -1)
(-33.4159265359, 1)
(-83.6814089933, 1)
(-30.2743338823, -1)
(-14.5663706144, 1)
(-23.9911485751, -1)
(19.9911485751, -1)
(48.2654824574, 1)
(-58.5486677646, 1)
(-55.407075111, -1)
(54.5486677646, 1)
(67.115038379, 1)
(-17.7079632679, -1)
(32.5575191895, -1)
(-234.477856366, 1)
(13.7079632679, -1)
(60.8318530718, 1)
(16.8495559215, 1)
(82.8230016469, -1)
(-39.6991118431, 1)
(10.5663706144, 1)
(4.28318530718, 1)
(-74.2566310326, -1)
(-115.097335529, 1)
(-67.9734457254, -1)
(-96.2477796077, 1)
(-89.9645943005, 1)
(-8.28318530718, 1)
(-269.035375555, -1)
(-93.1061869541, -1)
(-52.2654824574, 1)
(98.5309649149, 1)
(89.1061869541, -1)
(-49.1238898038, -1)
(-86.8230016469, -1)
(26.2743338823, -1)
(-77.3982236862, 1)
(63.9734457254, -1)
(95.3893722613, -1)
(45.1238898038, -1)
(151.938040026, -1)
(38.8407044967, -1)
(7861.40641194, -1)
(-20.8495559215, 1)
(23.1327412287, 1)
(79.6814089933, 1)
(-36.5575191895, -1)
(-64.8318530718, 1)
(1.14159265359, -1)
(-11.4247779608, -1)
(-45.9822971503, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

Минимумы функции в точках:
$$x_{69} = -5.14159265359$$
$$x_{69} = 51.407075111$$
$$x_{69} = -99.3893722613$$
$$x_{69} = 70.2566310326$$
$$x_{69} = -61.6902604182$$
$$x_{69} = 57.6902604182$$
$$x_{69} = -80.5398163397$$
$$x_{69} = 7.42477796077$$
$$x_{69} = -42.8407044967$$
$$x_{69} = 76.5398163397$$
$$x_{69} = -30.2743338823$$
$$x_{69} = -23.9911485751$$
$$x_{69} = 19.9911485751$$
$$x_{69} = -55.407075111$$
$$x_{69} = -17.7079632679$$
$$x_{69} = 32.5575191895$$
$$x_{69} = 13.7079632679$$
$$x_{69} = 82.8230016469$$
$$x_{69} = -74.2566310326$$
$$x_{69} = -67.9734457254$$
$$x_{69} = -269.035375555$$
$$x_{69} = -93.1061869541$$
$$x_{69} = 89.1061869541$$
$$x_{69} = -49.1238898038$$
$$x_{69} = -86.8230016469$$
$$x_{69} = 26.2743338823$$
$$x_{69} = 63.9734457254$$
$$x_{69} = 95.3893722613$$
$$x_{69} = 45.1238898038$$
$$x_{69} = 151.938040026$$
$$x_{69} = 38.8407044967$$
$$x_{69} = 7861.40641194$$
$$x_{69} = -36.5575191895$$
$$x_{69} = 1.14159265359$$
$$x_{69} = -11.4247779608$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{69} = -2$$
$$x_{69} = 85.9645943005$$
$$x_{69} = 41.9822971503$$
$$x_{69} = -27.1327412287$$
$$x_{69} = -71.115038379$$
$$x_{69} = 35.6991118431$$
$$x_{69} = 29.4159265359$$
$$x_{69} = 73.3982236862$$
$$x_{69} = 92.2477796077$$
$$x_{69} = -33.4159265359$$
$$x_{69} = -83.6814089933$$
$$x_{69} = -14.5663706144$$
$$x_{69} = 48.2654824574$$
$$x_{69} = -58.5486677646$$
$$x_{69} = 54.5486677646$$
$$x_{69} = 67.115038379$$
$$x_{69} = -234.477856366$$
$$x_{69} = 60.8318530718$$
$$x_{69} = 16.8495559215$$
$$x_{69} = -39.6991118431$$
$$x_{69} = 10.5663706144$$
$$x_{69} = 4.28318530718$$
$$x_{69} = -115.097335529$$
$$x_{69} = -96.2477796077$$
$$x_{69} = -89.9645943005$$
$$x_{69} = -8.28318530718$$
$$x_{69} = -52.2654824574$$
$$x_{69} = 98.5309649149$$
$$x_{69} = -77.3982236862$$
$$x_{69} = -20.8495559215$$
$$x_{69} = 23.1327412287$$
$$x_{69} = 79.6814089933$$
$$x_{69} = -64.8318530718$$
$$x_{69} = -45.9822971503$$
Убывает на промежутках

[7861.40641194, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -269.035375555]

Урок 3. свойства и график функции y=cosx - Алгебра и начала математического анализа - 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №3. Свойства и график функции y=cos x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Глоссарий по теме

Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и ,  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и ,  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точку х0  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают y

max.

Точку х0  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin.

Основная литература:

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Функции и повторяются через каждые 360° (или 2π радиан), поэтому 360° называется периодом этих функций (рис.1).

Рис. 1 – графики функций и .

Функции и повторяются через каждые 180° (или π радиан), поэтому 180° — это период для данных функций (рис. 2).

Рис. 2 – графики функций и .

В общем случае если и (где — константа), то период функции равен (или радиан). Следовательно, если , то период этой функции равен , если , то период этой функции равен .

Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1).

Рис. 3 – изображение амплитуды графиков и .

Однако, если , каждая из величин умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для амплитуда равна 5, а период — .

Рис. 4 – график функции .

Свойства функции :

  1. Область определения - множество R всех действительных чисел.
  2. Множество значений - отрезок [−1;1].
  3. Функция  периодическая, Т=2π. 
  4. Функция  - чётная
  5. Функция  принимает:
  1. Функция 
  • возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;
  • убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на .

Интересно, что графиками тригонометрических функций –косинус и синус описываются многие процессы в нашей жизни. Например, работа сердца. Сделанная электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой график синусоиды, отражающую биоэлектрическую активность сердца. Или еще пример, электромагнитные волны к ним относятся: мобильные телефоны, беспроводная связь, радио, СВЧ-печи тоже распространяются по закону синуса или косинуса. Их существование было предсказано  английским физиком Дж.Максвеллом в 1864 году.

Актуализация знаний

Напомним, что множество значений функции y=cosx принадлежит отрезку [–1;1], определена данная функция на всей числовой прямой и, следовательно, функция ограничена и график её расположен в полосе между прямыми y=–1 и y=1.

Так как функция периодическая с периодом , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной , например на отрезке Тогда на промежутках, полученных сдвигами выбранного отрезка на , график будет таким же.

Функция является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке достаточно построить для а затем симметрично отразить его относительно оси Оу (рис. 5)

Рис. 5 – график функции .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 6 – графики функций и .

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На отрезке от корнем уравнения является число . Из рисунка видно, что точки х1 и х2 симметричны относительно оси Оу, следовательно . А .

Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 6 видно, что график функции лежит ниже графика функции на промежутках и

Ответ: , .

cos модуль x график

Вы искали cos модуль x график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cos модуль x модуль, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «cos модуль x график».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos модуль x график,cos модуль x модуль,y cos модуль x,y cosx модуль,y модуль cos x,y модуль cos модуль x,y модуль cosx график,график cos модуль x,график модуль cos x,график модуль y cosx,модуль cos x график,модуль y cos x. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos модуль x график. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, y cos модуль x).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos модуль x график Онлайн?

Решить задачу cos модуль x график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Cos x п 2 график. Графики тригонометрических функций кратных углов

Урок и презентация на тему: "Функция y=cos(x). Определение и график функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.

Определение функции косинуса у=cos(x)

Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).

Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).

Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.

График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).

График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.

Свойства функции cos(x)

    Запишем свойства нашей функции:
  • Область определения – множество действительных чисел.
  • Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
  • Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
  • Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
    -1 ≤ cos(X) ≤ 1
  • Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
  • Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
  • Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
  • Функция Y=cos(X) - периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.

Примеры с функцией cos(x)

1. Решить уравнение cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x - 2π) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x - 2π) 2 + 1 - это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.

2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0

Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по "кусочкам". Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба "кусочка" на одном графике.


3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.


4. Построить график функции y=cos(π/3 - x) + 1

Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.

Задачи для самостоятельного решения

1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2.
2) Решить уравнение: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке .
6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].

«Графики функций и их свойства» - y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой.

«График функции Y X» - Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x - m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).

«Математика графики» - Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,…

«Построение графиков с помощью производной» - Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции.

«Графики с модулем» - Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы.

«Уравнение касательной» - Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и.

Всего в теме 25 презентаций

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω - некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем "сжатия" графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

Функция y = (x) - презентация онлайн

1. Функция

y | x |
Подготовил Кожемяко Никита,
9 класс
2008г.
Актуальность – собрать сведения по теме в связи с
подготовкой к экзамену
Проблема – в школьном курсе алгебры недостаточно
задач с модулем
Объект исследования – функция
Предмет исследования – функция у=|x|
Цель – рассмотреть решение распространённых
задач с модулем
Гипотеза – я предполагал, что задачи с модулем
решаются только графически
Задачи –
1.Вспомнить известную мне информацию о задачах
с модулем
2.Придумать новые задачи
3.Проконсультироваться с учителем
4.Создать презентацию
5.Защитить работу

3. Определение модуля

В математике через |x| обозначается абсолютная
величина, или модуль числа х.
Абсолютная величина числа х равна этому числу, если
х>0, равна противоположному числу –х, если x
равна нулю, если х=0.
Таким образом, функция |x| определена для всех
х (-∞;+∞).
Множество её значений совпадает с множеством
неотрицательных чисел.
|x|=
х, если х≥0,
-х, если х
График функции
у
0
Свойства функции
y | x |
х
1.D(f)=(-∞;+∞)
2.E(f)=[0;+∞)
3.Ограничена снизу
4.Возрастает
на[0;+∞)
убывает на(-∞;0]
5.Чётная функция
6. У наиб нет У наим. 0
7.Непрерывна
Решение уравнений
с модулем графическим методом
|x-3|-1=x3
y=|x-3|-1
0
Ответ: x=1
у
y=x3
1
4
x
Решение неравенств
с модулем графическим методом
Решим неравенство |x|-2 ≥
y=|x|-2
0
Ответ: [4;+∞)
y=
y
1
x
x
4
x
Решение уравнения с параметром и
модулем графическим способом
Сколько решений имеет уравнение
у
|x+2|+1 =c
y=|x+2|+1
y=c
Рассмотрим 3 случая
1
Iсл. c>1, 2 решения
IIсл. c
IIIсл. c=1, 1 решение
0
x

8. Аналитический метод решения уравнения с модулем

Решим уравнение|x-3|=5
I способ
Рассмотрим два случая
1 случай
2 случай
x-3≥0
x-3=5
x-3
3-x=5
x=5+3
-x=5-3
x=8, 8-3≥0 (и) x=-2, -2-3
Ответ:-2, 8
II способ
x-3=5 или x-3=-5
x=8
x=-2

9. Показательные уравнения с модулем

2|x+2| = 16
2|x+2| = 24
|x+2| = 4
I случай
x+2=4
x=2
Ответ: 2;-6
II случай
x+2=-4
x=-6

10. Логарифмическое уравнение с модулем

log2(|x-2| - 1) = 1
ОДЗ: (|x-2| - 1) > 0:
|x-2| - 1 = 2
|x-2| = 3
I случай
II случай
x-2 = 3
x-2 = -3
x=5
x = -1
Ответ: 5;-1

11. Алгоритм решения уравнений с модулем

1. Найти нули модулей.
2. Отметить нули на координатной
прямой.
3. Решить уравнение на каждом из
промежутков с помощью системы.
4. Написать ответ.

12. Решение уравнений с двумя модулями

|x|=|x-3|+4-x
|x|=0,|x-3|=0
Нули модулей: 0;3
0
3
1сл.
2сл.
3сл.
x
-x=3-x+4-x
0≤x≤3
x=-x+3+4-x
x>3
x=x-3+4-x
x=7, 7
x=7/3 ,0≤7/3≤3 (и)
x=1 ,1>3 (л)
Решений нет
Ответ: 7/3.
7/3 - корень
Решений нет
х

13. Решение неравенств с модулем аналитическим методом

|x+2|≥1
Рассмотрим два случая
I случай
II случай
x+2≥0
x+2≥1
x+2
-2-x
x≥-2
x≥-1
x
x>-3
-2
x
-1
x
[-1;+∞)
-3
x
Ответ:
[-3;-2]
(-3;-2)U[-1;+∞).
-2
x
Решение неравенств с модулем
различными методами
Третий способ. Имеем: |x-2.5|>2.
Геометрически выражение |x-2.5| означает расстояние р(x-2.5)
на координатной прямой между точками х и 2.5. Значит, нам
нужно
Найти все такие точки х, которые удалены от точки 2.5 более, чем
на 2это точки из промежутков (-∞;0.5) и (4.5;+∞)
Итак, получили следующее решения неравенства: х4.5.
Четвёртый способ.
Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны,
то возведение их в квадрат есть равносильное преобразование
неравенства. Получим |2x-5|2>42
Воспользовавшись тем что |x|2=x2, получим
(2x-5-4)(2x-5+4)>0
Применив метод интервалов получим тот же ответ.

15. Алгоритм решения неравенств с модулем

1. Найти нули модулей.
2. Отметить нули на координатной
прямой.
3. Решить неравенство на каждом из
промежутков с помощью системы.
4. Написать ответ.

16. Решение неравенств с двумя модулями

|x+1|≥|x-2|
-1
Нули модулей: -1;2
1сл.
2сл.
2
3сл.
x
-x-1≥-х+2
-1≤x≤2
х+1≥-x+2
x>2
х+1≥х-2
0x≥3, 0≥3 (л)
2х≥1
х≥0,5
0,5
0x≥-3,0≥3 (и)
Решений нет
-1
Ответ:(0,5;+∞)
х
х
х
2
2
Тригонометрические уравнения с
модулем
|sin(x+
)|=1
I случай
sin(x+ )=1
-sinx=1
sinx=-1
x=3 /2+2 n
/2+ n
Ответ:
II случай
sin(x+ )=-1
-sinx=-1
sinx=1
x= /2+2 n
Тригонометрические уравнения с
модулем
)
|cosx|=cos(x+
I cлучай
cosx
-cosx=cos(x+ )
cos( +x)=cos(x+ )
x+ =x+ +2
или -x- =x+
x=x+
-2x=2
0x=
x=
решений нет
2
Ответ:
+2
Тригонометрические уравнения с
модулем
)
|cosx|=cos(x+
II cлучай
cosx≥0
cosx=cos(x+ )
cos(x)=cos(x+ )
x =x+ +2
или -x=x+ +2
x=x+
-2x= +2
0x=
x=
-
решений нет
Ответ:
2
График функции у=|x+1|-|x-2|
Нули модулей: -1;2
1сл.
2сл.
x
у=-x-1+х-2
-1≤x≤2
x>2
у=х+1+x-2 у=х+1-х+2
x
у=-3
-1≤x≤2
у=2х-1
у=
-3, x
2х-1, -1≤x≤2
3, x>2
3сл.
2
-1
х
у
x>2
у=3
0
х
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик
Ньютона. Знак модуля введен в XIX веке Вейерштрассом.
Роджер Котс (Roger Cotes;
10 июля 1682 — 5 июня
1716) — английский
математик и философ.
В двадцать четыре года был
назначен профессором
астрономии и
экспериментальной
философии в Кембриджском
университете. В 1713 он
подготовил второе издание
«Principia» Ньютона. Котс
оставил серию подробных
исследований по оптике.
Карл Те́одор Ви́льгельм
Ве́йерштрасс (нем. Karl
Theodor Wilhelm Weierstraß;
31 октября 1815 — 19
февраля 1897) —
выдающийся немецкий
математик, «отец
современного анализа».

22. Выводы

В ходе работы над проектом моя гипотеза не
подтвердилась.
Я не только вспомнил графический способ, но и
научился решать уравнения и неравенства
аналитическим методом и строить графики с
несколькими модулями.
В дальнейшем можно рассмотреть аналитический
метод решения неравенств и уравнений с
модулем и параметром.

23. Список литературы

Алгебра:Для 8 кл.:учеб. пособие для учащихся
шк. и классов с углуб.изуч математики/
Н.Я.Виленкин, Г.С.Сурвило и др., под ред.
Н.Я.Виленкина – М.: Просвещение.
Мордкович А.Г. И др. Алгебра.9кл.: В двух
частях. Ч.2: Задачник для общеообразоват.
учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г.
Мордкович А.Г. И др. Алгебра.9кл.: В двух
частях. Ч.2: Учебник для общеообразоват.
учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г.
Мордкович А.Г. И др.Алгебра и начала анализа
10-11кл.: В двух частях. Ч.1: Задачник для
общеообразоват. учреждений/М.:Мнемозина,
2004 г.
Математика: Учеб. Для 6 кл. сред. шк./Н.Я.
Виленкин и др. М.: Просвещение, 1993.

График функции y 2 cos x. Графики тригонометрических функций кратных углов. Задачи для самостоятельного решения

«Графики функций и их свойства» - y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой.

«График функции Y X» - Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x - m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).

«Математика графики» - Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,…

«Построение графиков с помощью производной» - Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции.

«Графики с модулем» - Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы.

«Уравнение касательной» - Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и.

Всего в теме 25 презентаций

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω - некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем "сжатия" графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

Урок и презентация на тему: "Функция y=cos(x). Определение и график функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.

Определение функции косинуса у=cos(x)

Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).

Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).

Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.

График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).

График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.

Свойства функции cos(x)

    Запишем свойства нашей функции:
  • Область определения – множество действительных чисел.
  • Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
  • Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
  • Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
    -1 ≤ cos(X) ≤ 1
  • Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
  • Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
  • Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
  • Функция Y=cos(X) - периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.

Примеры с функцией cos(x)

1. Решить уравнение cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x - 2π) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x - 2π) 2 + 1 - это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.

2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0

Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по "кусочкам". Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба "кусочка" на одном графике.


3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.


4. Построить график функции y=cos(π/3 - x) + 1

Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.

Задачи для самостоятельного решения

1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2.
2) Решить уравнение: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке .
6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].

Python. Модуль math. Тригонометрические функции


Содержание


Поиск на других ресурсах:

1. Особенности применения тригонометрических функций. Преобразование радиан в градусы и наоборот

Чтобы использовать тригонометрические функции в программе, нужно подключить модуль math

import math

Все тригонометрические функции оперируют радианами. Зависимость между радианами и градусами определяется по формуле:

1 радиан = 180°/π = 57.2958°

Если известен угол в градусах, то для корректной работы тригонометрических функций, этот угол нужно преобразовать в радианы.

Например. Задан угол, имеющий n градусов. Найти арккосинус этого угла. В этом случае формула вычисления результата будет следующей:

...
n_rad = n*3.1415/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус
...

Чтобы получить более точное значение результата, в программе можно использовать константу math.pi, которая определяет число π. В этом случае текст программы будет иметь следующий вид

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

  ⇑

2. Средства языка Python для конвертирования из градусов в радианы и наоборот. Функции math.degrees(x) и math.radians(x)

В языке Python существуют функции преобразования из градусов в радианы и, наоборот, из радиан в градусы.

Функция math.degrees(x) конвертирует значение параметра x из радиан в градусы.
Функция math.radians(x) конвертирует значение параметра x из градусов в радианы.

Пример.

# Функция math.degrees(x)
import math

x = 1 # x - угол в радианах
y = math.degrees(x) # y = 57.29577951308232 - угол в градусах

x = math.pi # x = 3.1415...
y = math.degrees(x) # y = 180.0

# Функция math.radians(x)
x = 180.0/math.pi
y = math.radians(x) # y = 1.0

x = 45 # x - угол в градусах
y = math.radians(x) # y = 0.7853981633974483

  ⇑

3. Ограничения на использование тригонометрических функций

При использовании тригонометрических функций следует учитывать соответствующие ограничения, которые следуют из самой сущности этих функций. Например, не существует арксинуса из числа, которое больше 1.
Если при вызове функции задать неправильный аргумент, то интерпретатор выдаст соответствующее сообщение об ошибке

ValueError: math domain error

  ⇑



4. Функция math.acos(x). Арккосинус угла

Функция acos(x) возвращает арккосинус угла x. Аргумент x задается в радианах и может быть как целым числом, так и вещественным числом.

Пример.

# Функция math.acos(x)
import math

n = float(input('n = ')) # ввести n

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

print('n_rad = ', n_rad)
print('ac = ', ac)

Результат работы программы

n = 35
n_rad = 0.6108652381980153
ac = 0.913643357298706

  ⇑

5. Функция math.asin(x). Арксинус

Функция math.asin(x) вычисляет арксинус угла от аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.asin(x)
import math

n = 10 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 0.17453292519943295

# вычислить арксинус
asn = math.asin(n_rad) # asn = 0.17543139267904395

  ⇑

6. Функция math.atan(x). Арктангенс

Функция math.atan(x) возвращает арктангенс аргумента x, значение которого задается в радианах. При использовании функции важно помнить допустимые значения x, которые можно задавать при вычислении арктангенса.

Пример.

# Функция math.atan(x)
import math

n = 60 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 1.0471975511965976

# вычислить арктангенс
atn = math.atan(n_rad) # atn = 0.808448792630022

  ⇑

7. Функция math.atan2(x, y). Арктангенс от x/y

Функция math.atan2(x, y) вычисляет арктангенс угла от деления x на y. Функция возвращает результат от —π до π. Аргументы x, y определяют координаты точки, через которую проходит отрезок от начала координат. В отличие от функции atan(x), данная функция правильно вычисляет квадрант, влияющий на знак результата.

Пример.

# Функция math.atan2(x,y)
import math

x = -2
y = -1

res = math.atan2(x, y) # res = -2.0344439357957027

  ⇑

8. Функция math.cos(x). Косинус угла

Функция math.cos(x) вычисляет косинус угла для аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.cos(x)
import math

x = 0
y = math.cos(x) # y = 1.0

x = math.pi
y = math.cos(x) # y = -1.0

x = 2 # 2 радианы
y = math.cos(x) # y = -0.4161468365471424

  ⇑

9. Функция math.sin(x)

Функция math.sin(x) возвращает синус угла от аргумента x, заданного в радианах.

Пример.

# Функция math.sin(x)
import math

x = math.pi
y = math.sin(x) # y = 1.2246467991473532e-16

x = 0
y = math.sin(x) # y = 0.0

x = 2 # 2 радиана
y = math.sin(x)

  ⇑

10. Функция math.hypot(x, y). Евклидовая норма (Euclidean norm)

Функция возвращает Евклидовую норму, которая равна длине вектора от начала координат до точки x, y и определяется по формуле

Пример.

# Функция math.hypot(x, y)
import math

x = 1.0
y = 1.0
z = math.hypot(x, y) # z = 1.4142135623730951

x = 3.0
y = 4.0
z = math.hypot(x, y) # z = 5.0

  ⇑

11. Функция math.tan(x). Тангенс угла x

Функция math.tan(x) возвращает тангенс от аргумента x. Аргумент x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.tan(x, y)
import math

x = 1.0
y = math.tan(x) # y = 1.5574077246549023

x = 0.0
y = math.tan(x) # y = 0.0

  ⇑


Связанные темы

  ⇑


 

графиков функции синуса и косинуса

Результаты обучения

  • Определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг синусоидального или косинусоидального графика по его уравнению.
  • График изменения y = cos x и y = sin x.
  • Определите формулу функции, которая будет иметь заданный синусоидальный график.
  • Определение функций, моделирующих круговое и периодическое движение.

График изменения y = sin (x) и y = cos (x)

Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности.Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции синуса на единичной окружности.

x 0 [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс] [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс] [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс] [латекс] \ pi [/ латекс]
[латекс] \ sin (x) [/ латекс] 0 [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] 0

Построение точек из таблицы по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.

Рисунок 2. Синусоидальная функция

Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.

Рисунок 3. График значений синусоидальной функции

Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.

x 0 [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс] [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс] [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс] [латекс] \ pi [/ латекс]
[латекс] \ cos (x) [/ латекс] 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] 0 [латекс] - \ frac {1} {2} [/ латекс] [латекс] - \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] - \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] -1

Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Косинусная функция

Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].

На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом [латекс] 2π [/ латекс].Периодическая функция - это функция, для которой конкретный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для все значения x в домене f . Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с [latex] P> 0 [/ latex] периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

Рисунок 5

Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии.Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] \ sin (−x) = - \ sin x [/ latex]. Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.

Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции

На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией.Теперь из графика видно, что [latex] \ cos (−x) = \ cos x [/ latex].

Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса

Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:

  • Это периодические функции с периодом 2π.
  • Область каждой функции - [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], а диапазон - [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
  • График [latex] y = \ sin x [/ latex] симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
  • График [latex] y = \ cos x [/ latex] симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.

Исследование синусоидальных функций

Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы увидим океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса. Однако они не обязательно идентичны.Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс]

и

[латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]

Определение периода синусоидальной функции

Рассматривая формы синусоидальных функций, мы видим, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.

В общей формуле B связано с периодом соотношением [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если [латекс] | B | > 1 [/ latex], то период меньше [latex] 2π [/ latex] и функция подвергается горизонтальному сжатию, тогда как если [latex] | B | <1 [/ latex], то период больше, чем [latex] 2π [/ latex], и функция претерпевает горизонтальное растяжение. Например, [латекс] f (x) = \ sin (x), B = 1 [/ latex], поэтому период равен [latex] 2π [/ latex], который мы знали.Если [latex] f (x) = \ sin (2x) [/ latex], то [latex] B = 2 [/ latex], поэтому период равен [latex] π [/ latex] и график сжимается. Если [латекс] f (x) = \ sin \ left (\ frac {x} {2} \ right) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период [латекс] 4π [/ латекс] и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с [latex] | B | [/ latex].

Рисунок 8

Общее примечание: период синусоидальных функций

Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях общего вида функций синуса и косинуса, мы получим формы

[латекс] y = A \ sin \ left (Bx \ right) [/ латекс]

[латекс] y = A \ cos \ left (Bx \ right) [/ латекс]

Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].

Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса

Определите период функции [latex] f (x) = \ sin \ left (\ frac {π} {6} x \ right) [/ latex].

Показать решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].

В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет

[латекс] \ begin {align} P & = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \\ & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6}} \\ & = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \\ & = 12 \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Определите период функции [latex] g (x) = \ cos \ left (\ frac {x} {3} \ right) [/ latex].

Определение амплитуды

Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут расстоянием | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия - это ось x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда [латекса] f (x) = 4 \ sin \ left (x \ right) [/ latex] в два раза больше амплитуды

[латекс] f (x) = 2 \ sin \ left (x \ right) [/ латекс]

Если [латекс] | A | <1 [/ latex], функция сжата. На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами.

Рисунок 9

Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций

Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях общего вида функций синуса и косинуса, мы получим формы

[латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) [/ latex]

Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |.Кроме того, обратите внимание, что в примере

[латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} - \ text {minimum} | [/ latex]

Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса

Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = - 4 \ sin (x) [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

Показать решение

Давайте начнем с сравнения функции с упрощенной формой [latex] y = A \ sin (Bx) [/ latex].

В данной функции A = −4, поэтому амплитуда равна | A | = | −4 | = 4.Функция растянута.

Анализ решения

Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.

Рисунок 10

Попробуйте

Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = 12 \ sin (x) [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

Показать решение

[латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] сжатый

Анализ графиков вариаций

y = sin x и y = cos x

Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общий вид:

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]

или

[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C} { B})) + D [/ латекс]

Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом или горизонтальным смещением основной синусоидальной или косинусоидной функции . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f (x ) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} [/ latex].

Рисунок 11

В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].

Рисунок 12

Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. Рисунок 13 сравнивает [латекс] f (x) = \ sin x [/ latex] с [latex] f (x) = \ sin (x) +2 [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике.

Рисунок 13

Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса

Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] - это сдвиг по фазе , и D, - это сдвиг по вертикали , .

Пример 3: Определение фазового сдвига функции

Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) - 2 [/ latex].

Показать решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex].

Обратите внимание, что в данном уравнении B = 1 и [latex] C = - \ frac {π} {6} [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг

[латекс] \ begin {align} \ frac {C} {B} & = - \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \\ & = - \ frac {\ pi} {6} \ конец {align} [/ latex]

или [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] единиц слева.

Анализ решения

Необходимо обратить внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) - 2 [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x - (- \ frac { π} {6})) - 2 [/ латекс]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.

Попробуйте

Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ frac {π} {2} [/ латекс]; правый

Пример 4: Определение вертикального сдвига функции

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 [/ latex].

Показать решение

Давайте начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D [/ latex]. В данном уравнении [латекс] D = -3 [/ латекс], поэтому сдвиг составляет 3 единицы вниз.

Попробуйте

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 [/ latex].

Практическое руководство. Имея синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

  1. Определите амплитуду как | A |.
  2. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex].
  3. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  4. Определите среднюю линию как y = D.

Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 [/ latex].

Показать решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.

Затем B = 2, поэтому период равен [latex] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π [/ latex].

В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 [/ latex].

Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.

Анализ решения

Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3. См. Рисунок 14.

Рисунок 14

Попробуйте

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} - \ frac {π} {3}) [ /латекс].

Показать решение

средняя линия: [латекс] y = 0 [/ латекс]; амплитуда: | A | = [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]; период: P = [латекс] \ frac {2π} {| B |} = 6 \ pi [/ латекс]; фазовый сдвиг: [латекс] \ frac {C} {B} = \ pi [/ latex]

Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите формулу функции косинуса на рисунке 15.

Рисунок 15

Показать решение

Чтобы определить уравнение, нам нужно идентифицировать каждое значение в общем виде синусоидальной функции.

[латекс] y = A \ sin \ left (Bx-C \ right) + D [/ латекс]

[латекс] y = A \ cos \ left (Bx-C \ right) + D [/ латекс]

График может представлять либо функцию синуса, либо косинуса, которая смещается и / или отражается. Когда [latex] x = 0 [/ latex], график имеет крайнюю точку, [latex] (0,0) [/ latex]. Поскольку функция косинуса имеет крайнюю точку для [latex] x = 0 [/ latex], давайте запишем наше уравнение в терминах функции косинуса.

Начнем со средней линии. Мы видим, что график поднимается и опускается на одинаковое расстояние выше и ниже [latex] y = 0,5 [/ latex]. Это значение, которое является средней линией, равно D в уравнении, поэтому D = 0,5.

Наибольшее расстояние выше и ниже средней линии - это амплитуда. Максимальные значения находятся на 0,5 единицы выше средней линии, а минимальные - на 0,5 единицы ниже средней линии. Итак | A | = 0,5. Другой способ определить амплитуду - это признать, что разница между высотой локальных максимумов и минимумов равна 1, поэтому | A | = [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс].Кроме того, график отображается относительно оси x , так что A = 0,5.

График не растягивается и не сжимается по горизонтали, поэтому B = 0 и график не смещается по горизонтали, поэтому C = 0.

Собираем все вместе,

[латекс] g (x) = 0,5 \ cos \ left (x \ right) +0,5 [/ латекс]

Попробуйте

Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.

Рисунок 16

Показать решение

[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 [/ латекс]

Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

Рисунок 17

Показать решение При максимальном значении 1 и минимальном значении –5 средняя линия будет находиться посередине между –2. Итак, D = −2. Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | A | = 3.

Период графика равен 6, и его можно измерить от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex].Используя положительное значение для B , находим, что

[латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} [/ латекс]

Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ пи} {3} х-С) -2 [/ латекс]. Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:

  • косинус, смещенный вправо
  • отрицательный косинус, сдвинутый влево
  • синус, сдвинутый влево
  • отрицательный синус смещен вправо

Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения.Итак, наша функция становится

[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) - 2 [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π } {3} x + \ frac {2π} {3}) - 2 [/ латекс]

Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

Попробуйте

Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.

Рисунок 18

Показать решение

две возможности: [латекс] y = 4 \ sin (\ frac {π} {5} x− \ frac {π} {5}) + 4 [/ latex] или [latex] y = −4sin (\ frac {π} {5} x + 4 \ frac {π} {5}) + 4 [/ латекс]

Графические вариации

y = sin x и y = cos x

В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков.Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ latex],

мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

Как сделать: для функции [latex] y = Asin (Bx) [/ latex] нарисуйте ее график.

  1. Определите амплитуду, | A |.
  2. Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex].
  3. Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A, положительна, или уменьшается, если A, отрицательна.
  4. При [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, при y = A .
  5. Кривая возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {| B |} [/ latex].
  6. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} [/ latex] при y = - A .
  7. Кривая снова возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {2 | B |} [/ latex].

Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода

Нарисуйте график [латекса] f (x) = - 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) [/ latex].

Показать решение

Давайте начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].

Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.

| A | = 2

Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} [/ latex], поэтому период равен

[латекс] \ begin {align} P & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ & = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ & = 4 \ end {align} [/ latex]

Шаг 3. Поскольку A отрицательно, график спускается по мере продвижения вправо от начала координат.

Шаг 4–7. Перехваты x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода находятся на уровне x = 4.

Четверть точки включают минимум при x = 1 и максимум при x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.

Рисунок 19

Попробуйте

Нарисуйте график [латекс] g (x) = - 0,8 \ cos (2x) [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Показать решение

средняя линия: y = 0; амплитуда: | A | = 0,8; период: P = [латекс] \ frac {2π} {| B |} = \ pi [/ latex]; фазовый сдвиг: [latex] \ frac {C} {B} = 0 [/ latex] или нет

Как сделать: для заданной синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.

  1. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите амплитуду, | A |.
  3. Укажите период, [латекс] P = 2π | B | [/ latex].
  4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Нарисуйте график [latex] f (x) = A \ sin (Bx) [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх или вниз на Д .

Пример 9: Построение преобразованной синусоиды

Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin \ left (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4} \ right) [/ latex].

Показать решение

Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin \ left (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4} \ right) [/латекс].Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начинающейся от средней линии и увеличивающейся вправо.

Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} [/ latex], мы определяем период следующим образом.

[латекс] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 [/ латекс]

Период 8.

Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} [/ latex], фазовый сдвиг равен

[латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 [/ latex].

Фазовый сдвиг 1 ед.

Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.

Рис. 20. Сжатая по горизонтали, растянутая по вертикали и смещенная по горизонтали синусоида

Попробуйте

Нарисуйте график [латекса] g (x) = - 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Показать решение

[латекс] \ text {midline:} y = 0; \ text {ampitude:} | A | = 2; \ text {period:} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6; \ text {сдвиг фазы:} \ frac {C} {B} = - \ frac {1} {2} [/ latex]

Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции

Дано [латекс] y = −2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi \ right) +3 [/ latex], определить амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.

Показать решение

Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.

[латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]

Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.

Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.

Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], поэтому период равен [latex] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac { 2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 [/ latex].Период 4.

Шаг 4. [latex] C = - \ pi [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = - \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = - 2 [/ latex]. Сдвиг фазы равен -2.

Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается на 3.

Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражен относительно оси x.

На рисунке 21 показан один цикл графика функции.

Рисунок 21


Использование преобразований функций синуса и косинуса

Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием либо синусоидальной, либо косинусной функции .

Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.

Показать решение

Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [latex] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

Рисунок 22

Анализ решения

Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; когда мы путешествуем по кругу, мы возвращаемся к точке (3,0) для [latex] x = 2 \ pi, 4 \ pi, 6 \ pi, \ dots [/ latex], потому что выходы графика теперь будут колебаться между –3 и 3 амплитуда синусоидальной волны равна 3.

Попробуйте

Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.

Показать решение

7

Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Круг с радиусом 3 фута устанавливается так, чтобы его центр находился в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23. Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении круга; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

Рисунок 23

Показать решение

Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.

Рисунок 24

Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают одну функцию более простой в использовании, чем другую.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Собирая эти преобразования вместе, получаем, что

[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]

Попробуйте

Груз прикрепляется к пружине, которая затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение y груза относительно доски находится в диапазоне от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение x задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y через x.

Рисунок 25

Показать решение

[латекс] y = 3 \ cos (x) −4 [/ латекс]

Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения

Лондонский глаз - это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

Показать решение

При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.

Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

Наконец, так как райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусной кривой.

  • Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
  • Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
  • Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
  • Форма: −cos ( t )

Уравнение роста всадника:

[латекс] y = -67,5 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {15} t \ right) +69,5 [/ latex]

, где t в минутах, а y в метрах.

Ключевые уравнения

Синусоидальные функции [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ латекс]
[латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]
  • Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений - период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
  • Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
  • График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
  • В общей формуле синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  • В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
  • Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
  • Значение D в общей формуле синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
  • Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
  • Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
  • Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
  • Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
  • Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.

Глоссарий

амплитуда
вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции
средняя линия
горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции
периодическая функция
функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для определенной константы P и любого значения x
сдвиг фазы
горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]
синусоидальная функция
любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

Модуль 15 - Косинус y = cos (x)

Управляйте настройками файлов cookie

Вы можете управлять своими предпочтениями относительно того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, пока вы находитесь на веб-сайтах TI, изменяя статус этих категорий.

Категория Описание Разрешить
Аналитические и рабочие файлы cookie Эти файлы cookie, включая файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам. Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, облегчая вам поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами. Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей.Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламные объявления в соответствии с вашими интересами, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie

Эти файлы cookie помогают идентифицировать вас и хранить ваши действия и информацию об учетной записи, чтобы предоставлять расширенные функциональные возможности, в том числе более персонализированный и релевантный опыт на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.

Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.

Файлы cookie социальных сетей Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, подключенный к онлайн-социальным сетям, таким как Facebook, Twitter и другим платформам социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы поместили в корзину на TI.com, для доступа к защищенным областям сайта TI или для управления настроенными вами настройки файлов cookie). Всегда на связи

Графическая функция косинуса

В тригонометрические соотношения может также рассматриваться как функция переменной, которая является мерой угла.Эту угловую меру можно указать в градусы или радианы . Здесь мы будем использовать радианы.

График косинус функция у знак равно потому что ( Икс ) выглядит так:

Свойства функции косинуса, у знак равно потому что ( Икс ) .

Домен : ( - ∞ , ∞ )

Диапазон : [ - 1 , 1 ] или - 1 ≤ у ≤ 1

у -перехват : ( 0 , 1 )

Икс -перехват : ( п π 2 , 0 ) , куда п целое число.

Период: 2 π

Непрерывность: непрерывно горит ( - ∞ , ∞ )

Симметрия: у -axis (четная функция)

Максимальное значение у знак равно потому что ( Икс ) происходит, когда Икс знак равно 2 п π , куда п целое число.

Минимальное значение у знак равно потому что ( Икс ) происходит, когда Икс знак равно π + 2 п π , куда п целое число.

Амплитуда и период функции косинуса

Амплитуда графика у знак равно а потому что ( б Икс ) это величина, на которую он изменяется выше и ниже Икс -ось.

Амплитуда = | а |

Период функции косинуса - это длина самого короткого интервала на Икс -ось, по которой график повторяется.

Период = 2 π | б |

Пример:

Нарисуйте графики у знак равно потому что ( Икс ) и у знак равно 2 потому что ( Икс ) .Сравните графики.

Для функции у знак равно 2 потому что ( Икс ) , график имеет амплитуду 2 . С б знак равно 1 , график имеет период 2 π . Таким образом, он проходит один цикл от 0 к 2 π с одним максимумом 2 , и один минимум - 2 .

Обратите внимание на графики у знак равно потому что ( Икс ) и у знак равно 2 потому что ( Икс ) . У каждого такое же Икс -перехватывает, но у знак равно 2 потому что ( Икс ) имеет амплитуду, в два раза превышающую амплитуду у знак равно потому что ( Икс ) .

Также см Тригонометрические функции .

Как построить график 1-cos (x) - Видео и стенограмма урока

Другие преобразования функций

Как мы только что видели, преобразования функций очень удобны при попытке построить график вариаций хорошо известной функции. Мы просто видели в действии отражения и вертикальные сдвиги. Давайте посмотрим на два других типа преобразований функций. Это горизонтальные сдвиги и растяжение / сжатие.

Горизонтальный сдвиг - это преобразование, которое сдвигает график функции вправо или влево. Эти типы преобразований соответствуют добавлению или вычитанию числа от или до x в функции. Если мы добавим c к x в функции, то мы сдвинем график функции влево на c единиц, а если мы вычтем c из x в функции, то мы сдвинем график функция правая c шт.Это может показаться вам обратным, но именно так работают горизонтальные сдвиги. Просто помните, имея дело с горизонтальными сдвигами, думайте «противоположности» (вправо = вычитание, влево = сложение).

Это много слов! Всегда лучше применять на практике, поэтому, чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим функцию y = cos ( x + 5). Поскольку мы добавляем 5 к x в функции cos ( x ), мы сдвигаем график cos ( x ) на пять единиц влево, чтобы получить график cos ( x + 5).

Сдвиг на 5 единиц влево

Растяжение и сжатие - это преобразования, которые либо растягивают, либо сжимают (сжимают) функцию. Алгебраически это преобразование соответствует умножению функции или переменной x функции на число. Если мы умножаем целую функцию на c или 1/ c , мы растягиваем или сжимаем функцию по вертикали, а если мы умножаем только x -переменную в функции на c или 1/ c , мы растягиваем или сжимаем функцию по горизонтали.

Когда дело доходит до вертикального растяжения и сжатия, если мы умножаем на c , то мы растягиваем функцию по вертикали с коэффициентом c . Если мы умножим на 1/ c , то мы уменьшим функцию по вертикали в c раз.

С другой стороны, когда дело доходит до горизонтального растяжения и сжатия, если мы умножаем x на c , то мы сжимаем функцию по горизонтали с коэффициентом c .Если мы умножим x на 1/ c , то мы растянем функцию по горизонтали на коэффициент c .

Ой, опять много слов! Давайте еще раз рассмотрим пример, чтобы лучше понять эту концепцию. Рассмотрим функцию 2cos ( x ). Поскольку мы умножаем всю функцию cos ( x ) на 2, мы растягиваем функцию cos ( x ) в 2 раза.

Растянуть в 2 раза

Как мы видели в нашей первоначальной задаче построения графика 1 - cos ( x ), у нас может происходить более одного преобразования одновременно.Рассмотрим функцию y = (1/3) cos (- x - 2) - 4. На первый взгляд это выглядит очень сложным для построения графика, но на самом деле это просто вопрос построения графика y = cos ( x ), смещая его на 2 единицы вправо, сжимая по вертикали в 3 раза, отражая по оси y и смещая вниз на 4 единицы.

Трансформации

Довольно аккуратно, да?

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы узнали.В этом уроке мы рассмотрели функцию 1- cos (x), которая является примером преобразования функции или алгебраических манипуляций функции, соответствующих преобразованиям графика функции. Мы рассмотрели четыре типа преобразований, включая отражение и , которые представляют собой преобразования, отражающие функцию по оси x или y ; вертикальные сдвиги , которые представляют собой преобразования, которые сдвигают график функции вверх или вниз; горизонтальные сдвиги , которые представляют собой преобразования, которые сдвигают график функции вправо или влево; и растягивание, и сжатие, , которые представляют собой преобразования, которые либо растягивают, либо сжимают функцию.

Легко видеть, что преобразования функций чрезвычайно полезны при построении графиков сложных функций. Эти преобразования могут превратить кажущуюся сложной проблему в проблему, которая довольно проста!

Python | Функция math.cos () - GeeksforGeeks

В Python математический модуль содержит ряд математических операций, которые можно легко выполнить с помощью модуля. math.cos () функция возвращает косинус значения, переданного в качестве аргумента.Значение, передаваемое в эту функцию, должно быть в радианах.

Синтаксис: math.cos (x)

Параметр:
x: значение, передаваемое в cos ()

Возвращает: Возвращает косинус значения, переданного в качестве аргумента

Код # 1:



импорт математика

a = математика.pi / 6

печать ( "Значение косинуса числа пи / 6:" , конец = "")

печать (math.cos (a))

Выход:
Значение косинуса числа пи / 6 составляет: 0,8660254037844387.
 


Код # 2:

import math

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

in_array = np.linspace ( - ( 2 * np.pi), * 2 pi, 20 )

out_array = []

для i в диапазоне (in_array)):

out_array.append (math.cos (in_array [i]))

i + = 1

печать "дюйм , in_array)

print ( "\ nout_array:" , out_array)

plt.plot (in_array, out_array , цвет , красный , маркер = "o" )

plt.title ( "math.cos ()" )

plt.xlabel ( "X" )

plt.ylabel ( "Y" 16)

plt.show ()

Выход:

in_array: [-6.28318531 -5.62179738 -4.96040945 -4.29

3 -3.6376336 -2.97624567
-2.31485774 -1.652034824567
-2.31485774 -1.6520348249 -0733-2.31485774 -1.6520348249 -0.7733-2.31485774 -1.6520348249 -0.7733-2.31485774 -1.6520348296 -02.320698349 2.03.98398349 2.03.6376336 4.29

3 4.96040945 6.28318531
5,62179738]

out_array: [1.0, +0,78093963934, +0,2454854871407988, -0,40169542465296987, -0,8794737512064891, -0,9863613034027223, -0,6772815716257412, -0,08257934547233249, +0,5469481581224268, +0,9458172417006346, +0,9458172417006346, +0,5469481581224268, -0,0825793454723316, -0,6772815716257405, -0,9863613034027223, -0,8794737512064893, -0,40169542465296987, 0,2454854871407988, 0,78093963934, 1.0]

Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

Для начала подготовка к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень


Обзор недели 6: MATH 101T Тригонометрия 21742

    Панель приборов

    MATH 101T 21742

    Неделя 6 Обзор

    Перейти к содержанию Панель приборов
    • Авторизоваться

    • Панель приборов

    • Календарь

    • Входящие

    • История

    • Помощь

    Закрывать