Решение линейно-квадратичных систем
Горячая математика Вероятно, вы уже решали системы линейных уравнений.
А как насчет системы двух уравнений, где одно уравнение линейное, а другое квадратичное?
Мы можем использовать вариант метода подстановки для решения систем этого типа.
Помните, что форма уравнения наклона и точки пересечения для прямой имеет вид y=mx+b, а стандартная форма уравнения для параболы с вертикальной осью симметрии имеет вид y=ax2+bx+c, a≠0 .
Во избежание путаницы с переменными запишем линейное уравнение в виде y=mx+d, где m наклон и d является y-пересечением линии.
Подставить выражение вместо y из линейного уравнения, в квадратное уравнение. То есть подставьте mx+d для тебя в y=ax2+bx+c .
mx+d=ax2+bx+c
Теперь перепишите новое квадратное уравнение в стандартной форме.
Вычесть мх+д с обеих сторон.
(mx+d)−(mx+d)=(ax2+bx+c)−(mx+d)0=ax2+(b−m)x+(c−d)
Теперь у нас есть квадратное уравнение с одной переменной, решение которого можно найти по квадратной формуле.
Решения уравнения ax2+(b−m)x+(c−d)=0
даст x-координаты точек пересечения графиков прямой и параболы.
Соответствующие координаты y можно найти с помощью линейного уравнения.
Другой способ решения системы — построить график двух функций на одной координатной плоскости и определить точки пересечения.
Пример 1:
Найдите точки пересечения прямой y=2x+1 и парабола y=x2−2.
Замена 2x+1 для y в y=x2−2.
2x+1=x2−2
Запишите квадратное уравнение в стандартной форме.
2x+1−2x−1=x2−2−2x−10=x2−2x−3
Используйте квадратную формулу, чтобы найти корни квадратного уравнения.
Здесь a=1, b=−2, и c=−3.
x=−(−2) ± (−2)2 − 4(1)(−3)2(1)=2 ± 4 + 122=2 ± 42=3, −1
Подставьте значения x в линейное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.
x = 3 порядков = 2 (3) +1 = 7x = −1 причиня и (−1,−1).
Начертите параболу и прямую на координатной плоскости.
Аналогичный метод можно использовать для нахождения точек пересечения прямой и окружности.
Пример 2:
Найдите точки пересечения прямой y=−3x
и окружность x2+y2=3.