Функции, точки min, max
Задача.
Найдите наименьшее значение функции f(x)= x3 — 3x2— 9x + 31 на отрезке [-1; 4].
Решение:
Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю.
y´(x)=(x3-3x2-9x+31 )´= 3x2 — 6x — 9 — существует при любых x.
3x2 — 6x — 9=0
Сократим на 3: x2 — 2x — 3=0
D= b2-4ac, D = (-2)2 — 4*1*(-3) = 4 + 12 =16
x1,2= (-b±√D) / 2a,
x1,2= (-(-2) ±√16) / 2*1 = (2±4) / 2 = 3, -1.
x1= -1, x2= 3 — в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение.
Когда производная меньше нуля, функция убывает.
Когда производная больше нуля, функция возрастает.
Посмотрим на знаки производной.
При x<-1 y´(x)>0, функция y(x) возрастает
При -1 <x< 3 y´(x)<0, функция y(x) убывает
При х>3 y´(x)>0, функция y(x) возрастает
На отрезке [-1; 4] функция убывает до точки х=3 и возрастает после нее, значит наименьшее значение в точке 3.
Подставим х=3 в функцию, получаем: y(3) = 33— 3*32— 9*3+ 31= 27-27-27+31= 4, это и будет ответ.
Ответ: 4.
Задача.
Найдите наименьшее значение функции y= 4cosx+13x+9 на отрезке [0; 3П/2].
Решение:
Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x).y´(x)= (4cosx + 13x + 9)´ = -4sinx+13
Заметим, что y´(x)>0 при любых x, так как -4sinx+13>0 ⇔ -4sinx<-13 ⇔ 4sinx<13, sinx< 13:4, sinx<3,25 как мы знаем, это выполнимо всегда, так как sinx≤1.
Делаем такой вывод: так как производная y´(x)>0 при x∈ [0; 3П/2] , то функция возрастает на этом отрезке и наименьшее значение будет при наименьшем x их этого отрезка — это x=0.
Подставим x=0 в y(x) и получим y(x)= 4cos*0 + 13*0 + 9 = 13.
Ответ: 13.
Задача.
Найдите наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14].
Решение:
Чтобы найти наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14], найдем производную функции у´(х):
у´(х) = (ln(7x))´ — (7x)´ + 7´ = 1/7x * (7x)´ — 7 + 0 = 1/7x * 7 — 7 = 1/x — 7.
Использовали формулу (f(g(x)))´ = f´(g(x)) * g´(x).
Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку максимума:
1/х — 7 = 0
х = 1/7.
Заметим, что при х ∈ [1/14; 1/7] производная у´(х)>0, а
при х ∈ [1/7; 5/14] производная у´(х)<0, то есть до точки х=1/7 функция возрастает, а после — убывает.
Значит, функция у(х) примет наибольшее значение в точке х=1/7. Найдем его:
у(1/7) = ln(7 * 1/7) — 7*1/7 + 7 = ln1 — 1 + 7 = 0-1+7 = 6.
Ответ: 6.
Задача.
Найдите наименьшее значение функции y= (x2-7x+7)*ex-5 на отрезке [4; 6].
Решение:Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю.
y´(x) = (2x-7)*ex-5 + (x2-7x+7)*ex-5 = ex-5 *(x2-5x) = ex-5 * x *(x-5).
Видим, что производная равна нулю при x1=0 и x2=5
Заметим, что при х ∈ [4; 5) производная y´(x)<0 и значит функция убывает
при х ∈ (5; 6] производная y´(x)>0 и значит функция возрастает
То есть при х = 5 y´(x) меняет знак с — на +, значит при х = 5 наименьшее значение: у(5) = (52 — 7*5 + 7) * е5-5 = (25 — 35 + 7) * е0 = -3*1 = -3.
Ответ: -3.
Задача.
Найдите точку максимума функции y=log4(-3+4х-х2) + 7.
Решение:
Функция y=log4(-3+4х-х2) + 7 возрастает, так как основание логарифма больше 1. Поэтому точкой максимума будет та точка, в которой выражение под знаком логарифма будет принимать максимальное значение.
Проанализируем выражение -х2+4х-3. Заметим, что графиком этой функции будет парабола, ветви которой направлены вниз, а значит максимальное значение будет в вершине параболы.
Остается найти абсциссу вершины параболы x0 = -b/2a = 4/2*(-1) = 2. При х0=2 выражение под логарифмом примет наибольшее значение, а значит и y=log4(-3+4х-х2) + 7 тоже.
Ответ: 2.
Ещё статьи…
- 05. В15.
