Y0 формула: Вершина параболы — урок. Алгебра, 8 класс.

Нахождение вершины параболы: найти её координаты, способы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Содержание:

• Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
  • Первый способ
  • Второй способ
  • Третий способ
• Построение параболы
• Советы
• Видео

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax²+ bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x²–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

• a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

• x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x

2–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

• x²–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b ²–4 ac:

• D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 — первый корень;
• 5 — второй корень.

4) Вычисляем:

• x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x ²+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x² + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)² и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x² + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)² = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X			5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины.

Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Нахождение вершины параболы: найти её координаты, способы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Содержание:

• Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
  • Первый способ
  • Второй способ
  • Третий способ
• Построение параболы
• Советы
• Видео

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax²+ bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x²–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

• a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

• x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x²–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

• x²–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b ²–4 ac:

• D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 — первый корень;
• 5 — второй корень.

4) Вычисляем:

• x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x ²+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x² + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)² и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x² + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)² = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X			5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Учебные пособия и практические занятия по естественнонаучному образованию доктора Юэ-Линг Вонг

Учебные пособия и практические занятия по научному образованию доктора Юэ-Линг Вонг

Пособия по естественным наукам и практические упражнения
Общая химия   Органическая химия   Общая физика Общая математика     Домашняя страница доктора Юэ-Линг Вонг	Общая физика :: Движение снаряда :: Как рассчитать #1 Задача №1: найти куда приземлится пушечное ядро, учитывая начальную скорость ( v 0 ) и угол открытия ( θ 0 ) (Параметры, значения которых известны, выделены красным цветом. Основное направление решения задачи: попытаться вывести уравнения которые используют эти параметры с известными значениями.) Пошаговое решение: Разделите вектор начальной скорости на компоненты x и y. Начальная скорость: x-компонента: v x0 = v 0 × cos θ 0 Y-компонента: v y0 = v 0 × sin θ 0 Этап 1 Рассчитать: v x0 и v у0 От кого: v 0 и θ 0 Попробуйте: Измените значения для v 0 и θ 0 в приведенные ниже уравнения, а затем нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы рассчитать v x0 и v г0 : v x0 = v 0 × cos θ 0 v x0 = м/сек. × потому что (градус) = 6,928 м/сек. v y0 = v 0 × sin θ 0 v у0 = м/сек. × грех (градус) = 4 м/сек. Независимый анализ горизонтального и вертикального движения: Вертикальное движение: используйте постоянную ускорение (g) v y = v y0 — g × t , где g — сила тяжести (9,8 м/с) или свободное падение ускорение, t — время, прошедшее. Когда объект достигает вершины его траектория движения по параболе, v y = 0 . т. е.      v y0 — g × t макс. = 0 Þ      t макс. = v y0 / g где t max — время, необходимое объекту для достижения максимума высота. Шаг 2 Рассчитать: т макс. От кого: v у0 Попробуйте: Используйте значения v y0 , полученные выше для расчета времени (t max ), когда объект достигает своего максимума высота: т макс = v у0 / г т макс = м/сек. / 9,8 м/сек. = 0,408 сек. Итак, теперь вы знаете, сколько времени требуется объекту, чтобы достичь вершины его траектория движения по параболе. После этого момента он начнет падать. Что выяснить это время, чтобы узнать, где пушечное ядро ​​приземлится и горизонтальное положение, когда оно достигнет самая высокая точка? Из-за симметрии вертикального движения требуется столько же времени, чтобы пушечное ядро ​​вернулось на землю (предположим, что пушечное мяч был выпущен на уровне земли). Таким образом, весь путь пушки мяч, от выстрела до возвращения на землю, занимает: t всего = 2 × t макс. Этап 3 Рассчитать: т всего От кого: т макс. Попробуйте: Используйте т макс полученный выше вычислить общее время (t всего ) для пушечное ядро ​​возвращается на землю: t всего = 2 × t max t всего = 2 × сек. = 0,816 сек. Например, если пушечному ядру требуется 3 секунды, чтобы достичь максимальной точки на траектории его движения по параболе, то требуется еще 3 секунды для это вернуться с самой высокой точки. Общее время для пушки мяч, чтобы вернуться на землю после выстрела составляет 6 секунд. Эта информация о времени может быть использована для расчета, где пушечное ядро приземлится. (См. анализ горизонтального движения ниже) Горизонтальное движение: используйте постоянную скорость (v x ) v x = v x0 горизонтальное расстояние (d x ), которое пролетело пушечное ядро когда он приземлится на землю: d x = v x0 × t всего Этап 4 Рассчитать: д х От кого: v x0 и т всего Попробуйте: Используйте т всего полученных выше рассчитать d x : d x = v x0 × t всего d x = м/сек. × сек. = 5,653 м [произошла ошибка при обработке этой директивы]

Нахождение уравнения параболы с учетом фокуса и директрисы

Горячая математика

Учитывая фокус и директриса из парабола , как мы находим уравнение параболы?

Если рассматривать только параболы, раскрывающиеся вверх или вниз, то директриса будет горизонтальная линия формы у «=» с .

Позволять ( а , б ) быть в центре внимания и пусть у «=» с быть директриса. Позволять ( Икс 0 , у 0 ) быть любой точкой параболы.

Любая точка, ( Икс 0 , у 0 ) на параболе удовлетворяет определению параболы, поэтому необходимо вычислить два расстояния:

1. Расстояние от точки параболы до фокуса
2. Расстояние от точки параболы до директрисы

Чтобы найти уравнение параболы, приравняйте эти два выражения и решите для у 0 .

Найдите уравнение параболы в примере выше.

Расстояние между точкой ( Икс 0 , у 0 ) и ( а , б ) :

( Икс 0 − а ) 2 + ( у 0 − б ) 2

Расстояние между точкой ( Икс 0 , у 0 ) и линия у «=» с :

| у 0 − с |

(Здесь расстояние между точкой и горизонталью есть разность их у -координаты. )

Приравняйте два выражения.

( Икс 0 − а ) 2 + ( у 0 − б ) 2 «=» | у 0 − с |

Подровняйте обе стороны.

( Икс 0 − а ) 2 + ( у 0 − б ) 2 «=» ( у 0 − с ) 2

Разверните выражение в у 0 с обеих сторон и упростить.

( Икс 0 − а ) 2 + б 2 − с 2 «=» 2 ( б − с ) у 0

Это уравнение в ( Икс 0 , у 0 ) верно для всех других значений на параболе и, следовательно, мы можем переписать с ( Икс , у ) .

Следовательно, уравнение параболы с фокусом ( а , б ) и директриса у «=» с является

( Икс − а ) 2 + б 2 − с 2 «=» 2 ( б − с ) у

Пример:

Если фокус параболы ( 2 , 5 ) а директриса есть у «=» 3 , найдите уравнение параболы.

Позволять ( Икс 0 , у 0 ) быть любой точкой параболы. Найдите расстояние между ( Икс 0 , у 0 ) и фокус. Затем найдите расстояние между ( Икс 0 , у 0 ) и директриса. Приравняйте эти два уравнения расстояния и упрощенное уравнение в Икс 0 и у 0 есть уравнение параболы.

Расстояние между ( Икс 0 , у 0 ) и ( 2 , 5 ) является ( Икс 0 − 2 ) 2 + ( у 0 − 5 ) 2

Расстояние между ( Икс 0 , у 0 ) и директриса, у «=» 3 является

| у 0 − 3 | .

Приравняйте два выражения расстояния и возведите квадрат с обеих сторон.

( Икс 0 − 2 ) 2 + ( у 0 − 5 ) 2 «=» | у 0 − 3 |

( Икс 0 − 2 ) 2 + ( у 0 − 5 ) 2 «=» ( у 0 − 3 ) 2

Упростите и сведите все термины в одну сторону:

Икс 0 2 − 4 Икс 0 − 4 у 0 + 20 «=» 0

Напишите уравнение с у 0 на одной стороне:

у 0 «=» Икс 0 2 4 − Икс 0 + 5

Это уравнение в ( Икс 0 , у 0 ) верно для всех других значений на параболе и, следовательно, мы можем переписать с ( Икс , у ) .