Является ли функция четной или нечетной: Чётные и нечётные функции — урок. Алгебра, 9 класс.

2

Содержание

Четные и нечетные функции

Цели:

  • сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
  • развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
  • воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:

1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся.

 Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

 ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17  (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в)  1. D(f) = [– 2; + ∞)
2. Е(f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ;    f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функция возрастает при х €  [– 2; + ∞)
6. Функция ограничена снизу.
7. унаим = – 3, унаиб не существует
8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования функции?)

 Слайд.

2. Таблицу, которую вам  задавалась, проверим по слайду.

Заполните таблицу

Функция

Область определения

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Координаты точек пересечения графика с Оу

у > 0

у < 0

х ≠ –3

х = –5,
х = 2

х € (–5;3) U
U (2; ∞ )

х € (–∞;–5) U
U (–3;2 )

( 0;)

х ∞ –5,
х ≠ 2

х = –3

х € (–5;3) U
U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U
U (–3;2 )

( 0;)

х ≠ –5,
х ≠ 2

нет

х € (–∞; –5) U
U (2; ∞)

х € (–5; 2)

( 0;)

3.

Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

 

D (f)

f(1) и f(– 1) f(2) и f(– 2) графики f(– х) = –f(х) f(– х) = f(х)
1. f(х) =

R

2 и 2

Г

 

 

+

2. f(х) = х3

R

1 и 1

8 и – 8

А

+

 

3. f(х) = | х |

R

1 и – 1

2 и 2

Б

 

+

4. f(х) = 2х – 3

R

– 1 и – 5

1 и – 7

Е

 

 

5. f(х) =

х ≠ 0

6 и – 6

3 и – 3

В

+

 

6. f(х)= х > –1

 и 0

и не опред.

З

 

 

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется

равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?
Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у = хn, где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном.  
– Функции вида у =  и у = 2х – 3 не являются ни чётным , ни нечётными, т. к. не выполняются равенства f(– х) = – f(х), f(– х

) = f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях  1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

Примеры:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество.

А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

3. Сравнить f(– х).и  f(х):

  • если  f(– х).=
    f
    (х), то функция чётная;
  • если  f(– х).= – f(х), то функция нечётная;
  • если   f(– х) ≠ f(х) и  f(– х) ≠ –f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х5 +; б) у = ; в) у= .

Решение.

а) h(х) = х5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х)5 + – х5 –= – (х5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция  h(х)  = х5 +  нечётная.

б) у = ,

у = f(х),     D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞),  несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = ,   у = f (х), 

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

2)f (– х) == ;

3)  f (– х) = f (х)  =>  функция f(х) =     чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками  (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

Слайд.

Вывод:

  1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
  2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

– Верны ли обратные утверждения?

  1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
  2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

– Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать
свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

5. Первичное закрепление

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2),  (–4; 4]?

Вариант 2

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0],  (0; 7) ?

2. Исследуйте на чётность функцию:
а);      б) у = х·  (5 – х2).
2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у = х2 · (2х – х3),     б)  у =

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – чётная функция.

 

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х ? 0.
Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – нечётная функция.

 

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции   g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) =  при х = 3.

7. Подведение итогов

Приложения

Докажите что функция является нечетной

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат. a

Докажем, что данная функция является четной F (x) = 10.

Функция является четной, если F (-x) = F (x).

Функция является нечетной, если F (-x) = -F (x).

Проверим функцию F (x) = 10 на четность.

Значит, функция F (x) = 10 является четной.

Четные и нечетные функции

В предыдущем параграфе мы обсуждали только те свойства функций, которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

Доказать, что у = х 4 — четная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т. е. функция является четной.

Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.

Доказать, что у = х 3

Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.

Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число, можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).

Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.

Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.

В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как [0, +оо), (-2, 3), [-5, 5) — несимметричные множества. Если функция у = f (х) — четная или нечетная, то ее область определения D (f) — симметричное множество. Если же D (f) — несимметричное множество, то функция у = f(х) не является ни четной, ни нечетной.

Учитывая сказанное, рекомендуем при исследовании функции на четность использовать следующий алгоритм.

Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то переходить ко второму шагу алгоритма.
2. Найти f(-х).
3. Сравнить f (x)= f (-x)

а) если f(-х) = f(х), то функция — четная,
б) если f(-х) = -f(х), то функция — нечетная;
в) если хотя бы в одной точке х є Х выполняется соотношение f(-х) = f(х) и хотя бы в одной точке х є X выполняется соотношение f(-х) = -f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Исследовать на четность функцию:

а) у = f(x), где
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно,D (f) — симметричное множество.
2)
3) Замечаем, что для любого ж из области определения функции выполняется равенство f(x) = f(x).
Таким образом, четная функция.
б)
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно, D(f) — симметричное множество.
2)
3) Замечаем, что для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = -f(х).
Таким образом,
в)
1) Функция определена во всех точках х, кроме тех, которые обращают знаменатель дроби в нуль. Из условия х 2 – 9 = 0 находим х = ± 3. Значит, область определения функции — числовая прямая, из которой удалены две точки: 3 и -3. Это — симметричное множество.
2)
3) Сравнив f(-х) и f(х), замечаем, что, скорее всего, не выполняются ни тождество f(-х) = f(х), ни тождество f(-х) = -f(х). Чтобы в этом убедиться, возьмем конкретное значение х, например х = 4. Имеем: f(4) = О, а Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
г) Функция определена при условии т.е. на луче [3, +оо). Этот луч — несимметричное множество, значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

Исследовать на четность функцию:

а) D(f) = [-2,2) — симметричное множество, и для всех х выполняется равенство | -х | = | х |. Значит, заданная функция — четная.

б) D(f) = [-3, 3) — несимметричное множество. В самом деле, точка -3 принадлежит полуинтервалу [-3, 3), а противоположная точка 3 не принадлежит этому полуинтервалу. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

в) D (f) = (-5, 5) — симметричное множество и (-x) 3 = -ж 3 для всех х из интервала (-5, 5). Значит, заданная функция — нечетная.
г) Функция задана на полуинтервале, который не является симметричным множеством. Значит, функция — ни четная, ни нечетная.

Теперь обсудим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.

Пусть у = f(x) — четная функция, т.е. f(x) = f(х) для любого х е . Рассмотрим две точки графика функции: D(х; f(х)) и В(-х; f(-х)). Так как f(-х) = f(х), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами, а ординаты одинаковы. Эти точки симметричны относительно оси у (рис. 73). Таким образом, для каждой точки А графика четной функции у = f(х) существует симметричная ей относительно оси у точка В того же графика. Это означает, что график четной функции симметричен относительно оси у.

Пусть у = f(х) — нечетная функция, т.е. f(-х) = D(х) для любого х е D(f). Рассмотрим две точки графика функции: А(х; f(х)) и В(-х; f(-х)). Так как f(-х) = -f(х), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами и ординаты являются противоположными числами. Эти точки симметричны относительно начала координат (рис. 74).

Таким образом, для каждой точки А графика нечетной функции у = f(х) существует симметричная ей относительно начала координат точка В того же графика. Это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Верны и обратные утверждения:

1) Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) — четная функция.

В самом деле, симметрия графика функции у = f(х) относительно оси у означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство f(-х) = f(х), т. е. у = f(х) — четная функция.

2) Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) — нечетная функция.

Симметрия графика функции у = f(х) относительно начала координат означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство f(-х) = -f(х), т.е. у — f(х) — нечетная функция.

Исследовать на четность функцию
Решение.

Первый способ. Имеем Значит, для любого х из D(f) справедливо равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Второй способ. Графиком функции служит полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3 (см. рис.52 из § 9), она симметрична относительно оси у. Это означает, что — четная функция.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.

Как выяснить четность и нечетность функции

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.
Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией. a

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

  1. Область определения — D (f).
  2. Виды.
  3. Правила.
  4. Свойства для четных и нечетных.
  5. Классификация.

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

  • Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
  • Составные или сложные.

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

  • Разложить при необходимости на простые элементы.
  • Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
  • Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
  • Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
  • Сделать соответствующий вывод.

Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.

Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

  • Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
  • Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
  • Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
  • Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
  • Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
  • При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
  • Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
  • Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
  • Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
  • Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

  • Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
  • Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
  • Радикал положительной нечетной степени.
  • Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
  • Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
  • Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
  • Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
  • Интегральный синус: Si (x).
  • Матье: se (x).

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

  • Возведение в четную и целую степень.
  • Модуль аргумента.
  • Константа.
  • Тригонометрические: cos (x) и sec (x).
  • Гиперболические: косинус и секанс.
  • Дельта-функция Дирака: z (x) = δ(x).
  • Гаусса: z (x) = a * exp[(-(x — b)^2) / 2c 2 ].
  • Кардинальный синус: sinc (x).

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

  • Состоит из двух элементов: g (y) = y 2 — y — 2 и h (y) = y 2 — 1.
  • Область значений: D (y 2 — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y 2 — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность). 2 — 1 = y 2 — 1.
  • В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то найти и сравнить с

Если то функция — четная.
Если , то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична. 2>>=0>>><>”/>2>

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.
Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

3. Определить, является ли четной функция: .

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

0><<1-x><>0>>><>” title=”delim<1><<</<1-x>>>0><<1-x><>0>>><>”/>2>

Таким образом, область определения симметрична, и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

– исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

4. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

6. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

7. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Сумма двух нечётных функций – нечётна.

Сумма двух чётных функций – чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

– функция нечетная.

– функция нечетная.

8. Исследуем теперь такую функцию:

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

9. Наконец, последняя:

– имеем произведение двух функций.

Произведение или частное двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

– функция четная.

Исследование функций на четность 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Напоминание

 

Функция  называется четной, если для любого   

 

График четной функции симметричен относительно оси y. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси y, то функция четная.

 

Функция  называется нечетной, если для любого  

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетна.

 

Приведенные факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.

 

1.(рис).

 

Рис. 1

2.         (рис. 2).

Рис. 2

Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении четности функции.

 

Алгоритм исследования функции на четность

 

 

Из приведенных определений и свойств вытекает

 

Алгоритм исследования функции  на четность.

  1. Исследовать  на симметричность относительно нуля Если  не симметрична относительно нуля, это функция общего вида.
  2. Найти
  3. Сравнить
  • если  то функция четная;
  • если  то функция нечетная;
  • если хотя бы для одного

то это функция общего вида.

 

Решение примеров

 

 

Рассмотрим конкретные примеры.

 

Исследовать функцию на четность:

1) 

Решение:

(рис. 3).

Рис. 3

Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция четная.

2) .

Решение:

(рис. 4).

Рис. 4

 несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.

Ответ: Функция общего вида.

3) 

Решение:

 область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

4) 

Решение:  (рис. 5).

Рис. 5

Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

5) 

Решение:

Область определения симметрична относительно нуля (рис. 5).

 

Ответ: Функция четная.

6) 

Решение:  Область определения симметрична относительно нуля.

 

 

Мы видим, что для :

 

 

Функция не является ни четной, ни нечетной, значит, это функция общего вида

Ответ: Функция общего вида.

7) .

Решение:  (рис. 6).

Рис. 6

Область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Функция общего вида.

8)

Решение:

Построим график функции (рис. 7).

Рис. 7

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Эту же функцию можно задать как

Ответ: Функция четная.

9) Постройте график функции  и прочитайте его, если

 

Решение: Построим график функции (рис. 8).

Рис. 8

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Функция возрастает при

Функция убывает при

 

Заключение

 

 

Мы вспомнили определения четной и нечетной функций, их свойства, сформулировали алгоритм исследования функции на четность и показали применение этого алгоритма для конкретных задач. На следующем уроке мы перейдем к исследованию степенных функций.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд. , испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 280–282, 295.

 

Sin функция четная или нечетная

Обновлено: 15.09.2022

Функцию \(y=f(x)\), x ∈ X , называют нечётной , если для любого значения \(x\) из множества \(X\) выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) .

Есть чётные функции, нечётные функции, а также ни чётные, ни нечётные.

Чётная или нечётная функция \(y=f(x)\) имеет симметричную область определения \(D(f)\).

Если же \(D(f)\) — несимметричное множество, то функция \(y=f(x)\) не может быть ни чётной, ни нечётной.

1. Исследовать область определения функции \(D(f)\) на симметричность. Если область определения не симметрична, то функция ни чётная, ни нечётная. Если область определения симметрична, то продолжать выполнять алгоритм.

а) при f ( − x ) = f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является чётной;

б) при f ( − x ) = − f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является нечётной;

в) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет чётной;

г) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ − f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет нечётной.

Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно оси ординат, то \(y=f(x)\) — чётная функция.


Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно начала координат, то \(y=f(x)\) — нечётная функция.

допустим возьмем угол пи\4=45 градусов.
у него синус и косинус положителен-ну координаты точки на единичной окружности обе больше нуля.
а теперь возьмем -пи\4=-45 градусов.
т. е отложим угол 45 град вниз относительно х. косинус (абсцисса) остается такой же. а ордината (синус, ось у) становится отрицательной.
нарисуй-и поймешь!

Для этого опять же надо вернуться к ОПРЕДЕЛЕНИЮ синуса и косинуса как функций угла поворта радиус-вектора для единичной окружности (а не как катет к гипотенузе) . Просто ещё раз выпишите себе на бумажку ОПРЕДЕЛЕНИЕ синуса (косинуса) , а потом посмотрите, как именно меняются координаты точки на единичной окружности при повороте радиус-вектора.

sin(-0) = -sin(0)
sin(-30) = -sin(30)
sin(-100) = -sin(100)
sin(-180) = -sin(180)
sin(-13) = -sin(13)
sin(-848,0235) = -sin(848,0235)

И вообще для любого числа а выполнится
sin(-a) = — sin(a)

Есть функция. То, что у неё в скобках — это аргумент. То, чему она равна — её значение.
Так вот — нечётность значит, что если значение функции в точке (при аргументе) а будет А, то значение функции в точке (-а) будет (-А) .

С чётностью ещё проще — знак не меняется. f(x) = f(-x) для любого числа х.

правило я знаю но здесь применить не могу можете на примере связанные с синусоми косинусом
я знаю, что
Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.
Чётная функция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.
но для синуса, косинуча не могу понять

Почему синус нечетная функция? Потому, что для каждого значения х, принадлежащего области определения этой функции, значение -х также принадлежит области определения и причем выполняется равенство
sin(-x) = sinx
Пример. sin 30 = 0,5; sin(-30) = -0,5
sin90 = 1; sin(-90) = -1

Почему косинус четная функция? Потому, что для каждого значения х, принадлежащего области определения этой функции, значение -х также принадлежит области определения и причем выполняется равенство
cos(-x) = cosx
Пример. cos60 = -0,5; cos60 = 0,5
cos45 = V2/2; cos(-45) = -V2/2

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, а график четной фукции — относительно оси ординат, тоесть Оу

нарисуй график согни лист по оси у и посмотри на просвет, у косинуса рисунок совпадет, значит функция четная

Если доказательство не нужно — можно считать их чётными/нечётными по определению.

Точки A и C получены поворотом точки \((1;0)\) на углы α и − α соответственно.


Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты различаются только знаками, т. е. sin ( − α ) = − sin α и cos ( − α ) = cos α .

Следовательно, функция y = sinx — нечётная, а y = cosx — чётная. Так как функция y = tgx = sinx cosx , то tg ( − x ) = − tgx , т. е. функция y = tgx — нечётная.

Функция y = f x называется периодической с периодом T ≠ 0 , если её значения не меняются при изменении аргумента на число \(T\), то есть для любого x из области определения функции f x − T = f x = f x + T .

Из этого определения следует, что если x принадлежит области определения функции f x , то числа x − T ; x &plus; T ; x &plus; Tn , n ∈ &integers; также принадлежат области определения этой периодической функции, и f x + Tn = f x , n ∈ &integers; .

Вращая точку A вокруг центра единичной окружности в положительном или отрицательном направлении, замечаем, что она вернётся к исходному положению, только угол поворота будет на 2 π больше или меньше, но координаты точки A останутся теми же, т. е.

Значит, число 2 π является наименьшим положительным периодом для функций y = sinx и y = cosx .

Число π является наименьшим положительным периодом для функции y = tgx , так как значение тангенса угла поворота будет повторяться через π радиан.

Читайте также:

      
  • Streets of rage 4 ps4 трофеи
  •   
  • Resident evil какая часть лучше на пк
  •   
  • Оракул dc comics космическое существо
  •   
  • The evil within лагает на ps4
  •   
  • Скрытые достижения hunt showdown

Четные и нечетные функции

Home > Математика > Исчисление > Четные и нечетные функции

Некоторые графики демонстрируют симметрию. Графики, обладающие симметрией относительно оси Y, называются четными функциями . Графики, обладающие симметрией относительно начала координат, называются нечетными функциями .

Посмотрите на графики двух функций f(x) = x 2 — 18 и g(x) = x 3 — 3x. Функция f(x) = x 2 — 18 симметрична относительно оси Y и, таким образом, является четной функцией. Функция g(x) = x 3 — 3x симметрична относительно начала координат и, таким образом, является нечетной функцией.

Другими словами, функции четны, если изменение x на -x не меняет значение функции.

ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ:

     f(x) = x 2 — 18f(-x) = (-x) 2 — 18 = x 2 — 18

2 9003x9003x (х) функция четная.


Функции нечетны, если изменение x на -x отрицает значение функции.

НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ:

     f(x) = x 3 — 3xf(-x) = (-x) 3 — 3(-x) = -x 3 + 3x = -(x 3 — 3x)

Поскольку f(-x) = -f(x), функция нечетная.


Функция может быть четной, нечетной или ни четной, ни нечетной. Чтобы определить, имеет ли функция четную или нечетную симметрию, используйте следующие рекомендации.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧЕТНОЙ ИЛИ НЕЧЕТНОЙ СИММЕТРИИ


1. Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию.

2. Сравните результаты шага 1 с f(x) и -f(x).

3. Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.


а. Если f(-x) дает то же значение, что и f(x), функция четная.

б. Если f(-x) дает то же значение, что и -f(x), функция нечетная.

в. Если f(-x) не привело к шагу a или b, функция не является ни четной, ни нечетной.


Давайте посмотрим на пару примеров.

Пример 1: Определите, является ли функция f(x) = x 6 + 4x 2 — 1 четной, нечетной или ни одной из них, затем постройте график функции и опишите симметрию.

Шаг 1: Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию.

Оригинальная функция:

f(x) = x 6 + 4x 2 — 1

Замените х на -х:

f(-x) = (-x) 6 + 4(-x) 2 — 1

Упрощать:

е(-х) = х 6 + 4x 2 — 1

Шаг 2: Сравните f(-x) с f(x) и -f(x).

f(-x) = x 6 + 4x 2 — 1

е (х) = х 6 + 4x 2 — 1

Сравните f(-x) с f(x):

х6+4х2-1=х6+4х2-1

Поскольку f(-x) с f(x), нет необходимости сравнивать f(-x) с -f(x), потому что функция не может быть обеими.

Шаг 3: Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.

Поскольку f(-x) = f(x), функция четная и имеет симметрию относительно оси y.

Шаг 4: Постройте график функции

Пример 2: Определите, является ли функция f(x) = x 3 + 2x 2 — x четной, нечетной или ни одной, затем начертите график функции и опишите симметрию.

Шаг 1: Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию.

Оригинальная функция:

f(x) = x 3 + 2x 2 — x

Замените х на -х:

f(-x) = (-x) 3 + 2(-x) 2 — (-x)

Упрощать:

f(-x) = -x 3 + 2х 2 + х

Шаг 2: Сравните f(-x) с f(x) и -f(x).

f(-x) = -(x 3 — 2x 2 — x)

е (х) = х 3 + 2х 2 — х

-f(x) = -(x 3 + 2x 2 — x)

Сравните f(-x) с f(x):

−(x3−2×2−x)≠x3+2×2−x

Сравните f(-x) с -f(x):

−(x3−2×2−x)≠−(x3+2×2−x)

Шаг 3: Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.

Поскольку f(-x) не равно f(x) или -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.

Шаг 4: Постройте график функции

Калькулятор четной или нечетной функции

Онлайн-калькулятор четной или нечетной функции поможет вам определить, является ли определенная функция четной, нечетной или ни одной. Обычно знак значений в функции не имеет значения при вычислении значений функции, и будут использоваться только половинные значения в области. В этой статье мы рассмотрим определения, свойства и то, как определить, является ли функция четной или нечетной. 92

Свойства четной функции:

  • Сумма четных функций четна. 3 + 1 не является ни одной из функций. 92 – 3 $$
    Следовательно, f (- x) = f (x), что означает, что если мы подставим одни и те же значения в четный или нечетный онлайн-калькулятор, он отобразит те же результаты, что и четная функция.

    Однако онлайн-калькулятор составных функций может помочь вам оценить состав функций по введенным значениям функций f(x) и g(x) в определенных точках.
    Для нечетной функции:
    Если мы подставим (- x) в функцию f (x) и получим противоположное или отрицательное значение функции, то это означает, что функция f (x) является нечетной функцией. 93 + 6x) $$
    Следовательно,
    $$ f (- x) = – f (x) $$
    После вынесения на множитель -1 функция равна начальной функции, что показывает, что это нечетная функция.
    Ни для одной функции:
    Если подставить (- x) в функцию f (x) и не получить ни четного, ни нечетного, то это означает, что данная функция f (x) не является ни нечетной, ни четной функцией. Проще говоря, он не подпадает под классификацию четных или нечетных.
    $$ f (-x) ≠ – f (x) И f (- x) ≠ f (x) $$ 92 + 1) $$
    Что не является нечетной функцией.
    Следовательно, функция f(x) не является ни нечетной, ни четной.

    Множественное представление нечетных и четных чисел:

    Множества нечетных и четных чисел могут быть представлены как:

    $$ Нечетное = {2x + 1 : x ϵ Z} $$

    $$ Четное = { 2x : x ϵ Z} $$

    Формальное определение нечетного числа — это целое число вида n = 2x + 1, где x — целое число. Четное число определяется как целое число в форме n = 2x. Этот тип классификации применяется только к целым числам. Нецелые числа, такие как 3,462, 7/9, или бесконечность не являются ни нечетными, ни четными.

    Как работает калькулятор четных и нечетных функций?

    Онлайн-калькулятор четности или нечетности определяет, является ли функция нечетной, четной или ни одной из следующих шагов:

    Ввод:
    • Сначала введите заданную функцию и выберите переменную из раскрывающегося списка. список.
    • Нажмите кнопку «Рассчитать».

    Вывод:
    • Калькулятор нечетной или четной функции отображает характер функции как четный, нечетный или ни один из них.

    Часто задаваемые вопросы:

    Является ли cos X нечетной функцией?

    Косинус — четная функция, а синус — нечетная. Вы можете не встретить эти прилагательные четный и нечетный применительно к функциям, но знать их важно.

    Является ли тан четной или нечетной функцией?

    Sin, cos и tan являются тригонометрическими функциями, они также могут быть выражены как нечетные или четные функции. Тангенс и синус — нечетные функции, а cos — четная функция. Математически мы можем определить это как
    Tan (-x) = – tan x
    Cos (-x) = cos x
    Sin (-x) = -sin x

    Почему ноль четное число?

    Ноль — это целое число, умноженное на 2, например 0 x 2, по этой причине мы можем задать, что ноль — это четное число.

    Заключение:

    Вы можете попросить определить алгебраически, является ли функция четной или нечетной. Для этого воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором четных и нечетных функций, который быстро и без колебаний упрощает введенную функцию. Глядя на функцию, которую необходимо изобразить в виде графика для задания, студент или преподаватель может определить с помощью нашего калькулятора, что будет работать быстро, потому что значения со знаком не имеют значения при расчетах значений функции.

    Ссылка:

    Из источника Википедии: Четные функции, Нечетные функции, Уникальность, Сложение и вычитание, Умножение и деление, Композиция, Четно-нечетное разложение.

    Из источника Lumen Learning: определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из ее графика, установите представление четных и нечетных чисел, свойства четных и нечетных чисел, четных и нечетных десятичных знаков.

    Из источника Libre Text: нечетные и четные функции, типы функций: четные, нечетные или ни то, ни другое, заданное представление четных и нечетных чисел, ни нечетных, ни четных.

    Определение четных и нечетных функций (видео)

    Когда мы думаем о «четных и нечетных», обычно на ум приходят четные и нечетные числа. Но что такое четные и нечетные функции? В сегодняшнем видео мы определим четные и нечетные функции и обсудим, как их идентифицировать.

    Начнем с четных функций. Если функция \(f(x)\), вычисленная в \(-x\), дает нам то же самое \(f(x)\), с которого мы начали, эта функция четна. Формально записывается, когда

    \(f(x)=f(-x)\)

    9{2}+1\). Обратите внимание, что он по-прежнему имеет ту же форму и по-прежнему является четной функцией. Он только что был перемещен на одну единицу вверх по координатной плоскости.

    Теперь давайте поговорим о том, на что похожи нечетные функции. Рассмотрим другую функцию \(f(x)\), которую мы снова будем вычислять в \(-x\). Но на этот раз вместо поиска того же \(f(x)\), с которого мы начали, мы хотим посмотреть, меняет ли \(f(-x)\) знак всех членов функции. Другими словами, если \(f(-x)=-f(x)\), то функция 9{3}\)

     

    Итак, если вы заметили, \(f(x)\) противоположно \(f(-x)\). {2}+1\) по-прежнему четная. Как видите, четная функция будет иметь четные показатели степени .

    Неудивительно, что нечетных функций также будут иметь нечетные показатели степени ! Помните, что для того, чтобы функция была нечетной, все члены должны менять знак, когда мы вычисляем \(-x\).

    Ясно, что любой член с \(x\) в первой степени изменит знак, когда мы подставим отрицательное значение \(x\). Таким же образом \(x\) в третьей степени, в пятой степени и т. д. все меняют знак, когда мы подставляем отрицательное значение для \(x\). Как мы упоминали ранее, когда член имеет четную степень \(x\), он не меняет знак. Это означает, что нечетная функция не может содержать членов с четными степенями \(x\) и не может иметь констант.

    Вы сможете распознавать четные и нечетные функции позже в исчислении, когда дело дойдет до разложения Тейлора.

    Время для некоторых практических задач!

    Основываясь на этом графике, определите, является ли эта функция четной, нечетной или ни одной?

    Ни то, ни другое. Эта функция не симметрична относительно оси \(y\), поэтому она не является четной. И хотя он проходит через начало координат, он не является странным, потому что он не выглядел бы таким же, если бы мы повернули изображение на 180°.

    9{3}\) имеет нечетную степень \(x\), что означает, что знак изменится при оценке в \(-x\). Точно так же второй член, \(-2x\), имеет нечетную степень \(x\) и также изменит знак. Это означает, что эта функция нечетная!

    Давайте закончим более концептуальным вопросом.

    Мы знаем, что некоторые функции могут быть ни четными, ни нечетными, но может ли функция быть и четной, и нечетной?

    Удивительно, но ответ положительный, но только для одной функции. Вы представляете, что это за функция? Помните, что для четных функций \(f(-x)=f(x)\), а для нечетных функций \(f(-x)=-f(x)\). Единственный способ удовлетворить оба этих требования — это когда \(f(x)=0\).

    \(f(-x)=f(x)\) 
     \(и\) 
     \(f(-x)=-f(x)\)

     

    В качестве краткого обзора, мы можем определить четные и нечетные функции следующим образом:

    Графически четные функции симметричны относительно оси \(y\). И они не должны проходить через источник. Однако нечетные функции должны проходить через начало координат, и они будут выглядеть одинаково при повороте на 180°.

    Алгебраически четные функции одинаковы, когда мы оцениваем в точках \(+x\) и \(-x\). Нечетные функции будут менять знаки во всех терминах при оценке в \(-x\).

    Короче говоря, если функция содержит только четные показатели степени \(x\) (и может иметь или не иметь константы), то она четная. Если функция не имеет констант и имеет только нечетные показатели \(х\), то она нечетная.

    Теперь, когда мы рассмотрели все и пробежались по некоторым примерам, вам должно быть достаточно удобно определять четные и нечетные функции.

    Спасибо за просмотр и удачной учебы!

    Вопрос №1:

     
    График функции \(y=f(x)\) показан на координатной плоскости ниже.

    Основываясь на графике, какое из следующих утверждений верно?

    Функция четная.

    Нечетная функция.

    Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.

    Функция одновременно четная и нечетная.

    Показать Ответ

    Ответ:

    График функции является четным, если он имеет симметрию относительно оси \(y\). График будет отражаться относительно оси \(y\). Другими словами, отражение части графика функции, лежащей справа от оси \(у\), дает часть графика, лежащую на левой стороне оси \(у\). Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график функции и ее отражение относительно оси \(y\), показанное красным цветом.

    Обратите внимание, что отраженный график \(y=f(x)\) относительно оси \(y\) дает совершенно другой график. Таким образом, график \(y=f(x)\) не имеет симметрии относительно оси \(y\), поэтому он не является четной функцией.

    График функции является нечетным, если он имеет симметрию относительно начала координат. График будет таким же, если его повернуть на 180° вокруг начала координат. Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,-y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график функции и ее отражение относительно начала координат, показанное красным цветом.

    Обратите внимание, что отраженный график \(y=f(x)\) относительно начала координат дает совершенно другой график. Таким образом, график \(y=f(x)\) не имеет симметрии относительно начала координат, поэтому не является нечетной функцией. Кроме того, еще одно условие, которое следует учитывать при определении того, является ли график функции нечетным, заключается в том, что он должен проходить через начало координат.

    Следовательно, график \(y=f(x)\) не является ни четной, ни нечетной функцией.

    Скрыть ответ

    Вопрос №2: 93\)?

    Функция четная.

    Нечетная функция.

    Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.

    Функция одновременно четная и нечетная.

    Показать ответ

    Ответ:

    Функция \(y=f(x)\) является четной функцией при замене значения \(x\) в функции на \(-x\) не меняет значения функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=f(x)\). Заменяя \(x\) на \(-x\) для нашей функции и упрощая, мы получаем: 93\right)=-f(x)\)

    Так как \(f\left(-x\right)=-f(x)\), значение функции меняет знак при замене на \(-x \), поэтому функция не является четной.

    Функция \(y=f(x)\) является нечетной функцией, когда замена значения \(x\) в функции на \(-x\) изменяет значение функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=-f(x)\). Как мы видели выше, замена \(x\) на \(-x\) для нашей функции дает \(f\left(-x\right)=-f(x)\), поэтому наша функция является нечетной функцией . 92+1\)?

    Функция четная.

    Нечетная функция.

    Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.

    Функция одновременно четная и нечетная.

    Показать ответ

    Ответ:

    Функция \(y=f(x)\) является четной функцией при замене значения \(x\) в функции на \(-x\) не меняет значения функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=f(x)\). Заменяя \(x\) на \(-x\) для нашей функции и упрощая, мы получаем: 92+1=f(x)\)

    Так как \(f\left(-x\right)=f(x)\), значение функции не меняет знак при замене на \(-x\ ), поэтому функция является четной функцией.

    Функция \(y=f(x)\) является нечетной функцией, когда замена значения \(x\) в функции на \(-x\) изменяет значение функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=-f(x)\). Как мы видели выше, замена \(x\) на \(-x\) для нашей функции дает \(f\left(-x\right)=f(x)\), поэтому наша функция не является нечетной функцией .

    Таким образом, функция является только четной функцией.

    Скрыть ответ

    Вопрос № 4:

     
    Фотография поперечного сечения чашеобразной рампы для скейтборда, сделанная в скейтпарке, показана на координатной плоскости ниже. Пусть поперечное сечение криволинейной формы пандуса есть функция \(y=f(x)\).

    Если мы смотрим на дно чашеобразного пандуса, какое из следующих утверждений о графике функции, представляющей поперечное сечение пандуса, кажется верным?

    Функция четная.

    Нечетная функция.

    Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.

    Функция одновременно четная и нечетная.

    Показать Ответ

    Ответ:

    График функции является четным, если он имеет симметрию относительно оси \(y\). График будет отражаться относительно оси \(y\). Отражение части графика функции, лежащей справа от оси \(у\), дает часть графика, лежащую слева от оси \(у\). Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график рампы и ее отражения относительно оси \(y\).

    Обратите внимание, что отражение стороны графика справа от оси \(y\) относительно оси \(y\) дает часть наклона, которая находится слева от \(y\) )-ось. Одна такая точка на графике рампы подтверждает это, и это верно для всех точек на графике рампы. Таким образом, график функции \(y=f(x)\), представляющий рампу конька, имеет симметрию относительно оси \(y\), поэтому это четная функция.

    График функции является нечетным, если он имеет симметрию относительно начала координат. График будет таким же, если его повернуть на 180° вокруг начала координат. Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,-y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график рампы и ее отражения относительно начала координат.

    Обратите внимание, что отраженный график рампы вокруг начала координат дает совершенно другой график. Таким образом, график рампы не имеет симметрии относительно начала координат, поэтому не является нечетной функцией.

    Таким образом, график \(y=f(x)\), представляющий рампу для коньков, является только четной функцией.

    Скрыть ответ

    Вопрос № 5:

     
    Радиоволны — это электромагнитные волны, которые распространяются со скоростью света или близкой к ней. Существует много типов радиоволн, встречающихся в природе, таких как световые волны, и те, которые искусственно генерируются машинами. Одна такая искусственная волна, называемая радиоволной FM (частотная модуляция), передает несущий сигнал от радиостанции, которая передает информацию на антенну вашего радиоприемника, в которой амплитуда несущего сигнала постоянна, но частота модулируется или изменяется. Ниже приведен пример 2 циклов или периодов модулированной несущей FM.

    Согласно графику сигнала, FM-радиоволна:

    Четная функция

    Нечетная функция

    Ни четная, ни нечетная функция

    И четная, и нечетная функция

    Показать ответ

    Ответ:

    График функции является четным, если он имеет симметрию относительно оси \(y\). График будет отражаться относительно оси \(y\). Отражение части графика функции, лежащей справа от оси \(у\), дает часть графика, лежащую слева от оси \(у\). Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график радиоволны и ее отражения относительно оси \(y\), показанной красным цветом.

    Обратите внимание, что график отражения радиоволны относительно оси \(y\) дает совершенно другой график. Таким образом, график радиоволны не имеет симметрии относительно оси \(у\), поэтому не является четной функцией.

    График функции является нечетным, если он имеет симметрию относительно начала координат. График будет таким же, если его повернуть на 180° вокруг начала координат. Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,-y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график радиоволны и ее отраженный график о происхождении.

    Обратите внимание, что отражение стороны графика справа от оси \(y\) относительно начала координат дает часть наклона, которая находится слева от оси \(y\). Две такие точки на графике радиоволны подтверждают это, и это верно для всех точек на графике радиоволны. Таким образом, график функции, представляющей радиоволну, имеет симметрию относительно начала координат, поэтому это нечетная функция.

    Скрыть Ответ

    4.6: Ряды Фурье для четных и нечетных функций

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    8352
    • Нильс Валет
    • Манчестерский университет

    Обратите внимание, что в ряду Фурье прямоугольной волны (4.5.3) все коэффициенты \(a_n\) равны нулю, ряд содержит только синусы. Это очень общее явление для так называемых четных и нечетных функций.

    EVEn и нечетный

    Функция вызывается даже, если \(f(-x)=f(x)\), например \ (\ соз (х) \).
    Функция называется нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\), например \(\грех(х)\).

    У них несколько иные свойства, чем у четных и нечетных чисел:

    1. Сумма двух четных функций четна, а двух нечетных — нечетна.
    2. Произведение двух четных или двух нечетных функций четно.
    3. Произведение четной и нечетной функций нечетно. 9\infty b_n \sin\frac{n\pi}{L}x \nonumber \] нечетная функция. Эти ряды интересны сами по себе, но особенно важную роль они играют для функций, определенных на половине интервала Фурье, т. е. на \([0,L]\) вместо \([—L,L]\). Есть три возможных способа определения ряда Фурье таким образом, см. рис. \(\PageIndex{1}\)

      1. Продолжайте \(f\) как четную функцию, так что \(f'(0)=0\).
      2. Продолжите \(f\) как нечетную функцию, так что \(f(0)=0\).
      Рисунок \(\PageIndex{1}\): Схема возможных способов продолжения \(f\) за пределами области определения для \(0 \infty n a_n \sin\frac{n\pi}{L}x =0\quad\text {at $x=0$.} \nonumber \] 92} \cos(2m+1)\pi x. \номер\]


      Эта страница под названием 4.6: ряды Фурье для четных и нечетных функций распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 2.0 и была создана, изменена и/или курирована Нильсом Валетом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

      1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Автор
        Нильс Валет
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        2,0
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. [email protected]://oer. physics.manchester.ac.uk/PDEs/Notes/Notes

      Что такое четные и нечетные функции: Примеры

      Содержание

      В этой статье вы узнаете, что такое четные и нечетные функции? В этой статье мы описали примеры, чтобы определить, является ли данная функция четной или нечетной. Любая функция, график которой симметричен относительно оси у, называется четная функция. Математически, если мы имеем y=f(x)=f(-x) для любого значения x, то мы говорим, что это четная функция. График y=|x| показано ниже, которое показывает, что поведение функции одинаково для всех значений x.

      График четной функции

      Что такое четные функции?

      Все функции, имеющие четную и положительную степень x, являются четными функциями . Например

      X 2 , X 4 , X 6 ,…….. X 93 — примеры нечетных функций.

      график нечетной функции график нечетной функции

      Точно так же график синусоиды также является примером нечетной функции, поскольку он не дает симметрии относительно оси Y.

      Sin(x)

      Ни четные, ни нечетные функции

      Существуют некоторые функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Четное и нечетное — это просто термин, и все функции не должны быть отнесены к этим двум категориям. Например, . Многочлены оказываются ни четными, ни нечетными функциями.

      Как определить, четная функция или нечетная?

      Если мы хотим проверить, является ли заданное выражение функции четным или нечетным, мы заменим x на -x, а затем посмотрим, станет ли y(x)=y(-x) или y(-x)= -y (Икс).

      Пример:

      Проверка четной функции

      Проверка нечетной функции

      Ни четной, ни нечетной четных/нечетных функций

      Вот графическое изображение четных и нечетных функций.

       

      графическое изображение четных нечетных функций

      Свойства четных/нечетных функций

      • Произведение двух четных функций является четной функцией.
      • Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
      • Произведение четной и нечетной функций является нечетной функцией .
      • Сумма двух четных функций является четной функцией.
      • Сумма двух нечетных функций является нечетной функцией.

       

      Применение четной и нечетной функции

      Если волновая функция частицы является четной функцией (симметричной, с центром в начале координат), то ожидаемое местоположение частицы (при условии, что она существует) совпадает с началом координат, потому что | ψ(x)|2|Если волновая функция частицы является четной функцией (симметричной, с центром в начале координат).

      Краткое изложение Как определить, является ли емкость четной или нечетной?

      Представьте себе сценарий, в котором нам дана емкость, и мы не знаем, четная она или нечетная. Это не будет проблемой! Как насчет того, чтобы использовать то, что мы поняли до сих пор, чтобы решить, является ли емкость нечетной или четной.

      В момент, когда задана емкость: посмотрите, что произойдет, если мы заменим x на – x.

      Когда вы подставили – x к f(x), осталась ли емкость прежней? Если предположить, что это так, то f(x) четно.

      При подстановке – x в f(x) изменилось ли показание коэффициента мощности? При условии, что это верно, f(x) нечетно.

      В момент получения диаграммы: решите, является ли диаграмма симметричной относительно начала или оси Y.

      Если диаграмма симметрична относительно Y-образной ступицы, емкость будет равной. Как бы мы это сделали?

      Представьте, что вы сворачиваете диаграмму по вертикали и проверяете, будут ли две диаграммы лежать рядом друг с другом.

      Вы также можете найти множество фокусов и проверить, предлагают ли x и — x аналогичную функцию.

      В случае, если диаграмма симметрична относительно начала, мощность нечетна. Как бы мы это сделали?

      Представьте, что диаграмму сворачивают наискосок (проверьте два заголовка) и проверьте, будут ли две диаграммы лежать рядом друг с другом.

      Вы также можете определить различные фокусы и проверить, предлагают ли x и – x y-

      Существуют ли функции, которые не являются ни нечетными, ни четными?

      Должны ли все функции быть четными или нечетными? Нет. Есть примеры, когда емкость не соответствует смыслу четных и нечетных функций. Емкость f(x) = (x + 1)2 является иллюстрацией емкости, которая не является ни нечетной, ни четной.

      Также читайте здесь:

      • Как определить обратную функцию приведите пример?

      Смотрите также здесь

      Также читайте здесь

      https://eevibes.com/mathematics/elementary-math/inverse-of-a-function-with-examples/

      Как определить обратную функцию функция привести пример?

      9. Четные и нечетные функции

      М. Борн

      Четные функции

      Говорят, что функция `y = f(t)` равна , даже , если

      f (− t ) = f ( т )

      для всех значений t .

      График функции и даже всегда симметричен относительно вертикальной оси (то есть мы имеем зеркальное отображение относительно оси y ).

      Осциллограммы, показанные ниже, представляют даже функции:

      Кривая косинуса

      f ( t ) = 2 cos πt

      123-1-2-3123-1-2-3tf(t)Открыть изображение на новой странице

      График f ( t ) = 2 cos(π t ), четная функция.

      Обратите внимание, что у нас есть зеркальное отражение через ось `f(t)`.

      Четная прямоугольная волна

      12345-1-2-3-4-5123-1-2-3tf(t)Открыть изображение на новой странице

      График функции четного шага.

      Треугольная волна

      π2π−π-2π0.5ππtf(t)Открыть изображение на новой странице

      График четной треугольной функции.

      В каждом случае у нас есть зеркальное отражение через ось `f(t)`. Другими словами, у нас есть симметрия относительно вертикальной оси.

      Странные функции

      Функция `y=f(t)` называется нечетной , если

      `f(-t) = — f(t)`

      для всех значений t .

      График нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат .

      Исходная симметрия

      Граф имеет симметрию начала координат , если мы можем сложить его по вертикальной оси, а затем по 0005 горизонтальная ось, и накладывает график на себя.

      Другой способ думать об этом состоит в том, что график точно соответствует противоположным элементам по обе стороны от начала координат. Если график идет вверх вправо с одной стороны от начала координат, то он будет опускаться влево на ту же величину с другой стороны от начала координат.

      Примеры нечетных функций

      Осциллограммы, показанные ниже, представляют нечетных функций.

      Синусоидальная кривая

      y ( х ) = грех х

      0,5ππ1,5π2π-0,5π−π-1,5π-2π1-1xyОткрыть изображение на новой странице

      График y ( x ) = sin( x ), нечетная функция. -t,text(if ) 0 le t lt pi):}`

      Ответить

      π−π1tf(t)Открыть изображение на новой странице

      График функции разделения.

      Из графика видно, что это даже .

      ИЛИ: Функция даже поскольку `f(−t) = f(t)` для всех значения т .

      (b) `f(t)={(-1,text(if ) 0 le t lt pi/2),(1,text(if ) pi/2 le t lt (3pi)/2),( -1,текст(если) (3pi)/2 lt lt 2pi) :}`

      и f ( t ) = f ( т + 2π)

      (Последняя строка означает: периодический с периодом = 2π)

      Ответить

      π2π3π−π1-1tf(t)Открыть изображение на новой странице

      График ступенчатой ​​функции.

      Из графика видно, что это даже .

      ИЛИ: Функция даже поскольку `f(−t) = f(t)` для всех значения т .

      (c) `f(t)={(-t+pi,text(if ) -pi le t lt 0),(-t-pi,text(if ) 0 le t lt pi):}`

      Ответить

      π−ππ2π−π-2πtf(t)Открыть изображение на новой странице

      График функции разделения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.