Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действительная и мнимая ось Аргумент комплексного числа Главный аргумент комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа
Задание комплексного числа $z = a+bi$ равносильно заданию двух действительных чисел $a,b$ — действительной и мнимой частей данного комплексного числа. Но упорядоченная пара чисел $(a,b)$ изображается в декартовой прямоугольной системе координат точкой с координатами $(a, b)$. Таким образом, эта точка может служить изображением и для комплексного числа $z$: между комплексными числами и точками координатной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.
При использовании координатной плоскости для изображения комплексных чисел ось $Ox$ обычно называют действительной осью (так как действительная часть числа принимается за абсциссу точки), а ось $Oy$ — мнимой осью (так как мнимая часть числа принимается за ординату точки).
Комплексное число $z$, изображаемое точкой $M(a,b)$, называется аффиксом этой точки. При этом действительные числа изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа $bi$(при $a = 0$) — точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой O.
Рис.1
На рис. 1 построены изображения чисел $z_{1} = 2 + 3i, z_{2}=1 =1,z_{3} = 4i, z_{4} = -4 + i, z_{5} = -2, z_{6} = — 3 – 2i, z_{7} = -5i, z_{8} = 2 – 3i$.
Два комплексно сопряженных числа изображаются точками, симметричными относительно оси $Ox$ (точки $z_{1}$ и $z_{8}$ на рис. 1).
Рис. 2
Часто с комплексным числом $z$ связывают не только точку $M$, изображающую это число, но и вектор $\vec{OM}$, ведущий из $O$ в $M$; изображение числа $z$ вектором удобно с точки зрения геометрического истолкования действия сложения и вычитания комплексных чисел. На рис. 2, а показано, что вектор, изображающий сумму комплексных чисел $z_{1}, z_{2}$, получается как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\vec{OM_{1}}, \vec{OM_{2}}$, изображающих слагаемые.
Полярный угол точки $M$ называют аргументом числа $z$, изображаемого этой точкой.
Аргумент комплексного числа (как и полярный угол точки) определен неоднозначно; если $\phi_{0}$ -одно из его значений, то все его значения выражаются формулой
$\phi = \phi_{0} + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$
Все значения аргумента в совокупности обозначаются символом $Arg \: z$.
Итак, всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел: модуль и аргумент данного числа, причем аргумент определяется неоднозначно. Напротив, заданным модулю $|z| = r$ и аргументу $\phi$ отвечает единственное число $z$, имеющее данные модуль и аргумент. Особыми свойствами обладает число нуль: его модуль равен нулю, аргументу не приписывается никакого определенного значения.
Для достижения однозначности в определении аргумента комплексного числа можно условиться одно из значений аргумента называть главным. Его обозначают символом $arg \: z$. Обычно в качестве главного значения аргумента выбирается значение, удовлетворяющее неравенствам
$0 \leq arg \: z (в других случаях неравенствам $- \pi
Обратим еще внимание на значения аргумента действительных и чисто мнимых чисел:
$arg \: a = \begin{cases} 0, & \text{если} a>0, \\
\frac{3 \pi}{2}, & \text{если} b
Действительная и мнимая части комплексного числа (как декартовы координаты точки) выражаются через его модуль и аргумент (полярные координаты точки) по формулам:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
и комплексное число может быть записано в следующей тригонометрической форме:
$z = r( \cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(запись числа в виде $z = a + bi$ будем называть записью в алгебраической форме).
{2}} = 6 \sqrt{2}$,
$\cos \phi = \frac{6}{6 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\sin \phi = — \frac{6}{6 \sqrt{2}} = — \frac{1}{\sqrt{2}} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$,
откуда $\phi = \frac{7 \pi}{4}$, и, следовательно,
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left ( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right )$
в) $r = 10, \cos \phi = —1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$
Комплексное число Z в тригонометрической форме (Отчет о выполнении контрольной работы), страница 2
Математика \ Математика
Z = 3 + 3i = 18318+318i= 18 (cos450+isin450),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 618 (cos150+isin150) = 1,564 + i 0,419
Если k = 1, то Z1 = 618 (cos1350+isin1350) = — 1,145 + i 1,145
Если k = 2, то Z2 = 618 (cos2550+isin2550) = — 0,419 – i 1,564
12.
Z = 1 + i
r = ǀ1 + i ǀ = 12+12 = 2
Z = 1 + i = 212+12i= 2 (cos450+isin450),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 62 (cos150+isin150) = 1,084 + i 0,291
Если k = 1, то Z1 = 62 (cos1350+isin1350) = — 0,794 + i 0,794
Если k = 2, то Z2 = 62 (cos2550+isin2550) = — 0,291 – i 1,004
13.Z = 4 – 2i
r = ǀ4 — 2i ǀ = 42+(-2)2 = 20
Z = 4 — 2i = 20420- 220i= 20 (cos(-26,5650)+isin(-26,5650)),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 620 (cos(-8,8550)+isin(-8,8550)) = 1,628 – i 0,254
Если k = 1, то Z1 = 620 (cos111,1450+isin111,1450) = — 0,594 + i 1,537
Если k = 2, то Z2 = 620 (cos231,1450+isin231,1450) = — 1,034 – i 1,283
14.Z = 1 – 4i
r = ǀ1 – 4i ǀ = 12+(-4)2 = 17
Z = 1 – 4i = 17117- 417i= 17 (cos(-75,9630)+isin(-75,9630)),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 617 (cos(-25,3210)+isin(-25,3210)) = 1,449 – i 0,705
Если k = 1, то Z1 = 617 (cos94,6790+isin94,6790) = — 0,131 + i 1,598
Если k = 2, то Z2 = 617 (cos214,6790+isin214,6790) = — 1,319 – i 0,912
15.
r = ǀ- 1 + 3 i ǀ = (-1)2+ 32= 4=2
Z = — 1 + 3 i = 2-12+32i= 2 (cos1200+isin1200),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 32 (cos400+isin400) = 0,965 + i 0,810
Если k = 1, то Z1 = 32 (cos1600+isin1600) = — 1,184 + i 0,431
Если k = 2, то Z2 = 32 (cos2800+isin2800) = 0,219 – i 1,241
16.Z = -3 + i
r = ǀ-3 + i ǀ = (-3)2+12 = 10
Z = -3 + i = 10-310+ 110i= 10 (cos161,5650+isin161,5650),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 610 (cos53,8550+isin53,8550) = 0,866 + i 1,185
Если k = 1, то Z1 = 610 (cos173,8550+isin173,8550) = — 1,459 + i 0,157
Если k = 2, то Z2 = 610 (cos293,8550+isin293,8550) = 0,594 – i 1,342
17.Z = 1 + 33 i
r = ǀ1 + 33 i ǀ = 12+(33)2 = 43
Z = 1 + 33 i = 43143+ 3343i= 43 (cos300+isin300),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 643 (cos100+isin100) = 1,033 – i 0,182
Если k = 1, то Z1 = 643 (cos1300+isin1300) = — 0,674 + i 0,804
Если k = 2, то Z2 = 643 (cos2500+isin2500) = — 0,359 – i 0,986
18.
Z = — 1 – 3 i
r = ǀ- 1 – 3 i ǀ = (-1)2+ (-3)2= 4=2
Z = — 1 – 3 i = 2-12-32i= 2 (cos2400+isin2400),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 32 (cos800+isin800) = 0,219 + i 1,241
Если k = 1, то Z1 = 32 (cos2000+isin2000) = — 1,184 – i 0,431
Если k = 2, то Z2 = 32 (cos3200+isin3200) = 0,965 – i 0,810
19.Z = — 2 + 2i
r = ǀ- 2 + 2i ǀ = (-2)2+22 = 8
Z = — 2 + 2i = 8-28+28i= 8 (cos1350+isin1350),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 68 (cos450+isin450) = 1 + i
Если k = 1, то Z1 = 68 (cos1650+isin1650) = — 1,366 + i 0,366
Если k = 2, то Z2 = 68 (cos2850+isin2850) = 0,366 – i 1,366
20.Z = 3 + 2i
r = ǀ3 + 2i ǀ = 32+22 = 13
Z = 3 + 2i = 13313+213i= 13 (cos33,690+isin33,690),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 613 (cos11,230+isin11,230) = 1,504 + i 0,299
Если k = 1, то Z1 = 613 (cos131,230+isin131,230) = — 1,011 + i 1,153
Если k = 2, то Z2 = 613 (cos251,230+isin251,230) = — 0,493 – i 1,452
21.
Z = -2 + 3i
r = ǀ-2 + 3i ǀ = (-2)2+32 = 13
Z = -2 + 3i = 13213+313i= 13 (cos123,690+isin123,690),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 613 (cos41,230+isin41,230) = 1,153 + i 1,011
Если k = 1, то Z1 = 613 (cos161,230+isin161,230) = — 1,452 + i 0,493
Если k = 2, то Z2 = 613 (cos281,230+isin281,230) = 0,299 – i 1,504
22.Z = -3i
r = ǀ-3i ǀ = (-3)2 = 9 = 3
Z = -3i = 3 (cos(-90)0+isin(-90)0),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 33 (cos(-30)0+isin(-30)0) = 1,249 – i 0,721
Если k = 1, то Z1 = 33 (cos900+isin900) = i 1,443
Если k = 2, то Z2 = 33 (cos2100+isin2100) = — 1,249 – i 0,721
23.Z = — 3 — i
r = ǀ- 3 — i ǀ = (-3)2+ (-1)2= 4=2
Z = — 3 — i = 2-32-12i= 2 (cos2100+isin2100),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = 32 (cos700+isin700) = 0,431 + i 1,184
Если k = 1, то Z1 = 32 (cos900+isin900) = — 1,241 + i 0,219
Если k = 2, то Z2 = 32 (cos3100+isin3100) = 0,810 – i 0,965
24.
Z = i
r = ǀiǀ = 12 = 1
Z = i = (cos900+isin900),
Тогда корни Zk=3Z составят:
Если k = 0, то Z0 = (cos300+isin300) = 0,866 + i 0,5
Если k = 1, то Z1 = (cos1500+isin1500) = — 0,866 + i 0,5
Если k = 2, то Z2 = (cos2700+isin2700) = – i
Скачать файл
Выбери свой ВУЗ
- АлтГТУ 419
- АлтГУ 113
- АГТУ 267
- БИТТУ 794
- БГТУ «Военмех» 1191
- БГМУ 172
- БГТУ 603
- БГУ 155
- БГУИР 391
- БелГУТ 4908
- БГЭУ 963
- БНТУ 1070
- БТЭУ ПК 689
- БрГУ 179
- ВНТУ 120
- ВГУЭС 426
- ВлГУ 645
- ВМедА 611
- ВолгГТУ 235
- ВНУ им.
Даля 166 - ВЗФЭИ 245
- ВятГСХА 101
- ВятГГУ 139
- ВятГУ 559
- ГГДСК 171
- ГомГМК 501
- ГГМУ 1966
- ГГТУ им. Сухого 4467
- ГГУ им. Скорины 1590
- ГМА им. Макарова 299
- ДГПУ 159
- ДальГАУ 279
- ДВГГУ 134
- ДВГМУ 408
- ДВГТУ 936
- ДВГУПС 305
- ДВФУ 949
- ДонГТУ 498
- ДИТМ МНТУ 109
- ИвГМА 488
- ИГХТУ 131
- ИжГТУ 145
- КемГППК 171
- КемГУ 508
- КГМТУ 270
- КировАТ 147
- КГКСЭП 407
- КГТА им. Дегтярева 174
- КнАГТУ 2910
- КрасГАУ 345
- КрасГМУ 629
- КГПУ им. Астафьева 133
- КГТУ (СФУ) 567
- КГТЭИ (СФУ) 112
- КПК №2 177
- КубГТУ 138
- КубГУ 109
- КузГПА 182
- КузГТУ 789
- МГТУ им. Носова 369
- МГЭУ им. Сахарова 232
- МГЭК 249
- МГПУ 165
- МАИ 144
- МАДИ 151
- МГИУ 1179
- МГОУ 121
- МГСУ 331
- МГУ 273
- МГУКИ 101
- МГУПИ 225
- МГУПС (МИИТ) 637
- МГУТУ 122
- МТУСИ 179
- ХАИ 656
- ТПУ 455
- НИУ МЭИ 640
- НМСУ «Горный» 1701
- ХПИ 1534
- НТУУ «КПИ» 213
- НУК им. Макарова 543
- НВ 1001
- НГАВТ 362
- НГАУ 411
- НГАСУ 817
- НГМУ 665
- НГПУ 214
- НГТУ 4610
- НГУ 1993
- НГУЭУ 499
- НИИ 201
- ОмГТУ 302
- ОмГУПС 230
- СПбПК №4 115
- ПГУПС 2489
- ПГПУ им. Короленко 296
- ПНТУ им. Кондратюка 120
- РАНХиГС 190
- РОАТ МИИТ 608
- РТА 245
- РГГМУ 117
- РГПУ им. Герцена 123
- РГППУ 142
- РГСУ 162
- «МАТИ» — РГТУ 121
- РГУНиГ 260
- РЭУ им. Плеханова 123
- РГАТУ им. Соловьёва 219
- РязГМУ 125
- РГРТУ 666
- СамГТУ 131
- СПбГАСУ 315
- ИНЖЭКОН 328
- СПбГИПСР 136
- СПбГЛТУ им. Кирова 227
- СПбГМТУ 143
- СПбГПМУ 146
- СПбГПУ 1599
- СПбГТИ (ТУ) 293
- СПбГТУРП 236
- СПбГУ 578
- ГУАП 524
- СПбГУНиПТ 291
- СПбГУПТД 438
- СПбГУСЭ 226
- СПбГУТ 194
- СПГУТД 151
- СПбГУЭФ 145
- СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
- ПИМаш 247
- НИУ ИТМО 531
- СГТУ им. Гагарина 114
- СахГУ 278
- СЗТУ 484
- СибАГС 249
- СибГАУ 462
- СибГИУ 1654
- СибГТУ 946
- СГУПС 1473
- СибГУТИ 2083
- СибУПК 377
- СФУ 2424
- СНАУ 567
- СумГУ 768
- ТРТУ 149
- ТОГУ 551
- ТГЭУ 325
- ТГУ (Томск) 276
- ТГПУ 181
- ТулГУ 553
- УкрГАЖТ 234
- УлГТУ 536
- УИПКПРО 123
- УрГПУ 195
- УГТУ-УПИ 758
- УГНТУ 570
- УГТУ 134
- ХГАЭП 138
- ХГАФК 110
- ХНАГХ 407
- ХНУВД 512
- ХНУ им. Каразина 305
- ХНУРЭ 325
- ХНЭУ 495
- ЦПУ 157
- ЧитГУ 220
- ЮУрГУ 309
Даля 166
Дегтярева 174
Макарова 543
Герцена 123
Гагарина 114
Каразина 305комплексных чисел — абсолютное значение z = абсолютное значение z+3i, найдите мнимую часть z.
спросил
Изменено 8 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Комплексное число такое, что абсолютное значение z = абсолютное значение (z-3i) 92-6b+9$$
$$6b=9$$
$$b=\frac32$$
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Геометрия! (В комплексной плоскости.
..)Расстояние $|z|=|z-0|$ между точками $z$ и $0$ и расстояние $|z-3\mathrm i|$ между точками $z$ и $3\mathrm i$ совпадают тогда и только тогда, когда точка $z$ лежит на прямой, ортогональной отрезку $[0,3\mathrm i]$ и проходящей через его середину $\frac12(0+3\mathrm i)=\frac32\mathrm i $. Это горизонтальная линия $\frac32\mathrm i+\mathbb R$ уравнения $\Im(z)=\frac32$.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.