Z числа: § Целые числа. Целые числа определение

Содержание

натуральный, рациональный, иррациональный, действительные числа, комплексный

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических «умений». Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти «волшебные» свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4.

.. \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения «меньше» ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия

3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4.

если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ — известные натуральные числа, а $x$ — неизвестное натуральное число, требует введения новой операции — вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $ 1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения

2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5. :
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}…$

Теперь рассмотрим уравнения вида $a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ — известные целые числа, а $x$ — неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:

$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено). {-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135…$
$\pi \approx 3.1415926535…$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. 2=a$, где $a$ — известное рациональное число, а $x$ — неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. 2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ — нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ — нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Числовые множества N,Z,Q,R

Текст 1. Числовые множества

N = {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.

Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел. Q = { (m∈Z, n∈ N)} – множество всех рациональных чисел.

R – множество всех действительных чисел.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Задание 1. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте текст 1.

2) Читайте текст. 3) Пишите текст. 4) Выучите текст.

Задание 2. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

1 – натуральное число.

1, 2, 3, … , n, … – натуральные числа.

N= {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.

1∈ N, 2∈N, 0∉N, – 2 ∉ N.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы:

а) Какой буквой обозначают множество всех натуральных чисел?

б) Какое множество обозначают буквой N? в) Какое самое маленькое натуральное число? г) Какое самое большое натуральное число? д) Сумма двух натуральных чисел – натуральное число? е) Разность двух натуральных чисел – тоже натуральное число?

Задание 3. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

-2 – целое число.

2; 0; 2 – целые числа.

Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел.

1∈ Z, — 1∈Z, 0∈Z, ½∉Z.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех целых чисел? б) Какое множество обозначают буквой Z? в) Разность двух целых чисел – целое число? г) Частное двух целых чисел – тоже целое число?

Задание 4. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

½ рациональное число.

3½; ⅔; 1,215; 0; — 7 рациональные числа.

Числа вида (m∈Z, n∈N) это рациональные числа. Рациональные числа можно записать в виде (m∈ Z, n∈N). Q = { (m∈Z, n∈N)} – множество всех рациональных чисел.

-1⅔∈Q; 6,723∈Q; 5∈Q; 3 (корень из трёх)∉Q.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех рациональных чисел? б) Какое множество обозначают буквой Q? в) Какие числа называют рациональными? г) Почему числа -1⅔; 6,723; 5 – рациональные?

Задание 5. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

Если число нельзя записать в виде (m∈Z, n∈N), то это

иррациональное число. 3 = 1, 73205…; — 2 = — 1,41421…;

е = 2,71828…; π (пи) = 3,14159…– иррациональные числа.

Иррациональные числа – бесконечные непериодические

десятичные дроби.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел R.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех действительных чисел? б) Какое множество обозначают буквой R? в) Какие числа образуют

множество R? г) Какие из следующих чисел действительные: 0; 5⅜;

-9,02; — ; − ; е; 10; 12,5?

Задание 6. Рассмотрите схему и опишите её:

√3

-√2

Задание 7. Поставьте знак Ѓ или ∉:

-2 … Z 4 16 … Z π …R – … R

0 … N 3 …Q – … Q 0,175 … Q

100 … N 5,5 …Q − …R е … R

Задание 8. Выпишите: 1) рациональные числа; 2) иррациональные числа:

25 ; 17 ;

; 0; – 6; — 2 ; 3,6; 0,6666… ; 0,313131… ;

0,272272227… ; 5 .

Задание 9. Выполните действия:

1) N ∩ Z; 2) N U Z; 3) Q ∩ Z; 4) Z U Q; 5) N U R; 6)R∩N;

7) N ∩ Q; 8) R∩ Q; 9) Q U R; 10) Z ∩ Q.

Задание 10. Ответьте на вопросы:

1) Чему равно пересечение множеств рациональных и иррациональных чисел?

2) Чему равно объединение множеств рациональных и иррациональных чисел?

Задание 11. Назовите несколько элементов множества:

1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных

чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел; 8) недействительных чисел.

Задание 12. Скажите, верны или нет следующие утверждения.

Приведите примеры.

1) Целые числа состоят из натуральных чисел, нуля и чисел,

противоположных натуральным. 2) Рациональные числа состоят из

целых чисел и дробей вида

, где р – целое, q – натуральное. q

3) Рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби. 4) Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. 5) Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. 6) Квадратный корень из рационального числа всегда иррациональное число.

Слова и словосочетания:

натуральное число действительное число целое число периодическая дробь рациональное число десятичная дробь иррациональное число

Материал взят из книги Начальный курс по математике для студентов-иностранцев подготовительных факультетов (Т.А. Полевая)

Некоторые символы математического языка — урок. Алгебра, 8 класс.

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

&naturals; — обозначение множества всех натуральных чисел.

&integers; — множество целых чисел. Оно состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля.

Пример:

$…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …$

&Qopf; — множество рациональных чисел.

Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: 13,5152,−85….

Множество &Qopf; рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;−mn (где $m$, $n$ — натуральные числа) и числа $0$.

Очевидно, &naturals; — составной компонент множества &integers;, а &integers; — составной компонент множества &Qopf;. Обозначается это так: &naturals;⊂&integers;;&integers;⊂&Qopf;.

⊂ — знак включения.

Запись x∈X показывает, что $x$ — элемент множества $X$.

Запись A⊂B показывает, что множество $A$ — часть множества $B$. Говорят: $A$ — подмножество множества $B$.

Для записи, что элемент $x$ не принадлежит множеству $X$ или что множество $A$ не является подмножеством множества $B$, используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: x∉X,A⊄B.

Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями.

Пример:

7∈&naturals;;7∈&integers;;7∈&Qopf;;−5∉&naturals;;&naturals;⊂&Qopf;;&integers;⊄&naturals;;2∈1;6;1;3⊂−2;8.

Каждое рациональное число может быть записано десятичной дробью (конечной или бесконечной периодической):

722=0,3181818…=0,3(18);4=4,000…=4,(0);7,3777=7,37770000…=7,3777(0).

Обратное утверждение также верно: каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью. Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом.

Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь 4,5(28) в обыкновенную дробь.

Пусть $x=$ 4,5(28), т. е. $x=$ 4,5282828… и т.д.

Сначала нужно передвинуть запятую, чтобы она стояла перед периодом. Для этого число $x$ умножим на $10$. Получим 10x=45,282828… и т.д.

Теперь передвинем запятую так, чтобы она стояла после периода. Для этого число $x$ умножим на $1000$. Получим 1000x=4528,282828… и т.д.

Вычтем из второго равенства первое равенство.

1000x=4528,282828…10x=45,282828…

990x=4483¯

Отсюда x=4483990=4523990.

Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.

Пример:

1,(23)=123−199=12299=12399;1,5(23)=1523−5990=1518990=1259495.

Открытая Математика. Алгебра. Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a + ib

, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей.

Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a = b и c = d.
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i(b + d).
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i(ad + bc).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа

z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i ċ 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно, (a+i0)+(c+i0)=a+c+i0,(a+i0)(c+i0)=ac+i0. Следовательно, комплексные числа вида a + i ċ 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается ℂ. Мы установили, что ℝ⊂ℂ, а именно a=a+i0.

В отличие от действительных чисел, числа вида

0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством: i2=iċi=(0+i1)(0+i1)= -1+i0= -1. Таким образом,

i2= -1.

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства i2=-1, то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле, (a+ib)(c+id)=ac+bdċi2+i(ad+bc)=ac-bd+i(ad+bc), то есть как раз получается нужная формула.

Вычислить z₁ + z₂ и z₁z₂, где z₁ = 1 + 2i и z₂ = 2 – i.

Имеем z1+z2=1+2i+2-i=1+2+i(2+(-1))=3+i1=3+i.

z1z2=(1+2i)(2-i)=1ċ2+2ċ(-1)ċi2+i(2ċ2+1ċ(-1))=2+2+i(4-1)=4+3i.

Ответ. z₁ + z₂ = 3 + i, z₁z₂ = 4 + 3i.

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью. Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.

Очень важной является интерпретация комплексного числа z = a + ib как вектора OA→ с координатами (a; b) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами (a; b). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z = a + ib соответствует вектор OA→(a; b) и наоборот, каждому вектору OA→(a; b) соответствует, и притом единственное, число z = a + ib.

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Комплексные числа на плоскости

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

|z|=a2+b2.

Модуль комплексного числа z обычно обозначается |z| или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

Если z=a+i0, то |z|=|a+i0|=a2=|a|, то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что |z|>0 для всех z≠0. При этом |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0+i0=0.

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z→; величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2πn также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z = 1 + i являются углы π4, 9π4, 17π4 и т. д. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg z ≤ π.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система {cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2;⇔{cosφ=a|z|,sinφ=b|z|.

Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти. |z|=(-1)2+(-1)2=1+1=2. Для поиска аргумента решим систему {cosφ=Rez|z|,sinφ=Imz|z|;⇔{cosφ=-12,sinφ=-12.⇔φ=5π4+2πn, n∈ℤ.

Ответ. |z|=2, argz=5π4+2πn, n∈ℤ.

Комплексные числа


	Главная > Учебные материалы > Математика: Комплексные числа


	1. Понятие комплексного числа. 2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

	19 20 21 22 23 24 25 26 27


	1.Понятие комплексного числа. Выражение вида z = x + iy называется комплексным числом. Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re(z), число y — мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im(z). Числа z = x + iy и z1 = x — iy называются сопряженными. Если равны действительные и мнимые части комплексного числа, то они называются равными т.е. z1 = z2 или x1 + iy1 = x2 + iy2. Операции над комплексными числами.
	1. Сумма (разность) комплексных чисел. z1+z2 = x1+x2+i(y1+y2). 2. Произведение комплексных чисел. z1z2 = (x1x2 — y1y2) + i(x1y2 + x2y1). отсюда i² = (0 + i1)(0 + i1) = (0 -1) + i(0 + 0) = -1. 3. Деление двух комплексных чисел.
	Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат Oxy. Каждому комплексному числу Z = x + iy ставится в соответствие единственная точка плоскости z(xy). Плоскость Oxy, где каждая точка отождествлена с комплексным числом, называется комплексной. Координатные оси Ox и Oy, на которых расположены действительные и мнимые числа, называются действительной и мнимой осями.
	2.Тригонометрическая форма комплексного числа. До любой точки комплексной плоскости из начала координат можно провести вектор определенной длины r. Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается \|z\|.

	Угол ϕ, образованный между вектором и осью Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Из значения ϕ = Arg z выделяется главное значение arg z, которое кратно 2π. ϕ = Arg z = arg z + 2kπ где 0≤ argz < 2π Таким образом: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Следовательно, комплексное число z = x + iy можно представить как:

	Представление комплексного числа в такой форме, где r = \|z\| ≥ 0, ϕ = Arg z, называется тригонометрической формой комплексного числа.



	Пример.





	19 20 21 22 23 24 25 26 27

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Если для e^z мы хотим сохранить правила действий со степенями, то w = e^z = e^a + bi = e^a · e^ib. Если z₁ = a₁ + ib₁, z₂ = a₂ + ib₂, то w₁ · w₂ = e^z₁ · e^z₂ = e^a₁ · e^a₂ · e^i(b₁+b₂) и сравнивая это с правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, следует считать, что |w| = e^a, |e^ib| = 1, а b — обобщённый аргумент числа w.

e^ib = cos b + i sin b

Тогда комплексное число w приобретает экспоненциальную форму записи

w = |w| · e^{i arg w}

Обозначение: e^iφ = cos φ + i sin φ.

Умножение любого z на e^iφ означает поворот вектора z на угол φ против часовой стрелки. Поэтому z = |z|e^iφ. В такой форме произведение чисел z₁ = |z₁|e^iφ₁ и z₂ = |z₂|e^iφ₂ имеет вид: z₁ · z₂ = |z₁||z₂|e^{i(φ₁+φ₂)}.

Связь с тригонометрией: e^−iφ = cos φ − i sin φ. Отсюда

Открывается возможность определения функции переменной z:

e^z = e^x (cos y + i sin y) для z = x + iy

16/22

Комплексные числа: определения и основные понятия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексные числа – это числа вида , где – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению .

Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение .

Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .

Например. — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число , а мнимой частью – вещественное число .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю комплексное число называется чисто мнимым.

Например. , где .

Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел. Любое действительное число может быть записано в форме комплексного числа: .

Например. Комплексные числа обозначают действительное число .

Равенство комплексных чисел

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.

В противном случае комплексные числа называются неравными.

ПРИМЕР

Задание	Определить, при каких и два комплексных числа и являются равными.
Решение	По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. .
Ответ

Комплексно сопряженные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплексному числу называется число . ПРИМЕР

Задание	Найти для комплексного числа его сопряженное число.
Решение	Комплексно сопряженным числом является число вида . Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является . Следовательно, сопряженное число имеет вид: .
Ответ

Подробнее про комплексно сопряженные числа читайте в отдельной статье: Комплексно сопряженные числа.

Противоположные комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Противоположным к комплексному числу является комплексное число . ПРИМЕР

Задание	Найти противоположное число к комплексному числу .
Решение	Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью – число . Следовательно, противоположным числом будет являться число .
Ответ

Натуральное, Целое, Иррациональное, Действительное, Комплексное

Понимание чисел, особенно натуральных, — один из древнейших математических навыков. Многие культуры, даже некоторые современные, приписывают числам некоторые мистические свойства из-за их огромного значения в описании природы. Хотя математика и современная наука не подтверждают такие взгляды, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически первым возник набор натуральных чисел; довольно быстро расширяется дробями и даже положительными иррациональными числами; нулевые и отрицательные числа были обнаружены только после этих подмножеств действительных чисел.Последний в этой серии набор комплексных чисел появляется только с развитием современной науки.

С другой стороны, современная математика не вводит числа в хронологическом порядке; хотя порядок введения очень похож.

Натуральные числа $ \ mathbb {N} $

Набор натуральных чисел часто обозначается $ \ mathbb {N} = \ lbrace 1,2,3,4 … \ rbrace $, и он часто расширяется до $ 0 $, в этом случае обозначается $ \ mathbb { N} _0 $.

В $ \ mathbb {N} $ операции сложения (+) и умножения ($ \ cdot $) определены со следующими свойствами для каждого $ a, b, c \ in \ mathbb {N} $:

1.$ a + b \ in \ mathbb {N} $, $ a \ cdot b \ in \ mathbb {N} $ set $ \ mathbb {N} $ замкнут для сложения и умножения
2. $ a + b = b + a $, $ a \ cdot b = b \ cdot a $ коммутативность
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot ( b \ cdot c) $ ассоциативность
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ дистрибутивность
5. $ a \ cdot 1 = a $ есть нейтральный элемент для умножения

Поскольку в наборе $ \ mathbb {N} $ есть нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, это точная причина, почему это множество часто расширяется с помощью 0, который является нейтральным элементом для сложения.

Помимо этих двух операций в множестве $ \ mathbb {N} $, отношения строго меньше ($

1. $ ab $ трихотомия
2. если $ a \ leq b $ и $ b \ leq a $, то антисимметрия $ a = b $
3. если $ a \ leq b $ и $ b \ leq c $, то $ a \ leq c $ транзитивность
4. если $ a \ leq b $, то $ a + c \ leq b + c $
5. если $ a \ leq b $, то $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $

Целое число $ \ mathbb {Z} $

Примеры целых чисел:
$ 1, -20, -100, 30, -40, 120 … $

Решение уравнения $ a + x = b $, где $ a $ и $ b $ — натуральные числа, а $ x $ — неизвестное натуральное число, требует введения новой арифметической операции: дедукции (-).Если существует натуральное число $ x $, удовлетворяющее уравнению, то это $ x = b-a $. Однако это конкретное уравнение не обязательно имеет решение в наборе $ \ mathbb {N} $, поэтому из практических соображений требуется расширить набор натуральных чисел решениями этого уравнения; что в основном приводит к целочисленному набору: $ \ mathbb {Z} = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 … \ rbrace $.

Поскольку $ \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} $, естественно ввести операции $ + $ и $ \ cdot $ и отношения $ 1.$ 0 + a = a + 0 = a $ есть нейтральный элемент для сложения
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ есть число $ -a $, противоположное числу $ a $

Свойство 5.
5. если $ 0 \ leq a $ и $ 0 \ leq b $, то $ 0 \ leq a \ cdot b $.

Множество $ \ mathbb {Z} $ также закрыто для вывода, т.е. $ (\ forall a, b \ in \ mathbb {Z}) (a-b \ in \ mathbb {Z}) $.

Рациональные числа $ \ mathbb {Q} $

Примеры рациональных чисел:
$ \ frac {1} {2}, \ frac {4} {7}, — \ frac {5} {8}, \ frac {10} {20} … $

Помимо указанного уравнения, требуется найти решение этого типа уравнений $ a \ cdot x = b $, где $ a $ и $ b $ заданы целыми числами, а $ x $ — неизвестными числами.Для решения этого типа уравнений вводится операция деления ($: $), и решением этого уравнения является $ x = b: a $, то есть $ x = \ frac {b} {a } $. Опять же, возникает проблема, заключающаяся в том, что $ x $ не всегда принадлежит $ \ mathbb {Z} $, поэтому необходимо расширить множество решениями этого типа уравнений. Таким образом, вводится множество $ \ mathbb {Q} $, элементами которого являются $ \ frac {p} {q} $, где $ p \ in \ mathbb {Z} $ и $ q \ in \ mathbb {N} $. Подмножество этого набора, где для каждого элемента $ q = 1 $ есть набор $ \ mathbb {Z} $, поэтому $ \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q} $ и, следовательно, операции сложения и умножения расширяются в этот набор на основе следующих правил, которые сохраняют все вышеупомянутые свойства также в наборе $ \ mathbb {Q} $:
$ \ frac {p_1} {q_1} + \ frac {p_2} {q_2} = \ frac {p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1} {q_1 \ cdot q_2} $
$ \ frac {p-1} {q_1} \ cdot \ frac {p_2} {q_2} = \ frac {p_1 \ cdot p_2} {q_1 \ cdot q_2} $

В то же время разделение вводится как:
$ \ frac {p_1} {q_1}: \ frac {p_2} {q_2} = \ frac {p_1} {q_1} \ cdot \ frac {q_2} {p_2} $

В множестве $ \ mathbb {Q} $ уравнение $ a \ cdot x = b $ имеет единственное решение для каждого $ a \ neq 0 $, при этом деление на ноль не определено.{-1} $:
$ (\ forall a \ in \ mathbb {Q} \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ exists \ frac {1} {a}) (a \ cdot \ frac {1} {a } = \ frac {1} {a} \ cdot a = 1) $

Порядок набора $ \ mathbb {Q} $ можно расширить следующим образом:
$ \ frac {p_1} {q_1}

Множество $ \ mathbb {Q} $ имеет еще одно важное свойство — между любыми двумя рациональными числами находится бесконечное количество рациональных чисел, что означает, что нет двух соседних рациональных чисел, как это было в случае с натуральными числами и целыми числами.

Иррациональные числа $ \ mathbb {I} $

Примеры иррациональных чисел:
$ \ sqrt {2} \ приблизительно 1.41422135 … $
$ \ pi \ приблизительно 3,14155 … $

В связи с тем, что между любыми двумя рациональными числами существует бесконечное количество других рациональных чисел, это может легко привести к неправильному выводу, что множество рациональных чисел настолько плотно, что нет необходимости в дальнейшем расширении рациональных чисел. 2 = 2 $ в множестве рациональных чисел.2 = a $, где $ a $ — данное рациональное число, а x — неизвестное число, не всегда имеет решение в пределах набора рациональных чисел, и снова возникает потребность в расширении набора чисел. Эти числа называются иррациональными числами, и $ \ sqrt {2} $, $ \ sqrt {3} $, $ \ pi $ … принадлежат этому множеству.

Действительные числа $ \ mathbb {R} $

Объединение наборов рациональных и иррациональных чисел — это набор действительных чисел. Поскольку $ \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {R} $ снова логично, что введенные арифметические операции и отношения должны быть расширены на новый набор.Формально выполнить такое разложение и упорядочить набор действительных чисел крайне сложно, поэтому уже упомянутые свойства арифметических операций и соотношений вводятся в набор действительных чисел как аксиомы. В алгебре такая структура называется полем, поэтому мы говорим, что набор действительных чисел является упорядоченным полем.

Чтобы завершить определение множества действительных чисел, нам нужна дополнительная аксиома, которая определяет разницу между множествами $ \ mathbb {Q} $ и $ \ mathbb {R} $. Предположим, что S — непустое подмножество множества действительных чисел.Элемент $ b \ in \ mathbb {R} $ является верхней границей множества $ S $, если $ \ forall x \ in S $ истинно $ x \ leq b $, и тогда мы говорим, что множество $ S $ выше ограниченный. Точная верхняя грань множества $ S $ называется супремумом и обозначается $ \ sup S $. По аналогии с этим вводятся такие понятия, как нижняя граница, ограниченное сверху множество и точная грань $ \ inf S $. Оставшаяся аксиома выглядит следующим образом:

Каждое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что определенное таким образом поле действительных чисел уникально.2 = -1 $. Расширение набора $ \ mathbb {R} $ до набора $ \ mathbb {C} $ позволяет определять квадратный корень из отрицательных чисел, так что это как раз причина для введения набора комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $ \ mathbb {C} $, определенное как $ \ mathbb {C} _0 = \ lbrace (a, 0) | a \ in \ mathbb {R} \ rbrace $, удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел, что означает, что $ \ mathbb {C} _0 = \ mathbb {R} $ или что $ R \ subset \ mathbb {C} $.

Алгебраическая структура множества $ \ mathbb {C} $ по отношению к сложению и умножению обладает следующими свойствами:
1.Коммутативность сложения и умножения
2. Ассоциативность сложения и умножения
3. $ 0 + i0 $ — нейтральный элемент для сложения
4. $ 1 + i0 $ — нейтральный элемент для умножения
5. Умножение дистрибутивно по сравнению с сложением
6. есть единственный обратный элемент для сложения и умножения

Функции, определенные в наборе Z-номеров

В общем, функция определяется как отображение между двумя пробелами. В математике предполагается, что информация, относящаяся к элементам предметной области и диапазону функции, является точной.Например, в исчислении это означает, что значение аргумента должно быть точным числом, а затем соответствующее значение функции будет определено как точное число. Математический анализ, исчисление и функциональный анализ в математике хорошо развиты. Однако при применении этих теорий к проблемам реального мира возникает важная проблема: значения аргументов для вычислений точно не известны, но на них влияют различные аспекты неопределенностей. Это, естественно, влечет за собой неопределенности, связанные со значениями функции.В реальных задачах у нас нет точной и надежной информации о значениях интересующих переменных, но нам приходится иметь дело с некоторыми ограничениями на эти значения. Следовательно, точные значения функций не могут быть найдены, а могут быть описаны только некоторые ограничения на эти значения. Таким образом, возникают новые математические проблемы, связанные с тем, как справляться с неопределенностями, которые естественным образом передаются от значений аргументов к значениям функций. Теория вероятностной арифметики была разработана для построения функции, аргументами которой являются не точные числовые переменные, а случайные величины [16], [30], [39], [44], [45].Это помогает формализовать случайность значения функции, которая, естественно, является следствием случайности ее аргументов. Для обработки неточных измерений, когда ограничения на точность описываются интервалами, определенными в пространстве вещественных чисел, была разработана теория интервального исчисления [1], [24], [29]. Более общий и адекватный формализм для работы с неточной и расплывчатой информацией, особенно с лингвистической информацией, была разработана теория нечеткого исчисления [23], [26], [42], [48].Эта теория служит целям вычислений, когда ограничения на значения определены лингвистически. Это означает, что осуществимость значения в рамках ограничения является вопросом степени. Книга Кауфмана и Гупты [23] посвящена развитию нечеткой арифметики на основе принципа расширения и другим важным направлениям исследований нечетких функций, включая факториалы, последовательности, серии нечетких чисел и производные функций нечетких чисел. Предлагаемая нечеткая арифметика включает в себя основные арифметические операции, такие как сложение и умножение, алгебраические операции и операции сравнения нечетких чисел.Рассмотрены такие часто встречающиеся функции, как нечеткие тригонометрические функции и нечеткие гиперболические функции, основанные на принципе расширения. Книга включает множество примеров, предлагающих подробное объяснение и иллюстрацию рассматриваемых нечетких арифметических операций.

Развитие нечеткого исчисления выявило важные вопросы, которые потребовали разработки теоретических основ для нечетких функций. В общем, существует по крайней мере два разных понятия нечетких функций. Первая концепция основана на принципе расширения, предложенном Заде [51], согласно которому нечеткая функция рассматривается как обобщение классической функции на случай, когда значения ее аргументов являются нечеткими множествами.Это было отправной точкой исследования нечетких функций. Дальнейшие существенные разработки фундаментальных основ нечетких функций были предложены в [19], где была предложена широкая теоретическая база исследования. Нечеткие функции рассматривались как отображения вещественной прямой в пространство нормальных и выпуклых нечетких множеств с полунепрерывными сверху функциями принадлежности и компактным носителем. Предусмотрены различные метрики в рассматриваемом пространстве. Сформулированы определения предела, непрерывности, ограниченности, интегрируемости, дифференцируемости и другие понятия нечеткой функции.Рассмотрены приложения предложенного анализа к нечетким дифференциальным уравнениям и другим важным областям. Исследования в [27] были посвящены исследованию нечетких функций, в основном связанных с нечеткими дифференциальными уравнениями.

В настоящее время существует разнообразная серия исследований принципа расширения, основанная на исследованиях нечетких функций [17], [18], [25], [33], [34], [35], [36]. Эти работы включают исследования нечетких уравнений [33], [34], [36], нечетких дифференциальных уравнений [6], [10], [11], [28], нечетких мер и нечетких интегралов [20], [ 32], [40], [53] и т. Д.Ряд связанных приложений к принятию решений, управлению и другим областям был рассмотрен в [6], [7], [8], [9], [10].

Как было упомянуто в [35], еще одним важным взглядом на концепцию нечеткой функции является рассмотрение последней как нечеткой связи между областью и диапазоном функции [17], [18], [21] ], [25]. В [35] авторы предлагают объединить концепции нечеткой функции на основе принципа расширения и нечетких отношений. Было показано, что нечеткая функция на основе нечетких отношений определяет нечеткую функцию на основе принципа расширения.Была исследована взаимосвязь между этими двумя концепциями.

Теории, изложенные выше, а именно. вероятностное исчисление и нечеткое исчисление имеют дело с уникальными типами неопределенности. Однако реальная информация характеризуется как вероятностными, так и нечеткими неопределенностями. Это требует развития звукового формализма, способного одновременно иметь дело со случайностью и нечеткостью. Чтобы обосновать формальную основу для работы с реальной информацией, Заде предложил концепцию Z-числа [49] как упорядоченную пару Z = (A, B) непрерывных нечетких чисел, используемых для описания значения случайного переменная X. — это нечеткое ограничение на значения X и B рассматривается как значение вероятностной меры A , играющее роль надежности A . Автор предлагает принцип продолжения как общий подход для построения функций от Z -чисел. Есть несколько исследований, посвященных Z-числам и их приложениям, например, опубликованные в [47], [50].

В [2], [3], [4] был представлен общий и эффективный в вычислительном отношении подход к вычислениям с дискретными Z-числами.Авторы приводят сильную мотивацию использования дискретных Z-чисел, рассматриваемых как альтернатива непрерывным аналогам. В частности, мотивация основана на том, что лингвистическая информация может быть представлена в дискретных рамках. С другой стороны, в дискретной структуре не требуется делать разумное предположение о типе распределения вероятностей. Предлагаемая арифметика дискретных Z-чисел включает в себя основные арифметические операции и важные алгебраические операции.Предлагаемый подход поддерживает работу с Z-числами напрямую без их преобразования в нечеткие числа.

Книга [5] посвящена вычислениям над непрерывными и дискретными Z-числами. Авторы рассмотрели некоторые арифметические операции. Они также сосредоточились на решении уравнений с Z-числами. На основе предложенных методов были разработаны несколько важных задач и их решение. Один из них касается линейного программирования с переменными решения со значениями Z-числа и параметрами со значениями Z-числа.Другая проблема касается регрессионного анализа со значением Z-числа. Также были предложены основы принятия решений с использованием Z-значной информации. Книга охватывает несколько приложений предлагаемого подхода к принятию решений, маркетингу и оптимальному планированию.

В упомянутых исследованиях не была развита надежная систематическая теория функций Z-чисел. Существующие важные теоретические и практические проблемы в системном анализе, принятии решений, управлении, экономике, экологии и других областях более или менее хорошо разработаны для исключительно точной информационной основы.Некоторые из них были разработаны исключительно в рамках вероятностной информационной структуры или нечеткой информационной структуры. Однако не существует теоретической основы для разработки формальной постановки проблем реального мира и методов решения для Z-числовой информационной структуры. Формально правильная обработка такой информации становится важной для формулирования адекватных решений реальных проблем.

Настоящая работа посвящена теоретическим исследованиям функций Z-чисел и установлению их свойств в предположении, что Z-числа описывают несовершенную информацию о независимых случайных величинах.Предлагается общая методика построения функций Z-чисел, основанная на принципе продолжения. Мы рассматриваем типичные функции Z-чисел, такие как сложение Z-чисел, умножение Z-чисел, минимум и максимум Z-чисел, степень Z-чисел и другие, которые показаны на рис. 1.

A series Примеры приведены, чтобы показать обоснованность предлагаемого подхода.

Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 мы представляем некоторый предварительный материал, такой как операции над случайными величинами, определение Z-числа, метрики в пространстве Z-чисел и другие.В разделе 3 мы описываем предлагаемую общую методологию построения функций от Z-чисел. В разделе 4 мы рассматриваем некоторые свойства функций от Z-чисел. Общий алгоритм применения предложенной методологии проиллюстрирован в разделе 5. Численные примеры, показывающие построение рассматриваемых функций Z-чисел, представлены в разделе 6. Раздел 7 позволяет сделать ряд выводов.

Примечание по Z-числам — ScienceDirect

В реальном мире неопределенность является широко распространенным явлением.Большая часть информации, на которой основаны решения, является неопределенной. Люди обладают замечательной способностью принимать рациональные решения на основе информации, которая является неопределенной, неточной и / или неполной. Формализация этой возможности, по крайней мере, до некоторой степени — это трудная задача. Именно этот вызов мотивирует концепции и идеи, изложенные в этой заметке.

A Z -число — это упорядоченная пара нечетких чисел ( A , B ). Для простоты предполагается, что A и B являются нечеткими числами трапециевидной формы.Число Z связано с действительной неопределенной переменной, X , с первым компонентом, A, играющим роль нечеткого ограничения, R ( X ), для значений, которые X может принимать, записывается как X — A, где A — нечеткое множество. Следует отметить, что, строго говоря, понятие ограничения имеет большую общность, чем понятие ограничения. Распределение вероятностей является ограничением, но не ограничением [10].Ограничение можно рассматривать как обобщенное ограничение [16]. В этом примечании термины ограничение и ограничение используются как синонимы.

Ограничение R (X): XisA упоминается как возможное ограничение (ограничение), где A играет роль распределения возможностей X . Более конкретно, R (X): XisA → Poss (X = u) = μA (u), где μ _A — функция принадлежности A , а u — общее значение X . . μ _A можно рассматривать как ограничение, которое связано с R ( X ), что означает, что μ _A ( u ) — это степень, в которой u удовлетворяет ограничение.

Когда X является случайной величиной, распределение вероятностей X играет роль вероятностного ограничения на X . Вероятностное ограничение выражается как: R (X): Xispp, где p — функция плотности вероятности X .В этом случае R (X): Xispp → Prob (u≤X≤u + du) = p (u) du Примечание. Обычно термин «ограничение» применяется к X — R . Иногда «ограничение» применяется к R . Контекст помогает устранить двусмысленность значения слова «ограничение».

Заказанная тройка ( X , A , B ) называется оценкой Z . A Z -оценка эквивалентна оператору присваивания, X — ( A , B ). X — неопределенная переменная, если A не одноэлементный. Схожим образом неопределенное вычисление — это система вычислений, в которой объектами вычислений являются не значения переменных, а ограничения на значения переменных. В этом примечании, если не указано иное, предполагается, что X является случайной величиной. Для удобства A упоминается как значение X , с пониманием того, что, строго говоря, A не является значением X , а ограничением значений, которые может принимать X .Второй компонент, B , называется достоверностью. С определенностью тесно связаны концепции уверенности, уверенности, надежности, силы убеждений, вероятности, возможности и т. Д. Когда X является случайной величиной, определенность можно приравнять к вероятности. Неформально B можно интерпретировать как ответ на вопрос: насколько вы уверены, что X — это A ? Обычно A и B основаны на восприятии и описываются на естественном языке.Пример: (обычно около 45 мин.) Набор оценок Z называется информацией Z . Следует отметить, что большая часть повседневных рассуждений и принятия решений фактически основана на информации Z . Для целей вычислений, когда A и B описаны на естественном языке, значение A и B уточняется (градуируется) посредством ассоциации с функциями принадлежности, μ _A и μ _B соответственно, рисунок 1.Функцию принадлежности A , μ _A можно выявить, задав последовательность вопросов формы: В какой степени число a соответствует вашему восприятию A ? Пример: Насколько 50 минут соответствуют вашему восприятию примерно 45 минут? То же самое относится к B . Нечеткое множество, A , можно интерпретировать как распределение вероятностей X . Концепция числа Z может быть обобщена различными способами.В частности, можно предположить, что X принимает значения в R ⁿ, и в этом случае A является декартовым произведением нечетких чисел. Простыми примерами оценок Z являются:

(ожидаемый дефицит бюджета, около 2 миллионов долларов, очень вероятно)

(население Испании, около 45 миллионов, точно)

(степень честности Роберта, очень высокая, абсолютно)

(степень честности Роберта, высокая, не уверен)

(время в пути на машине из Беркли в Сан-Франциско, обычно около 30 минут)

( цена на нефть в ближайшем будущем, значительно выше 100 долларов / баррель, весьма вероятно)

Важно отметить, что многие предложения на естественном языке выражаются в виде оценок Z .Пример: предложение, p ,

p : Обычно Роберт добирается домой с работы около 1 часа, выражается как Z -оценка:

(время в пути Роберта от офиса до офиса). домой, обычно около 1 часа)

Если X — случайная величина, то X равно A представляет собой нечеткое событие в R , действительной строке. Вероятность этого события, p , может быть выражена как: [9] p = ∫RμA (u) pX (u) du, где p _X — основная (скрытая) плотность вероятности Х .Фактически, оценка Z ( X , A , B ) может рассматриваться как ограничение (обобщенное ограничение) для X , определяемое следующим образом: Вероятность (XisA) isB. что в числе Z ( A , B ) лежащее в основе распределение вероятностей, p _X, неизвестно. Известно ограничение на p _X, которое может быть выражено как: ∫RμA (u) pX (u) duisB

Тонкий момент заключается в том, что B является ограничением вероятностной меры . А , а не вероятность А .И наоборот, если B является ограничением вероятности A , а не мерой вероятности A , то ( A , B ) не является числом Z .

Примечание. В этом примечании термин «распределение вероятностей» не используется в его строгом техническом смысле.

Фактически, число Z можно рассматривать как сводку p _X. Важно отметить, что при принятии повседневных решений большинство решений основывается на обобщении информации.Рассмотрение числа Z в качестве резюме согласуется с этой реальностью. В приложениях к анализу решений основная проблема, которая возникает, связана с ранжированием чисел Z . Пример: (приблизительно 100, вероятно) больше, чем (приблизительно 90, очень вероятно)? Это значимый вопрос?

Непосредственным следствием связи между p _X и B является следующее. Если Z = (A, B), то Z ′ = (A ′, 1-B), где A ′ — дополнение к A , а Z ′ играет роль дополнения к Z .1-B является антонимом B [6]. Пример: дополнение Z = (A, вероятно) равно Z ′ = (notA, маловероятно).

Важным качественным признаком номера Z является информативность. Обычно, но не всегда, число Z является информативным, если его значение имеет высокую специфичность, то есть жестко ограничено [7], и его достоверность высока. Информативность является желательной, когда число Z является основой для решения. Основной вопрос: когда информативность числа Z достаточна, чтобы служить основой для разумного решения?

Концепция числа Z основана на концепции нечеткой гранулы [12], [13], [16].Следует отметить, что понятие числа Z является гораздо более общим, чем понятие доверительного интервала в теории вероятностей. Есть некоторые связи между концепцией числа Z , концепцией нечеткого случайного числа и концепцией нечеткой случайной величины [4], [2], [5]. Альтернативная интерпретация концепции числа Z может быть основана на концепции нечеткой многозначной случайной величины — концепции, которая обсуждается в [12]. Эта интерпретация в дальнейшем не рассматривается.

Концепция, которая тесно связана с концепцией номера Z , — это концепция номера Z ⁺. По сути, число Z ⁺, Z ⁺, представляет собой комбинацию нечеткого числа A и случайного числа R , записанного как упорядоченная пара Z + = (A, Р). В этой паре A играет ту же роль, что и в числе Z , а R — это распределение вероятностей случайного числа.Эквивалентно, R можно рассматривать как лежащее в основе распределение вероятности X в оценке Z ( X , A , B ). В качестве альтернативы, число Z ⁺ может быть выражено как ( A , p _X) или ( μ _A, p _{X ) где μ _A — функция принадлежности A .Оценка Z ⁺ выражается как ( X , A , p _X) или, что эквивалентно, как ( X , μ _A, p _X), где p _X — это распределение вероятностей (плотность) X . Число Z ⁺ связано с так называемым бимодальным распределением, то есть распределением, которое объединяет распределения вероятностей и вероятностей X .Неформально эти распределения совместимы, если центроиды μ _A и p _X совпадают, то есть ∫RupX (u) du = RuμA (u) du∫RμA (u ) du Скалярное произведение μ _A и p _X, μ _A · p _X P 901 мера вероятности, А}, из А .Более конкретно, μA · pX = PA = RμA (u) pX (u) du. Именно это соотношение связывает понятие числа Z с понятием числа Z ⁺. Более конкретно, Z (A, B) = Z + (A, μA · pXisB). Следует подчеркнуть, что в случае числа Z известно не p _X, а ограничение. на p _X выражается как: μ _A · p _X is B .По определению, число Z ⁺ несет больше информации, чем число Z . По этой причине он обозначен как Z ⁺ -номер. Как будет показано в дальнейшем, вычисление с числами Z ⁺ — это портал для вычислений с числами Z .

Концепция бимодального распределения представляет самостоятельный интерес. Пусть X будет вещественной переменной, принимающей значения в U . Для наших целей будет удобно предположить, что U — конечное множество, U = { u ₁,…, u _n}.Мы можем связать с X распределение возможностей, μ , и распределение вероятностей, p , выраженное как: μ = μ1 / u1 + ⋯ + μn / unp = p1⧹u1 + ⋯ + pn⧹unin, которое μ _i/ u _i означает, что μ _i, i = 1,…, n , это вероятность того, что X =

u я . Аналогично, p _i ⧹ u _i означает, что p _i — это вероятность того, что X = u _{i .
Распределение вероятностей μ может быть объединено с распределением вероятностей p посредством так называемого слияния. Более конкретно, μ: p = (μ1, p1) / u1 + ⋯ + (μn, pn) / un Как отмечалось ранее, скалярное произведение, выраженное как μ · p , является мерой вероятности A . С точки зрения бимодального распределения, оценка Z ⁺ и оценка Z , связанные с X , могут быть выражены как: (X, A, pX) (X, A, B), μA · pXisB, соответственно, при том понимании, что B является возможным ограничением на μ _A · p _X.
И Z , и Z ⁺ можно рассматривать как ограничения на значения, которые может принимать X , записанные как: X — Z и X — Z ⁺, соответственно. Просмотр Z и Z ⁺ как ограничений для X добавляет важные концепции к представлению информации и характеристике зависимостей. В этой связи следует отметить, что концепция нечеткого правила «если-то» играет ключевую роль в большинстве приложений нечеткой логики.Далее следует очень краткое обсуждение так называемых правил Z — правил если-то, в которых антецеденты и / или следствия включают числа Z или Z ⁺ -числа.
Базовое нечеткое правило «если-то» может быть выражено так: если X равно A , то Y равно B , где A и B — нечеткие числа. Значение такого правила определяется следующим образом: ifXisAthenYisB → (X, Y) isA × B, где A × B — декартово произведение A и B [14].Обобщение основного правила «если-то» для чисел Z удобно выразить в терминах оценок Z . Более конкретно, если (X, AX, BX), то (Y, AY, BY) Примеры:
если (ожидаемый бюджетный дефицит, около двух миллионов долларов, очень вероятно), то (сокращение персонала, около десяти процентов, очень вероятно)
если (степень честности Роберта, высокая, не уверен), то (предложить позицию, нет, уверен)
если ( X , маленький), то ( Y , большой, обычно) .
Важный вопрос касается значения правил Z и Z ⁺ -правил. Значение правила Z ⁺ может быть выражено как: если (X, AX, pX), то (Y, AY, pY) → (X, Y) равно (AX × AY, pXpY), где A _X × A _Y — декартово произведение A _X и A _Y
и не будет рассматриваться в этой заметке. Z -правила имеют потенциал для важных приложений при анализе решений и моделировании сложных систем, особенно в области экономики.
Проблема, которая играет ключевую роль во многих приложениях нечеткой логики, особенно в области нечеткого управления, — это проблема интерполяции. Более конкретно, проблему интерполяции можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим набор нечетких правил «если-то» вида: ifXisAithenYisBi, i = 1,…, n, где A _i и B _i — нечеткие множества с заданными функциями принадлежности.Если X равно A , где A не является одним из A _i, то какое ограничение на Y?
Задачу интерполяции можно обобщить по-разному. Обобщение чисел Z может быть описано следующим образом. Рассмотрим набор Z -правил вида: ifXisAithen обычно (YisBi), i = 1,…, n, где A _i и B _i — нечеткие множества.Пусть A будет нечетким набором, который не является одним из A _i. Какое ограничение на Y выражается числом Z ? Ответ на этот вопрос добавил бы полезный формализм к анализу сложных систем и процессов принятия решений.
Представление чисел Z упрощается за счет использования так называемой мыши Z [17]. По сути, мышь Z — это визуальное средство ввода и поиска нечетких данных.Другая система визуального ввода и поиска нечетких данных была использована Buisson для сбалансированного приема пищи [3].
Курсор мыши Z представляет собой круговую нечеткую метку, называемую f-меткой, с трапециевидным распределением силы света. Это распределение интерпретируется как трапецеидальная функция принадлежности нечеткого множества. Параметры трапеции регулируются пользователем. Нечеткое число, такое как «приблизительно 3», представлено в виде f-метки на шкале, где 3 — это центр тяжести f-метки (рис.2а). Размер f-метки является мерой неуверенности пользователя в значении числа. Как уже отмечалось, мышь Z интерпретирует f-метку как функцию принадлежности трапециевидного нечеткого множества. Эта функция принадлежности служит объектом вычисления. Мышь Z может использоваться для рисования кривых и построения графиков.
Ключевая идея, лежащая в основе концепции мыши Z , заключается в том, что визуальная интерпретация неопределенности гораздо более естественна, чем ее описание на естественном языке или как функция принадлежности нечеткого множества.Эта идея тесно связана с замечательной способностью человека улавливать (выпускать) восприятия, то есть связывать восприятие с степенями. В качестве иллюстрации, если меня спросят: «Какова вероятность переизбрания Обамы?» Мне было бы легко поставить отметку f на шкале от 0 до l. Точно так же я мог бы поставить отметку f по шкале от 0 до l, если бы меня попросили указать, насколько мне нравится моя работа. Интересно отметить, что мышь Z может использоваться в качестве информативного средства опроса, позволяющего определить силу своих чувств по поводу проблемы.Обычные методы опроса не позволяют оценить силу чувств.
При использовании мыши Z число Z представляется в виде двух f-меток на двух разных шкалах (рис. 2b). Нечеткие трапециевидные множества, связанные с f-метками, служат объектами вычислений.
Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и другие числа
Натуральные числа
натуральное число (или , считая ) числа — это 1,2,3,4,5 и т. Д.Есть бесконечно
много натуральных чисел. Набор натуральных чисел, {1,2,3,4,5, …},
иногда для краткости пишут N .
целых чисел — натуральные числа вместе с 0.
(Примечание: некоторые учебники не согласны с этим и говорят, что натуральные числа включают 0.)
Сумма
любые два натуральных числа также являются натуральными числами (например, 4 + 2000 = 2004), а произведение любых двух натуральных чисел
натуральное число (4 × 2000 = 8000). Этот
однако это неверно для вычитания и деления.
Целые числа
целых чисел — это набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их аддитивных обратных чисел и нуля.
{…, — 5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, …}
Набор целых чисел иногда
написано J или для краткости Z .
сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это не относится к делению … просто попробуйте 1 ÷ 2.
Рациональные числа
рациональных чисел — это
те числа, которые можно выразить как отношение между
два целых числа.Например, дроби 13 и −11118 являются
рациональное число. Все целые числа входят в рациональные числа,
поскольку любое целое число z можно записать как отношение z1.
Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (с версии 8.27 можно записать как 827100.) Десятичные дроби
которые после некоторой точки имеют повторяющийся узор, также являются рациональными:
например,
0,0833333 …. = 112.
Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их
сумма, разница, произведение и частное также являются рациональным числом
(пока мы не делим на 0).
Иррациональные числа
Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме он никогда не заканчивается и не повторяется. В
древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там
— это уравнения, которые нельзя решить с помощью отношений целых чисел.
Первое такое уравнение
для изучения было 2 = x2. Какие
само число умноженное на 2?
2 является
около 1,414, поскольку 1,4142 = 1,999396, что близко к
2. Но вы никогда не попадете точно, возведя дробь в квадрат (или завершив
десятичный).Квадратный корень из 2 — иррациональное число, то есть его
десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося образца:
2 = 1,41421356237309 …
Другой известный иррациональный
числа золотое сечение , число с большим
значение для биологии:
1 + 52 = 1,61803398874989 …
π (пи),
отношение длины окружности к ее диаметру:
π = 3,141558979 …
и е,
самое важное число в исчислении:
е = 2.71828182845904 …
Иррациональные числа можно подразделить на алгебраических чисел, которые являются решениями некоторого полиномиального уравнения (например, 2 и золотое сечение), и трансцендентных чисел, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.
г.
Реальные числа
Действительные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» в числовой строке.Существует бесконечно много действительных чисел, как и бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел на больше бесконечности.
«Меньше»,
или счетных бесконечности целых чисел и
rationals иногда называют ℵ0 (alef-naught),
и бесчисленных бесконечности реалов
называется ℵ1 (алеф-он).
Есть еще «большие» бесконечности,
но для этого вам следует взять курс теории множеств!
г.
Комплексные числа
Комплексные числа
— множество {a + bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1.(нажмите здесь, чтобы
подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).
Комплексные числа включают набор действительных чисел. Действительные числа в сложной системе записываются в виде a + 0i = a. реальное число.
Этот набор иногда бывает
записывается как C для краткости. Набор комплексных чисел
важно, потому что для любого полинома p (x) с коэффициентами действительного числа все решения p (x) = 0 будут в C .
За пределами …
Есть и «большие» наборы
чисел, используемых математиками.Кватернионы ,
открытые Уильямом Х. Гамильтоном в 1845 году, образуют систему счисления с тремя
разные мнимые единицы!
Объединение данных датчика с Z-номерами и его применение при диагностике неисправностей
Аннотация
Технология объединения данных датчиков широко используется в диагностике неисправностей. Информация в системе слияния сенсорных данных характеризуется не только нечеткостью, но и частичной надежностью. Неопределенная информация датчиков, в том числе случайность, нечеткость и т. Д., в последнее время активно изучается. Однако надежность датчика часто упускается из виду или не может быть адекватно проанализирована. Число Z , Z = ( A , B ), может одновременно представлять нечеткость и надежность информации, где первый компонент A представляет нечеткое ограничение на значения неопределенных переменных и второй компонент B является мерой надежности A . Для разумного моделирования и обработки неопределенностей в системе слияния данных датчиков в этой статье предлагается новый метод, объединяющий число Z и теорию свидетельств Демпстера – Шафера (DS), где число Z является используется для моделирования нечеткости и надежности данных датчиков, а теория свидетельств DS используется для объединения неопределенной информации чисел Z .Основные преимущества предложенного метода заключаются в том, что он обеспечивает более надежную меру надежности данных датчиков, а дополнительная информация от нескольких датчиков снижает неопределенность распознавания неисправностей, тем самым повышая надежность обнаружения неисправностей.
Ключевые слова: слияние данных датчиков, Z -число, диагностика неисправностей, нечеткость, теория доказательств Демпстера – Шафера, анализ бизнес-процессов, неопределенность
1. Введение
Слияние данных затронуло все аспекты повседневной жизни человека.Например, люди могут естественным образом интегрировать информацию, собранную органами, такими как глаза, нос, уши и т. Д., Для вынесения суждения и решения. Слияние мультисенсорных данных, функциональное моделирование процедуры принятия решений, выполняемой человеческим мозгом, пользуется десятилетиями известности в инженерных системах и отраслях. Объединение информации от датчиков с различными физическими характеристиками улучшает понимание нашего окружения и обеспечивает основу для планирования, принятия решений и управления автономными и интеллектуальными машинами [1].Этот метод широко используется во многих областях, таких как медицинская диагностика [2], объединение изображений [3,4,5], отслеживание и распознавание целей [6] и диагностика неисправностей устройств [7,8].
С развитием технологий часто возникают разного рода отказы, которые несут большие угрозы для жизни человека из-за все более сложной структуры современных инженерных систем. В последние годы обнаружение и диагностика неисправностей привлекают к себе большое внимание. Существующие методы диагностики неисправностей разнообразны.Например, методы, основанные на экспертной системе [9,10,11], разработаны на основе опыта экспертов в предметной области, основанного на многолетней практике. В этом методе диагностика выполняется с помощью предустановленного программного обеспечения или системы, которая может функционально имитировать процесс рассуждений и принятия решений экспертами. Этот метод прост и понятен в принципе, но на практике обычно наталкивается на препятствия. С одной стороны, этот метод слишком полагается на уровень знаний экспертов, а значит, на точность диагноза легко влияет этот фактор.Кроме того, получение знаний и создание базы правил, с другой стороны, — длительные и трудные процессы. Другие методы диагностики неисправностей, такие как машинное обучение [12] и обработка сигналов [13], широко используются в реальных приложениях. Машинное обучение для диагностики неисправностей, например, нейронная сеть, использует исторические данные о сбоях для обучения алгоритма нейронной сети. Этот метод структурно имитирует когнитивные способности человека и является новым методом с полным потенциалом.Однако такие факторы, как структура нейронной сети и интенсивность обучения, часто влияют на диагностический эффект. Метод обработки сигнала, например, вейвлет-преобразование, является эффективным методом диагностики неисправностей, но ему не хватает устойчивости к шуму. Слияние сенсорных данных [14] как метод управления данными привлекает все больше и больше внимания. Этот метод может объединять информацию из нескольких источников с различными физическими характеристиками для уменьшения неопределенности. На сегодняшний день мы можем найти больше ссылок на диагностику неисправностей, где используется метод слияния нескольких датчиков, по следующим причинам:
По сравнению с данными из одного источника, объединение информации из нескольких источников расширяет диапазон обнаружения во времени и пространстве, чтобы улучшить возможность сбора информации.
Обнаруженный сбой может иметь несколько атрибутов, поэтому для совместного выполнения задачи обнаружения требуются датчики разных типов.
Мультисенсоры необходимы для преодоления сложности и неопределенности окружающей среды. Объединение данных датчиков способствует повышению надежности и безопасности системы.
В практических приложениях существуют различные помехи в рабочей среде, поэтому информация, полученная с датчиков, является недостоверной и недостоверной.Таким образом, способы измерения и обработки неопределенной информации являются ключевыми вопросами в системе объединения датчиков. Для решения этих проблем вводятся теории модели и процесса неопределенности, такие как теория нечетких множеств [15,16], теория свидетельств [17,18,19,20], числа D [21], теория возможностей [22], и т. д. Работающее устройство невозможно точно проанализировать из-за его случайности, сложности и непостоянства. Связь между обнаруженной функцией и реальным рабочим состоянием обычно нечеткая и неопределенная; на этой основе, многие методы диагностики неисправностей, основанные на теории нечетких множеств, хорошо изучены, такие как [23,24].Теория свидетельств D-S, которая была впервые предложена Демпстером [17], а затем развита Шафер [18], способна работать с неопределенной информацией без априорной вероятности. Функция массы, функция убеждений и функция правдоподобия, определенные в теории свидетельств D-S, могут хорошо измерять неопределенную информацию; таким образом, она более гибкая и эффективная, чем теория вероятностей. Комбинированное правило Демпстера эффективно для уменьшения неопределенности и сосредоточения внимания на определенной информации для принятия решения. Теория доказательств D-S имеет хорошие характеристики при моделировании неопределенности [25,26] и слиянии данных [27,28], что способствует ее широкому применению в областях обработки неопределенной информации [29,30] и принятия решений [31].Теория чисел D, как обобщение теории доказательств DS, также эффективна при работе с неопределенной информацией, такой как анализ рисков [32], оценка воздействия на окружающую среду [33], выбор поставщика [21] и т. Д.
На самом деле, не только метод моделирования и обработки является неопределенным, но также мера надежности источника информации влияет на результаты слияния. Хотя большинство систем термоядерного синтеза оптимистично предполагают, что все источники информации являются надежными, и уделяют больше внимания моделированию неопределенности и методам объединения, однако производительность системы термоядерного синтеза сильно зависит от характеристик датчика, включая точность, эффективность работы и способность понимать динамическую рабочую среду [34].Следовательно, процедура оценки надежности каждого датчика незаменима. В теории доказательств факторы дисконтирования были введены Шафером [18] для учета надежности источников информации. Первоначально факторы дисконтирования были определены для дисконтирования функций убеждений. Позже коэффициент дисконтирования датчика был введен в [35] для представления надежности датчика. Теперь мы можем найти больше исследователей, которые используют метод коэффициента дисконтирования для измерения надежности информации из нескольких источников.Например, в [8] новая энтропия убеждений [36] была применена для измерения информационного объема свидетельств. Затем рассчитываются коэффициенты дисконтирования, основанные на этой энтропии убеждений, как надежности каждого свидетельства, чтобы иметь дело с конфликтами свидетельств при применении теории свидетельств. В [34] Guo et al. представила основу для оценки надежности датчиков в задачах классификации, основанных на теории доказательств. В своей работе статическая надежность и динамическая надежность учитывались в процессе оценки, где статический коэффициент дисконтирования, присвоенный датчику, был основан на сравнении его исходных показаний и фактических значений данных, и был получен коэффициент динамического дисконтирования. с помощью адаптивного обучения и регулирования в ситуациях в реальном времени.Аналогичным образом, статистическая надежность датчика и надежность динамического датчика также были приняты во внимание в [7]. В отличие от [34], статическая надежность в [7] была получена из достаточности доказательств и важности доказательств, предложенных Фаном и Цзо [37], а динамическая надежность была получена на основе функции расстояния между доказательствами [38] и убеждения энтропия [36]. Этот метод также можно использовать для управления конфликтами [39,40,41,42] в теории доказательств D-S. Хотя в некоторых случаях метод дисконтирования факторов дает хорошие результаты, некоторые аспекты могут быть улучшены для более разумного измерения надежности датчиков.Надежность датчика зависит от контекста сбора данных датчика. Внешние факторы, такие как шумы окружающей среды, обманчивое поведение наблюдаемых целей, метеорологические условия и т. Д., Часто влияют на работу датчиков. Следовательно, надежность датчика не может быть легко и точно измерена. Другими словами, четкая цифра дисконтирования не может полностью покрыть всю сложность и неопределенность надежности датчика. Поэтому мы считаем более разумным моделировать нечеткую надежность датчика.Кроме того, существующие методы [7,8,31,41] обычно извлекают факторы дисконтирования из BPA, который потерял часть исходной информации; в результате полученный коэффициент дисконтирования может не отражать реальную ситуацию должным образом.
Для решения вышеуказанных проблем мы предлагаем новый метод слияния данных датчиков, основанный на числах Z и теории доказательств D-S. Концепция числа Z , предложенная Заде [43] в 2011 году, представляет собой упорядоченную пару нечетких чисел, обозначенных как Z = ( A , B ).Первый компонент A представляет собой нечеткое ограничение на значение переменной X . Второй компонент B представляет собой меру уверенности или надежности A . Число Z может учитывать как нечеткость, так и надежность, что как раз подходит для моделирования данных датчиков. В этой статье мы предлагаем управляемый данными метод динамического создания чисел Z . Нечеткая надежность, которая получается из исходной информации о характеристиках, может уменьшить потерю информации.Основываясь на предложенной модели числа Z , мы совместно применяем теорию свидетельств [17,18] и число Z [43] для подтверждения комбинации при диагностике неисправностей. Теория свидетельств D-S [17,18] может установить взаимосвязь между набором и предложением неисправности и широко используется для объединения данных датчиков при диагностике неисправностей. Например, для рамки распознавания {дисбаланс, несоосность, ослабленное основание, изгиб ротора} неопределенная информация может быть описана как «неисправность ротора имеет степень достоверности 70%, принадлежащую набору A = {несбалансированное, ослабленное основание} и имеет 30% вероятность принадлежности к набору B = {изгиб ротора, несоосность} ».При сопоставлении режимов мы используем компонент A из числа Z , чтобы получить BPA. Второй компонент, нечеткая надежность, как мера надежности датчика, может использоваться для модификации BPA. Путем объединения мультисенсорной и многофункциональной информации синтезированные свидетельства получают для диагностики неисправностей в соответствии с определенными диагностическими правилами.
2. Рассмотрение базовой концепции
2.1. Нечеткое число
Теория нечетких чисел [44] основана на теории нечетких множеств.Он может хорошо выражать расплывчатую и неточную информацию и глубоко изучается исследователями [45,46,47,48]. Соответствующие определения наряду с некоторыми основными понятиями нечетких множеств даются следующим образом:
Нечеткое множество A определено в юниверсе X и может быть задано как:
A = {〈 x , μ _A ( x )〉 | x ∈ X }
(1)
где μ _A → [0, 1] — функция принадлежности A .Значение принадлежности μ _A ( x ) описывает степень x ∈ X в A .
Нечеткое число A — это нечеткое подмножество реальной линии X с функцией принадлежности A . Треугольное нечеткое число и трапециевидное нечеткое число являются двумя наиболее широко используемыми нечеткими числами, определения которых следующие:
Треугольное нечеткое число A = ( a ₁, a ₂ , a ₃) — нечеткое число с кусочно-линейной функцией принадлежности μ _A ( x ), определяемое следующим образом:
μAx = 0, x≤a1x − a1a2 − a1, a1≤x≤a2a3 − xa3 − a2, a2≤x≤a30, a3≤x
(2)
Нечеткое трапециевидное число A = ( a ₁, a ₂, a ₃, a ₄) нечеткое число с функцией принадлежности μ _A ( x ) :
μAx = 0, x≤a1x − a1a2 − a1, a1≤x≤a21, a2≤x≤a3a4 − xa4 − a3, a3≤x≤a40, a4≤x
(3)
Когда a ₂ = a ₃, нечеткое число в форме трапеции A сокращается до треугольного нечеткого числа.
2.2.
Z -номер Реальная информация несовершенная. С одной стороны, такая информация часто отличается нечеткостью. Это означает, что мы часто накладываем мягкие ограничения на значения интересующих переменных. С другой стороны, реальная информация характеризуется частичной надежностью. Действительно, любая оценка представляющих интерес ценностей, будь то точная или мягкая, зависит от уверенности в источниках информации — знаниях, предположениях, интуиции, предвидении, опыте, — что, в общем, не может полностью покрыть всю сложность реального мира явления [49].Таким образом, нечеткость и частичная надежность тесно связаны друг с другом. Чтобы учесть этот факт, Л.А. Заде [43] предложил концепцию числа Z как адекватную формальную конструкцию для описания информации реального мира.
A Z -число — это упорядоченная пара нечетких чисел, обозначенная как Z = ( A , B ), где A представляет ограничения нечеткости значений переменных, а B — это нечеткая надежность компонента А .Выбор нечеткого числа часто зависит от реальных потребностей приложения. Для простоты обычно предполагается, что A и B являются нечеткими числами трапециевидной или треугольной формы, а их функции принадлежности изображены на. Функцию принадлежности A , μ _A можно выявить, задав последовательность вопросов формы: В какой степени число a соответствует вашему восприятию A? Пример: Насколько 50 минут соответствуют вашему восприятию примерно 45 минут? Кроме того, B можно интерпретировать как ответ на вопрос: насколько вы уверены в своем ответе? В реальной жизни большая часть повседневных рассуждений и принятия решений основана на наборе оценок Z .Некоторые простые примеры оценки Z можно выразить следующим образом:
(Население Испании, около 47 миллионов, точно)
(Степень честности робота, высокая, не уверен)
(Спектральная величина виброускорения, около 0,15 м / с ² , очень уверен).
2.3. Теория доказательств Демпстера – Шейфера
Теория доказательств D-S, представленная Демпстером [17], а затем развитая Шейфером [18], возникла из их работ по статистическим выводам и неопределенным рассуждениям.Эта теория широко применяется для принятия решений [31,50,51], слияния информации [52] и обработки неопределенной информации [53].
Пусть Θ будет набором взаимоисключающих и коллективно исчерпывающих событий, обозначенных:
Θ = { θ ₁, θ ₂, ⋯ θ _i, ⋯, θ _N}
где множество Θ называется рамкой различения. Набор мощности Θ обозначается цифрой 2 ^Θ, а именно:
2 ^Θ = {∅, { θ ₁}, ⋯ { θ _N}, { θ ₁, θ ₂, {} { θ ₂} θ ₁, θ ₂, ⋯ θ _i}, ⋯, Θ}
(5)
Функция масс — это отображение m от 2 ^Θ до [ 0, 1], формально определяемый:
которое удовлетворяет следующему условию:
Когда m ( A )> 0, A , который является членом набора мощности, называется центральным элементом функции масс.
В теории свидетельств D-S функция массы также называется BPA. Предположим, есть два BPA, работающих с двумя наборами предложений B и C соответственно, обозначенных как m ₁ и m ₂. Комбинированное правило Демпстера [17] используется для их следующего комбинирования:
м (A) = 0,11 − K∑B∩C = Am1 (B) m2 (C) A = ∅A ≠ ∅
(9)
K = ∑B∩C = ∅m1 (B) m2 (C),
(10)
В уравнениях (9) и (10) K отражает конфликт между двумя BPA m ₁ и m ₂.
4. Иллюстрированный пример объединения данных датчиков при диагностике неисправностей.
Для проверки предложенного метода проводится тематическое исследование диагностики неисправности ротора двигателя. В общей сложности 900 наблюдений измеряются при некоторых типичных неисправностях (дисбаланс ротора, несоосность ротора, ослабление опоры) для создания моделей неисправностей. Кроме того, 180 измерений в тестовом режиме используются для определения информации об особенностях и надежности датчика. Предположим, есть три типа неисправности в роторе двигателя, которые обозначены как F = { r o t o r u n b a l a n c e , r o t o r m i s l 1 9011 9011 9011 9011 901 n m e n t , P e d e s t a l 19 19 s e n e s s }.Три датчика виброускорения размещены в разных установочных положениях для сбора сигнала вибрации. Амплитуды частот ускоряющих колебаний на частотах 1 X , 2 X и 3 X принимаются в качестве переменных характеристик неисправности. Реализации диагностики неисправностей следующие:
Моделирование типичных отказов: Как показано на, сбор пяти групп данных по трем режимам отказа для каждого признака отказа, каждая группа содержит 20 измерений.Функция принадлежности μ _{F _{i j}} ( x ) режима отказа F i ( i = 1, 2, 3) относительно разлома под j X ( j = 1, 2, 3) может быть получено на основе метода, описанного в разделе 3.1 ( λ = 1e — 4). Например, функция принадлежности режима неисправности F1 по отношению к признаку неисправности под 1 X может быть записана как:
мкФ11х = ехр-х-0.1528522 · 0,000212, x <0,152851,0,15285≤x≤0,15971exp − x − 0,1597122 · 0,000212, x> 0,15971
Таблица 6
Средние значения и дисперсии измерений при режимах неисправности [54].
9168 91 727 2 2 2 917 917 932 917 932 917 917 932 917 1 X 2 X 9085 9085 9085
F1 0.15971 0,15695 0,15302 0,15285 0,154365 0,12884 0,11761 0,11622 0,11495 0,119205 0,247795 0,25225 0,231286 0,21341 0,21624
0,00017 0,000122 0.000104 0,00021 0,000145 7.2E-05 0.00012 7.83E-05 7.84E-0517 -932 2 932 9173 917 932 0,00013 0,002117 2.9E-05 6.65E-05
F2 0,1861 0,192 0,1 01732 01732 01732 329171 0,28493 0,26792 0,284725 0,28135 0,27399 0,16945 0,16046 0,165025 0,16192 0,160495
0.00014 8.84E-05 0.00014 5.4E-05 0.000124 0.00012 0.00016 0.000214 0.000184 0.000191 0.00025 2.4E-05
F3 0,34344 0,332485 0,329625 0,329265 0,32302 0,346495 0,346495 34306 0,33939 0,34667 0,15502 0,140205 0,131715 0,13112 0,1292
0,00031 0,000411 0,000276 0,000472 0,00012 0,000111 0,00015 0,000104 8.4E-05 0.000101 0,00022 2.13E-05 2.67E-05 1.22E-05 3E-05
, обнаруженный образец 9011 — Моделирование 9011 число: три группы данных для каждой функции отказа собираются с трех датчиков при определенных рабочих условиях, и каждая группа содержит 20 измерений. Средние значения и отклонения измерений показаны в. Матрицы подобия в отношении переменных признаков под 1 X , 2 X и 3 X определяются с помощью уравнений (20) и (21) следующим образом:
SM1 = 10.
.53320.
0.81640.53320.81641, SM2 = 10.9790.85550.97910.96010.85550.96011, SM3 = 10.95630.
.956310.98490.
.98491.
Таблица 7
Средние значения и отклонения измерений в тестовом режиме [54].
0,21818 1 X 2 X Датчик Датчик 2 Датчик 3 Датчик 1 Датчик 2 Датчик 3 Датчик 1 Датчик 2 Датчик 3
Среднее значение 0.20 882 0,23123 0,29829 0,30216 0,30804 0,17706 0,17889 0,17956
девяносто одна тысяча семьсот двадцать семь Дисперсия 0,00012 0,00011 0,0001 6.1E- 05 0,00012 9.3E-05 4.3E-05 2.4E-05 3.6E-05
Рассчитаны степень поддержки и степень надежности датчиков с различными характеристиками и Показано в .Весовые векторы: W ₁ = (0,3186, 0,3282, 0,3267), W ₂ = (0,3815, 0,3469, 0,3415) и W ₃ = (0,2999, 0,3248, 0,3317). Тогда нечеткая надежность трех датчиков может быть рассчитана как: μ _{B 1} = (0,8351, 0,8477, 0,8603), μ _{B 2} = (0,8952, 0,9476, 1), мкм _{B 3} = (0,7905, 0,83, 0,8696). Следовательно, всего девять чисел Z могут быть определены с помощью приведенных выше результатов.
Таблица 8
Степень опоры S u p и степень достоверности C r d датчиков с различными характеристиками.
Crd 9173 1 X 2 X 3 X
686 Sup Crd
S ₁ 1.4337 0,3186 1,8345 0,3282 1,857 0,3267
S ₂ 9173 1 9173 9173 0,3415
S ₃ 1,3496 0,2999 1,8156 0,3248 1.8856 0,3317
Сопоставление моделей и слияние данных: сопоставление функции принадлежности компонента A из числа Z с типичными ошибками для генерации BPA, результаты показаны в. Нечеткая надежность датчиков дефаззифицируется с помощью уравнения (35), чтобы не принимать во внимание BPA. Дефаззифицированные надежности равны ℜ ₁ = 0,8477, ℜ ₂ = 0,9476, ℜ ₃ = 0.83. Модифицированные BPA, показанные в, могут быть определены с помощью уравнения (34). Объединенные свидетельства датчиков для определенной функции перечислены в. Усредненное свидетельство 1 X , 2 X и 3 X в качестве окончательного диагностического свидетельства получается как:
m¯F1 = 0,1128, m¯F2 = 0,8129, m¯F1, F2 = 0,0411, m¯F1, F2, F3 = 0,0332
Таблица 9
} 927 927 927 927 927 927 927 927 927 слияние с правилом комбинации Демпстера.
F˙ 1 X 2 X 3 X
F {16 901 901 9209
{ F 3} { F 1, F 2, F 3} { F 2} { F 1, F F 3} { F 1} { F 2} { F 1, F 2} { F 1, F 2 Факс 3}
S1 0.1553 0,8176 0,0003 0,0268 0,6229 0,3771 0,3666 0,4563 0,1185 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 9178 9178 9178 9178 0,7660 0,2341 0,2793 0,4151 0,2652 0,0404
S3 0.0141 0,2403 0,0004 0,7452 0,8598 0,1402 0,2897 0,4331 0,2470
9172 9172 9172 9172 9172 9171 9172 931313131313 F˙ 1 X 2 X 1, F 2} { F 2} { F 3} { F 1, F 2, F 3} { 2} { F 1, F 2, F 3} { F 1} { F 2} { F 1, F 901 } { F 1, F 2, F 3}
S1 0.1316 0,6931 0,0003 0,1750 0,5280 0,4720 0,3108 0,3868 0,1005 9172 917 917 917 917 917 917 931 917 917 917 917 931 917 917 917 931 917 917 917 917 0,7258 0,2742 0,2646 0,3933 0,2513 0,0907
S3 0.0117 0,1995 0,0003 0,7885 0,7136 0,2864 0,2405 0,3594 0,2050 0,0555 0,9621 0,0371 0,3384 0,5904 0,0651 0.0061
Диагностика неисправностей и принятие решений: При вынесении суждения об обнаруженной модели в соответствии с правилами, определенными в разделе 3.4, для системы могут быть выполнены соответствующие меры по реализации. Окончательное свидетельство в пользу неисправности F2, а именно смещения ротора, составляет 0,8129, что больше 0,6, а все неопределенные степени меньше 0,3. Следовательно, тип неисправности ротора двигателя определяется как несоосность.
Исходя из экспериментального результата в этом разделе, мы приходим к выводу: предлагаемый метод слияния данных датчиков достигает достижимого результата, который не может быть получен с помощью метода при использовании одного датчика или / и анализа единственного признака неисправности. .Например, как показано в, если мы рассматриваем только один признак неисправности и только один единственный датчик, тогда свидетельств может быть недостаточно для определения типа неисправности. Рассматривая признаки неисправности и используемые датчики как два измерения, прежде чем рассматривать надежность, результат диагностики может быть изображен в, где «√» означает, что соответствующих свидетельств достаточно для диагностики неисправностей, а «×» означает, что мы не можем принять решение. . Например, BPA, полученный от датчика 1 под 1 X , составляет м ( F 1, F 2) = 0.0526, м ( F 2) = 0,9399, м ( F 3) = 0,0001, м (Θ) = 0,0074. Данные подтверждают, что F2 составляет 0,9399, что превышает порог 0,6; значение неопределенных доказательств (составные BPA) меньше 0,3; таким образом, мы можем идентифицировать, что F2 является неисправностью на данный момент. Однако для того же датчика свидетельства из признака неисправности 3 X недостаточно для определения типа неисправности. Кроме того, с вмешательством надежности модифицированные BPA дают новый диагностический результат.Результат объединения BPA различных датчиков может быть получен с помощью правила комбинирования Демпстера. Хотя результат по 3 X все еще недостаточен для вынесения суждения, среднее свидетельство от множественных характеристик может сделать синтезированное суждение для принятия окончательного решения.
Изображение результата диагностики.
Расширенные Z-числа для представления субъективности машины
Р. Банерджи, С.К. Pal / Information Sciences 323 (2015) 143–178 177
«Что мы действительно знаем, так это то, что — через четверть миллиона лет после того, как человечество унаследовало этот замечательный орган, называемый мозгом — даже с
всеми инструментами, доступными современной науке, человеческая память остается загадкой.»- [45].
Выражение признательности
Эта работа проводилась под руководством профессора Санкара К. Пал, профессора кафедры INAE и научного сотрудника JC Bose в правительстве Индии.
Ссылки
[1] Э. Акерман, Могут ли схемы Винограда заменить тест Тьюринга для определения ИИ человеческого уровня? IEEE Spectr. (2014) [Онлайн]. Доступно по адресу: http: //spectrum.ieee.org/
automaton / robotics / arti ial-Intelligence / winograd-schemas-replace-turing-test-for-defining-humanlevel-arti ial-Intelligence.
[2] Р.А. Алиева, А. Ализаде, О. Гусейнов, Арифметика дискретных Z-чисел, Информ. Sci. 290 (2014) 134–155.
[3] Н. Амбади, Р. Розенталь, Тонкие срезы экспрессивного поведения как предикторы межличностных последствий: метаанализ, Psychol. Бык. 111 (2) (1992)
256–274.
[4] Д. Ариэли, Предсказуемая иррациональность: скрытые силы, которые формируют наши решения, Харпер Коллинз, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 2008.
[5] И. Азимов, Обсуждение, поразительная научная фантастика, Street & Smith , Robot Series, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 1942 год.
[6] Б. Дж. Баарс, Когнитивная теория сознания, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания, 1988.
[7] К.Ф. Бейкер, С.Дж. Филмор, Дж.Б. Лоу, Проект Berkeley FrameNet, в: Материалы 17-й Международной конференции по компьютерной лингвистике (COLING),
Vol. 1 архив, Страудсбург, Пенсильвания, США, 1998 г., стр. 86–90.
[8] Д. Балдуцци, Г. Тонони, Qualia: геометрия интегрированной информации, PLoS Computational Biology 5 (8) (2009) e1000462, doi: 10.1371 / журнал.
pcbi.1000462.
[9] M.R.Banaji, A.G. Greenwald, Blindspot: Hidden Biases of Good People, Delacorte Press, New York, NY, USA, 2013.
[10] Р. Банерджи, С.К. Пал, Загадка Z-числа: исследование посредством эксперимента, Мягкие вычисления: современная теория и новые приложения. Исследования в
Fuzziness and Soft Computing, vol. 291, Springer, Берлин-Гейдельберг, 2013 г., стр. 71–88.
[11] Р. Банерджи, С.К. Пал, О Z-числах и машинном уме для понимания естественного языка, в: D.Э. Тамир, Н.Д. Рише, А. Кандел (ред.), Пятьдесят лет
Нечеткая логика и ее приложения, сер. Исследования в области нечеткости и мягких вычислений, т. 326, Springer, 2015, стр. 415–457.
[12] Р. Банерджи, С.К. Пал, Понимание текста и вычислительные агентства разума, Natural Computing, Springer, 2015, DOI: 10.1007 / s11047-014-9478-x.
[13] L.W. Барсалоу, Обоснованное познание: прошлое, настоящее и будущее, Top. Cogn. Sci. (TopiCS) 2 (2010) 716–724.
[14] Г. Беннардо, Вклад когнитивной антропологии в когнитивную науку: культурный человеческий разум, методологическая траектория и этнография, Топ.Cogn.
Sci. (TopiCS) 6 (2014) 138–140.
[15] H.T. Чугани, М. Е. Бехен, О. Музик, К. Юхас, Ф. Надь, Д. К. Чугани, Локальная функциональная активность мозга после ранней депривации: исследование постинституциональных румынских сирот
, NeuroImage 14 (6) (2001) 1290–1301 .
[16] А. Дамасио, Чувство происходящего: тело и эмоции в формировании сознания, Mariner Books, Калифорния, США, 2000.
[17] А. Дамасио, Самость приходит в голову: конструирование сознания Мозг, Винтажные книги, Лондон, Великобритания, 2012.
[18] Д.К. Деннет, Опасная идея Дарвина: эволюция и смысл жизни, Simon & Schuster Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 1995.
[19] П. Экман, Основные эмоции, Справочник по познанию и Emotion, John Wiley and Sons, Ltd, Сассекс, Великобритания, 1999 г., стр. 45–60.
[20] L.D. Эрман, Ф. Хайес-Рот, В. Лессер, Д. Радж Редди, Система понимания речи Hearsay-II: объединение знаний для устранения неопределенности, ACM
Comput. Surv. 12 (2) (1980) 213–253.
[21] Д.Фальк, В поисках времени: история, физика и философия времени, St. Martin’s Grin, Лондон, Великобритания, 2010.
[22] C.J. Fillmore, C.F. Бейкер, Семантика фреймов для понимания текста, в: Proceedings of NAACL WordNet and Other Lexical Resources Workshop, 2001 [Online].
Доступно по адресу: http://www.ccs.neu.edu/course/csg224/resources/framenet/framenet.pdf.
[23] К. Файн, собственный разум, Icon Books, Лондон, Великобритания, 2005 г.
[24] С. Франклин, Ида: сознательный артефакт? Дж.Сознательный. Stud. 10 (2003) 47–66.
[25] С. Фрейд, Эго и личность, The Hogarth Press Ltd, Лондон, Великобритания, 1949.
[26] Н. Х. Фрейда, A.S.R. Мэнстед, С. Бем, Влияние эмоций на убеждения, эмоции и убеждения: как чувства влияют на мысли, Кембриджский университет
Press, Кембридж, Великобритания, 2000, стр. 1–9.
[27] М. Гладуэлл, Blink: Сила мышления, не думая, Little, Brown and Company (Hachette Book Group), Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 2005.
[28] A.Гопник, Философское дитя: что детские умы говорят нам об истине, любви и смысле жизни, Пикадор, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 2009.
[29] T.A. Харли, Психология языка: от данных к теории, 3-е изд., Psychology Press, Taylor and Francis Group, New York, NY, USA, 2008.
[30] П. Харрис, Доверяя тому, что нам говорят: как дети Учитесь у других, Belknap Press of Harvard University Press, Кембридж, Массачусетс, США, 2012.
[31] С. Харрис, Free Will, Free Press (Simon and Schuster Inc, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 2012.
[32] К. Хаваси, Р. Спир, Дж. Алонсо, ConceptNet 3: Гибкая многоязычная семантическая сеть для знания здравого смысла, в: Proceedings of Recent Advances
in Natural Language Processing, 2007 [Online]. Доступно по адресу: http://web.media.mit.edu/jalonso/cnet3.pdf.
[33] Г.Д. Хейман, Л. Шританьяратана, К.Е. Вандербильт, Доверие детей младшего возраста к откровенно вводящим в заблуждение советам, Cogn. Sci. 37 (2013) 646–667.
[34] Б. Хиббард, Предубеждение и отсутствие бесплатного обеда по формальным показателям интеллекта, Дж.Артиф. Gener. Intell. 1 (1) (2009) 54–61.
[35] O. Hikosaka, Y. Takikawa, R. Kawagoe, Роль базальных ганглиев в контроле целенаправленных саккадических движений глаз, Physiol. Ред. 80 (3) (2000) 953–978.
[36] Э. Гуссерль, Логические исследования (перевод с немецкого), Routledge and Kegan Paul Ltd, Лондон, Великобритания, 1970.
[37] Дж. Кацпшик, С. Задрозный, Вычисления со словами — это реализуемая парадигма: Нечеткие запросы, сводки лингвистических данных и генерация естественного языка,
IEEE Trans.Fuzzy Syst. 18 (2010) 461–472.
[38] Д. Канеман, Мышление, быстро и медленно, Фаррар, Страус и Жиру, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 2011.
[39] Р. Курцвейл, Сингулярность близка, Викинг (Penguin Group), Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 2005.
[40] Р. Курцвейл, Как создать разум: раскрытие тайны человеческой мысли, Viking (Penguin Group), Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 2012.
[41 ] WG Lehnert, Сюжетные единицы и повествовательное обобщение, Cogn. Sci. 4 (1981) 293–331.
[42] Д.Б. Ленат, Цикл: Масштабные инвестиции в инфраструктуру знаний, Коммуна. ACM 38 (11) (1995) 33–38.
[43] HJ Levesque, Проблема схемы Винограда, в: G. Brewka, T. Eiter, SA McIlraith (Eds.), Proceedings of the Thirteen International Conference on
Principles of Knowledge Views and Reasoning, AAAI Press, CA , США, 2011, стр. 552–561.
[44] J.C.R. Ликлайдер, Симбиоз человека и компьютера, IRE Trans. Человеческий факт. Электр. (1960) 4–11 HFE-1.
[45] М.С. Мэлоун, Хранитель всего: эпическая история человеческой памяти, Сен-Мартен, Лондон, Великобритания, 2013.
[46] Дж. Маккарти, Хорошо спроектированный ребенок, Артиф. Intell. 172 (18) (2008) 2003–2014.
[47] Л. Макколи, С. Франклин, М. Богнер, Архитектура «сознательного» программного агента, основанная на эмоциях, в: А. Пайва (ред.), Аффективные взаимодействия, Лекционные заметки на
Arti ‑ Intelligence, том . 1814, Springer-Verlag, 2000, стр. 107–120.
[48] Дж. М. Мендель, Л. А. Заде, Э.Триллас, Р. Ягер, Дж. Лоури, Х. Хаграс, С. Гвадаррама, Что для меня значат вычисления со словами? IEEE Comput. Intell. Mag. 5 (1)
(2010) 20–26.
[49] Г.А. Миллер, Магическое число семь, плюс-минус два: некоторые ограничения нашей способности обрабатывать информацию, Psychol. Ред. 101 (2) (1955) 343–352.
[50] М. Мински, Структура для представления знаний, Психология компьютерного зрения, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1975, стр. 211–277.
[51] М. Мински, The Society of Mind, Simon & Schuster Inc., Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 1986.
Что мы знаем о поколении Z на данный момент
Каждый десятый избиратель, имеющий право голоса в электорате 2020 года, будет частью нового поколения американцев — поколения Z. Родившиеся после 1996 года, большинство представителей этого поколения еще не достаточно взрослые, чтобы голосовать, но поскольку самым старым из них исполняется 23 года. В этом году около 24 миллионов человек получат возможность проголосовать в ноябре. И их политическое влияние будет неуклонно расти в ближайшие годы по мере того, как все больше и больше из них достигают избирательного возраста.
В отличие от миллениалов, которые достигли совершеннолетия во время Великой рецессии, это новое поколение должно было унаследовать сильную экономику с рекордно низким уровнем безработицы. Сейчас все изменилось, поскольку COVID-19 изменил социальный, политический и экономический ландшафт страны. Вместо того чтобы заглядывать в мир возможностей, поколение Z теперь смотрит в неопределенное будущее.
Уже есть признаки того, что самые старые представители поколения Z особенно сильно пострадали в первые недели и месяцы кризиса с коронавирусом.В ходе опроса Pew Research Center, проведенного в марте 2020 года, половина старейших представителей поколения Z (в возрасте от 18 до 23 лет) сообщила, что они или кто-то из членов их семьи потеряли работу или получили сокращение заработной платы из-за вспышки. Это было значительно выше, чем доли миллениалов (40%), поколения X (36%) и бэби-бумеров (25%), которые заявили то же самое. Кроме того, анализ данных о рабочих местах показал, что молодые работники были особенно уязвимы к потере работы до вспышки коронавируса, поскольку они были чрезмерно представлены в отраслях сектора услуг с высоким риском.
Студенты Университета Индианы выезжают из студенческих общежитий из-за пандемии коронавируса. (Джереми Хоган / Echoes Wire / Barcroft Media через Getty Images) Помимо уникального стечения обстоятельств, в которых поколение Z приближается к взрослой жизни, что мы знаем об этом новом поколении? Мы знаем, что оно во многом отличается от предыдущих поколений, но во многом похоже на поколение миллениалов, которое было до него. Представители поколения Z более разнообразны в расовом и этническом отношении, чем любое предыдущее поколение, и сейчас они на пути к тому, чтобы стать самым образованным поколением.Они также являются цифровыми аборигенами, которые мало помнят или совсем не помнят мир, который существовал до смартфонов.
Тем не менее, когда дело доходит до их взглядов на ключевые социальные и политические вопросы, они очень похожи на миллениалов. Опросы Pew Research Center, проведенные осенью 2018 года (более чем за год до вспышки коронавируса) среди американцев в возрасте от 13 лет и старше, показали, что, как и миллениалы, представители поколения Z являются прогрессивными и проправительственными, большинство из них видит рост расовой и этнической принадлежности в стране. разнообразие — это хорошо, и они с меньшей вероятностью, чем старшие поколения, будут считать Соединенные Штаты выше других стран.
Взгляд на то, как избиратели поколения Z рассматривают президентство Трампа, позволяет лучше понять их политические убеждения. Опрос Pew Research Center, проведенный в январе этого года, показал, что около четверти зарегистрированных избирателей в возрасте от 18 до 23 лет (22%) одобряют то, как Дональд Трамп выполняет свою работу в качестве президента, в то время как около трех четвертей не одобряют (77%). Избиратели-миллениалы лишь немного чаще одобряли Трампа (32%), в то время как 42% избирателей поколения X, 48% представителей поколения бэби-бумеров и 57% представителей молчаливого поколения одобряли работу, которую он выполняет в качестве президента.
Поколение Z более разнообразно в расовом и этническом отношении, чем предыдущие поколения
Поколение Z представляет собой передний край меняющегося расового и этнического состава страны. Лишь большинство (52%) составляют неиспаноязычные белые — значительно меньше, чем доля миллениалов, которые не были испаноязычными белыми в 2002 году (61%). Каждый четвертый представитель поколения Z — латиноамериканцы, 14% — черные, 6% — азиатские и 5% — представители другой расы или две или более рас.
представителей поколения Z несколько реже, чем миллениалы, являются иммигрантами: 6% родились за пределами США.С., по сравнению с 7% миллениалов того же возраста. Но они, скорее всего, будут детьми иммигрантов: у 22% представителей поколения Z есть хотя бы один родитель-иммигрант (по сравнению с 14% миллениалов). Несмотря на то, что иммиграционные потоки в США в последние годы уменьшились, новые иммигранты пополнят ряды поколения Z в ближайшие годы. В результате, согласно прогнозам Бюро переписи населения, к 2026 году это поколение станет небелым в большинстве своем.
В некоторых регионах У.S., Gen Z уже переступили этот порог. На Западе только 40% представителей поколения Z — неиспаноязычные белые. Столько же испаноязычных: 4% — чернокожие, 10% — азиатские и 6% — представители другой расы. На юге 46% представителей поколения Z — белые неиспаноязычные. Представительство меньшинств является самым низким на Среднем Западе, где более двух третей представителей поколения Z (68%) составляют неиспаноязычные белые.
Поколение Z станет самым образованным поколением
Взгляд на старших представителей поколения Z показывает, что они находятся на несколько иной образовательной траектории, чем предыдущие поколения.Они с меньшей вероятностью бросят школу и с большей вероятностью будут зачислены в колледж. Среди тех, кто в возрасте от 18 до 21 года больше не учился в средней школе в 2018 году, 57% были зачислены в двух- или четырехлетние колледжи. Для сравнения: 52% среди миллениалов в 2003 году и 43% среди представителей поколения X в 1987 году.
Эти меняющиеся образовательные модели связаны с изменениями в иммиграции, особенно среди латиноамериканцев. Латиноамериканцы поколения Z с меньшей вероятностью, чем латиноамериканцы-миллениалы, будут иммигрантами, и предыдущие исследования показали, что латиноамериканская молодежь во втором поколении с меньшей вероятностью бросит школу и с большей вероятностью поступит в колледж, чем латиноамериканская молодежь иностранного происхождения.
У представителей поколения Z больше шансов иметь родителей с высшим образованием, чем у предыдущих поколений молодых людей. В 2019 году 44% представителей поколения Z в возрасте от 7 до 17 лет жили с родителями, имеющими степень бакалавра или более высокое образование, по сравнению с 33% представителей поколения Z в том же возрасте. Обе эти тенденции отражают общую тенденцию увеличения числа американцев, получающих высшее образование.
Возможно, из-за того, что они с большей вероятностью будут заниматься образовательной деятельностью, представители поколения Z с меньшей вероятностью будут работать, чем предыдущие поколения, когда они были подростками и молодыми людьми.Только 18% подростков поколения Z (в возрасте от 15 до 17 лет) были трудоустроены в 2018 году по сравнению с 27% подростков из поколения Y в 2002 году и 41% представителей поколения X в 1986 году. А среди молодых людей в возрасте от 18 до 22 лет 62% представителей поколения В 2018 году были трудоустроены Zers, более высокая доля миллениалов (71%) и представителей поколения X (79%) работали, когда были сопоставимы по возрасту.
(iStockphoto) Представители поколения Z и миллениалы имеют схожие точки зрения по многим важным вопросам дня
Взгляды поколения Z во многом повторяют взгляды миллениалов.Тем не менее, данные опроса, собранные в 2018 году (задолго до вспышки коронавируса), показывают, что есть места, где это молодое поколение выделяется как имеющее несколько иное мировоззрение.
Например, представители поколения Z с большей вероятностью, чем представители старшего поколения, будут обращаться к правительству для решения проблем, а не к предприятиям и частным лицам. Семь из десяти представителей поколения Z считают, что правительство должно делать больше для решения проблем, в то время как 29% говорят, что правительство делает слишком много вещей, которые лучше оставить на усмотрение бизнеса и частных лиц.Несколько меньшая доля миллениалов (64%) считает, что правительство должно делать больше для решения проблем, и эта точка зрения еще менее распространена среди старшего поколения (53% представителей поколения X, 49% бумеров и 39% молчаливых).
Однако по большей части представители поколения Z и миллениалы разделяют схожие взгляды на проблемы, стоящие перед страной. Эти молодые поколения с большей вероятностью, чем их старшие коллеги, скажут, что Земля становится теплее из-за деятельности человека: 54% представителей поколения Z и 56% миллениалов говорят об этом по сравнению с меньшей долей представителей поколения X, бумеров и молчаливых (48% 45% и 38% соответственно).
Когда дело доходит до расовых отношений, представители поколения Z и миллениалы примерно с одинаковой вероятностью скажут, что в этой стране к черным относятся менее справедливо, чем к белым. Примерно две трети представителей поколения Z и миллениалов говорят об этом, по сравнению с примерно половиной представителей поколения X и бумеров и меньшими долями среди молчаливого поколения.
Молодое поколение также придерживается другого взгляда на США по сравнению с другими странами мира. Представители поколения Z (14%) и миллениалы (13%) реже, чем представители поколения X (20%), бумеры (30%) или молчаливые (45%), говорят, что U.С. лучше всех других стран. Тем не менее, большинство представителей каждого поколения, за исключением молчаливого поколения, говорят, что США — одна из лучших стран в мире наряду с некоторыми другими.
Внутри Республиканской партии у поколения Z есть резкие различия со своими старейшинами
Среди республиканцев и сторонников Республиканской партии есть разительные различия между поколением Z и старшими поколениями в социальных и политических вопросах. В своих взглядах на расу республиканцы поколения Z с большей вероятностью, чем старшее поколение республиканцев, скажут, что с черными в США обращаются менее справедливо, чем с белыми.С. сегодня. Полностью 43% республиканцев поколения Z говорят об этом, по сравнению с 30% миллениалов-республиканцев и примерно двумя из десяти представителей поколения X, бумеров и республиканцев молчаливого поколения. Взгляды демократов и сторонников демократов гораздо более последовательны из поколения в поколение.
Точно так же самые молодые республиканцы выделяются своими взглядами на роль правительства и причины изменения климата. Республиканцы поколения Z гораздо чаще, чем старшие поколения республиканцев, желают усиления роли правительства в решении проблем.Около половины (52%) республиканцев из поколения Z считают, что правительство должно делать больше, по сравнению с 38% представителей поколения миллениум, 29% представителей поколения X и еще меньшей долей среди старшего поколения. И самые молодые республиканцы с меньшей вероятностью, чем их старшие коллеги, приписывают потепление Земли естественным закономерностям, а не деятельностью человека (18% республиканцев поколения Z говорят об этом, по сравнению с тремя из десяти или более среди старших поколений республиканцев. ).
В целом представители поколения Z похожи на миллениалов по своим политическим предпочтениям, особенно когда речь идет о предстоящих выборах 2020 года.Январский опрос Pew Research Center среди зарегистрированных избирателей показал, что 61% избирателей поколения Z (в возрасте от 18 до 23 лет) заявили, что они определенно или вероятно собираются голосовать за кандидата в президенты от Демократической партии на выборах 2020 года, в то время как около четверти (22 %) заявили, что собираются голосовать за Трампа. Точно так же избиратели-миллениалы с гораздо большей вероятностью заявили, что планируют поддержать демократа в ноябре, чем Трампа (58% против 25%). Большая часть избирателей поколения X (37%), бумеров (44%) и молчаливых (53%) заявили, что планируют поддержать президента Трампа.
Молодые женщины регистрируются для голосования в сентябре 2018 года в Торрансе, штат Калифорния. (Сара Моррис / Getty Images) Молодое поколение считает семью и социальные изменения чем-то хорошим
По ряду показателей представители поколения Z и миллениалы отличаются от старших поколений своими взглядами на изменения в семье и обществе. Примерно половина представителей поколения Z (48%) и миллениалов (47%) считают, что разрешение брака парам геев и лесбиянок — это хорошо для нашего общества. Для сравнения, только треть представителей поколения X и около четверти населения из числа бэби-бумеров (27%) считают, что это хорошо.Множественность бумеров и представителей поколения X говорят, что это не имеет значения. Представители Безмолвного Поколения, скорее всего, сочтут это плохим для общества.
Существует аналогичная картина во взглядах на людей разных рас, женящихся друг на друге, причем большая часть миллениалов и представителей поколения Z считает, что это хорошо для нашего общества, по сравнению со старшими поколениями. Из поколения в поколение очень немногие говорят, что это плохо для общества.
Представители поколения Z и миллениалы реже, чем представители старшего поколения, говорят, что одинокие женщины, воспитывающие детей самостоятельно, — это плохо для общества.Тем не менее, относительно немногие представители обоих поколений считают, что это хорошо для общества, в то время как около половины говорят, что это не имеет большого значения (примерно так же, как среди старших поколений).
Когда дело доходит до их собственной семейной жизни, опыт поколения Z частично отражает общие тенденции, изменившие американскую семью в последние десятилетия. Согласно анализу данных Бюро переписи Pew Research Center, около трех из десяти (29%) живут в домохозяйстве с не состоящим в браке родителем, а 66% — с двумя женатыми родителями.Примерно сопоставимая доля миллениалов (69%) жила с двумя женатыми родителями в одинаковом возрасте, но доли среди представителей поколения X и бумеров были значительно больше (72% и 86%). Из тех представителей поколения Z, которые живут с двумя женатыми родителями, в большинстве случаев оба этих родителя работают (64%). Для сравнения: доля миллениалов, которые жили с двумя родителями в сопоставимом возрасте, немного выше (у 66% было два родителя в составе рабочей силы) и немного ниже доля представителей поколения X (61%).
Поколения различаются своей привычностью и удобством использования нейтральных по полу местоимений
Представления о гендерной идентичности быстро меняются в США, и поколение Z находится в авангарде этих изменений. Представители поколения Z гораздо чаще, чем представители старшего поколения, говорят, что лично знают кого-то, кто предпочитает использовать гендерно-нейтральные местоимения, при этом так говорят 35% по сравнению с 25% представителей поколения миллениум, 16% представителей поколения X, 12% представителей поколения бумеров. и всего 7% сайлентблоков. Эта поколенческая модель очевидна как среди демократов, так и среди республиканцев.
Существуют также резкие различия поколений во взглядах на то, как гендерные варианты представлены в официальных документах. Поколение Z с наибольшей вероятностью скажет, что когда форма или онлайн-профиль спрашивают о поле человека, они должны включать другие варианты, кроме «мужчина» и «женщина». Около шести из десяти представителей поколения Z (59%) говорят, что формы или онлайн-профили должны включать дополнительные гендерные параметры, по сравнению с половиной миллениалов, примерно четырьмя из десяти представителей поколения X и бумеров (40% и 37% соответственно) и примерно треть из них в «молчаливом поколении» (32%).
Эти взгляды сильно различаются по партийным линиям, и внутри каждой партийной коалиции существуют различия между поколениями. Но эти различия наиболее заметны среди республиканцев: примерно четыре из десяти республиканцев поколения Z (41%) считают, что формы должны включать дополнительные гендерные варианты, по сравнению с 27% республиканцев-миллениалов, 17% представителей поколения X и бумеров и 16% молчаливых. Среди демократов половина или более во всех поколениях говорят об этом.
Gen Z похожи на миллениалов в том, что они используют нейтральные в гендерном отношении местоимения.Обе группы выражают несколько более высокий уровень комфорта, чем другие поколения, хотя различия поколений в этом вопросе довольно скромны. Большинство представителей поколения Z и миллениалов говорят, что они чувствовали бы себя «очень» или «в некоторой степени» комфортно, используя гендерно-нейтральное местоимение для обозначения кого-либо, если бы их об этом попросили. Для сравнения, представители поколения X и бумеры примерно поровну разделены: примерно столько же говорят, что чувствовали бы себя хотя бы в некоторой степени комфортно (49% и 50% соответственно), так как говорят, что им будет неудобно.
Представители поколения Z также похожи на миллениалов в своих взглядах на принятие обществом тех, кто не идентифицирует себя как мужчина или женщина.Примерно половина представителей поколения Z (50%) и миллениалов (47%) считают, что общество не принимает этих людей в достаточном количестве. Меньшие доли представителей поколения X (39%), бумеров (36%) и представителей молчаливого поколения (32%) говорят то же самое.
Здесь снова есть большие партийные бреши, и республиканцы поколения Z отличаются от других поколений республиканцев в своих взглядах. Примерно три из десяти республиканцев поколения Z (28%) говорят, что общество не принимает достаточно людей, которые не идентифицируют себя как мужчина или женщина, по сравнению с двумя из десяти представителей поколения миллениума, 15% представителей поколения X, 13%. бумеров и 11% молчаливых.Взгляды демократов почти одинаковы для разных поколений, утверждая, что общество не принимает достаточное количество людей, которые не идентифицируют себя как мужчина или женщина.
Подростки и технологии
Взгляд на отношения американских подростков с технологиями позволяет увидеть опыт значительного сегмента поколения Z. Согласно опросу Pew Research Center 2018 года, 95% подростков в возрасте от 13 до 17 лет имеют доступ к смартфонам, и аналогичная доля (97%) используют по крайней мере одну из семи основных онлайн-платформ.
YouTube, Instagram и Snapchat — одни из любимых мест в Интернете среди подростков. Около 85% говорят, что используют YouTube, 72% используют Instagram и 69% используют Snapchat. Facebook менее популярен среди подростков — 51% говорят, что используют эту социальную сеть. Около 45% подростков говорят, что они находятся в сети «почти постоянно», а еще 44% говорят, что они находятся в сети несколько раз в день.
Некоторые исследователи предположили, что растущее количество времени, которое подростки проводят со своими мобильными устройствами, и особенно в социальных сетях, способствует росту тревожности и депрессии среди этой группы.
No related posts.}

натуральный, рациональный, иррациональный, действительные числа, комплексный

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Действительные числа $\mathbb{R}$

Числовые множества N,Z,Q,R

Некоторые символы математического языка — урок. Алгебра, 8 класс.

Открытая Математика. Алгебра. Понятие комплексного числа

Комплексные числа

1.Понятие комплексного числа.

2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Комплексные числа: определения и основные понятия

Равенство комплексных чисел

Комплексно сопряженные числа

Противоположные комплексные числа

Натуральное, Целое, Иррациональное, Действительное, Комплексное

Натуральные числа $ \ mathbb {N} $

Целое число $ \ mathbb {Z} $

Рациональные числа $ \ mathbb {Q} $

Иррациональные числа $ \ mathbb {I} $

Действительные числа $ \ mathbb {R} $

Функции, определенные в наборе Z-номеров

Примечание по Z-числам — ScienceDirect

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и другие числа

Натуральные числа

Целые числа

Рациональные числа

Иррациональные числа

г. Реальные числа

г. Комплексные числа

За пределами …

Объединение данных датчика с Z-номерами и его применение при диагностике неисправностей

Аннотация

1. Введение

2. Рассмотрение базовой концепции

2.1. Нечеткое число

2.2.

2.3. Теория доказательств Демпстера – Шейфера

4. Иллюстрированный пример объединения данных датчиков при диагностике неисправностей.

Таблица 6

Таблица 7

Таблица 8

Таблица 9

Расширенные Z-числа для представления субъективности машины

Что мы знаем о поколении Z на данный момент

Поколение Z более разнообразно в расовом и этническом отношении, чем предыдущие поколения

Поколение Z станет самым образованным поколением

Представители поколения Z и миллениалы имеют схожие точки зрения по многим важным вопросам дня

Внутри Республиканской партии у поколения Z есть резкие различия со своими старейшинами

Молодое поколение считает семью и социальные изменения чем-то хорошим

Поколения различаются своей привычностью и удобством использования нейтральных по полу местоимений

Подростки и технологии

Добавить комментарий Отменить ответ