|
Если в результате сложения дробная часть станет неправильной дробью, то из нее надо выделить целую часть и прибавить к целой части результата.
Затем применить правило вычитания дробей. Математика 5 класс темы уроков
Готовимся к школе
По математике в 5 классе темы уроков будут посвящены сложению и вычитанию, умножению, делению натуральных чисел. Далее переходят к изучению дробных чисел с акцентом на десятичных дробях. Рассматривают сложение, умножение, округление, сопоставление, деление, вычитание десятичных дробей.
Кроме того, выделяют время на основы площадей и объёмов, использование инструментов и шкал для измерений веса, расстояний, объёмов.
Данный этап имеет огромную ценность для использования математики в повседневной жизни, поэтому подойти к нему надо особенно внимательно.
Натуральные числа
Начнём программу с изучения натуральных чисел. Так будет проще для усвоения последующего материала:
- Позиционная и непозиционная система счисления. Десятеричная, шестнадцатеричная, восьмеричная система счисления.
- Понятие числа и цифры. Происхождение цифр. Узнаем о том, как их записывали разные народы мира.
- Точка, прямая, луч и линия. Этот этап является фундаментом для всей геометрии.
- Отрезок, его сравнение и выяснение длины.
- Различные единицы измерения массы, расстояний, объёмов.
- Плоскость, бесконечность, фигуры, угол, треугольник, ломаная линия.
- Измерительные приборы и шкалы. Часовые, минутные и секундные стрелки.
- Сопоставление натуральных чисел, различные знаки равенства.
Вычитание и сложение натуральных чисел
На последующих двух этапах изучаются основные методы и законы математики, так что к ним следует отнестись внимательно.
- Сложение натуральных чисел
- Переместительный и сочетательный закон
- Вычитание натуральных чисел
- Буквенные и цифровые выражения и их характеристики
Деление и умножение натуральных чисел
Заканчивают изучение умножением и делением:
- Умножение и его характеристики
- Деление, особенности и характеристики
- Деление с остатком и без него
- Математическая запись. Языковая архитектура и математическая лингвистика
- Упрощение выражений – поиск его значения по одной или нескольким переменным
- Последовательность действий при решении уравнений. Зачем нужны скобки. Равноправность сложения и вычитания, а также деления и умножения. Прерогатива деления и умножения над такими действиями, как сложение и вычитание
- Степень числа. Последовательность математических действий с нею.
Квадрат и куб - Решение уравнений на движение
Квадрат и кубОбъёмы и площади
Эти знания являются фундаментом для моделирования техники, а также других вещей и явлений. Изучают на примере прямоугольников и параллелепипедов:
- Формулы. Определение, теорема, тождество, экспериментальная формула
- Площадь. Единицы измерения. Соотношение квадратных миллиметров, сантиметров, метров
- Нахождение площади прямоугольника
- Квадрат
- Старинные способы измерения площадей
- Грани, углы, плоскости прямоугольного параллелепипеда
- Поиск площади поверхности
- Понятие и нахождение объёма
- Системы измерения объёмов
- Объём куба и прямоугольного параллелепипеда
- Окружность и круг. Дуга, радиус, диаметр
Дробные числа
Дроби – самая сложная тема в этом году, так что надо её разбирать, не торопясь, и внимательно. В математике за 5 класс в темы уроков входит исследование различных видов дробей:
- Простые дроби и их построение, характеристики
- Зачем требуется дробное обозначение
- Правильные и неправильные дроби
- Сопоставление и определение обыкновенных дробей
- Вычитание и сложение дробей с идентичными и разными знаменателями
- Поиск части и целого
- Неправильные дроби и их классификация
- Смешанные числа
- Арифметические операции со смешанными числами
Десятичные дроби, их вычитание и сложение
Далее надо научиться использовать дроби в математических вычислениях.
А сначала – вычитание и сложение:
- Десятичные дроби, определение и характеристики
- Их изображение и прочтение
- Правила сравнения
- Сопоставление на системе координат
- Вычитание и сложение в столбик
- Округление с недостатком и избытком
Десятичные дроби, деление и умножение
Заканчивают исследование десятичных дробей разбором их деления и умножения:
- Деление и умножение на 10, 100, 0,1, 0,01. Сдвигание запятой при отсутствии цифр
- Деление и умножение десятичных дробей
- Среднее арифметическое
Инструменты для вычислений и измерений
Эта группа уроков откроет для вас математику как мировую культуру, а также её важность для научно-технического прогресса. Далее проходят различные математические инструменты:
- Полный, развернутый, прямой, острый, тупой угол
- Градусы. Транспортир и его применение. Установление углов
- Биссектриса и медиана
- Проценты. Поиск процента от числа. Умножение и деление на проценты
- Круговые диаграммы
Поиск процента от числа. Умножение и деление на процентыОсновы комбинаторики
Последняя тема уроков по математике за 5 класс – комбинаторика. Теоремы сложения и умножения. Применение теорем в реальной жизни. Логика перебора. Парадокс Монти Холла. На этом заканчивается программа.
Заключение
Цель на этом этапе – получить знания для практического применения их в жизни. Данный раздел поможет построить логическое критическое мышление, разовьёт способность мыслить абстрактно. Математика – важнейший инструмент для любой науки, поэтому её надо изучать серьёзно. Знания, которые даются на этом курсе, являются фундаментом для понимания многих процессов в окружающем мире.
Консультация для преподавателей 5 класса (январь)
Тема консультации: «ДРОБИ»Дидактическая основаДидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000.
..». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.
В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 5 класса в январе продолжается работа с третьей главой «Дроби». Изучаются § 1. «Понятие дроби» (П.3.1.2 «Основное свойство дроби. Преобразование дробей»; П.3.1.3 «Сравнение дробей») и § 2. «Арифметика дробей» (П.3.2.1 «Сложение и вычитание дробей»), содержание которых продолжает развитие числовой содержательно-методической линии курса.
Вместе с тем, в процессе изучения этих пунктов параллельно развиваются и все остальные линии курса.
Такой подход является общим для данного курса: на каждом этапе его изучения, параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным разделам курса.
- вывести основное свойство дроби, сформировать умение сокращать дроби, приводить дроби к новому знаменателю и числителю;
- сформировать умение сравнивать дроби с помощью приведения дробей к одинаковому числителю, знаменателю, промежуточного числа, дополнения дроби до 1, «перекрёстного» правила;
- сформировать умение складывать и вычитать дроби (общий случай).
В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю.
При 6 ч в неделю добавочные часы идут на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся лучше усвоить изучаемый материал.
Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000…» и работающих на базовом (содержательном) уровне реализации дидактической системы «Школа 2000…», и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000…» и работающих на технологическом уровне реализации дидактической системы «Школа 2000…».
Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на III четверть (5 ч в неделю).
(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)
Методические рекомендации к организации учебного процессаГлава 3. «Дроби»
§ 1. Натуральные числа и дроби. П.2 Основное свойство дроби. Преобразование дробей
1) В результате изучения пункта 3.
1.1 учащиеся повторили известные им из курса начальной школы сведения о дробях. Среди них были зафиксированы правила, которые будут уточняться для общего случая в ходе изучения третьей главы: правила сравнения дробей с одинаковыми числителями, знаменателями, правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В связи с этим учащиеся знакомятся с основным свойством дроби в пункте 3.1.2 «Основное свойство дроби. Преобразование дробей».
2) Для открытия основного свойства дроби можно использовать дополнительные свойства умножения и деления (делимое и делитель можно умножать и делить на одно и то же натуральное число) и знание, что результат деления можно записать в виде дроби, а также умение изображать дроби на числовом луче.
3) Учащиеся учатся применять основное свойство дроби для преобразования дробей – сокращение дроби и приведения дроби к новому числителю (знаменателю). После знакомства учащихся с таким преобразованием дроби, как сокращение дроби, вводится понятие несократимой дроби.
4) Для сокращения дробей предлагается использовать три способа: сокращать дробь на НОД числителя и знаменателя, сокращать дробь последовательно на общие делители (с использованием признаков делимости) или представлять числитель и знаменатель в виде произведения.
5) При выполнении системы заданий №№ 66, 67 (б), 86 – 88 идет последовательная работа по построению алгоритма приведения дробей к наименьшему общему знаменателю (при этом сначала формируется представление о новом знаменателе, как о числе кратном старому знаменателю, затем вводится понятие дополнительных множителей, после чего, при выполнении № 87, вводится понятие общего знаменателя двух дробей и формируется понятие общего знаменателя как общего кратного знаменателей). И только после такой подготовительной работы ставится проблема приведения дробей к наименьшему общему знаменателю. При выполнении №№ 88 – 89 формируется умение применять полученный алгоритм.
6) Аналогичная работа может быть проведена для построения алгоритма приведения дробей к новому числителю.
7) В третьей главе пятиклассникам предлагаются задания, содержащие алгебраические дроби. Так, при отработке умения преобразовывать дроби учащимся могут быть предложены задания сократить алгебраическую дробь, числитель которой имеет вид многочлена (№№ 83 (1, 2, 3), 92). При выполнении заданий такого уровня учителю следует реализовывать принцип минимакса: работать на уроке, ориентируясь на сильных учеников на высоком уровне сложности, оценивая при этом только успех, а контролировать усвоение материала каждым учащимся на уровне минимума, определенного в стандарте.
§ 1. Натуральные числа и дроби. П.3 Сравнение дробей
8) В третьем пункте «Сравнение дробей» учащиеся строят разные способы сравнения дробей: приведение дробей к наименьшему общему знаменателю и к наименьшему общему числителю (№№ 135 – 142). В данном пункте рассматриваются и «хитрые приемы», которые в некоторых случаях удобнее использовать для сравнения дробей: это способ сравнения дробей с единицей (неправильная дробь больше правильной), с промежуточным числом (с половиной), метод дополнения дроби до 1 («ближе к единице»), «перекрёстное» правило.
9) Для отработки приема сравнения с промежуточным числом (1/2) выполняется № 145. При этом учитель может использовать такие модели, как числовой луч или отрезок. После сравнения данных чисел с половиной на моделях учитель может задать вопросы о сравнении пар дробей, одна из которых больше половины, а другая – меньше. Учащимися делается вывод об использовании промежуточного числа для сравнения дробей. Например, можно записать, что 41/80 > 245/504, потому что первая дробь больше половины, а вторая – меньше.
10) Для знакомства учащихся с приемом сравнения правильных дробей путем определения, какая из них «ближе к единице», а значит, и больше (№ 143), можно поступить следующим образом: учащимся предлагается проанализировать данные дроби. Учащиеся должны заметить, что числитель отличается от знаменателя на 1, после чего можно задать вопрос, к какому числу близки данные дроби. Затем учитель предлагает изобразить первую пару дробей и единицу на числовом луче и показать, сколько «не хватает» дроби 8/9 до целого и сколько «не хватает» 15/16, то есть выяснить, какие дроби дополнят данные до единицы.
Учащиеся фиксируют, что дополнения составляют в первом случае девятую часть, а во втором – шестнадцатую часть единичного отрезка. Делается вывод: дробь с большим знаменателем «ближе» к единице, а значит, больше. Следующие пары дробей сравниваются уже без числового луча (№ 144).
11) Также учащиеся узнают общее правило сравнения дробей – «перекрёстное» правило (a/b < c/d <=> ad < bc) – и учатся его применять (№ 148). Из этого общего правила сравнения дробей следует условие равенства дробей a/b = c/d <=> ad = bc, с которым нужно познакомить учащихся. Необходимо заострить внимание учащихся на этом утверждении, так как данное условие позволит им решать уравнения нового вида, а в дальнейшем будет использоваться в 6 классе при изучении тем «Отношение» и «Пропорция». Условие равенства дробей применяется при выполнении № 151.
12) После изучения правил сравнения обыкновенных дробей учащиеся получают возможность построить правила сравнения любых смешанных чисел.
Для формирования умения применять правила сравнения смешанных чисел учащимся предлагается выполнить № 147 (7, 8).
13) Таким образом, пятиклассники могут выполнить сравнение дробей следующими способами: приведение дробей к наименьшему общему знаменателю, наименьшему общему числителю, пользуясь свойством «любая неправильная дробь больше правильной», сравнение с промежуточным числом (с 1/2), метод «ближе к 1» и универсальный способ – общее правило сравнения дробей. Использование различных способов для сравнения дробей реализует принцип вариативности ДСДМ, который предполагает формирование у учащихся способностей к систематическому перебору вариантов и адекватному принятию решений в ситуациях выбора (№ 147).
14) Способы сравнения дробей используются учащимися для решения задач (№ 153, № 154).
15) При обсуждении № 155 появляется возможность формировать не только предметные, но и личностные результаты обучения, которые соответствуют новым целям образования.
В заданиях учебника математики курса «Учусь учиться» заложены представления о дружбе, доброте, чести, трудолюбии и других ценностных качествах человека, которые опосредованно оказывают эмоциональное воздействие на детей и способствуют выработке морально-этических норм и правил. При выполнении данного задания у учителя появляется возможность выслушать мнения учащихся и подвести их к собственным выводам о самооценке человека.
§ 2. Арифметика дробей. П.1 Сложение и вычитание дробей
16) В начальной школе учащиеся научились складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. В пункте «Сложение и вычитание дробей» они учатся находить значение суммы и разности любых дробей.
17) Перед выполнением пробного задания можно предложить учащимся проанализировать данную сумму 2/21 + 6/35. Пятиклассники фиксируют, что слагаемыми являются дроби с разными знаменателями. При выполнении задания ученики фиксируют затруднение: «не можем найти сумму» или «не можем обосновать своё решение».
Причиной затруднения является отсутствие правила сложения дробей с разными знаменателями. В результате работы учащиеся строят алгоритм сложения и вычитания любых дробей:
18) На последующих уроках учащиеся применяют алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей для решения уравнений, нахождения значения буквенных выражений при заданном значении букв, решения задач.
19) Для обыкновенных дробей фиксируются и применяются переместительное и сочетательное свойства сложения и правила вычитания суммы из числа и числа из суммы. (№№ 201 – 202).
Эталоны20) В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны: основное свойство дроби, алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю (числителю), несколько способов сокращения дробей, понятие несократимой дроби, правила сравнения дробей, алгоритмы сложения и вычитания дробей (общий случай). Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А.
Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.
Приведем пример эталона из указанного пособия:
Методические рекомендации по планированию уроковПри организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.
Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.
С примерами организации уроков по изучению темы «Дроби» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5 − 6 классов основной школы авторов Г.
В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».
Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000…».
Урок 80Тип урока: ОНЗ
Тема: «Сокращение дробей»
Автор: Л.А. Грушевская
Основные цели:
1) cформировать понятия сократимой и несократимой дроби, умение сокращать дроби на основе использования основного свойства дроби;
2) повторить и закрепить понятия делителя и кратного, признаки делимости, свойства делимости произведения, чтение и нахождение значений буквенных выражений, тренировать умение строить математические модели текстовых задач.
Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока
(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как.
..»)
Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.
(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)
Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.
Версия для печати
Что делать, если учащиеся борются с операциями с дробями
Вы умнее пятиклассника? Когда дело доходит до операций с дробями, многие взрослые отвечают «нет».
Если вы не учите математику, вы можете быть удивлены тем, сколько мы ожидаем от пятиклассников. Вот пример тестового вопроса для 5-го класса от Департамента образования штата Луизиана.
Не знаю, как вас, но эта проблема заставила меня почесать голову. Я почти уверен, что ответ D. Но я точно не смог бы решить это, когда мне было 10 лет.
0003
Так что, если у ваших учеников проблемы с операциями с дробями, вы не одиноки. Многие полагаются на такие приемы, как : сохранить, изменить, перевернуть, , но так и не развивают концептуальное понимание.
Этим учащимся трудно применить свое понимание к реальным проблемам. И гораздо быстрее забывают то, чему научились.
Свободное владение учащимися дробями необходимо для их общего успеха в математике. Понимание дробей обеспечивает основу для десятичных дробей, процентов и отношений. Они также позволяют учащимся понимать пропорции, наклон и рациональные числа.
Когда учащиеся не усваивают дроби в начальной школе, они с трудом осваивают среднюю школу, алгебру, статистику и даже исчисление (если доберутся до них).
Чтобы помочь своим ученикам, сначала вы захотите узнать почему у них возникают проблемы с операциями с дробями. Затем убедитесь, что у вас есть инструменты и стратегии для устранения их неправильных представлений.
Почему учащиеся не умеют работать с дробями?
Чрезмерная зависимость от «трюков» характерна не только для дробных операций.
На протяжении обучения K-12 (и за его пределами) учащиеся часто учатся считать, не учась рассуждать.
Так почему же проблема наиболее остро ощущается с дробями? Отчасти причина в том, что фракции труднее связать со своим жизненным опытом.
Дроби также требуют, чтобы учащиеся основывались на своих предварительных знаниях по операциям с целыми числами. Поэтому, когда учащимся не хватает этих основ, дроби даются в два раза сложнее (или в ½ раза проще).
Фактический ответ индивидуален для каждого ученика. Но вот общие подводные камни, на которые стоит обратить внимание.
Дроби не интуитивныОдна из причин, по которой учащиеся испытывают трудности с операциями с дробями, заключается в том, что дроби менее интуитивно понятны, чем целые числа. Студенты постоянно складывают и вычитают целые числа в своей повседневной жизни, даже не осознавая этого. Иногда они даже размножаются и делятся.
И хотя они знают, что значит съесть половину печенья или отмерить ½ стакана муки, они обычно не оперируют дробями.
Многие думают, что «половина» — это , всего лишь половина , а не число с единицей в числителе и двумя в знаменателе.
Еще одна причина, по которой учащиеся испытывают затруднения, заключается в том, что они не усвоили основные понятия. А именно, значение дробей и операций с целыми числами.
Если вы попросите своих учеников умножить 3 на 13, представят ли они себе массив? Модель местности? Пропустить счет до 10 три раза, затем пропустить счет до 3 три раза? Или они просто складываются и вычисляются?
Массив 3 на 13Учащиеся, которые могут визуализировать операции с целыми числами, могут опираться на свое понимание деления, чтобы представить целое, разделенное на четыре части. Они могут расширить эту идею, добавив одну четвертую к другой четвертой. Или умножить пятую часть на три.
Но поскольку у многих студентов нет этих концептуальных основ, они просто видят дроби как одно число, наложенное на другое.
Чем больше приемов и процедур они изучают, тем больше вероятность того, что они их забудут или применят неправильный прием для решения не той проблемы.
Но есть еще большая проблема с алгоритмами без понятий . Студенты не развивают способность видеть математику вокруг себя. Они не признают математику языком или наукой о пространстве и количестве. Они не видят красоты и искусства в математике.
Вместо этого он становится набором «математических фактов», случайных правил и секретных символов.
Операции с дробями противоречат правилам работы с целыми числамиДаже учащиеся, понимающие понятия целых чисел, могут испытывать трудности с дробями.
В начальной школе учащиеся сосредотачиваются на освоении десятичной системы счисления. Они считают десятками, объединяют десятки и единицы и разбивают числа по разрядности для работы. Все дело в том, чтобы делать десятки, разбивать десятки и использовать ноль в качестве заполнителя.
Но дроби не строятся от десятков.
Дроби могут разделить целое на 3, 7 или 45 частей. А по мере изменения знаменателя меняется и размер «единицы». Как и единицы, необходимые для создания группы (одного целого).
Дроби также противоречат «правилам», которые студенты изучают для целых чисел. Когда вы умножаете 3 х 5, результат больше, чем оба. Но при умножении дробей никогда не знаешь. Произведение ⅓ и ¼ меньше обоих. Но умножение ⅕ на 4 создает произведение между двумя факторами.
Когда учащиеся имеют прочные концептуальные основы, они могут обобщать свои знания о целых числах, чтобы понимать дроби. Но без этого понимания им может показаться, что они начинают все сначала, с совершенно новым набором правил!
Три совета по обучению операциям с дробями
Первый шаг к тому, чтобы помочь ученикам с операциями с дробями, — это узнать, почему у них возникают трудности.
Следующим шагом должны быть конкретные, действенные шаги для решения этих проблем.
Во-первых, убедитесь, что ваши ученики действительно понимают значение дроби.
Затем соедините это с тем, что они уже знают об операциях с целыми числами.
Обе эти задачи можно выполнить с помощью «Три транспортных средства» — моделей уроков на основе запросов, которые могут поддерживать практически любую математическую концепцию.
1. Обзор и оценка основ дробей
Проще говоря, знаменатель говорит нам, на сколько частей делится целое. Числитель говорит нам, сколько таких частей у нас есть. Хотя числитель сверху , это мало что значит, если вы не знаете знаменатель. Вот почему я учу дроби снизу вверх.
В какой-то момент (обычно около 5 класса) учащиеся узнают, что дробь также можно рассматривать как частное. Результат деления числителя на знаменатель. Таким образом, 3 ÷ 4 равно ¾. Визуально это можно представить как 3 целого, каждое из которых разделено на 4 равные части, причем части перегруппированы в одну фракцию.
Чтобы оценить свое понимание, учащиеся должны уметь это делать без направления .
Если вам нужно сказать им обрезать или заштриховать, они не поймут эту концепцию. Они просто рисуют.
2. Соедините операции с дробями с операциями с целыми числами
Когда учащиеся поймут дроби, они смогут работать с дробями так же, как с целыми числами. Если, конечно, они понимают смысл операций.
Сложение и вычитаниеКогда учащиеся понимают значение ⅓, они могут начать считать вверх и вниз, чтобы складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.
Следующий шаг — составить целое, например, сосчитав до 4-х или прибавив ⅓ к ⅔. Затем они могут вычитать, чтобы разбить целое (1 — ⅙).
Подсчитав сверх целых , они могут начать оперировать смешанными числами (⅔ + ⅔ = 1 ⅓).
Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями сложнее. Учащимся необходимо преобразовать в эквивалентные дроби, что зависит от навыков, полученных путем умножения дробей. Поэтому учащиеся сначала изучают эти понятия, прежде чем вернуться к сложению и вычитанию с разными знаменателями.
Упражнения с дробями для вашего класса
Умножение дробей
Как только ваши ученики научились складывать дроби, умножить дробь на целое число несложно. Просто подумайте о ¼ x 3 как о ¼ + ¼ + ¼.
Затем замените знак умножения словом «из». Таким образом, ¼ x 3 станет «одной четвертой из трех». Это связывает умножение дробей с умножением целых чисел. 3 x 2 означает три (группы) по два. Таким образом, ⅓ x 4 имеет смысл равняться 9.0005 одна треть от (группы) 4.
Это также расширяет понятие от умножения дроби до умножения на дроби, что позволяет учащимся решать, когда оба множителя являются дробями.
В этом упражнении Google Slides используются визуальные представления, чтобы продемонстрировать значение умножения дробей: учащиеся сдвигают модели дробей, чтобы увидеть, что происходит, когда мы умножаем.
В дополнение к концептуальному пониманию модели умножения дробей показывают учащимся почему умножаем числители и знаменатели в алгоритме.
Чтобы узнать больше о соединении умножения дробей с целыми числами, ознакомьтесь с пятью значениями умножения.
Деление дробейДеление дробей также может основываться на том, что учащиеся знают о целых числах.
Начните с деления дроби на ее числитель, например, ⅗ разделить на 3. Это включает в себя партитивное деление, в котором делитель определяет количество групп .
Затем разделите целое число на дробь. Здесь мы используем деление в кавычках , , в котором делитель определяет размер каждой группы . Деление 2 на ⅓ включает в себя разделение обоих целых чисел на трети (делитель = размер группы) и подсчет общего числа групп (частное = количество групп). Это иллюстрирует, почему мы умножаем на знаменатель при делении на дробь.
Деление в кавычках также полезно для деления дроби на дробь, но только в некоторых случаях. Чтобы разделить ⅔ на ⅓, просто создайте 2 группы по ⅓ в каждой.
А как насчет ⅓ деления на ¼? Можно представить разбиение трети на группы размером в одну четвертую… но это не очень интуитивно понятно.
В этом случае я возвращаюсь к разделительному разделению и использую то, что я называю стратегией «призрачных копий».
Если бы я делил 8 на 2 по частям, я превращал бы одну группу из 8 в две новые группы, по четыре в каждой группе. Если вместо этого я разделю 8 на ½, я превращу одну группу из 8 в — половину группы . Чтобы создать целую группу, мне нужно сделать призрачная копия моего начального значения (дивиденда).
Стратегия фантомных копий может быть расширена для таких отношений, как ½ ÷ ⅓. Рассматривайте ½ как ⅓ полной группы . Таким образом, мы добавляем две фантомные копии ½, чтобы сделать целую группу, в результате чего получается 1 ½.
Пять значений умножения также полезны для помощи учащимся в делении дробей. Каждое значение умножения в обратном порядке относится к делению.
Эквивалентные дроби Эквивалентные дроби могут быть самым сложным аспектом операций с дробями. Его трудно связать с целыми числами, так как нет другого эквивалента целого числа: восемь — это всего лишь восемь, целого числа, эквивалентного 8, не существует.
и по-прежнему имеют то же значение. На самом деле, вы могли бы возразить, что эквивалентность равна , поэтому мы используем дроби в первую очередь.
Когда учащиеся спрашивают, «зачем нам нужны и дроби, и десятичные дроби», отличный ответ заключается в том, что дроби позволяют нам делить целые числа на части любого размера, который мы хотим. С десятичными дробями мы ограничены коэффициентами десять.
Но я включил сюда эквивалентность по двум причинам. Во-первых, это важно для многих последующих применений дробей. Упрощение дробей и добавление разных знаменателей требуют преобразования эквивалентных дробей. Как и десятичные и процентные преобразования, работа с пропорциями и определение наклона. Список можно продолжить.
Вторая причина заключается в том, что умножение дробей можно использовать для обучения эквивалентным дробям.
Я учу преобразование дробей как умножение на единицу . Чтобы найти эквивалент ½, я могу умножить на 3/3 (он же один), получив 3/6.
Учащиеся, умеющие использовать модели площадей для умножения дробей, должны связать идею умножения на ⅓ с идеей умножения на 3/3. Как визуально, так и с помощью алгоритма «умножить поперек».
3. Используйте
Три повозки для обучения операциям с дробямиТри повозки представляют собой модели уроков, основанные на исследованиях, которые способствуют концептуальному пониманию. Их можно использовать для обучения практически любому математическому понятию в любом классе.
Транспортные средства построены на теории множественных представлений , идее о том, что любое математическое понятие может быть представлено пятью различными способами: физически, визуально, символически, концептуально и словесно.
Мы можем определить беглость как способность переводить математическую идею среди всех пяти представлений. Сюда входит перевод выражения в визуальную модель. Или объяснить на словах, как работает манипулятор.
Пять представлений определяют, как могут быть представлены математические идеи.
И транспортные средства учат студентов, как переводить среди них.
Первый автомобиль — масштабная модель. Он сочетает в себе физические и визуальные представления (также известные как конкретные и изобразительные), поскольку оба служат одинаковой цели. Они представляют размер чисел и значение операций.
Масштабные модели полезны для создания и оценки концептуального понимания. Чтобы использовать масштабные модели в качестве учебного пособия, сначала научите их принципам чтения и создания масштабных моделей. Затем используйте модели в качестве инструментов, помогающих учащимся учиться посредством исследования.
Например, если учащиеся понимают дроби и умножение целых чисел, они могут использовать свои навыки моделирования, чтобы «открыть» умножение дробей, даже без прямого обучения.
Для учащихся важно создавать свои собственные модели, а не просто интерпретировать модели из учебника или сделанные учителями. Чтение моделей полезно, но недостаточно для беглости речи.
Три моста Онлайн-семинары для преподавателей
Числовые предложения
Следующее транспортное средство — числовое предложение. Числовые предложения (уравнения и неравенства) основаны на концепциях, разработанных с помощью визуальных моделей, для поддержки развития абстрактного понимания.
Числовые предложения позволяют учащимся манипулировать выражениями и работать в несколько этапов, что делает их гораздо более полезными, чем вычисления с помощью алгоритмов.
Я использую доказательства числовых предложений, чтобы помочь учащимся выучить числовые предложения и связать их с другими представлениями.
Сюжетные задачиТретий автомобиль, сюжетные задачи, помощь с прикладными навыками и математическим языком.
Я учу студентов использовать процесс Полиа для решения текстовых задач. Этот подход подчеркивает важность использования нескольких представлений для решения текстовых задач.
Этот автомобиль идет последним, потому что учащиеся могут использовать масштабные модели и числовые предложения в качестве инструментов для решения текстовых задач.
Обучение работе с дробями в классе
Я надеюсь, что эта статья предоставила полезный обзор основных концепций, необходимых для успешного выполнения операций с дробями.
Ресурсы для обучения дробям со всеми тремя машинами вы найдете в нашем интернет-магазине.
Или улучшите свои математические навыки, записавшись на онлайн-семинар. Это сеансы в реальном времени, проводимые живым фасилитатором. Мы предлагаем отдельные занятия по каждому транспортному средству для учителей начальной и средней школы, чтобы вы могли сосредоточиться на техниках и стандартах, наиболее важных для ваших учеников.
Наконец, если вы хотите сразу внедрить этот тип обучения, загрузите наш комплект Fractions Essentials Bundle. В нем есть все, что вам нужно для начала работы: от интерактивных Google Slides заданий до планов уроков, ключей для ответов и многого другого!
Получите копию FRACTION ESSENTIALS
Об авторе Джефф Лискиандрелло — основатель Room to Discover и консультант по вопросам образования, специализирующийся на обучении, ориентированном на учащихся.
Его 3-Bridges Design for Learning помогает школам изучать инновационные методы в традиционных условиях. Ему нравится помогать преподавателям внедрять основанные на запросах и персонализированные подходы к обучению. Вы можете связаться с ним через Twitter @EdTechJeff
Рабочие листы и учебные пособия по математике для пятого класса.
Алгебра
Алгебра Алгебра — это изучение математических символов и правил обращения с этими символами. вместе, чтобы получить произведение (ответ на задачу на умножение) Подробнее… iWorksheets: 6Study Guides: 1Locabulary: 1 Оценка FreeEstimation является приблизительным расчетом. Подробнее… iWorksheets: 4Study Guides: 1 Экспоненциальная и научная запись Экспоненциальная запись — это сокращенный способ выражения большого числа с использованием показателей степени. Подробнее… iWorksheets: 6Study Guides: 1Vocabulary: 1 Меньше, больше Сравните дроби и десятичные дроби, используя <, > или =.
Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Порядок операций FreeПравила порядка операций: 1-й: Вычислить все операции внутри круглых скобок. 2-й: Вычислить всю работу с показателями. 3-й: Вычислить все умножение и деление слева направо. 4-й: Вычислите все операции сложения и вычитания слева направо. Подробнее… iWorksheets: 4Study Guides: 1 Узоры Узоры в фигурах и числах. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Проценты Процент — это число или отношение, выраженное в виде доли от 100. Подробнее… iWorksheets: 6Study Guides: 1Vocabulary: 1 Положительные и отрицательные целые числа Положительные целые числа — это все целые числа, большие нуля. Отрицательные целые числа — это все противоположности этим целым числам, числам, которые меньше нуля. Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным Подробнее… iWorksheets: 4Study Guides: 1 Вероятность Рабочий лист словесных задач FreeProbability.
Вероятность – это мера того, насколько вероятно событие. Вероятность = (Общее количество возможных исходов) / (Общее количество возможных исходов). Вероятность события А — это число возможных вариантов возникновения события А, деленное на общее количество возможных исходов. Подробнее… iWorksheets: 4Study Guides: 1 Отношение Отношения используются для сравнения двух вещей. Подробнее… Рабочие листы iWorksheets: 9Учебные пособия: 1Словарный запас: 1 Статистика Статистический вид — это число, которое чаще всего встречается в наборе
числа. Читать дальше… iWorksheets: 3Study Guides: 1Дроби и десятичные дроби
Сложение/вычитание дробей Бесплатно — это одна из четырех основных арифметических операций, наряду с вычитанием, умножением и делением. Сложение двух целых чисел представляет собой общую сумму этих объединенных количеств. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Сложение/вычитание/умножение/деление десятичных дробей Вы складываете/вычитаете/умножаете/делите десятичные дроби так же, как складываете/вычитаете/умножаете/делите целые числа, НО вам также нужно поместить десятичную дробь в нужное место.
При умножении десятичных дробей в задаче на умножение десятичные дроби могут выстраиваться, а могут НЕ выстраиваться. Подробнее… iWorksheets: 10Учебных пособий: 1Словарный запас: 1 Сложение дробей Дроби состоят из двух чисел. Верхнее число называется числителем.
Нижнее число называется знаменателем. Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем: Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Сравнение и упорядочивание дробей При сравнении двух дробей, имеющих общий знаменатель, вы можете посмотреть на числители, чтобы решить, какая дробь больше Подробнее… Дроби Равные дроби — это дроби, имеющие РАВНОЕ значение. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1Vocabulary: 1 Дроби/десятичные числа Как преобразовать дроби в десятичные: Разделите знаменатель (нижняя часть) на числитель (верхняя часть). Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Порядок десятичных дробей Располагая десятичные дроби в порядке от наименьшего к наибольшему, мы должны смотреть на
сначала самое высокое значение места.
Подробнее… iWorksheets: 6Study Guides: 1Vocabulary: 1 Порядок дробей Дробь состоит из двух чисел, разделенных чертой — числителя и знаменателя. Чтобы упорядочить дроби с одинаковыми числителями, посмотрите на знаменатели и сравните их по два за раз. Дробь с меньшим знаменателем является большей дробью. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Упрощение дробей Упрощение дробей означает сделать дробь максимально простой. Подробнее… iWorksheets: 5Study Guides: 1Vocabulary: 1 Вычитание дробей Дроби состоят из двух чисел. Верхнее число называется числителем. Нижнее число называется знаменателем. Сначала убедитесь, что знаменатели совпадают, а затем вычтите числители. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1Геометрия
Углы Прямой угол — это угол, равный 90°. Прямой угол – это угол, равный 180°. Тупой угол – это угол, величина которого больше 90°. Острый угол – это угол, градусная мера которого меньше 90°.
Подробнее… iWorksheets: 10Study Guides: 1 Площадь Площадь – это количество квадратных единиц, необходимых для покрытия плоской поверхности. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Конгруэнтные фигуры Фигуры конгруэнтны, если они идентичны во всех отношениях, кроме их
должность. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Периметр Многоугольник — это любая двумерная форма, образованная прямыми линиями. Периметр многоугольника равен сумме всех его длин. Подробнее… iWorksheets: 6Study Guides: 1 Точки графика Точки графика используются для размещения точки на координатной плоскости с использованием координат X и Y для рисования на координатной сетке. Подробнее… Рабочие листы: 5 Учебные пособия: 1 Словарный запас: 1 Характеристики многоугольника Многоугольник — это плоская фигура, имеющая не менее трех прямых сторон и углов, обычно пять или более.
Подробнее… iWorksheets: 8 учебных пособий: 1 Словарь: 1Измерение и данные
Анализ данных Сбор данных. Данные = информация. Вы можете собирать данные от других людей с помощью опросов и опросов. Запись данных. Вы можете записать числовые данные, которые вы собрали, на диаграмме или графике: гистограммах, пиктограммах, линейных графиках, круговых диаграммах, столбчатых диаграммах. Подробнее… iWorksheets: 4Study Guides: 1 Прошедшее время Прошедшее время — это количество времени, которое прошло между двумя определенными моментами времени. Подробнее… iWorksheets: 5Study Guides: 1 Графики и таблицы Использование таблиц и графиков позволяет людям интерпретировать данные. Данные означают информацию. Таким образом, интерпретация данных просто означает определение того, что информация говорит вам. Информация иногда отображается в виде таблиц, диаграмм и графиков, чтобы ее было легче читать. Подробнее.
.. iWorksheets: 3Study Guides: 1 Измерение Измерение — это присвоение числа характеристике объекта или события, которую можно сравнивать с другими объектами или событиями. Подробнее… iWorksheets: 7Study Guides: 1Vocabulary: 2 Объем и емкость Что такое объем? Объем — это трехмерный размер объекта, например коробки. Что такое емкость? Емкость — это количество, которое трехмерный объект может удерживать или нести. Его также можно рассматривать как меру объема трехмерного объекта. Подробнее… iWorksheets: 5Study Guides: 1Числа и операции
Сравнение и порядок чисел Сравнение двух чисел и определение того, какое из них больше Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 Деление Разделение трехзначных чисел на однозначные и двузначные числа. Подробнее… iWorksheets: 6Study Guides: 1Vocabulary: 1 Умножение Умножение — одно из четырех элементарных математических действий арифметики.
Подробнее… Рабочие листы iWorksheets: 7Учебные пособия: 1Словарный запас: 1 Разрядное значение Разрядное значение — это числовое значение, которое цифра имеет благодаря своей позиции в числе. Подробнее… iWorksheets: 6Study Guides: 1 Округление Округление упрощает работу с числами в уме. Округленные числа являются приблизительными. Используйте округление, чтобы получить близкий ответ, но он не обязательно должен быть точным. Подробнее… iWorksheets: 3Study Guides: 1 От целых чисел до миллионов Целое число — это число без дробей. Подробнее… Рабочие листы: 5 Учебных пособий: 1 Словарный запас: 1Класс 5 Дроби — основы, задачи и примеры решения
- Что такое дробь? Дробь – это числовая величина, которая не является целым числом.
Например,
½ — дробь от
1 в числителе и
2 в знаменателе
Дроби, имеющие одинаковые знаменатели, называются одинаковыми дробями.
Например,
½, 3/2, 5/2, 7/2 равно
все как дроби.
- Дроби, имеющие разные знаменатели, называются в отличие от дробей.
Например,
½, 2/3, ¾, 4/5,
— все разные дроби
- Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью.
Например,
8/9, 7/8, 6/7, 5/6
— правильные дроби.
- Дробь, числитель которой больше знаменателя, называется неправильной дробью.
Например,
3/2, 4/3, 5/4, 6/5
— все это неправильные дроби.
Дроби, представляющие одинаковые или равные значения, называются эквивалентными
дробями.
Например,
1/3, 2/6, 3/9, 4/12
— эквивалентные дроби
ПРИМЕР 1: Найдите долю заштрихованной и незаштрихованной части.
РЕШЕНИЕ: Общая часть = 8 Доля заштрихованной части = 3/8 Доля незаштрихованной части = 5/8
ПРИМЕР 2: Найдите долю красных, зеленых и синих шаров.
РЕШЕНИЕ: Общее количество шаров = 10 Количество красных шаров = 4
Доля красных шаров = 4/10 = 2/5 синих шаров = 1/10
Дробь как деление
- Любую дробь можно представить как деление, записав ее числитель как делимое, а знаменатель как делитель
Числитель/знаменатель
= Делимое ÷ Делитель
= Делимое/Делитель
ПРИМЕР 1: Запишите 1÷2 в виде дроби.
РЕШЕНИЕ: ½
ПРИМЕР 2: Запишите 2/3 как деление.
РЕШЕНИЕ: 2÷3
Чтобы преобразовать смешанный номер. в неправильную дробь и наоборот
- Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте частное на делитель и прибавьте произведение с остатком в числителе. Знаменатель будет содержать делитель.
- Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель дроби на знаменатель. Запишите частное как целое число. Остаток в числителе и делитель в знаменателе.
Остаток в числителе и делитель в знаменателе.Нахождение и проверка эквивалентной дроби
- Чтобы найти эквивалентную дробь данной дроби, разделите или умножьте числитель или знаменатель на одно и то же число. (кроме нуля)
- Для проверки эквивалентных дробей нам нужны две эквивалентные дроби.
РЕШЕНИЕ: 2×4=8 3X3=9 8≠9
Следовательно, дроби не равны.
Найдите большую дробь!
Чтобы найти дробь в наименьшем члене
- Дробь находится в наименьшем члене, если числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1.
- Существует два метода нахождения младшего члена дроби. Их:
Метод 1:
Делим числитель
и знаменатель на их общий делитель
, пока не останется
только с общим делителем 1
Метод 2:
Разделите числитель
и знаменатель данной дроби
на их HCF.
Чтобы найти дробь числа или количества
- Разделите число на знаменатель. Затем умножьте полученное частное на числитель.
Затем умножьте полученное частное на числитель.ПРИМЕР 1: В группе 120 детей. 4/5 из них девочки. Найдите количество мальчиков.
Число мальчиков= (120-96) = 24
ПРИМЕР 2: Найдите 1/4 года в месяцах.
РЕШЕНИЕ: В году 12 месяцев.
¼ X 12 = 3 месяца [ANS]
Для сравнения разных дробей
- Сначала найдите НОК знаменателей данных дробей.
- Затем преобразуйте разнородные дроби в эквивалентные одинаковые дроби, используя НОК в качестве их общего знаменателя.
- Сравните одинаковые дроби.
Преобразуйте смешанные дроби
в неправильные дроби, чтобы
сравнить их.
Сложение/вычитание разных дробей
- Найдите НОК знаменателя разной дроби.
- Затем преобразуйте разнородную дробь в равнозначную подобную дробь с НОК в качестве общего знаменателя.
- Прибавьте/вычтите аналогичную дробь, полученную таким образом.
ПРИМЕР 1: Прибавить/вычесть ½ и/от 1/6.
РЕШЕНИЕ: НОК 2 и 6 равно 2×3=6 2| 2,6 1,3
- Когда произведение двух дробей равно 1, мы говорим, что каждая дробь является обратной или мультипликативной обратной величиной другой.
Деление дробей
- Деление — повторное вычитание.
- Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
0 не имеет обратного значения.
Обратное число 1 равно 1.
0 разделить на любое ненулевое число = 0
Попрактикуйтесь в ответах на вопросы
Резюме
- НОК знаменателей можно найти только при сложении или вычитании разнородных дробей.
- При умножении дробей можно менять их порядок, но произведение останется прежним. (переместительное свойство)
- Если дробь умножается на 0, произведение всегда равно нулю.
- Если дробь умножить на 1, получится та же дробь.
