Задача геометрическая: Геометрическая задача с окружностью. Задание 16. Основной государственный экзамен 9 класс, Математика: уроки, тесты, задания.

Содержание

Геометрические задачи с ответами — BrainApps.ru

940+ Все
125 Логика и рассуждения
78 Задачи с подвохом
233 Математические задачи
33 Взвешивания и переливания
15 Геометрические задачи
5 Детские задачи на логику со ответами: задачи для детей 1-3 класс
35 Загадки
7 Криптарифмы
21 На знания
43 О времени
41 Последовательности
7 Ребусы
56 Задачи со словами
9 Задачи со спичками
33 Задачи по физике
64 Что? Где? Когда?
1 Шахматные задачи

Мудрость

Я никогда не думаю о будущем. Оно приходит само достаточно скоро.
Альберт Эйнштейн

Топ-10 по просмотрам

Середина
Закономерность букв
Секретная командировка
Почему небо голубое?
Страх и паника
Расставить скобки и знаки
Город лжецов и правдивых
Животное — рыба
Собрать тракторы
Умеете ли Вы считать в уме?

Топ-10 по рейтингу

Умеете ли Вы считать в уме?
Любовь на похоронах
Середина
Ничего не случилось
Набор монет
Детская загадка
Задача Эйнштейна
Волшебная фраза
Цвет волос художника
Шпионская история

Доказать параллельность

l1 и l2 — касательные к окружностям.

Доказать, что l3 и l4 — параллельны.

0
30
8 473

Узнать ответ

Объезд на дороге

Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром.

На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

0
29
5 038

Узнать ответ

Складывание кубиков

На каждой грани бумажного кубика написана цифра 1, 2 или 3, причем цифры на противоположных гранях — одинаковые. Какая из фигурок может получиться. если этот кубик разрезать по некоторым ребрам и развернуть?

0
16
4 182

Узнать ответ

Толщина креста

На красном фоне датского флага изображен белый крест; правила требуют, чтобы площадь белого креста составляла ровно половину всей площади флага. Допустим, что длина флага составляет 7,5 фута, а ширина – 5 футов. Какова толщина белого креста, при условии, что его площадь составляет половину всего флага?

0
29
5 047

Узнать ответ

Треугольные участки

На рисунке вы видите, как шахтеры спорят по поводу своих участков. Каждый участок имеет форму прямоугольного треугольника. Размеры этих треугольников не совпадают, но площади у них всех одинаковы и составляют точно 3360 квадратных футов.

Катеты одного треугольника равны 140 и 48 , а его гипотенуза – 148. У второго треугольника катеты равны 80 и 84, а гипотенуза 116. Можете ли вы указать длины сторон третьего треугольника при условии, что они выражаются целыми числами, а площадь этого треугольника равняется площади первых двух треугольников?

0
4
3 273

Узнать ответ

Одинаковые карточки

Найдите три одинаковые карточки

4 053

Узнать ответ

Куб

Если отпилить кубику одну вершину, на сколько измениться количество его вершин?

0
-3
3 904

Узнать ответ

8 кусочков

Разделите приведенную фигуру на 8 одинаковых частей.

0
7
3 923

Узнать ответ

Площадь треугольника

Все высоты треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 10000 квадратных единиц?

0
3
2 818

Узнать ответ

Печать Царя Соломона

Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице.

0
3
5 875

Узнать ответ

Заряжаем мозг каждый день

Раскройте весь потенциал вашего мозга вместе с BrainApps

Оттачивайте свой ум
Осваивайте полезные навыки
Читайте лучшие книги в кратком изложении

Создайте аккаунт

Раскройте весь потенциал вашего мозга вместе с BrainApps

Оттачивайте свой ум
Осваивайте полезные навыки
Читайте лучшие книги в кратком изложении

Регистрация Почта Пароль

Или зарегистрируйтесь с помощью

Регистрируясь, вы соглашаетесь с Условиями использования и Политикой конфиденциальности.

Геометрическая задача про программиста и плитку

Программист решил у себя на квадратном участке сделать красиво: в центре сделать квадратную песочную зону отдыха, внизу слева — сделать угловую террасу, а справа — выложить плиткой круглую зону под мангал для шашлыков.

Когда он поехал за песком и плиткой, то уже в магазине вспомнил, что забыл записать площадь круга под мангал. Всё, что у него было, — это листок с такой схемой и площадью двух других участков. Но через пару минут программист уже оформлял нужное количество плитки. Как он это сделал?

Ключевой момент в этой задаче — это то, что у всех угловых треугольников площадь равна 24. А всё потому, что все эти треугольники — одинаковые. Как бы мы ни вращали один квадрат внутри другого, все угловые треугольники останутся одинаковыми между собой.

Если хотите в этом убедиться более точно — посчитайте противолежащие углы в треугольниках, если значение развёрнутого угла — 180°. А если в треугольниках одинаковые углы и хотя бы одна сторона — это одинаковые треугольники.

Также сразу посчитаем гипотенузу треугольника — она равна стороне жёлтого квадрата. Раз площадь квадрата равна 100, то сторона равна √100 = 10.

Теперь разберёмся с кругом. У нас получается, что нужно найти площадь окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, у которого площадь равна 24, а гипотенуза равна 10.

Для площади круга нам нужно знать его радиус.Призываем на помощь школьную формулу радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

r = (a + b − c) / 2, где a и b — стороны треугольника, а c — гипотенуза.

Значение гипотенузы мы знаем, найдём длину двух оставшихся сторон. Площадь прямоугольного треугольника равна (a × b) / 2, получается:

(a × b) / 2 = 24 → a × b = 48 → a = 48 / b

Применим теперь формулу из теоремы Пифагора, которая гласит: a² + b² = c², и подставим туда значения a и c:

(48 / b)² + b² = 10²

2304 / b² + b² = 100

Так как у треугольника площадь не равна нулю, это значит, что ни одна из сторон тоже не равна нулю, поэтому умножаем обе части на b², чтобы избавиться от знаменателя:

2304 + b⁴ = 100 × b² → b⁴ − 100 × b² + 2304 = 0

Обозначим b² за x, чтобы получилось обычное квадратное уравнение:

x² − 100 × x + 2304 = 0

Решаем его и получаем, что x = 36 или x = 64. Это значит, что:

b² = 36 → b = 6

b² = 64 → b = 8

А раз a × b = 48, то выходит, что:

a = 48 / 6 = 8

или a = 48 / 8 = 6

Это значит, что стороны треугольника имеют размеры 6, 8 и 10. Подставим это в формулу нахождения радиуса:

r = (a + b − c) / 2 → r = (6 + 8 − 10) / 2 = 2

Теперь считаем площадь круга — это и будет нужное нам число:

S = π × r² → S = π × 4, что примерно равно 12,56.

Получается, программисту нужно взять 13 квадратов плитки. И немного останется на брак и доделки.

2[/латекс] [латекс]4s[/латекс] Прямоугольник [латекс]лв[/латекс] [латекс]2л+2ш[/латекс] Треугольник [латекс]\dfrac{1}{2}bh[/латекс] [латекс]s_1+s_2+s_3[/латекс] Ромб [латекс]чб[/латекс] [латекс]4b[/латекс] Трапеция [латекс]\dfrac{1}{2}\left(l_1+l_2\right)h[/latex] [латекс]l_1+l_2+h_1+h_2[/латекс] Параллелограмм [латекс]чб[/латекс] [латекс]2h_1+2b[/латекс] Правильный многоугольник ([латекс]n[/латекс]-угольник) [латекс]\влево(\dfrac{1}{2}ш\вправо)(\текст{количество сторон})[/латекс]

[латекс]s(\text{количество сторон})[/латекс]

Еще одна распространенная геометрическая проблема связана с периметром или расстоянием вокруг объекта. Например, рассмотрим прямоугольник, для которого [латекс]\текст{периметр} = 2l + 2w.[/latex]

Если длина прямоугольника на 5 м меньше удвоенной ширины, а периметр равен 44 м, найдите его длину и ширину.

Соотношения, описанные в виде уравнения, следующие:

[латекс]L = 2W — 5 \text{ и } P = 44[/латекс]

Для прямоугольника периметр определяется как:

[латекс ]P = 2 W + 2 L[/latex]

Замена [latex]L[/latex] и значения периметра дает:

[latex]44 = 2W + 2 (2W — 5)[/latex ]

Что упрощает до:

[латекс]44 = 2W + 4W — 10[/латекс]

Дальнейшее упрощение, чтобы найти длину и ширину:

[латекс]\begin{array}{rrrrlrrrr} 44&+&10&= &6W&&&& \\ \\ &&54&=&6W&&&& \\ \\ &&W&=&\dfrac{54}{6}&\text{or}&9&& \\ \\ &\text{So}&L&=&2(9)&-&5&\ text{or}&13 \\ \end{array}[/latex]

Ширина 9 м, длина 13 м.

Другие распространенные геометрические задачи:

Кабель длиной 15 м разрезается на две части так, что первая часть в четыре раза больше второй. Найдите длину каждой части.

Соотношения, описанные в виде уравнения, следующие:

[латекс]P_1 + P_2 = 15 \text{ и } P_1 = 4P_2[/latex]

Объединение этих выходов:

[латекс]\begin{array} {rrrrrrr} 4P_2&+&P_2&=&15&& \\ \\ &&5P_2&=&15&& \\ \\ &&P_2&=&\dfrac{15}{5}&\text{or}&3 \end{массив}[/latex]

Это означает, что [латекс]P_2 =[/латекс] 3 м и [латекс]P_1 = 4 (3),[/латекс] или 12 м.

Для вопросов с 1 по 8 напишите формулу, определяющую каждое отношение. Не решать.

Длина прямоугольника на 3 см меньше, чем удвоенная ширина, а периметр равен 54 см.
Длина прямоугольника на 8 см меньше его ширины в два раза, а периметр равен 64 см.
Длина прямоугольника на 4 см больше его ширины в два раза, а периметр равен 32 см.
Первый угол треугольника в два раза больше второго и на 10° больше третьего.
Первый угол треугольника в два раза меньше второго и на 20° больше третьего.
Сумма первого и второго углов треугольника вдвое меньше третьего угла.
Кабель длиной 140 см разрезается на две части. Первая часть в пять раз длиннее второй.
Кусок шланга длиной 48 м нужно разрезать на две части так, чтобы вторая часть была на 5 м длиннее первой.

Для вопросов с 9 по 18 напишите и решите уравнение, описывающее каждую взаимосвязь.

Второй угол треугольника такой же величины, как и первый угол. Третий угол на 12° больше первого угла. Насколько велики углы?
Два угла треугольника имеют одинаковую величину. Третий угол на 12° меньше первого угла. Найдите величину углов.
Два угла треугольника имеют одинаковую величину. Третий угол в три раза больше первого. Насколько велики углы?
Второй угол треугольника в два раза больше первого. Размер третьего угла на 20° больше первого. Насколько велики углы?
Найдите размеры прямоугольника, если его периметр равен 150 см, а длина на 15 см больше ширины.
Если периметр прямоугольника равен 304 см, а длина на 40 см больше ширины, найдите длину и ширину.
Найдите длину и ширину прямоугольного сада, если его периметр равен 152 м, а ширина на 22 м меньше длины.
Если периметр прямоугольника равен 280 м, а ширина на 26 м меньше длины, найдите его длину и ширину.
Лаборант разрезает кусок трубки длиной 12 см на две части так, чтобы одна часть была в два раза длиннее другой. Как долго куски?
Электрик разрезает 30-метровый кабель на две части. Одна часть на 2 м длиннее другой. Как долго куски?

Ключ ответа 4.5

задач по геометрии с решениями и пояснениями для 9 класса

Представлены подробные решения и полные пояснения к задачам по геометрии для 9 класса.

Углы A и B дополняют друг друга, а угол A в два раза больше угла B. Найдите величины углов A и B,
Раствор
Пусть A — мера угла A, а B — мера угла B. Отсюда
А = 2В
Углы А и В дополняют друг друга; следовательно
А + В = 90°
Но А = 2В; следовательно
2В + В = 90
3В = 90
В = 90/3 = 30°
А = 2В = 60°
ABCD — параллелограмм, у которого AB параллелен DC, а DA параллелен CB. Длина стороны АВ равна 20 см. E — точка между A и B, длина которой равна 3 см. F — точка между точками D и C. Найдите длину DF такой, что отрезок EF делит параллелограмм на две области с равными площадями.
.
Как решать задачи с кругами (9 класс)

Раствор
Пусть A1 — площадь трапеции AEFD. Следовательно
A1 = (1/2) h (AE + DF) = (1/2) h (3 + DF) , h — высота параллелограмма.
Пусть теперь A2 будет площадью трапеции EBCF. Следовательно
A2 = (1/2) ч (EB + FC)
У нас также есть
EB = 20 — AE = 17, FC = 20 — DF
Теперь подставим EB и FC в A2 = (1/2) h (EB + FC)
A2 = (1/2) ч (17 + 20 — DF) = (1/2) ч (37 — DF)
Чтобы EF разделил параллелограмм на две области равной площади, нам нужно, чтобы площади A1 и площади A2 были равны
(1/2) ч (3 + ДФ) = (1/2) ч (37 — ДФ)
Умножьте обе части на 2 и разделите их на h, чтобы упростить до
3 + ДФ = 37 — ДФ
Решить для DF
2ДФ = 37 — 3
2ДФ = 34
ДФ = 17 см
Найдите величину угла А на рисунке ниже.
.

Раствор
Первый внутренний угол треугольника является дополнительным к углу, градусная мера которого равна 129°, и равен
180 — 129 = 51°
Второй внутренний угол треугольника является дополнительным к углу, мера которого равна 138° и равен
180 — 138 = 42°
Сумма всех трех углов треугольника равна 180°. Следовательно
А + 51 + 42 = 180
А = 180 — 51 — 42 = 87°
АВС прямоугольный треугольник. АМ перпендикулярна ВС. Величина угла ABC равна 55 градусам. Найдите величину угла МАС.
.

Раствор
Сумма всех углов треугольника ABC равна 180°. Следовательно
угол ABC + угол ACM + 90° = 180°
Замените угол ABC на 55 и решите угол ACM.
угол АСМ = 180 — 90 — 55 = 35°
Сумма всех углов треугольника AMC равна 180°. Следовательно
угол MAC + угол ACM + 90° = 180°
Замените угол ACM на 35 и определите угол MAC
угол MAC = 180 — 90 — угол ACM = 180 — 90 — 35 = 55°
Найдите величину угла MBD на рисунке ниже.
.

Раствор
Сумма всех углов треугольника AMC равна 180°. Следовательно
56 + 78 + угол АМС = 180
угол АМС = 180 — 56 — 78 = 46°
Углы AMC и DMB являются вертикальными углами и, следовательно, равны по величине. Следовательно
угол DMB = 46°
Сумма углов треугольника DMB равна 180°. Следовательно
угол MBD + угол DMB + 62 = 180
Замените угол DMB на 46 и решите угол MBD.
угол MBD + 46 + 62 = 180
угол MBD = 180 — 46 — 62 = 72°
Величина угла AOB равна 132 градусам, а величина угла COD равна 141 градусу. Найдите величину угла DOB.
.

Решение
угол AOB = 132 и также является суммой углов AOD и DOB. Следовательно
угол AOD + угол DOB = 132° (I)
угол COD = 141 и также является суммой углов COB и BOD. Следовательно
угол COB + угол DOB = 141° (II)
Теперь мы сложим левые и правые части вместе, чтобы получить новое уравнение.
угол AOD + угол DOB + угол COB + угол DOB = 132 + 141 (III)
Обратите внимание.
угол AOD + угол DOB + угол COB = 180°
Замените угол AOD + угол DOB + угол COB в (III) на 180 и найдите угол DOB.
180 + угол ДОБ = 132 + 141
угол DOB = 273 — 180 = 93°
Найдите величину угла x на рисунке.
.

Раствор
Внутренний угол четырехугольника слева, дополнительного к x, равен
180 — х
Внутренний угол четырехугольника слева, дополнительный к углу измерения 111°, равен
180 — 111 = 69°
Сумма всех внутренних углов четырехугольника равна 360°. Следовательно
41 + 94 + 180 — х + 69 = 360
Найти х
41 + 94 + 180 — х + 69 = 360
384 — х = 360
х = 384 — 360 = 24°
Прямоугольник ниже состоит из 12 конгруэнтных (одинакового размера) квадратов. Найдите периметр прямоугольника, если площадь прямоугольника равна 432 см².
.

Раствор
Если общая площадь прямоугольника равна 432 квадратных см, площадь одного квадрата равна
432/12 = 36 кв.см
Пусть x — сторона одного маленького квадрата. Отсюда площадь одного маленького круга, равная 36, дает
х ² = 36
Найти х
х = 6 см
Длина периметра L равна 4x, а ширина W равна 3x. Следовательно
Д = 4 × 6 = 24 см и Ш = 3 × 6 = 18 см
Периметр P прямоугольника определяется выражением
Р = 2 (Д + Ш) = 2(24 + 18) = 84 см
ABC – прямоугольный треугольник, угол ACB которого равен 74 градусам. Длины сторон AM, MQ и QP равны. Найдите градусную меру угла QPB.
.

Решение
Угол CAB в прямоугольном треугольнике ACB равен
90 — 74 = 16°
Стороны AM и MQ по размеру и, следовательно, треугольник AMQ равнобедренный и, следовательно,
угол AQM = угол QAM = 16°
Сумма всех внутренних углов треугольника AMQ равна 180°. Следовательно
16 + 16 + угол AMQ = 180
Решить угол AMQ
угол AMQ = 180 — 32 = 148°
Angle QMP является дополнением к Angle AMQ. Следовательно
угол QMP = 180 — угол AMQ = 180 — 148 = 32°
Длины QM и QP равны; следовательно, треугольник QMP равнобедренный и, следовательно, угол QPM равен по величине углу QMP. Следовательно
угол QPM = 32°
Угол QPB дополняет угол QPM. Следовательно
угол QPM = 180 — угол QPM = 180 — 32 = 148°
Найдите площадь заданной фигуры.
.

Раствор
Площадь заданной фигуры можно найти, вычитая площадь прямоугольного треугольника (красный) из площади большого прямоугольника (см. рисунок ниже).
.

Стороны прямоугольного треугольника (красного цвета) равны
15–10 = 5 см и 20–8 = 12 см
Площадь заданной формы = 20 × 15 — (1/2) × 12 × 5 = 270 см ²
Найдите площадь заштрихованной области.
.

Раствор
Площадь заданной фигуры можно найти, вычитая площадь прямоугольника в левом верхнем углу из площади большого прямоугольника.
Размеры прямоугольника вверху слева
длина = 30 — 8 = 22 см, ширина = 15 — 4 = 11 см
Площадь заданной формы = 30 × 15 — 22 × 11 = 208 см ²
Вершины вписанного (внутреннего) квадрата делят пополам стороны второго (внешнего) квадрата. Найдите отношение площади внешнего квадрата к площади вписанного квадрата.
.

Раствор
Пусть 2 x будет размером стороны большого квадрата (см. рисунок ниже).
.
Площадь большого квадрата равна
(2 x ) × ( 2x) = 4 x ²
Площадь вписанного квадрата равна
y × y = y ²
Использование теоремы Пифагора дает
y ² = x ² + x ² = 2 x ²
Отношение R площади внешнего квадрата к площади внутреннего квадрата определяется выражением
R = 4 x ² / у ² = 4 x ² / 2 x ² = 4 / 2 = 2 / 1