Задача о диете в линейном программировании: Линейное программирование

Содержание

Задача о диете — Энциклопедия по экономике

Сформулированная задача является задачей линейного программирования общего типа. Поставленную здесь задачу выбора оптимального рациона питания часто называют также задачей о диете или задачей о смесях. [c.177]
Противоположна изложенной другая задача Л.п. поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, напр., когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — а.., ее себестоимость — с задается потребность в искомых компонентах — Ъ.. [c.172]

Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов (константы ограничений) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования.

В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. [c.172]

ЗАДАЧА ДИЕТЫ (или задача о рационе) — задача линейного программирования, состоящая в определении такого рациона, который удовлетворял бы потребности человека или животного в питательных веществах при минимальной общей стоимости используемых продуктов. Это частный (наиболее распространенный) случай более общей задачи об оптимальном составе смеси. [c.119]

Задача о смесях (диете). Имеются нек-рые исходные продукты в заданных объёмах. Применяется неск. видов смесей из этих продуктов, известны отпускные цены каждой смеси. Требуется подобрать их так, чтобы они получались из заданных объёмов исходных продуктов и суммарная отпускная цена была наименьшей.

Эта задача встречается при составлении кормовых рационов в сельском х-ве, при выпуске нефтепродуктов, при составлении плана выпуска тканей. [c.356]

Если бы эта книга была о соблюдении диеты, представьте себе, как вы радовались бы, когда сбросили бы первые килограммы своего веса. Взгляните на управление временем под этим углом зрения. Каждая задача, вычеркнутая из вашего списка, приближает вас к поставленной цели. На чашу весов может быть брошена не только тяжесть задачи, вы стараетесь совершить нечто более сложное — избавиться от излишней потери времени. Ваша цель — добиться хорошо спланированного дня со свободным временем. [c.43]

Необходимо разработать путь достижения этих целей, иметь четкие представления о том, как вы собираетесь добиваться этого, поставить перед собой конкретные задачи и работать над ними. Не раздумывайте — приступайте к делу тотчас же. Поставьте себе несколько задач самостоятельно и посмотрите, как вы с ними справитесь. Если сразу не получается или вы чувствуете, что зашли в тупик, сядьте и подумайте.

Поищите то, что помогает вам сэкономить несколько минут в день. Вспомним пример с человеком, сидящим на диете даже в первую неделю, если он следует инструкциям и своим собственным целям, он сможет почувствовать разницу. [c.44]

Становление современного математического аппарата оптимальных экономических решений началось в 40-е годы, благодаря первым работам Н. Винера, Р. Беллмана, С. Джонсона, Л. Канторовича. Задача линейного программирования впервые математически сформулирована Л. В. Канторовичем в 1939 г. на примере задачи раскроя материалов для Ленинградского фанерного треста. В 1947 г. Дж. Данциг предложил универсальный алгоритм решения задач линейного программирования, названный им симплекс-методом. В 1941 г. Хичкок и независимо от него в 1947 г. Купсман формулируют транспортную задачу, в 1945 г. Стиглер — задачу о диете. В 1952 г. было проведено первое успешное решение задачи линейного программирования на ЭВМ Sea в Национальном бюро стандартов США. [c.102]

Задача о диете или задача об оптимизации смеси (упрощенный вариант).

Предположим, что необходимо составить самый дешевый рацион питания цыплят, содержащий необходимое количество определенных питательных веществ (тиамина Т и ниацина Н). Пищевая ценность рациона (в калориях) должна быть не меньше заданной. Пусть для простоты смесь для цыплят изготавливается из двух продуктов К и С. Известно содержание тиамина и ниацина в этих продуктах, а также питательная ценность К и С (в калориях). Какое количество К и С надо взять для одной порции куриного корма, чтобы цыплята получили необходимую им дозу (или больше) веществ Н и Т и калорий, а стоимость порции была минимальна Исходные данные для расчетов приведены в табл. 1.7. [c.165]

Аналогичным образом от линейных ограничений общего вида можно перейти к ограничениям на отдельные переменные. Остается взять максимальные границы по каждой переменной. Если многогранник, задаваемый ограничениями, неограничен, как былб в задаче о диете, можно похожим, но несколько более сложным образом выделить его обращенную к началу координат часть, содержащую решение, и заключить ее в многомерный параллелепипед. [c.169]

ЗАДАЧА ДИЕТЫ [nutrient problem] (или задача о рационе питания) — задача линейного программирования, состоящая в определении такого рациона, который удовлетворял бы потребности человека или животного в питательных веществах при минимальной общей стоимости используемых продуктов. Это частный (наиболее распространенный) случай более общей задачи об оптимальном составе смеси. Задача составления оптимального рациона для человека сложна, так как приходится учитывать много дополнительных, не всегда формализуемых факторов вкусовые привязанности, разнообразие блюд и т.д. Однако в животноводстве определение рационов для скота с помощью задачи линейного программирования сегодня не просто реально, но и необходимо. Опыт показывает, что кормление скота рационами, рассчитанными по этому методу, дает существенную экономию (напр., в США ими пользуются многие фермеры). Это не означает, разумеется, что каждый сам решает задачу линейного программирования в разных районах [c.99]

См. также Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткостъ, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна— Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Оптимальное распределение ресурсов, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача. [c.173]

Современная вычислительная техника дает возможность применения экономико-математических методов для решения указанной проблемы. Формализация данной задачи чащв всего осуществляется согласно математической модели классической задачи линейного программирования «о диета». [c.47]

Член-корреспондент АН СССР А. Г. Аганбегян рассказывал о том, как, будучи еще студентом, он задумал с noMoaibio математики рассчитать себе наиболее дешевый бюджет питания. Из работ по рациональному питанию он выбрал, показатели, характеризующие количество различных питательных веществ (жиров, белков, углеводов и т. п.), необходимых для здорового человека, затем по поваренной книге выписал примерно 60 продуктов и их питательный состав и приступил к решению. Он составил модель линейного программирования, в которой переменными служили виды продуктов и их цены, а целевой функцией — стоимость рациона. Результаты поразили молодого экономиста. Оказалось, что в оптимальный набор попали только пять продуктов, в том числе 800 г ржаной муки, около 3 кг капусты и т. д. Это показало, что для человека не так-то проста задача составления диеты — надо участь много дополнительных, не всегда формализуемых факторов вкусовые привязанности, разнообразие блюд и т. д. [c.119]

2.3. Задача составления рациона (задача о диете).

Для откорма животного используется n видов кормов, содержащих

m видов питательных веществ.

Пусть- содержаниеi- го питательного вещества в одном килограмме j — го вида корма — стоимость одного килограммаj-ro вида корма Минимальная суточная потребность животного вi-ом питательном веществе равна . Необходимо составить наиболее дешевый рацион нужной питательности.

Обозначим через x_j количество килограммов корма j-го вида.

Очевидно, математическая модель задачи такова.

f = → min

при ограничениях:

2.4. Общая постановка задачи линейного программирования

Линейным ограничением, наложенным на переменные , называется соотношение одного из следующих трех типов:

где — действительные числа.

Например, соотношения 2х —≤ 1 или ≥ 0 являются

линейными, а соотношения ≥ 3 или sin x

1 ≤ не являются линейными.

Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП) состоит в следующем.

Дана некоторая линейная функция

f =_n (2.1)

и некоторая система линейных ограничений, наложенных на переменные :

(2.2)

Требуется найти такие значения переменных , которые

удовлетворяли бы ограничениям (2.2) и при этом условии обращали бы в оптимум (max и min) функцию (2.1).

Функция (2.1) называется целевой. Каждый набор значений переменных, при которых удовлетворяются ограничения (2.2), называется

допустимым решением или допустимым планом ЗЛП. Совокупность всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР).

Приведенные в параграфах 2.1, 2.2, 2.3 задачи являются, очевидно, задачами линейного программирования.

Допустимое решение, обращающее целевую функцию в оптимум, называется оптимальным решением или оптимальным планом.

Говорят, что ЗЛП разрешима,если она имеет оптимальный план. В противном случае задача называетсянеразрешимой.

ЗЛП может быть неразрешимой только по следующим двум причинам:

а) ОДР пуста;

б) ОДР непуста, но целевая функция не ограничена на ОДР сверху, если в ЗЛП ищется ее максимум, или — не ограничена снизу, если в ЗЛП ищется минимум целевой функции.

Например, задача: f = min

при ограничениях

неразрешима из-за пустоты ОДР.

Задача же f = max при ограничениях

неразрешима из-за того, что целевая функция не ограничена сверху на ОДР. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрите такие допустимые решения : и т.д.).

2.5. Геометрический метод решения злп.

В случае, когда число переменных в ЗЛП равно двум, задачу можно решить геометрически. Рассмотрим примеры.

Пример 1

f = max

Каждое допустимое решение ЗЛП будем изображать точкой координатной плоскости. Построим ОДР (рис. 2.1). Рассмотрим первое линейное ограничение. Совокупность точек плоскости, удовлетворяющих этому ограничению, представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой. Сначала построим эту граничную прямую (ее можно построить по двум точкам: (0,6) и (9,0). Эта прямая разобьет плоскость на две полуплоскости. Чтобы решить вопрос о том, какую из этих двух полуплоскостей определяет неравенство, возьмем в одной из полуплоскостей какую-либо точку, не лежащую на граничной прямой, и подставим ее координаты в неравенство. Например, в качестве такой точки возьмем начало координат — точку (0,0). Поскольку, то полуплоскость, определяемая неравенством, содержит точку (0,0). Аналогично находим полуплоскости, определяемые остальными ограничениями. Далее определим ОДР как общую часть полученных полуплоскостей. Получим выпуклый многоугольник

рис.2.1.

Теперь осталось определить максимум целевой функции на ОДР. Для этого построим линии уровня целевой функции. Линия уровня — это множество точек плоскости, в которых целевая функция принимает постоянное значение. Поскольку целевая функция

f =,то каждая линия уровня имеет вид. Видим, что при различных значениях параметра С получаются параллельные прямые. Построим, например, две линии уровня, положив С = 4 и С = 8. Отметим стрелкой направление, в котором перемещается линия уровня при увеличении С. Передвигая линию уровня в указанном направлении, найдем точку ОДР, в которой С имеет наибольшее значение. Это будет точка А. Она является результатом пересечения двух прямых:и

Для нахождения координат точки А решим систему

Получим оптимальное решение

Пример 2. f =min

рис. 2.2.

В этом примере полуплоскости, определяемые линейными ограничениями, не имеют общих точек. Поэтому ЗЛП неразрешима из-за пустоты ОДР.

Пример 3. f =

В данном примере (рис. 2.3) ОДР — выпуклая неограниченная многоугольная область.

рис. 2.3.

Построим линию уровня . Передвигая линию уровня в направлении, указанном стрелкой, видим, что на ОДР целевая функция может принимать сколь угодно большие значения. Поэтому ЗЛП неразрешима из-за неограниченности сверху на ОДР целевой функции.

Пример 4. f =

Этот пример отличается от предыдущего только тем, что целевую функцию нужно минимизировать, а не максимизировать. Линию уровня нужно перемещать в направлении, противоположном тому, которое указано на рисунке 2.3 стрелкой. Так как линия уровня параллельна прямой , то минимальное значение на ОДР целевая функция достигает во всех точках отрезка АВ. Чтобы указать конкретное оптимальное решение задачи, нужно выписать координаты какой-либо точки этого отрезка.

Например,

Пример 5. Решим геометрически задачу об использовании

оборудования, которая рассматривалась в параграфе 2. 1. Ее математическая модель

f =

Построим ОДР (рис 2.4). Затем проведем линию уровня . Укажем стрелкой направление, в котором перемещается линия уровняс ростомC. Максимум целевой функции на ОДР достигается в точке А. Для отыскания координат точки А решим систему:

рис.2.4.

Отсюда

Ответ. Оптимальный план таков: изделий А нужно производить 7,5 единиц, изделий В -5 единиц; при этом прибыль будет равна 80 денежным единицам.

Геометрический метод можно использовать для решения ЗЛП с числом переменных n = 3. При большем числе переменных ЗЛП не допускает наглядного геометрического решения. Вместе с тем для произвольного числа переменных справедливы утверждения:

1) область допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник;

2) если ЗЛП разрешима, то оптимальное решение достигается в одной из вершин выпуклого многогранника.

Задача о диете — Руководство по NEOS

Целью задачи о диете является выбор набора продуктов, который удовлетворит набор ежедневных потребностей в питании при минимальных затратах. Задача сформулирована как линейная программа , где целью является минимизация затрат, а ограничениями являются удовлетворение заданных потребностей в питании. Ограничения проблемы диеты обычно регулируют количество калорий и количество витаминов, минералов, жиров, натрия и холестерина в рационе. Хотя математическая формулировка проста, решение может оказаться неприятным! Пищевые потребности могут быть удовлетворены независимо от вкуса или разнообразия, поэтому подумайте о выходе, прежде чем копаться в еде из «оптимального» меню!

История

Проблема диеты была одной из первых проблем оптимизации, изучавшихся в 1930-х и 1940-х годах. Проблема была вызвана желанием армии минимизировать затраты на кормление солдат в полевых условиях, при этом обеспечивая здоровую диету. Одним из первых исследователей, изучавших проблему, был Джордж Стиглер, который сделал обоснованное предположение об оптимальном решении, используя эвристический метод. Его оценка стоимости оптимальной диеты составляла 39,93 доллара в год (в ценах 1939 года). Осенью 1947, Джек Ладерман из проекта математических таблиц Национального бюро стандартов использовал недавно разработанный симплекс-метод для решения модели Стиглера. В качестве первого «крупномасштабного» вычисления в области оптимизации линейная программа состояла из девяти уравнений с 77 неизвестными. Девяти клеркам с помощью ручных настольных калькуляторов потребовалось 120 человеко-дней, чтобы найти оптимальное решение стоимостью 39,69 долларов. Предположение Стиглера было ошибочным всего на 0,24 доллара в год!

Постановка задачи

Учитывая набор продуктов, а также информацию о питательных веществах для каждого продукта и стоимости порции каждого продукта, цель задачи диеты состоит в том, чтобы выбрать количество порций каждого продукта для покупки (и потребления). ), чтобы свести к минимуму стоимость продуктов питания при соблюдении указанных требований к питанию. Как правило, пищевые потребности выражаются в виде минимального и максимально допустимого уровня для каждого пищевого компонента. Другие ограничения, такие как минимальное и/или максимальное количество порций, могут быть включены для улучшения качества меню.

Рассмотрим следующий простой пример (из The Diet Problem: A Interactive Case Study in Linear Programming на базе WWW). Предположим, есть три доступных продукта: кукуруза, молоко и хлеб, и есть ограничения по количеству калорий (от 2000 до 2250) и количеству витамина А (от 5000 до 50 000). В первой таблице для каждого продукта указана стоимость порции, количество витамина А на порцию и количество калорий на порцию.

Еда	Стоимость порции	Витамин А	Калории
Кукуруза	0,18 $	107	72
2% Молоко	0,23 $	500	121
Пшеничный хлеб	0,05 $	0	65

Предположим, что максимальное количество порций равно 10. Тогда оптимальное решение задачи равно 1,9.4 порции кукурузы, 10 порций молока и 10 порций хлеба общей стоимостью 3,15 доллара. Общее количество витамина А равно 5208, а общее количество калорий равно 2000.

Решение задач диеты

Цель задачи диеты состоит в том, чтобы выбрать набор продуктов, которые будут удовлетворять как минимум набору ежедневных потребностей в питании. расходы. Чтобы создать собственное оптимизированное меню, выберите продукты, которые вы хотели бы включить в свое меню, и укажите ограничения по питанию, которым вы хотели бы соответствовать. Вы можете быть удивлены содержанием оптимизированного меню!

Введите свой адрес электронной почты, если вы хотите получить журнал решения решателя:

Выбор блюд

Отметьте флажком каждое блюдо, которое вы хотели бы включить в свое меню. Обратите внимание, что у вас больше шансов получить решение, если вы выберете больше вариантов еды.
Отредактируйте значения «Мин. » и «Макс.», если вы хотите изменить значения по умолчанию для количества порций каждого продукта с Мин. = 0 и Макс. = 10.

Пищевые потребности

Снимите флажок рядом с любыми питательными веществами, которые вы не хотите учитывать.
Отредактируйте значения «Мин.» и «Макс.» для уровней питательных веществ, если вы хотите изменить их значения по умолчанию.

Математическая формулировка

Задача диеты может быть математически сформулирована как задача линейного программирования, как показано ниже.

Наборы
F = набор продуктов
N = набор питательных веществ

Параметры
$a_{ij}$ = количество питательных веществ $j$ в продуктах питания $i$, $ \forall i \in F$, $\forall j \in N$
$c_i$ = стоимость одной порции еды $i$, $\forall i \in F$
$Fmin_i$ = минимальное количество требуемых порций еды $i$, $ \forall i \in F$
$Fmax_i$ = максимально допустимое количество порций пищи $i$, $\forall i \in F$
$Nmin_j$ = минимально необходимый уровень питательных веществ $j$, $\forall j \in N$
$Nmax_j$ = максимально допустимый уровень питательных веществ $j$, $\forall j \in N$

Переменные
$x_i$ = количество порций еды $i$ для покупки/потребления, $\forall i \in F$

Целевая функция : Минимизация общей стоимости продуктов питания
Минимизация $\sum_{i \in F} c_i x_i$

Набор ограничений 1 : Для каждого питательного вещества $j \in N$, по крайней мере, соответствовать минимально необходимому уровню.
$\sum_{i \in F} a_{ij} x_i \geq Nmin_j, \forall j \in N$

Набор ограничений 2 :Для каждого питательного вещества $j \in N$, не превышать максимально допустимый уровень.
$\sum_{i \in F} a_{ij} x_i \leq Nmax_j, \forall j \in N$

Набор ограничений 3 :Для каждого продукта $i \in F$ выберите минимально необходимое количество порций.
$x_i \geq Fmin_i, \forall i \in F$

Набор ограничений 4 :Для каждого продукта $i \in F$ не превышайте максимально допустимое количество порций.
$x_i \leq Fmax_i, \forall i \in F$

Чтобы решить эту задачу линейного программирования, мы можем использовать один из решателей NEOS Server в категории Linear Programming. Каждый LP-решатель имеет один или несколько входных форматов, которые он принимает. В качестве примера мы предоставляем модель AMPL для простого примера, описанного выше.

Реализация AMPL

############# файл модели #############
set F;
комплект Н;

параметр {F,N} >= 0;
параметр c{F} >= 0;
параметр Fmin{F} >= 0;
параметр Fmax{i в F} >= Fmin[i];
параметр Nmin{j в N} >= 0;
параметр Nmax{j в N} >= Nmax[j];

var x{i в F} >= Fmin[i], интерпретация решения

С каждой линейной программой связана другая задача линейного программирования, называемая двойственной. Одно из ключевых применений теории двойственности — отношения между первичной проблемой и двойной проблемой — это анализ чувствительности. С каждым ограничением в основной задаче связана двойная переменная, которая представляет в некотором смысле стоимость наличия ограничения в модели. В проблеме диеты есть два типа ограничений: ограничения на количество порций для каждого типа пищи и требования к допустимым уровням для каждого питательного вещества. Рассмотрим сначала ограничения на количество порций для каждого типа пищи. В таблице ниже показано количество порций в оптимальном решении и соответствующее значение двойной переменной.

Еда	# Порций	Двойное значение
Кукуруза	1,94	0
Молоко	10	-0,073
Хлеб	10	-0,113

Обе переменные для молока и хлеба находятся на своих верхних границах и имеют отрицательные значения двойной переменной, а переменная для кукурузы находится между нижней и верхней границами и имеет нулевое значение двойной переменной. Простая интерпретация этой информации заключается в том, что стоимость меню может быть снижена, если увеличить верхние границы количества порций молока и хлеба. Стоимость меню не изменится в ответ на увеличение верхней границы количества порций кукурузы. Изменение файла данных AMPL для изменения Fmax[молока] на 11 и Fmax[хлеб] на 11 и повторное решение дает решение со значением целевой функции 2,9 доллара США.9 и переменные значения x[кукуруза] = 0, x[молоко] = 10,6198 и x[хлеб] = 11.

Теперь рассмотрим два ограничения питательных веществ на витамин А и калории. Уровень витамина А (в исходном растворе) равен 5208, что находится между его минимально и максимально допустимыми уровнями, и, следовательно, соответствующие значения двойной переменной для обеих границ равны нулю. Однако количество калорий (в исходном растворе) составляет 2000, что является минимально необходимым. Соответствующее значение двойной переменной для нижней границы количества калорий равно 0,0025, что можно интерпретировать как величину, на которую будет уменьшаться целевая функция на единицу уменьшения границы. Таким образом, изменение файла данных AMPL для изменения Nmin[калорий] на 1999, и решение снова дает оптимальное решение со значением целевой функции 3,1475 доллара США и значениями переменных x[кукуруза] = 1,93, x[молоко] = 10 и x[хлеб] = 10. Значение целевой функции уменьшилось с 3,15 доллара США до 3,1475 доллара США. как и ожидалось. Дополнительный анализ чувствительности может быть выполнен для изучения влияния изменения коэффициентов затрат, а также значений параметра $a_{ij}$.

Для получения дополнительной информации о линейном программировании обратитесь к одному из множества доступных справочников, например, Введение в исследование операций, 8-е изд. Хиллера и Либермана или Введение в линейную оптимизацию Берцимаса и Цициклиса.

Благодарности

* Информация о питательных веществах была получена от USDA Ag Data Commons.
* Демонстрация и описание этого тематического исследования были первоначально созданы Центром оптимизации Северо-Западного университета.
* История проблемы диеты была взята из статьи Джорджа Данцига 1990 года в Interfaces : Г.Б. Данциг. Проблема диеты, Interfaces 20(4), 1990, 43-47.

Обзор использования линейного программирования для оптимизации рациона с точки зрения питательных, экономических и экологических аспектов

1. ФАО . Как накормить мир в 2050 году. Рим: ФАО; (2010). [Google Scholar]

2. Herforth A, Frongillo EA, Sassi F, McLean MS, Arabi M, Tirado C, et al. На пути к комплексному подходу к качеству питания, экологической устойчивости и экономической жизнеспособности: пробелы в исследованиях и измерениях. Энн Н.Ю. Академия наук. (2016) 1332:1–21. 10.1111/nyas.12552 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

3. Бриенд А., Дармон Н., Фергюсон Э., Эрхардт Дж.Г. Линейное программирование: математический инструмент для анализа и оптимизации рационов питания детей в период введения прикорма. J Pediatr Gastroenterol Nutr. (2003) 36:12–22. 10.1097/00005176-200301000-00006 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

4. Maillot M, Vieux F, Amiot MJ, Darmon N. Моделирование индивидуального рациона превращает рекомендации по питательным веществам в реалистичный и индивидуальный выбор продуктов питания. Am J Clin Nutr. (2010) 91:421–30. 10.3945/ajcn.2009.28426 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

5. Macdiarmid JI. Является ли здоровое питание экологически устойчивым питанием? Proc Nutr Soc. (2013) 72:13–20. 10.1017/S0029665112002893 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

6. Dantzig GB, Thapa MN. Линейное программирование 1: Введение. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag; (1997). [Google Scholar]

7. Смит В.Е. Модели линейного программирования для определения приемлемой диеты человека. Дж Фарм Экон. (1959) 41: 272–83. 10.2307/1235154 [CrossRef] [Академия Google]

8. Стиглер Г.Дж. Стоимость существования. Дж Фарм Экон. (1945) 7:303–14. 10.2307/1231810 [CrossRef] [Google Scholar]

9. Buttriss JL, Briend A, Darmon N, Ferguson EL, Maillot M, Lluch A. Моделирование диеты: как оно может помочь в разработке диетических рекомендаций и политики общественного здравоохранения. Нутр Булл. (2014) 39:115–25. 10.1111/nbu.12076 [CrossRef] [Google Scholar]

10. Dantzig GB. Проблема диеты. Интерфейсы. (1990) 20:43–7. 10.1287/inte.20.4.43 [CrossRef] [Google Scholar]

11. Briend A, Ferguson E, Darmon N. Анализ местных цен на продукты питания с помощью линейного программирования: новый подход к оценке экономической ценности обогащенных пищевых добавок. Еда Нутр Бык. (2001) 22:184–9. 10.1177/156482650102200210 [CrossRef] [Google Scholar]

12. Kramer GFH, Tyszler M, Veer Pvt, Blonk H. Снижение общего воздействия голландской диеты на окружающую среду: как найти здоровую и устойчивую диету с ограниченными изменениями. Нутр общественного здравоохранения. (2017) 20:1699–709. 10.1017/С1368980017000349[PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

13. Джалава М., Кумму М., Поркка М., Зиберт С., Варис О. Изменение диеты — способ сократить потребление воды? Envir Res Lett. (2014) 9:074016. 10.1088/1748-9326/9/7/074016 [CrossRef] [Google Scholar]

14. Nocedal J, Wright S. Численная оптимизация. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag; (1999). [Google Scholar]

15. Mertens E, van’t Veer P, Hiddink GJ, Steijns JMJM, Kuijsten A. Использование аспектов устойчивого питания для здоровья: обзор. Нутр общественного здравоохранения. (2017) 20:739–57. 10.1017/S1368980016002664 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

16. Arnoult MH, Jones PJ, Tranter RB, Tiffin R, Traill WB, Tzanopoulos J. Моделирование вероятного влияния рекомендаций по здоровому питанию на сельскохозяйственное производство и землепользование в Англия и Уэльс. Политика землепользования (2010) 27:1046–55. 10.1016/j.landusepol.2010.02.001 [CrossRef] [Google Scholar]

17. Macdiarmid JI, Kyle J, Horgan GW, Loe J, Fyfe C, Johnstone A, et al.. Рациональное питание для будущего: можем ли мы способствовать сокращению выбросов парниковых газов за счет здорового питания? Am J Clin Nutr. (2012) 96: 632–9. 10.3945/ajcn.112.038729 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

18. Thompson S, Gower R, Darmon N, Vieux F, Murphy-Bokern D, Maillot M. A Balance of Healthy and Sustainable Food Choices for France, Испании и Швеции. Лондон: Всемирный фонд дикой природы Великобритании; (2013). [Google Scholar]

19. Wilson N, Nghiem N, Ni Mhurchu C, Eyles H, Baker MG, Blakely T. Продукты и модели питания, которые являются здоровыми, недорогими и экологически устойчивыми: пример оптимизации моделирования для Новая Зеландия. ПЛОС ОДИН (2013) 8:27. 10.1371/журнал.pone.0059648 [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

20. van Dooren C, Tyszler M, Kramer G, Aiking H. Сочетание низкой цены, низкого воздействия на климат и высокой питательной ценности в одной корзине с помощью диеты оптимизация линейным программированием. Устойчивое развитие (2015) 7:12837. 10.3390/su70912837 [CrossRef] [Google Scholar]

21. Tyszler M, Kramer G, Blonk H. Простого здорового питания недостаточно: изучение влияния различных сценариев питания голландских женщин (31–50 лет) на окружающую среду линейным методом. программирование. Int J Оценка жизненного цикла. (2016) 21: 701–9. 10.1007/s11367-015-0981-9 [CrossRef] [Google Scholar]

22. Грин Р., Милнер Дж., Дангур А.Д., Хейнс А., Чалаби З., Маркандья А. и др. Потенциал сокращения выбросов парниковых газов в Великобритания через здоровое и реалистичное изменение диеты. Изменение климата (2015) 129: 253–65. 10.1007/s10584-015-1329-y [CrossRef] [Google Scholar]

23. Perignon M, Masset G, Ferrari G, Barre T, Vieux F, Maillot M и др. Насколько низкими могут быть выбросы парниковых газов с пищей сокращены без ухудшения адекватности питания, доступности и приемлемости рациона? Моделирующее исследование для выбора экологически безопасных продуктов питания. Нутр общественного здравоохранения. (2016) 6:1–13. 10.1017/S1368980016000653 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

24. Horgan GW, Perrin A, Whybrow S, Macdiarmid JI. Выполнение диетических рекомендаций и сокращение выбросов парниковых газов: моделирование диеты для минимизации изменений по сравнению с текущим потреблением. Int J Behav Nutr Phys Act. 2016. 13:46. 10.1186/s12966-016-0370-1 [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

25. Donati M, Menozzi D, Zighetti C, Rosi A, Zinetti A, Scazzina F. На пути к устойчивому питанию сочетание экономических, экологических и пищевых целей. Аппетит (2016) 106: 48–57. 10.1016/j.appet.2016.02.151 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

26. van Dooren C, Aiking H. Определение здоровой, экологически чистой и культурно приемлемой диеты в низинах. Int J Оценка жизненного цикла. (2016) 21: 688–700. 10.1007/s11367-015-1007-3 [CrossRef] [Google Scholar]

27. Soden PM, Fletcher LR. Модификация диет для удовлетворения потребностей в питании с использованием линейного программирования. Бр Дж Нутр. (1992) 68:565–72. 10.1079/BJN19920115 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

28. Fletcher LR, Soden PM, Zinober ASI. Методы линейного программирования для создания вкусных диет для человека. J Op Res Soc. (1994) 45:489–96. 10.1057/jors. 1994.76 [CrossRef] [Google Scholar]

29. Сотрудники Центра политики и продвижения питания. Лино М. План бережливого питания, 1999: пересмотр рыночных корзин. Family Econ Nutr Rev. (2001) 13: 50–63. [Google Scholar]

30. Wilde PE, Llobrera J. Использование плана экономного питания для оценки стоимости питательной диеты. J Минусы (2009) 43: 274–304. 10.1111/j.1745-6606.2009.01140.x [CrossRef] [Google Scholar]

31. Gao X, Wilde PE, Lichtenstein AH, Tucker KL. Пирамида пищевых продуктов Министерства сельского хозяйства США 2005 года связана с более адекватным потреблением питательных веществ в рамках энергетических ограничений, чем пирамида 19-го века.92 пирамиды. Дж Нутр. (2006) 136:1341–6. 10.1093/jn/136.5.1341 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

32. Maes L, Vereecken CA, Gedrich K, Rieken K, Sichert-Hellert W, De Bourdeaudhuij I, et al.. ТЭО использование подхода оптимизации диеты в веб-программе компьютерной адаптации для подростков. Инт Дж. Обес. (2008) 32:186. 10.1038/ijo.2008.186 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

33. Macdiarmid J, Kyle J, Horgan G, Loe J, Fyfe C, Johnstone A, et al.. Livewell: баланс здоровой и устойчивой пищи Выбор. Абердин: Всемирный фонд дикой природы, Институт питания и здоровья Роуэта; (2011). [Академия Google]

34. Darmon N, Ferguson E, Briend A. Линейное и нелинейное программирование для оптимизации плотности питательных веществ в рационе населения: пример, основанный на диетах детей дошкольного возраста в сельских районах Малави. Am J Clin Nutr. (2002) 75:245–53. 10.1093/ajcn/75.2.245 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

35. Сантика О., Фахмида У., Фергюсон Э.Л. Разработка рекомендаций по прикорму на основе пищевых продуктов для младенцев в возрасте от 9 до 11 месяцев, проживающих в пригородных районах Индонезии, с использованием линейного программирования. Дж Нутр. (2009 г.) 139:135–41. 10.3945/jn.108.092270 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

36. Frega R, Lanfranco JG, De Greve S, Bernardini S, Geniez P, Grede N и др. . Какой вклад вносит линейное программирование: всемирная продовольственная программа опыт работы с инструментом «стоимость диеты». Еда Нутр Бык. (2012) 33 (3 Приложение): S228–34. 10.1177/15648265120333S212 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

37. Всемирный фонд исследования рака/Американский институт исследования рака. Еда, питание, физическая активность и профилактика рака: глобальная перспектива. Вашингтон, округ Колумбия: AICR; (2007). [Академия Google]

38. Masset G, Monsivais P, Maillot M, Darmon N, Drewnowski A. Методы оптимизации диеты могут помочь преобразовать диетические рекомендации в план питания для профилактики рака. Дж Нутр. (2009) 139:1541–8. 10.3945/jn.109.104398 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

39. Metzgar M, Rideout TC, Fontes-Villalba M, Kuipers RS. Возможность палеолитической диеты для потребителей с низким доходом. Нутр Рез. (2011) 31:444–51. 10.1016/j.nutres.2011.05.008 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

40. Darmon N, Vieux F, Maillot M, Volatier J-L, Martin A. Профили питательных веществ позволяют различать продукты в соответствии с их вкладом в питательную адекватность. диеты: проверочное исследование с использованием линейного программирования и системы SAIN, LIM. Am J Clin Nutr. (2009 г.) 89:1227–36. 10.3945/ajcn.2008.26465 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

41. Clerfeuille E, Vieux F, Lluch A, Darmon N, Rolf-Pedersen N. Оценка конструктивной валидности пяти систем профилирования питательных веществ с использованием моделирования диеты с линейным программирование. Eur J Clin Nutr. (2013) 67:1003–5. 10.1038/ejcn.2013.95 [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

42. Martin A. «Советы по питанию (ANC)» для населения Франции. Репрод Нутр Дев. (2001) 41:119–28. 10.1051/rnd:2001100 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

43. Maillot M, Vieux F, Ferguson EF, Volatier JL, Amiot MJ, Darmon N. Чтобы соответствовать рекомендациям по питанию, большинству взрослых французов необходимо расширить свой привычный рацион. пищевой репертуар. Дж Нутр. (2009) 139:1721–7. 10.3945/jn.109.107318 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

44. Ferguson EL, Darmon N, Briend A, Premachandra IM. Диетические рекомендации, основанные на пищевых продуктах, могут быть разработаны и протестированы с использованием анализа линейного программирования. Дж Нутр. (2004) 134:951–7. 10.1093/jn/134.4.951 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

45. Фергюсон Э.Л., Дармон Н., Фахмида У., Фитриянти С., Харпер Т.Б., Премачандра И.М. Разработка рекомендаций по оптимальному прикорму на основе пищевых продуктов и выявление ключевых «проблемных питательных веществ» с помощью целевого программирования. Дж Нутр. (2006) 136:2399–404. 10.1093/jn/136.9.2399 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

46. Rambeloson ZJ, Darmon N, Ferguson EL. Линейное программирование может помочь найти практические решения для улучшения питательного качества продовольственной помощи. Нутр общественного здравоохранения. (2008) 11:395–404. 10.1017/S1368980007000511 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

47. Maillot M, Darmon N, Drewnowski A. Являются ли самые дешевые планы здорового питания приемлемыми с культурной и социальной точек зрения? Нутр общественного здравоохранения. (2010) 13:1178–85. 10.1017/S1368980009993028 [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

48. Ryan KN, Adams KP, Vosti SA, Ordiz MI, Cimo ED, Manary MJ. Комплексный инструмент линейного программирования для оптимизации составов готовых к употреблению лечебных пищевых продуктов: приложение для Эфиопии. Am J Clin Nutr. (2014) 100:1551–8. 10.3945/ajcn.114.090670 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

49. Dibari F, Diop el HI, Collins S, Seal A. Недорогие, готовые к употреблению терапевтические продукты могут быть разработаны с использованием местных продуктов. с помощью линейного программирования. Дж Нутр. (2012) 142:955–61. 10.3945/jn.111.1569483 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

50. Briend A, Darmon N. Определение ограничения питательных веществ с помощью линейного программирования: новый подход к прогнозированию недостаточного поступления продуктов прикорма. Педиатрия (2000) 106 (Приложение 4): 1288–9.. [PubMed] [Google Scholar]

51. Дармон Н., Фергюсон Э.Л., Бриенд А. Одно только ограничение стоимости оказывает неблагоприятное воздействие на выбор продуктов питания и плотность питательных веществ: анализ рациона человека с помощью линейного программирования. Дж Нутр. (2002) 132:3764–71. 10.1093/jn/132.12.3764 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

52. Darmon N, Ferguson E, Briend A. Стимулируют ли экономические ограничения выбор высококалорийной диеты? Аппетит (2003) 41: 315–22. 10.1016/S0195-6663(03)00113-2 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

53. Дармон Н., Фергюсон Э.Л., Бриенд А. Влияние ограничений по стоимости на выбор адекватных с точки зрения питания продуктов питания для французских женщин: анализ с помощью линейного программирования. J Nutr Educ Behav. (2006) 38:82–90. 10.1016/j.jneb.2005.11.028 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

54. Древновски А., Спектер С. Бедность и ожирение: роль плотности энергии и затрат энергии. Am J Clin Nutr. (2004) 79:6–16. 10.1093/ajcn/79.1.6 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

55. Maillot M, Darmon N, Vieux F, Drewnowski A. Низкая энергетическая плотность и высокое качество питания связаны с более высокими затратами на питание у взрослых французов. . Am J Clin Nutr. (2007) 86:690–6. 10.1093/ajcn/86.3.690 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

56. Maillot M, Ferguson EL, Drewnowski A, Darmon N. Профилирование питательных веществ может помочь определить продукты с хорошим питательным качеством по их цене: проверочное исследование с линейным программированием. Дж Нутр. (2008) 138:1107–13. 10.1093/jn/138.6.1107 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

57. Майо М., Древновски А. Нормы калорийности твердых жиров и добавленных сахаров в питательно адекватных диетах США оцениваются в 17–33% с помощью линейного программирования. модель. Дж Нутр. (2011) 141:333–40. 10.3945/jn.110.131920 [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

58. Raffensperger JF. Самая дешевая низкоуглеводная диета стоит дорого. Нутр Рез. (2008) 28:6–12. 10.1016/j.nutres.2007.10.002 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

59. Carlson A, Lino M, Fungwe T. The Low-Cost, Moderate-Cost, and Liberal Food Plans, 2007 (CNPP- 20). Вашингтон, округ Колумбия: Министерство сельского хозяйства США, Центр политики и продвижения питания; (2007). [Google Scholar]

60. Vieux F, Darmon N, Touazi D, Soler LG. Выбросы парниковых газов при самостоятельном выборе рациона питания во Франции: изменение структуры рациона или сокращение потребления? Экол Экон. (2012) 75:91–101. 10.1016/j.ecolecon.2012.01.003 [CrossRef] [Google Scholar]

61. Vieux F, Soler L-G, Touazi D, Darmon N. Высокое питательное качество не связано с низким уровнем выбросов парниковых газов в самостоятельно выбранных рационах французов. Взрослые. Am J Clin Nutr. (2013) 97:569–83. 10.3945/ajcn.112.035105 [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

62. Kramer G, Van Dooren C. Модели питания и рекомендации по питанию в Испании, Франции и Швеции. Лондон: Всемирный фонд дикой природы; (2012). [Академия Google]

63. Нельсон М.Е., Хэмм М.В., Ху Ф.Б., Абрамс С.А., Гриффин Т.С. Согласование здорового питания и экологической устойчивости: систематический обзор. Ад Нутр. (2016) 7:1005–25. 10.3945/an.116.012567 [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

64. Auestad N, Fulgoni VL. Что современная литература говорит нам об устойчивых диетах: новые исследования, связывающие модели питания, экологическую устойчивость и экономику. Ад Нутр. (2015) 6:19–36. 10.3945/an.114.005694 [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

65. Карлсон А., Лино М., Герриор С.А., Базиотис П.П. Недорогие, умеренные и либеральные продовольственные планы: административный отчет за 2003 г. Контракт №: ЧАЭС-13. Центр политики и продвижения питания, Министерство сельского хозяйства США: (2003 г.). [Google Scholar]

66. Vieux F, Darmon N, Touazi D, LG S. Потребление продуктов питания и выбросы парниковых газов: изменение моделей потребления продуктов питания или потребление меньше? FENS: Мадрид; (2011).