Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям
Израиль Хаимович Сивашинский
М: Наука (главная редакция физ-мат литературы), 1971. 368 с.
| |||||||||||
Книга представляет собой сборник задач повышенной трудности по алгебре и элементарным функциям, снабженных решениями. Это пособие предназначено в первую очередь для самообразования. Книга может быть полезной преподавателям и учащимся математических школ, руководителям математических кружков, студентам вузов, а также при подготовке к конкурсным экзаменам в вузы, в которых предъявляются повышенные требования по математике.
Книга состоит главным образом из задач, предлагавшихся в вечерней математической школе при МГУ, учащимся физико-математической школы ? 2 г.
В книгу включены некоторые задачи математических олимпиад всех уровней ? от внутришкольных до международных.
В сборнике приведены также наиболее интересные задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в те вузы, которые предъявляют повышенные требования по математике.
Пособие охватывает все разделы курса ?Алгебра и элементарные функции?.
Параграфы 2 (Делимость. Сравнения) и 12 (Комплексные числа) снабжены краткими теоретическими сведениями. Последнее вызвано тем, что ?Сравнения? излагаются в школах лишь на факультативных или внеклассных занятиях, а ?Тригонометрическая форма комплексного числа? (по мнению автора) изложена в стабильных учебниках неудачно.
В книге приведены решения всех задач.
В отдельных случаях, когда задача допускает существенно различные подходы к решению, приведены два решения, а несколько задач решены тремя способами.
Содержание
Предисловие
? 1. Целые числа
? 2. Делимость. Сравнения
? 3. Решение уравнений в целых числах
? 4. Преобразования рациональных выражений
? 5. Преобразования выражений, связанных с иррациональностями
? 6. Преобразования выражений, связанных с логарифмической функцией
? 7. Преобразования выражений, связанных с тригонометрическими функциями
? 8. Последовательности. Суммы
? 10. Доказательство неравенств
? 11. Решение неравенств
? 12. Комплексные числа
? 13. Исследование функции и построение графиков
? 14. Пределы
? 15. Разные задачи
| |||||||||||
8)Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/544
ЭБ СПбПУ — Сборник задач по линейной алгебре. Банк вариантов. Ч. 1
|
Разрешенные действия: – Действие ‘Прочитать’ будет доступно, если вы выполните вход в систему или будете работать с сайтом на компьютере в другой сети Действие ‘Загрузить’ будет доступно, если вы выполните вход в систему или будете работать с сайтом на компьютере в другой сети Группа: Анонимные пользователи Сеть: Интернет |
64(076)
Аннотация
Данное пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания линейной алгебры в Санкт-Петербургском техническом университете студентам инженерно-физических и инженерно -экономических специальностей и охватывает важнейшие разделы курса.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского технического университета.
Права на использование объекта хранения
| Место доступа | Группа пользователей | Действие | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Локальная сеть ИБК СПбПУ | Все | |||||
| Внешние организации №2 | Все | |||||
| Внешние организации №1 | Все | |||||
| Интернет | Авторизованные пользователи СПбПУ | |||||
| Интернет | Авторизованные пользователи (не СПбПУ) | |||||
| Интернет | Анонимные пользователи |
Оглавление
- Оглавление
- Предисловие для отудентов
- Предисловие для преподавателей
- Список основных обозначений
- Задача 1,
- Задача 2.
- Задача 3.
- Задача 4.
- Задача 5.
- Задача 6.
- Задача 7.
- Задача 8.
- Задача 9.
- Литература
Статистика использования
Алгебра (практические задачи)
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Вот набор практических задач для заметок по алгебре. Нажмите на « Решение » ссылка для каждой задачи для перехода на страницу, содержащую решение.
Обратите внимание, что в некоторых разделах будет больше задач, чем в других, а в некоторых будет большее или меньшее разнообразие задач. Большинство разделов должны иметь диапазон сложности уровни в задачах, хотя это будет варьироваться от раздела к разделу
Вот список разделов, для которых были написаны практические задачи, а также краткое описание материала, охваченного в примечаниях к этому конкретному разделу
Предварительные занятия. В этой главе мы сделаем краткий обзор некоторых тем, абсолютно необходимых для успешного изучения алгебры. Мы рассматриваем показатели степени (целые и рациональные), радикалы, полиномы, факторинговые полиномы, рациональные выражения и комплексные числа.
Целочисленные экспоненты. В этом разделе мы начнем рассматривать экспоненты.
Мы дадим основные свойства экспонент и проиллюстрируем некоторые распространенные ошибки, которые студенты допускают при работе с экспонентами. Примеры в этом разделе мы будем ограничивать целыми показателями. Рациональные показатели будут обсуждаться в следующем разделе.
Рациональные показатели. В этом разделе мы определим, что мы подразумеваем под рациональными показателями, и распространим свойства из предыдущего раздела на рациональные показатели. Мы также обсудим, как оценивать числа, возведенные в рациональный показатель.
Радикалы. В этом разделе мы определим обозначение радикалов и свяжем радикалы с рациональными показателями. Мы также дадим свойства радикалов и некоторые распространенные ошибки, которые студенты часто делают с радикалами. Мы также определим упрощенную радикальную форму и покажем, как рационализировать знаменатель.
Полиномы. В этом разделе мы познакомим вас с основами полиномов — темой, которая будет появляться на протяжении всего курса. Мы определим степень многочлена и обсудим, как складывать, вычитать и умножать многочлены.
Факторные полиномы. В этом разделе мы рассмотрим факторинговые полиномы — тему, которая будет появляться почти в каждой главе этого курса, поэтому крайне важно, чтобы вы ее поняли. Мы обсудим разложение наибольшего общего множителя, разложение по группам, разложение на множители квадратичных чисел и разложение на множители многочленов со степенью больше 2.
Рациональные выражения. В этом разделе мы определим рациональные выражения. Мы обсудим, как сократить рациональное выражение до минимума и как складывать, вычитать, умножать и делить рациональные выражения.
Комплексные числа. В этом разделе мы даем очень краткий обзор комплексных чисел, включая стандартную форму, их сложение, вычитание, умножение и деление.
Решение уравнений и неравенств. В этой главе мы рассмотрим одну из самых важных тем класса. Способность решать уравнения и неравенства жизненно важна для выживания в этом классе и на многих последующих математических занятиях, которые вы можете посещать.
Мы обсудим решение линейных и квадратных уравнений, а также приложения. Кроме того, мы обсудим решение полиномиальных и рациональных неравенств, а также уравнений и неравенств с модулями.
Решения и наборы решений. В этом разделе мы вводим некоторые основные обозначения и идеи, связанные с решением уравнений и неравенств. Мы определяем решения для уравнений и неравенств и наборы решений.
Линейные уравнения. В этом разделе мы даем процесс решения линейных уравнений, включая уравнения с рациональными выражениями, и проиллюстрируем этот процесс несколькими примерами. Кроме того, мы обсуждаем тонкость, связанную с решением уравнений, которую студенты часто упускают из виду.
Приложения линейных уравнений. В этом разделе мы обсуждаем процесс решения приложений в целом, хотя здесь мы сосредоточимся только на линейных уравнениях. Мы будем работать с приложениями по ценообразованию, проблемам расстояния / скорости, проблемам скорости работы и проблемам смешивания.
Уравнения с более чем одной переменной.
В этом разделе мы рассмотрим решение уравнений с более чем одной переменной. В этих уравнениях будет несколько переменных, и нас попросят решить уравнение для одной из переменных. Это то, что нас будут просить делать на довольно регулярной основе.
Квадратные уравнения, часть I. В этом разделе мы начнем с решения квадратных уравнений. В частности, в этом разделе мы рассмотрим факторинг и свойство квадратного корня.
Квадратные уравнения, часть II. В этом разделе мы продолжим решать квадратные уравнения. Мы будем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений в этом разделе и использовать его для вывода квадратной формулы. Квадратная формула — это быстрый способ, который позволит нам быстро решить любое квадратное уравнение.
Квадратные уравнения: Резюме. В этом разделе мы обобщим темы из двух последних разделов. Мы дадим процедуру определения того, какой метод использовать при решении квадратных уравнений, и определим дискриминант, который позволит нам быстро определить, какие решения мы получим при решении квадратного уравнения.
Приложения квадратных уравнений. В этом разделе мы вернемся к некоторым приложениям, которые мы видели в разделе линейных приложений, только на этот раз они будут включать решение квадратного уравнения. Включены примеры задач расстояния/скорости и задач скорости работы.
Уравнения, приводимые к квадратичной форме. Не все уравнения представляют собой то, что мы обычно называем квадратными уравнениями. Однако некоторые уравнения при соответствующей подстановке можно превратить в квадратное уравнение. Уравнения такого типа называются квадратичными по форме. В этом разделе мы будем решать этот тип уравнения.
Уравнения с радикалами. В этом разделе мы обсудим, как решать уравнения с квадратными корнями. Как мы увидим, нам нужно быть очень осторожными с потенциальными решениями, которые мы получаем, поскольку процесс, используемый при решении этих уравнений, может привести к значениям, которые на самом деле не являются решениями уравнения.
Линейные неравенства. В этом разделе мы начнем решать неравенства.
В этом разделе мы сосредоточимся на решении линейных неравенств (как одинарных, так и двойных). Мы также введем обозначение интервала.
Полиномиальные неравенства. В этом разделе мы продолжим решать неравенства. Однако в этом разделе мы отходим от линейных неравенств и переходим к решению неравенств, включающих многочлены степени не ниже 2.
Рациональные неравенства – Мы продолжаем решать неравенства в этом разделе. Теперь мы будем решать неравенства, включающие рациональные выражения, хотя, как мы увидим, процесс здесь в значительной степени идентичен процессу, используемому при решении неравенств с многочленами.
Уравнения абсолютного значения. В этом разделе мы дадим геометрическое, а также математическое определение абсолютного значения. Затем мы перейдем к решению уравнений, которые включают абсолютное значение. Мы также будем работать с примером, в котором используются два абсолютных значения.
Неравенства с абсолютными значениями. В этом последнем разделе главы «Решение» мы будем решать неравенства, включающие абсолютное значение.
Как мы увидим, процесс решения неравенства с \(<\) (т.е. меньше) сильно отличается от решения неравенства с \(>\) (т.е. больше).
Графики и функции. В этой главе мы рассмотрим две очень важные темы в классе алгебры. Во-первых, мы начнем обсуждение графических уравнений, введя декартову (или прямоугольную) систему координат и проиллюстрировав использование системы координат для построения линий и окружностей. Мы также формально определим функцию и обсудим графовые функции и комбинированные функции. Мы также обсудим обратные функции.
Графики. В этом разделе мы познакомимся с декартовой (или прямоугольной) системой координат. Мы определим/введем упорядоченные пары, координаты, квадранты и точки пересечения x и y. Мы проиллюстрируем эти концепции парой быстрых примеров 9.0021 Линии. В этом разделе мы обсудим графические линии. Мы введем понятие наклона и обсудим, как его найти по двум точкам на прямой. Кроме того, мы введем стандартную форму линии, а также форму точки-наклона и форму линии с пересечением наклона.
Мы закончим раздел обсуждением параллельных и перпендикулярных прямых.
Круги — в этом разделе мы обсуждаем графические круги. Мы вводим стандартную форму окружности и показываем, как с помощью дополнения квадрата привести уравнение окружности к стандартной форме.
Определение функции. В этом разделе мы формально определим отношения и функции. Мы также даем «рабочее определение» функции, чтобы помочь понять, что такое функция. Мы вводим обозначения функций и работаем с несколькими примерами, иллюстрирующими, как это работает. Мы также определяем домен и диапазон функции. Кроме того, в этом разделе мы вводим кусочные функции.
Функции построения графиков. В этом разделе мы обсудим функции построения графиков, включая несколько примеров построения графиков кусочных функций.
Объединение функций. В этом разделе мы обсудим, как складывать, вычитать, умножать и делить функции. Кроме того, вводится понятие композиции функций.
Обратные функции. В этом разделе мы определяем взаимно однозначные и обратные функции.
Мы также обсудим процесс, который мы можем использовать для нахождения обратной функции и проверки того, что функция, которую мы получаем в результате этого процесса, на самом деле является обратной функцией.
Общие графики. В этой главе мы рассмотрим построение графиков некоторых из наиболее распространенных функций, которые вам могут понадобиться. В этой главе мы рисуем параболы, эллипсы, гиперболы и рациональные функции. Мы также рассмотрим преобразования функций и введем понятие симметрии.
9{2}+к\).
Эллипсы — в этом разделе мы будем рисовать эллипсы. Мы представляем стандартную форму эллипса и способы ее использования для быстрого построения графика эллипса.
Гиперболы. В этом разделе мы будем рисовать гиперболы. Мы представляем стандартную форму гиперболы и то, как ее использовать для быстрого построения графика гиперболы.
Прочие функции. В этом разделе мы нарисуем несколько общих функций, которые на самом деле не требуют много работы, но потребуются в следующих разделах.
Мы рассмотрим постоянную функцию, квадратный корень, абсолютное значение и простую кубическую функцию.
Преобразования. В этом разделе мы рассмотрим вертикальные и горизонтальные сдвиги графиков, а также отражения графиков относительно осей \(x\) и \(y\). В совокупности их часто называют преобразованиями, и если мы их понимаем, их часто можно использовать, чтобы позволить нам быстро построить график некоторых довольно сложных функций.
Симметрия. В этом разделе мы вводим понятие симметрии. Мы обсуждаем симметрию относительно оси x, оси y и начала координат, а также даем методы определения того, какой симметрией будет обладать график, если она вообще есть, без необходимости построения графика функции.
Рациональные функции. В этом разделе мы обсудим процесс построения графиков рациональных функций. Мы также познакомимся с понятиями вертикальных и горизонтальных асимптот, а также с тем, как определить, будут ли они иметься на графике рациональной функции.
Полиномиальные функции.
В этой главе мы более подробно рассмотрим полиномиальные функции. Мы обсудим деление многочленов, нахождение нулей многочленов и построение графика многочленов. Мы также рассмотрим частичные дроби (хотя на самом деле это не касается полиномиальных функций).
Деление многочленов. В этом разделе мы рассмотрим некоторые основы деления многочленов. Мы определим остаток и делитель, используемые в процессе деления, и введем понятие синтетического деления. Мы также дадим алгоритм деления.
Нули/корни многочленов. В этом разделе мы определим нуль или корень многочлена, а также то, является ли он простым корнем или имеет кратность \(k\). Мы также приведем Фундаментальную теорему алгебры и Факторную теорему, а также пару других полезных фактов.
Графики полиномов. В этом разделе мы опишем процесс, который позволит нам получить грубый набросок графика некоторых полиномов. Мы обсудим, как определить поведение графа на \(x\)-перехватах, и тест старшего коэффициента для определения поведения графа, когда мы допускаем неограниченное возрастание и убывание x.
Нахождение нулей многочленов. Как мы видели в предыдущем разделе, чтобы набросать график многочлена, нам нужно знать, что это за нули. Однако, если мы не можем разложить полином на множители, мы не сможем выполнить этот процесс. Итак, в этом разделе мы рассмотрим процесс с использованием теоремы о рациональном корне, который позволит нам найти некоторые нули многочлена, а в особых случаях — все нули.
Частные дроби. В этом разделе мы рассмотрим процесс построения частичных дробей и нахождение разложения рационального выражения на частичные дроби. Здесь мы спросим, какие «меньшие» рациональные выражения мы добавили и/или вычли, чтобы получить данное рациональное выражение. Это процесс, который часто используется на некоторых более поздних уроках математики. Например, это может проявляться в исчислении и дифференциальных уравнениях.
Экспоненциальные и логарифмические функции. В этой главе мы представим две очень важные функции во многих областях: экспоненциальные и логарифмические функции.
Мы рассмотрим их основные свойства, приложения и решение уравнений, включающих две функции. Если вы работаете в сфере, связанной с наукой или инженерным делом, вы столкнетесь с обеими этими функциями.
9{Икс}\).
Функции логарифмирования. В этом разделе мы познакомимся с функциями логарифмирования. Приводятся основные свойства и графики логарифмических функций. Кроме того, мы обсудим, как вычислять некоторые основные логарифмы, включая использование формулы замены основания. Мы также обсудим десятичный логарифм \(\log(x)\) и натуральный логарифм \(\ln(x)\).
Решение экспоненциальных уравнений. В этом разделе мы обсудим несколько методов решения уравнений, содержащих экспоненты.
Решение уравнений с логарифмами. В этом разделе мы обсудим несколько методов решения уравнений, содержащих логарифмы. Кроме того, как мы увидим, с одним из методов нам нужно быть осторожными с результатами метода, поскольку всегда возможно, что метод дает значения, которые на самом деле не являются решениями уравнения.
Приложения
. В этом разделе мы рассмотрим несколько приложений экспоненциальных функций и приложение логарифмов. Мы смотрим на сложные проценты, экспоненциальный рост и распад и интенсивность землетрясений.
Системы уравнений. В этой главе мы рассмотрим решение систем уравнений. Мы будем решать как линейные, так и нелинейные системы уравнений. Мы также кратко рассмотрим использование расширенных матриц для решения линейных систем уравнений.
Линейные системы с двумя переменными. В этом разделе мы будем решать системы с двумя уравнениями и двумя переменными. Мы будем использовать метод подстановки и метод исключения для решения систем в этом разделе. Введем также понятия несовместных систем уравнений и зависимых систем уравнений.
Линейные системы с тремя переменными. В этом разделе мы рассмотрим несколько быстрых примеров, иллюстрирующих, как использовать метод подстановки и метод исключения, представленные в предыдущем разделе, применительно к системам из трех уравнений.
Расширенные матрицы. В этом разделе мы рассмотрим еще один метод решения систем. Введем понятие расширенной матрицы. Это позволит использовать метод исключения Гаусса-Жордана для решения систем уравнений. Мы будем использовать метод с системами двух уравнений и системами трех уравнений.
Подробнее о расширенной матрице. В этом разделе мы вернемся к случаям несогласованных и зависимых решений систем и к тому, как их идентифицировать с помощью метода расширенной матрицы.
Нелинейные системы. В этом разделе мы кратко рассмотрим решение нелинейных систем уравнений. Нелинейная система уравнений – это система, в которой хотя бы одно из уравнений не является линейным, т.е. имеет степень два и более. Также обратите внимание, что обсуждение здесь не охватывает все возможные методы решения нелинейных систем. Решение нелинейных систем часто является гораздо более сложным процессом, чем решение линейных систем.
Серия задач по алгебре
Надежные стратегии решения проблем, инструкции и практические рекомендации
Классы: 7-12+
Математика
Классы: 7-12+
Математика
- Лауреат премии
Эти высокоэффективные пошаговые книги обучают учащихся общим и конкретным стратегиям решения задач по алгебре.
Каждый урок включает в себя множество практических задач, и для каждой задачи есть четкое и подробное решение. Этот пошаговый подход (см. содержание ниже) помог тысячам студентов справиться со словесными задачами по алгебре.
Книга 1 Содержание
• Как решить задачи слов алгебры
— Многие глаголы можно заменить на «=»
— Подумайте о том, что ваши уравнения говорят
— Возьмите проблему по шагам
— Проверьте свои решения
— Подумайте о природе вещей, о которых говорит проблема
— Используйте свой здравый смысл
— Если ничего не помогает, попробуйте метод «дикой догадки»
• Проблемы с разминкой
— 9 лет0021 — Монеты
— Измерения
— Числа
— Скорость работы
— Смеси
— Процент
— Разное
• Проблемы
— Возраст
— Монеты
— Смеси
— Форма
— прямоугольные Тарифы на работу
— Разное
• Рекомендации по обучению
• Подробные решения
Книга 2 Содержание
• Разное 1 (Уравнения с 2 переменными)
• Разное 2 (Уравнения с 3 переменными)
• Диофантовы задачи
• 9 0 Решение 3 Подробное время
Описание и характеристики
Развивает прочную основу алгебраического мышления!
Перейти в конец галереи изображений
Перейти к началу галереи изображений
Все продукты этой серии
| ЭЛЕКТРОННАЯ КНИГА(И) Важная информация об электронной книге | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 06424BEP | Словесные задачи по алгебре. | ||||||||