Задачи 5 класс десятичные дроби: Задачи на десятичные дроби. Математика 5 класс

Десятичные дроби. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

• Предметы
• Математика
• 5 класс

1. Понятие десятичной дроби. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и наоборот

2. Десятичные дроби.

   Сравнение

3. Десятичные дроби. Сложение и вычитание

4. Десятичные дроби. Умножение

5. Степень с натуральным показателем

6. Десятичные дроби.

   Среднее арифметическое, деление на натуральное число

7. Десятичные дроби. Деление на десятичную дробь

8. Проценты. Задачи на проценты: нахождение процента от величины и величины по её проценту

Отправить отзыв

Десятичные дроби — 5 класс, урок и презентация по математике

Дата публикации: 08 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:Решение уравнений на сложение и вычитание. Примеры (PDF)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 5 класса
Электронное учебное пособие для 5 класса «Математика за 10 минут»
Тренажер к учебнику Истоминой Н.Б.

---

Понятие и представление десятичных дробей

Среди дробей можно выделить особый вид – десятичные дроби. Записываются они очень просто: 3,14;   0,00473;   124,057 и т.д.

Единственная особенность этих дробей – знаменатель, который равен 10, 100, 1000 и т.д.

Запись десятичных дробей

В десятичных дробях вначале пишется целая часть, а после запятой пишется числитель дробной части.

Давайте рассмотрим пример.
Есть обыкновенная дробь: ³⁴⁄₁₀.
Смотрим на знаменатель (в нашем примере – это 10) и считаем количество нолей. В нашем примера – это один ноль. В числителе справа налево отсчитываем один знак и ставим запятую.
В результате из обыкновенной дроби

34⁄₁₀ мы получили десятичную дробь 3,4.

Если количество нолей больше, чем цифр в числителе, то мы добавляем ноли после запятой.

Рассмотрим пример.
Представьте дробь⁶⁹⁄_{1000 000} в виде десятичной дроби.
В этом примере в знаменателе – 6 нолей, а в числителе – только 2 знака. Поэтому мы должны добавить ещё 4 нуля после запятой.
В итоге, получаем: ⁶⁹⁄_{1000 000} = 0,000069.

Чтение десятичных дробей

При произношении сначала читается целая часть числа, затем добавляется слово «целых», затем читается числитель и в конце добавляется слово «десятых», «сотых», «тысячных» и т.д., в зависимости от разрядности числителя.

Например:
3, 46 – три целых сорок шесть сотых;
13,7 – тринадцать целых семь десятых;
184,0489 – сто восемьдесят четыре целых четыреста восемьдесят девять десятитысячных.

Если число начинается с ноля, т.е. оно меньше единицы, то вместо целой части числа произносится «ноль целых…» и далее, как расписано выше.

0,056 – ноль целых пятьдесят шесть тысячных.

Важно (обратите внимание на следующий факт)!
При сдвиге десятичной запятой вправо на одну позицию, мы увеличиваем число в 10 раз, а при сдвиге десятичной запятой влево на одну позицию, мы уменьшаем число в 10 раз.

Примеры.
Было 5,58 (сдвинули запятую на один разряд вправо) и получили 55,8; т.е. увеличили число в 10 раз.
Было 138,04 (сдвинули запятую на один разряд влево) и получили 13,804; т.е. уменьшили число в 10 раз.

Возникновение и история десятичных дробей

Десятичной системой мер пользовались уже в Древнем Китае, обозначая дробные части числа словами. Причем, каждое последующее слово обозначало более мелкое или маленькое.

Более обобщенное представление о десятичных дробях ввел среднеазиатский ученый Джемшид Гиясэддин ал-Каши. В 1427 году он опубликовал книгу «Ключ арифметики». В этой книге он впервые пишет десятичные дроби в одну строку, правда отделяет дробную и целую часть друг от друга не запятой, а пишет их разными цветами.

Фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) опубликовал небольшую работу под названием «Десятая», где он объяснял запись и правила работы с десятичными дробями. Именно его считаю изобретателем десятичных дробей.

Запятая в качестве разделителя впервые появилась в работах шотландского математика Джона Непера (1617), где он предложил отделять целую часть от дробной либо точкой, либо запятой.

Десятичные игры для пятиклассников онлайн

Десятичное определение:

Десятичное число — это точка, используемая для отделения целой части числа от дробной части числа. Десятичный часто читается как «точка». Чтобы понять десятичное определение, становится обязательным узнать о целом и дробной части. Познакомьте ребенка с понятиями десятичных дробей, используя приведенные ниже десятичные игры. Эти обучающие игры представляют собой забавные игры, которые заставляют ребенка изучать математические понятия с помощью повседневной математики.

 

Игра «Дроби пиццы»:

• Печать рабочих листов с изображением пиццы и несколькими сетками из 10 квадратов.
• Скажите детям, что это One Pizza, которая является одной целой пиццей
• Попросите ученика с помощью Наброска раздать пиццу двум своим друзьям.
• Познакомить с понятием половины целого.

 

Половина = 1 целая пицца, разделенная на 2 равные части

= 1 ÷ 2, также записывается как

 Это дробное число, потому что оно не представляет собой целое, а представляет собой только фрагмент или часть целого. Таким образом, целое завершено, а дробь является частью этого полного существа.

 

• Попросите ребенка заштриховать один квадрат в сетке на рабочем листе.
• Спросите у малыша, сколько заштриховано и сколько всего.
• Объясните, что сетка рассматривается как единое целое и делится на 10 равных частей. Заштрихованная область составляет 1 часть из целых 10 частей. Итак, это представлено как  и называется одной десятой. И наоборот, 10 частей этих десятых составят целое.

 

Оба вышеупомянутых занятия заставят ребенка понять десятичные дроби с двух точек зрения. Упражнение «Пицца» объясняет концепцию целого как 1, а упражнение «Сетка» объясняет концепцию того, что целое также может быть 10. Когда ребенок поймет разницу между частью и целым, введите десятичные дроби как форму представления для записи дробных частей целого.

Что такое десятичная дробь:

Целая пицца и кусок одной десятой пиццы записываются как 1.1 пиццы. Эта форма записи целой и дробной частей, разделенных точкой между ними, является десятичной формой. Когда есть только одна целая пицца и нет дробной части вместе с ней, это выражается как пицца 1.0. Здесь 1 слева от точки представляет всю пиццу, а 0 справа от точки означает отсутствие лишних кусочков пиццы.

 

Десятичная дробь — это форма написания целой и дробной частей вместе с точкой или точкой между ними. Точка ставится только внизу. Точка, помещенная в центр, становится обозначением для умножения 1 и 2. Важно подчеркнуть размещение точки в десятичных числах. Эта деятельность помогает ребенку понять понятие десятичной дроби. Попросите учащегося понять, как эти числа представлены в числовой строке, и перейдите к следующему рабочему листу «Десятичная числовая строка».

Рабочий лист с десятичными числами:

 

• Распечатайте рабочий лист с числовыми строками, как указано выше.
• В первой числовой строке видно, что строка разделена на 10 равных частей.
• Во второй числовой строке видно, что 1 Целое из предыдущей числовой строки далее подразделяется на 10 равных частей. Он показан в развернутом виде. Так как 10 частей делятся на 1 целое, то каждая часть называется одной десятой и записывается в десятичной форме как 0,1 9.0014
• В третьей числовой строке видно, что одна десятая делится на 10 равных частей. Это означает, что исходная 1 часть делится на сто равных частей, которые становятся одной сотой, записанной в десятичной форме как 0,01
.
• В четвертой числовой строке видно, что сотая делится на 10 равных частей. Это означает, что исходная 1 часть делится на тысячу равных частей, которые становятся одной тысячной, записанной в десятичной форме как 0,001
.

 

На этом листе мы замечаем, что, разделяя каждую часть на гораздо большее количество разграничений, мы определяем точное и уточненное положение на числовой прямой. Таким образом, десятичные дроби помогают уточнить целые числа, обеспечивая максимальную точность с помощью дробной части, представленной справа от точки.

Пример. Брюки длиной 21 дюйм слишком узки для Джеймса, а брюки длиной 22 дюйма слишком свободны. В чем может быть проблема? У Джеймса длина талии где-то между 21 и 22 дюймами. Десятичные числа приходят на помощь, чтобы найти идеальные брюки, которые подходят Джеймсу. Расстояние между 21 и 22 дюймами равно одному дюйму.

После измерения видно, что длина талии Джеймса составляет 21,346. Что означают цифры 346 справа от запятой? Это дробная часть десятичной точки, но имеет ли значение порядок 3,4 и 6 после запятой? Что означает число 21 в целых числах? Попросите ребенка запомнить понятие разряда десятков и единиц.

Точно так же в десятичных дробях разряда стоят десятые, сотые, тысячные и так далее. В предыдущей деятельности числового ряда наблюдается, как подразделяются десятые, а затем идут сотые, а затем для дальнейшего различения отмечаются тысячные.

 

Таблица разрядных значений:

Приведите приведенные ниже рабочие листы десятичных разрядов с пустыми строками разрядных значений с десятичным числом для десятичной системы от разряда тысяч до разряда тысячных.

Введите десятичные числа для заполнения пустых строк. Объясните значения разрядов десятичных дробей и значение разрядов, используя рабочий лист числовой строки. Расширенная форма десятичного числа 6341,749 выглядит следующим образом:

6345,749 = 6 × 1000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1 + 7 ×  + 4 ×  + 9×

 

Разрядное значение десятичных дробей имеет основание десять. Как замечено в числовой строке, основание десять означает, что целое делится на равные части 10 или кратные 10.

Пример: Как выразить  в десятичных дробях.

 = 0,273

Как можно выразить в десятичной форме дробную часть знаменателя, отличную от десяти или кратную 10? Как стало известно,  выражается как 0,1, как  представляется в десятичной форме? Это можно сделать только делением. Когда 13 делится на 2, частное равно 6, а остаток равен 1. Таким образом, число становится 6. Это ключ к десятичным дробям, поскольку 6 – это целое число, а  – дробная часть.

Десятичные числа упрощают математические операции между двумя дробными частями. Например: сложение 2 и 3 – это то же самое, что сложение 2,1 и 3,06, что равно 5,16, путем сложения цифр с теми же разрядами, что и обычное сложение.

 

Что такое 3 в виде десятичной дроби? Поскольку 3 является целым числом и не имеет дробной части, его можно просто выразить как 3,0, 3,00 или 3,000. Можно поставить сколько угодно нулей в крайнем правом углу после запятой. Эта логика является основой для десятичного преобразования.

Преобразование 13/2 в десятичной системе:

9000 4. 13.00005

8/10 как десятичное число с использованием деления в качестве десятичного преобразователя.

 

 

 

Другие проблемы преобразования:

Что такое 1/5 в виде десятичной дроби?

1/5 = 2/10 (умножив 2 на числитель и знаменатель, чтобы получить знаменатель 10) = 0,2

Что такое 2/5 в виде десятичной дроби?

2/5 = 4/10 = 0,4

Что такое 3/5 в виде десятичной дроби?

3/5 = 6/10 = 0,6

Точно так же десятичное число 4/5 можно решить, умножив числитель и знаменатель на 2, чтобы получить знаменатель 10. Следовательно, 4/5 = 8/10 = 0,8

Что такое 3/10 в виде десятичной дроби?

3/10 = 0,3

Аналогично, чему равно 3/5 в виде десятичной дроби? Это 6/10 = 0,6

5 в виде десятичной дроби может быть записано как 5. 0

Выразить одну треть в виде десятичной дроби

1/3 — неконечная десятичная дробь. Это 0,333 с 3 повторениями. Такие десятичные числа с повторяющимся рисунком цифр называются повторяющимися десятичными знаками или повторяющимися десятичными знаками. 1/3 выражается как 0,333 при округлении до тысячного знака десятичной системы. С другой стороны, повторяющиеся десятичные дроби обозначаются чертой в верхней части повторяющейся цифры после запятой. Следовательно, ответ на вопрос, что такое одна треть в виде десятичной дроби, равен 0,9.0005

10 в виде десятичной дроби равно 10,00 при выражении в десятичной системе с точностью до сотых.

4 в виде десятичной дроби равно 4.000 при выражении в десятичной системе с точностью до тысячной.

3 в виде десятичной дроби равно 3,0 при выражении десятичными знаками до десятых долей.

6 в виде десятичного числа равно 6,0, если оно выражено десятичными знаками до десятых долей.

5/4 в виде десятичной дроби. Поскольку 4 можно выразить через ближайшее кратное 10, что равно 100, путем умножения на 25, мы выполняем умножение на 25 в числителе и знаменателе. Это составит 5/4 = 125/100 = 1,25

5/3 в виде десятичного числа = 1.

4/6 в виде десятичного числа = 2/3 = 0.

Что такое 3/7 в виде десятичного числа?

При решении с помощью деления 3/7 не дает нулевого остатка. Такие десятичные дроби называются неконечными десятичными дробями. 3 снова появилось как остаток при делении. Частное снова повторит шаблон 428571. Следовательно, его можно округлить до тысячных до 0,429 или выразить как 0. 

Аналогично, 6/7 в виде десятичной дроби равно 0.

Математические задания и игры 5-го класса

Как математические игры и задания повышают уровень знаний учащихся 5-го класса

Математические игры и задания могут стать прекрасным дополнением и дополнением к обучению математике. Использование математических игр в классе позволяет учащимся практиковать математику не только весело, но и эффективно. Ученики любят игры, потому что они увлекательны и увлекательны, а учителя любят игры, потому что они помогают учащимся практиковать то, чему они научились.

В 5 классе учащиеся умеют вычислять суммы и разности дробей и делать их разумные оценки. Учащиеся также могут умножать и делить дроби, объяснять числовые выражения, углублять свое понимание геометрических принципов и разрабатывать стратегии решения задач. Они будут практиковать эти навыки, используя модели, балансирующие уравнения, понимание пропорций и использование прямоугольных массивов.

Балансировка уравнения

Конкретные представления — это мощные инструменты, помогающие учащимся понять абстрактные концепции. Вот почему весы являются эффективным инструментом, помогающим учащимся понять концепцию уравнений и способы их решения. Не отвлекаясь на буквы и символы, учащиеся видят ситуации, когда две величины находятся «в равновесии» или равны друг другу. Все, что делается для изменения состава одной стороны, должно быть сделано для обеих сторон, чтобы сохранить баланс.

 

 

Отобразите шкалу баланса, как показано выше, и поставьте чашки с песком, как показано. (Большая чашка должна вмещать вдвое больше, чем маленькая чашка.) Направляйте обсуждение, задавая такие вопросы, как: Если вы знаете вес большой чашки с песком, можете ли вы найти вес маленькой чашки? Если большая чашка песка весит 8 унций, то каков вес маленькой чашки?

Попросите учащихся поэкспериментировать с добавлением или удалением больших или маленьких чашек с этих весов. Если они уберут большую чашу песка с правой стороны, весы разбалансируются. Чтобы сохранить равновесие, они должны убрать большую чашку с песком с левой стороны. Удаление одной большой чашки с каждой стороны показывает, что одна большая чашка равна двум маленьким чашкам. Они могут сделать вывод, что маленькая чашка весит 4 унции.

Вы можете задать много разных вопросов, чтобы закрепить понимание учащихся во время этого процесса, изменяя предоставленную информацию и прося учащихся объяснить стратегии, которые они использовали для решения.

Введя символы, используемые в уравнении для представления чашек на весах, вы можете перейти к более абстрактному представлению.

 

 

Процесс тот же. Снимите по одной большой чашке с каждой стороны.

 

 

Теперь у вас есть:

 

 

Если маленькая чашка весит 4 унции, вес большой чашки равен 4 + 4, или 8 унций. Чтобы приблизить представление к формальной алгебре, вы можете заменить фигуры буквами (переменными) и предложить учащимся решить снова.

Сравнение периметра и площади

Поскольку учащиеся часто путают форумы по периметру и площади, им нужно много возможностей, чтобы применить их и провести различие между ними. Напомните учащимся, что периметр многоугольника – это расстояние вокруг фигуры. Площадь фигуры – это количество квадратных единиц, покрывающих ее поверхность. Квадрат измеряет 1 единицу с каждой стороны.

Ниже приведено задание, которое может помочь учащимся сравнить периметр и площадь. Предоставьте бумагу с сеткой и попросите учащихся начертить все возможные прямоугольники с периметром 36 единиц. Попросите учащихся найти площадь каждого прямоугольника, а затем свести результаты в таблицу. Задайте вопросы, чтобы помочь учащимся поразмыслить над процессами, которые они используют:

• Что вы можете сделать, чтобы найти длину и ширину каждого прямоугольника? [Пример ответа: поскольку я знаю, что P = 2 90 260 l 90 261 + 2 90 260 w 90 261 , я могу найти различные длины и ширины, равные 36 единицам.]
• Как убедиться, что вы нашли все возможные прямоугольники? [Пример ответа: я могу систематически перечислить все длины и ширины, равные 36.]
• Какой должна быть сумма 1 l + 1 w ? Объяснять. [Сумма должна быть 18, потому что 2 l + 2 w — это 36 единиц.
• Все ли площади равны? [Нет] Значит, фигуры с одинаковым периметром могут иметь разную площадь. Что вы заметили в форме фигуры с наибольшей площадью? [Это квадрат.]

 

Подводя итог, подчеркнем, что периметр сложных фигур остается неизменным независимо от того, как фигура делится на более мелкие фигуры. Помогите учащимся нарисовать свои фигуры на бумаге с сеткой и сосчитать, а затем пересчитать длины сторон. Учащиеся могут использовать мелок, чтобы обвести каждую сторону, чтобы показать, что они посчитали ее. Чтобы расширить задание, попросите учащихся сделать из бумаги с сеткой все возможные прямоугольники площадью 40 см ² . Попросите их поделиться своими методами поиска решений.

Моделирование вероятности

В пятом классе понимание учащимися событий, которые являются равновероятными и более или менее вероятными, является основой для приобретения ими более формальных навыков и процедур в области вероятности. Различение между этими основными идеями может быть выполнено с помощью задания с числовыми кубиками.

Сначала учащиеся должны указать возможные исходы и вероятность каждого из них при подбрасывании одного числового кубика.

 

 

Помогите учащимся увидеть, что каждый результат имеет одинаковую вероятность возникновения.

Затем добавьте к операции еще один куб. Попросите учеников назвать все возможные суммы, когда кубики будут брошены вместе. Учащиеся могут перечислить суммы в таблице сложения.

 

 

Затем учащиеся могут подсчитать количество благоприятных исходов для каждой суммы, общее количество возможных исходов и записать результаты в таблицу или итоговую диаграмму.

 

Количество возможных результатов

 

Задайте вопросы, подобные следующим, чтобы помочь учащимся понять:

• Имеет ли вероятность возникновения каждой суммы одинаковую вероятность?
• Какая сумма наиболее вероятна?
• Какие суммы наименее вероятны?
• Что более вероятно, что выпадет сумма 9 или сумма 7?
• Менее вероятно, что выпадет сумма 12 или сумма 10?

Если позволяет время, попросите учащихся провести эксперимент, в котором они фактически подбрасывают два кубика 100 раз, записывают результаты и сравнивают их фактические результаты с ожидаемыми.

Понимание пропорций

Понимание пропорций — это навык, предшествующий пониманию пропорций. Связь понятий соотношения с ранее изученными понятиями дробей обеспечивает плавный переход между двумя областями. Уроки по отношениям, равным отношениям и нормам подготавливают учащихся к понятиям и применению пропорций.

Введение пропорций в контекстную структуру календаря позволяет учащимся использовать то, что они уже знают о пропорциях, чтобы помочь им понять пропорциональные отношения. Студенты знают, что в одной неделе 7 дней, и могут легко продолжить следующую таблицу.

 

В таблице подчеркивается мультипликативное отношение между неделями и днями. Эта взаимосвязь также может быть выражена в виде различных соотношений в форме фракции, например, ¹ ⁄ ₇ , ² ⁄ ₁₄ , ³ ⁄ ₂₁ и ⁴ ⁄ ₂₁ и ⁴ Со ₂₁ и ⁴ ⁄ _.

Поскольку в пропорции используются разные числа, но поддерживается одно и то же мультипликативное отношение, утверждение, что любое из этих двух отношений равно, является пропорцией. Другими словами, отношение недель к дням одинаково для всех соотношений в этих пропорциях.

¹ ⁄ ₇ = ² ⁄ ₁₄  ; ¹ ⁄ ₇ = ³ ⁄ ₂₁  ; ¹ ⁄ ₇ = ⁿ ⁄ ₂₈  ; ¹ ⁄ ₇ = ⁵ ⁄ _n

Каждая из этих пропорций получена благодаря пониманию первичной взаимосвязи,

Учащиеся, которым трудно понять понятие пропорции как двух эквивалентных соотношений, могут использовать двухцветные счетчики, чтобы показать отношение недель к дням. Они также могут распознать закономерность в таблице и использовать ее для определения недостающего количества.

Интерпретация и работа с соотношениями и пропорциями в этой главе подготавливает учащихся к новым применениям процентов, с которыми они столкнутся в старших классах и в повседневной жизни. Понимание учащимися понятий отношения и пропорции является необходимым условием для понимания приложений в области вероятностей и статистики, геометрии и алгебры.

Номер строки

Числовая линия — эффективный инструмент, помогающий учащимся визуализировать отношения между числами.

Числовая строка ниже является примером того, как этот инструмент можно использовать для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) чисел 4 и 5. Числа в верхней части числовой строки представляют числа, кратные 4; числа в нижней части числовой строки представляют собой числа, кратные 5. Число (20), где линии пересекаются в первый раз, является наименьшим общим кратным 4 и 5. наименьшее общее кратное сможет понять концепцию нахождения наименьшего общего знаменателя (LCD) и будет готов складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

Числовой ряд может помочь учащимся, которым трудно отделить правила для целых чисел от правил для дробей. Например, некоторые учащиеся думают, что ³ ⁄ ₈ больше, чем ¹ ⁄ ₂ , потому что 3 больше 1, а 8 больше 2. рассматривать как числа между целыми числами, но показать, что ¹ ⁄ ₂ действительно больше ³ ⁄ ₈  .

 

 

Та же пара числовых линий может быть использована для демонстрации того, что ¹ ⁄ ₂ и ⁴ ⁄ _{4 являются эквивалентами 90 дробей3.}

Учащиеся, понимающие относительную величину дробей, смогут легко сравнивать и упорядочивать наборы дробей с одинаковыми или разными знаменателями.

 

_{¹ Бер, Мерлин Дж. и др. 19 марта85. «Построить сумму: показатель понимания детьми размера дроби». Журнал исследований в области математического образования, vol. 16, № 2: 120-131}

Модели с десятичным числом чисел

для деления

На этом уровне можно использовать десятичные модели, чтобы освежить понимание учащимися значения деления.

Модели также могут помочь учащимся связать деление многозначного дивиденда на однозначное число с алгоритмом.

Предложите учащимся начать с делимого и делителя, чтобы получить частное без остатка.

Используйте сотни, десятки и единицы для моделирования  6 192

Отобразите следующее:

 

Поскольку цель состоит в том, чтобы сформировать 6 равных групп, учащиеся должны понимать, что сначала они должны разделить сотни. Равные группы не могут быть сформированы до тех пор, пока сотня плоских не будет обменена на 10 десяти стержней.

 

Теперь 19 десятков можно поровну разделить на 6 равных групп. Одна десятка останется.

 

Следующий шаг — разделить каждую десятку на единицы. Одна десятка обменивается на 10 единиц. Затем 12 единиц поровну распределяются между 6 равными группами по 3 десятка.

Важно, чтобы учащиеся установили связи между моделированием и символической формой алгоритма.

• Сначала учащиеся должны обобщить шаги, используемые для моделирования деления: Решите, можно ли разделить сотни. Если нет, обменяйте сотни на десятки. Разделите десятки. Меняйте десятки на единицы. Разделите единицы. Частное — это число в каждой группе, 32,
• Затем пусть учащиеся символически запишут шаги в домике деления, обозначив каждый шаг деления.

После завершения этого трехэтапного процесса деления без остатка учащиеся могут использовать тот же процесс для моделирования деления с остатком.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (1998). Математика в начальной и средней школе: обучение в целях развития, 55, 401 New York, NY}

Бумага с сантиметровой сеткой

Сложение и вычитание десятичных знаков

Простую в изготовлении и понятную десятичную модель можно построить из бумаги с сантиметровой сеткой или, если предпочтительнее модели меньшего размера, из миллиметровой бумаги.

Затем модели можно заштриховать, раскрасить или разрезать, чтобы показать сложение и вычитание.

Первый шаг — создать представление 1 в качестве референта. Учащиеся намечают квадрат 10×10 и вырезают его. Пусть они перевернут квадрат на пустую сторону и запишут десятичные эквиваленты 1 в десятых и сотых долях: 1 = 1,0 или 1,00. Попросите учащихся вспомнить, что каждый маленький квадрат или единица представляет 0,01 или ¹ ⁄ ₁₀₀  . Столбец или строка из 10 единиц соответствует 0,1, или ¹ ⁄ ₁₀  .

Затем учащиеся разрезают сетку на две части и пишут уравнение сложения для этого представления. Учащиеся могут добавить эталонные числа, например 0,40 + 0,60 = 1,00, 0,50 + 0,50 = 1,00, или числа, не являющиеся эталонными, например 0,37 + 0,63 = 1,00.

 

 

Вы можете предложить учащимся использовать цвет для обозначения двух десятичных знаков, которые составляют и разлагают 1,00, а не разрезать сетки.

Работая с сотыми, учащиеся должны составить или сложить части числа (или сложить), а также разложить или разделить число на части (или вычесть) много раз. Предложите учащимся показать различные способы представления сложения и вычитания до и от 1,00, прежде чем они начнут работать с тысячными.

После многократного опыта с 1,00 учащиеся могут выполнять аналогичную композицию и декомпозицию с десятичными знаками больше (или меньше) 1,00, например 1,25 − 0,35.

Для начала учащиеся создают модель для 1,25, очерчивая квадрат 10 × 10 для представления 1, столбцы с 2 десятыми для представления 0,2 и квадраты с 5 сотыми для представления 0,05 на бумаге с сеткой. Раскрасьте сотые доли красным и зачеркните их, чтобы показать вычитание сотых. Закрасьте 3 столбца десятых долей желтым, чтобы показать вычитание десятых. Но прежде чем они раскрасят, помогите учащимся понять, что, вычитая 3 десятых, они «перегруппировывают» 1 как 10 десятых. Затем учащиеся раскрашивают десятые доли и зачеркивают, чтобы показать вычитание. Учащиеся считают оставшиеся десятые, чтобы найти разницу.

 

Полосы дробей

для сложения и вычитания дробей

Дроби можно складывать и вычитать, только если знаменатели совпадают. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, одну или несколько дробей необходимо переименовать в эквивалентные дроби со знаменателями.

Для следующего задания вы можете попросить учащихся подготовить наборы полосок.

Попросите учеников найти сумму ³ ⁄ ₄ + ⁵ ⁄ ₆  , согласно остальной части примера.

Сначала отобразите полосу для каждой фракции.

 

 

Определите полосу, которая представляет общий знаменатель двух дробей. Помогите учащимся использовать рассуждения, чтобы решить, что общий знаменатель равен 12, поэтому они должны использовать полосу для двенадцатых. Предложите учащимся смоделировать, как показано на рисунке.

 

 

Они могут записывать символически по мере того, как моделируют, или могут суммировать:

 

Чтобы показать, что для вычитания применяется тот же принцип переименования, попросите учащихся найти разность ² ⁄ ₃ − ¹ ⁄ ₂  . Отметьте, что когда они используют дроби для вычитания, они сопоставляют число равных частей в вычитаемом и число в уменьшаемом, а разница составляет несопоставленную часть.

Показать полосу для каждой фракции.

 

 

Вместе найдите полоску, представляющую общий знаменатель двух дробей.

 

 

Действия, подобные приведенным выше, помогут учащимся понять, почему необходимо находить общий знаменатель перед сложением или вычитанием дробей с разными знаменателями.

Модели для деления дробей

Часто, когда учащиеся учатся делить дробями, они просто запоминают шаги «перевернуть и умножить», не понимая значения этой процедуры.

И хотя они также узнают, что два числа с произведением 1 являются обратными или мультипликативными инверсиями, это тоже часто не понимают. Вы можете предоставить учащимся возможность углубить свое понимание, используя шаблоны и модели, а также предварительные знания учащихся о делении целых чисел.

Сначала представьте образец, показывающий учащимся, как умножение придает смысл термину «обратное».

 

 

Затем свяжите деление с поиском недостающего множителя. Например, попросите учащихся вспомнить, что для 63 ÷ 9 = n они могут подумать: «В 9 раз сколько будет 63?» Обратите внимание, что это может быть выражено символически как 9 × n = 63. Теперь помогите учащимся распознать то же соотношение в задаче на дробь:

Помогите учащимся сделать вывод, что числитель n должен быть равен 1, а знаменатель должен быть равен 2. потому что 4 × 2 = 8, и в этом случае недостающий множитель равен ¹ ⁄ ₂ . Используя шаг проверки — ¹ ⁄ ₄ × ¹ ⁄ ₂ = ¹ ⁄ ₈ — и связывание с ¹ ⁄ ₈ — и связывание с ¹ ⁄ ₈ — и связывание с ¹ ⁄ ₈ 8 . 1 ⁄ ₂ , учащиеся начнут понимать, почему работает шаг «обратить и умножить».

Наконец, опирайтесь на ранее полученные учащимися знания о делении целых чисел, распространяя значение деления на дроби. Используйте единичный квадрат для модели ⁸ ⁄ ₁₀ ÷ ² ⁄ ₁₀ = n . Учащиеся должны выразить это следующим образом: «Сколько ² ⁄ ₁₀ в ⁸ ⁄ ₁₀  ?»

 

Бумажные фигурки

для нахождения суммы углов

Использование бумаги для вырезания и соединения углов плоских геометрических фигур — это очень наглядный и практический способ для учащихся изучить и найти сумму внутренних углов треугольников и четырехугольников. Вы можете использовать каталожные карточки 3 × 5 или 4 × 6 для этого эксперимента с углами треугольника.

Учащиеся вырезают треугольник из своих каталожных карточек. Они обозначают внутренние точки углов буквами.

 

 

Помогите учащимся оторвать, а не отрезать три угла треугольников.

 

 

Используя лист тетради в качестве прямого угла, учащиеся выравнивают три гладких острых угла на краю, чтобы образовалась прямая линия. Пусть они подтвердят, что сумма мер трех углов треугольника всегда равна 180°.

 

 

Учащиеся должны использовать свои каталожные карточки, чтобы повторить эту процедуру с различными типами и размерами треугольников. Это обеспечивает несколько представлений константы (180°), которую они исследуют. Кроме того, он закладывает основу для определения суммы углов других фигур.

Это упражнение также можно использовать для подтверждения того, что сумма четырех углов каждого четырехугольника всегда равна 360°. Учащиеся обозначают, а затем отрывают углы от любого четырехугольника. Они помещают углы в две группы, как показано ниже, чтобы сформировать два прямых угла. Студенты должны признать, что 2 × 180 = 360, поэтому четыре угла вместе равны 360°.

 

Модели с разрядной стоимостью

Блоки с основанием 10 — это четкие и недвусмысленные представления того, как наша десятичная система счисления строит каждое место слева.

 

 

Чтобы расширить приведенную выше таблицу за пределы тысяч, используйте концепцию группировки по десяткам, чтобы помочь учащимся сформировать мысленную картину каждого последующего места. Сначала поработайте с таблицей, попросив учеников сказать вам, сколько кубов единиц необходимо для построения стержня десятков. Студент-добровольец может сгруппировать десять кубов единиц, чтобы сформировать палочку десятков, или может нарисовать диаграмму для демонстрации. Затем спросите, сколько десятков стержней нужно, чтобы составить сотню. Пусть доброволец продолжает демонстрировать либо с десятками стержней, либо со схемами. Продолжите демонстрацию построения куба тысяч, объединив десять сотен плоскостей. Для следующих чисел в последовательности попросите учащихся мысленно представить, как будет выглядеть каждая модель. Используя и расширяя последовательность куб, стержень, плоскость, куб и т. д., учащиеся могут понять, что десять тысяч можно представить в виде стержня, состоящего из 10 тысяч блоков; сто тысяч можно представить как плоскость, состоящую из 10 десятков тысяч стержней, и так далее.

Посредством вербализации и построения диаграмм учащиеся закрепляют повторяющийся образец, соответствующий точкам в числе.

 

 

Чтобы смоделировать число, дети должны определить цифру в разряде десятков и разложить столько палочек десятков. Они определяют цифру в разряде единиц и выкладывают столько же кубиков единиц.

Чтобы определить число, представленное моделью, дети считают количество палочек с десятками, чтобы найти разряд десятков. Количество кубиков с единицами показывает цифру в разряде единиц. Дети также могут подсчитать общее количество кубиков с единицами во всей модели, но этот метод грубой силы отнимает много времени и игнорирует достоинства концепций позиционного значения.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (1998). Математика в начальной и средней школе: обучение в целях развития, 55, 401 New York, NY}

Прямоугольные массивы

в умножении

Прямоугольные массивы и диаграммы помогают учащимся разбить многозначное умножение, например, на сотни, десятки и единицы. Помогите учащимся связать модели со значением каждой части процесса умножения. Это поможет им избежать механических ошибок, таких как запись цифр в неправильном столбце частичного произведения или забывание добавить перегруппированную цифру.

Учащиеся могут использовать группы десятичных блоков, организованных в виде массивов, для представления частичных произведений в задаче на умножение. В качестве альтернативы учащиеся могут использовать диаграмму с областями для представления частичных продуктов. На приведенных ниже иллюстрациях показано, как оба метода можно использовать для моделирования 15 x 35. Для обоих подходов учащиеся должны начать с разбиения выражения на части, используя Распределительное свойство умножения над сложением.

 

 

Затем смоделируйте с основанием десять блоков и запишите результаты:

 

Для демонстрации того же умножения можно использовать модель площади:

 

 

Как показывают исследования, учащиеся развивают эффективное математическое мышление, когда понимают отношения между различными представлениями одного и того же понятия. ¹ Использование описанных выше подходов позволит учащимся увидеть отношения между конкретными моделями, диаграммами и символическими представлениями. Студенты поймут, что все три представления показывают один и тот же продукт.

 

_{¹ Голдин, Джеральд и Нина Шайтинголд. «Системы представления и развитие математических понятий». В The Roles of Representation in School Mathematics, Yearbook 2001. Eds Albert A. Cuoco and Francis R. Curcio, National Council of Teachers of Mathematics, Reston, VA, 9.}

Ссылки на расчетную длину

В учебной программе по элементарной математике оценивание представлено как предшествующая нахождению фактических результатов и как средство выработки суждений о числах, процессах и понятиях. В измерении оценка развивается по-разному, например, как референт, по которому можно судить о размере, или как процедура, помогающая предсказать приблизительные ответы.

Чтобы помочь учащимся развить чувство меры, попросите их выбрать и использовать эталоны для оценки длины. (Вы можете использовать аналогичное упражнение для вместимости и веса.)

Раздайте набор предметов, знакомых учащимся, которые они могут использовать в качестве ориентиров.

 

 

Попросите учащихся установить приблизительную длину каждого референта. Затем попросите их использовать референты для оценки длины объектов или расстояний в классе. Например, они могут увидеть, что ноутбук занимает примерно треть расстояния между их столами. Если длина одного ноутбука составляет около 1 фута, то расстояние поперек стола составляет около 3 футов.

На протяжении всего занятия важно, чтобы учащиеся не считали свои оценки правильными или неправильными. Предложите учащимся уточнить свои оценки, используя референты для фактического измерения. Затем попросите их использовать линейку для измерения. Учащиеся могут сравнить свою первоначальную оценку, референтную меру и фактическую меру, чтобы увидеть, насколько близка оценка к другой.

Чтобы расширить задание, раздайте учащимся каталожные карточки и папки с двумя карманами. Попросите учащихся назвать наиболее подходящую единицу измерения длины каждого предмета. Попросите учащихся описать, почему они выбрали ту единицу, которую выбрали.

 

_{Ссылки
Роберт Э. Рейс, Мэри М. Линдквист, Дайана В. Ламбдин, Нэнси Л. Смит и Мэрилин Н. Суйдам, Помощь детям в изучении математики (Нью-Джерси: John Wiley & Sons, 2004)}

Числовая строка

для умножения и деления десятичных дробей

В предыдущей главе учащиеся использовали десятичные числа для сложения и вычитания. Они также столкнулись с числовой линией как опорой для умножения и деления целых чисел.

И словесное моделирование, и числовую прямую можно использовать для закрепления значения десятичного умножения и десятичного деления. Вспомните идею о том, что десятичную дробь можно представить в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Это закрепит у учащихся представление о том, что десятичное число всегда меньше 1. Покажите выражение умножения, например 7 × 0,2, и направьте обсуждение следующим образом:

• Сколько групп? [7 групп]
• Что будет в каждой группе? [2 десятых, или 0,2]

Пока вы демонстрируете умножение на числовой прямой, объясните, что вы провели линию до 2,0 с интервалом 0,1.