Задачи линейного программирования пример: 57. Примеры задач линейного программирования

Примеры задач линейного программирования — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Примеры задач линейного программирования

LOGO
Задача об использовании ресурсов
Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2
используют четыре вида ресурсов: S1, S2, S3 и S4.
Прибыль от реализации единицы продукции Р1 и Р2
соответственно 2 и 3 ден. ед.
Необходимо составить такой план производства продукции,
при котором прибыль от ее реализации будет
максимальной.
Задача об использовании ресурсов
Решение
Введем переменные
Х1 – число единиц продукции Р1, запланированных к
производству
Х2 – число единиц продукции Р2, запланированных к
производству
Прибыль:
F = 2*X1+3*X2
Цель:
F → max
Задача об использовании ресурсов
Решение
Ограничения
1) Условие неотрицательности:
Х1 0, Х2 0
2) На запас сырья S1:
3) На запас сырья S2:
4) На запас сырья S3:
5) На запас сырья S4:
1*X1+3*X2 18
2*X1+1*X2 16
0*X1+1*X2 5
3*X1+0*X2 21
Задача об использовании ресурсов
Экономико-математическая модель
(задача линейного программирования)
Экономико-математическая модель (коротко)
Задача составления рациона
В дневной рацион питания цыплят включают два
продукта П1 и П2. Причем продукта П1 должно войти в
дневной рацион не более 200 ед.
Стоимость 1 ед. продукта П1 составляет 2 ден. ед., а
продукта П2 – 4 ден. ед.
Определить оптимальный рацион питания,
стоимость которого будет наименьшей
Задача составления рациона
Решение
Введем переменные
Х1 – число единиц продукта П1, входящего в дневной
рацион
Х2 – число единиц продукта П2, входящего в дневной
рацион
Стоимость дневного рациона :
F = 2*X1+4*X2
Цель:
F → min
Задача составления рациона
Решение
Ограничения
1) Условие неотрицательности:
Х1 0, Х2 0
2) Ограничение на максимальное содержание
продукта П1: X1 200
3) Ограничения на минимальное содержание
питательных веществ:
0,2*X1+0,2*X2 120
0,4*X1+0,2*X2 160
Задача составления рациона
Экономико-математическая модель
(задача линейного программирования)
Поясним термин линейное программирование
линейное означает: ищется экстремальное
значение (min или max) линейной целевой
функции при линейных ограничениях
(линейных уравнениях или неравенствах)
программирование в данном словосочетании
имеет смысл планирования

12.

Общий вид задачи линейного программирования Целевая функция
F X c1 x1 c2 x2 … cn xn max min
при ограничениях
a11 x1 a12 x 2 … a1n x n ( , )b1 ,
a 21 x1 a 22 x 2 … a 2 n x n ( , )b2 ,
. ..
a x a x … a x ( , )b ,
m2 2
mn n
m
m1 1
x1 , x 2 ,…x n 0
Общий вид
задачи линейного программирования
Краткая форма

English     Русский Правила

Постановка задачи линейного программирования — Энциклопедия по экономике

Постановка задач линейного программирования состоит в формулировке целевой функции и ограничений — уравнений или неравенств.  [c.72]
Это — задача оптимизации, которую можно решить через постановку задачи линейного программирования  [c.265]

Линейное программирование — математический метод, предназначенный для выявления оптимального решения из большого числа возможных вариантов решения задачи, у которой условия позволяют запись в виде линейных соотношений. Линейное программирование применяется для решения задач типа распределение ресурсов, формирование комбинации кормов, составление портфеля инвестиций, выбор производственной программы. Для постановки задачи линейного программирования необходимо ввести переменные (определяемые) величины, выразить через эти переменные ограничивающие условия и целевую функцию. Для решения задач линейного программирования используют симплекс-метод или графический метод (при наличии двух переменных в решаемой задаче).  [c.122]

Общая постановка задачи линейного программирования имеет вид  [c.146]

Аналогичная по математической постановке задача линейного программирования с переменными вектор-столбцами, заданными на выпуклых множествах, приведена в работе [14]. Показана принципиальная возможность применения декомпозиционной процедуры для данного типа задач. В результате решения определяются как основные переменные, так и значения элементов матрицы условий. Применение принципа декомпозиции для решения задачи линейного программирования с переменными параметрами модели (обобщенная задача линейного программирования) рассмотрено в работах [15, 16]. Особенностью алгоритма является то, что в процессе решения осуществляется одновременный поиск вершин выпуклых многогранников, на которых заданы варьируемые векторы, и значений интенсивностей технологических процессов.

 [c.15]

В общем виде постановка задачи линейного программирования заключается в следующем.  [c.59]

Постановка задач линейного программирования состоит в формулировке целевой функции и ограничений — уравнений или неравенств. Рассмотрим постановку и решение такой задачи на примере.  [c.112]

В постановке задачи линейного программирования каждое неравенство  [c.36]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ  [c.17]

Конечно, в задачах, встречающихся в практических исследованиях, сети бывают значительно сложнее, так что для расчета требуется провести значительное число описанных здесь шагов. Тем не менее во многих случаях с помощью метода потенциалов удалось решить практические задачи даже без использования ЭВМ. По своему смыслу потенциалы близки к двойственным переменным соответствующей задачи линейного программирования в матричной постановке (см., например, [13]).  [c.191]

Задача линейного программирования — это такая задача, в которой определенное выражение (именуемое объективной функцией) должно быть оптимизировано (максимизировано или минимизировано) при наличии ряда ограничений. Как объективную функцию, так и ограничения можно представить в виде линейных (прямолинейных) выражений. Такие задачи часто возникают в практических ситуациях, и поэтому целесообразно остановиться на том, как их решать. Постановка задачи включает в себе следующие основные моменты  [c.262]

В этой главе мы рассмотрели приемы линейного программирования при решении задач оптимизации. Типичный пример — максимизация прибыли предприятия за счет определения соответствующей номенклатуры производства. Кроме того, задачи линейного программирования могут быть направлены на минимизацию переменных, в частности затрат. Выражение, которое необходимо оптимизировать, называется объективной функцией. Эта функция высчитывается при наличии ряда ограничений. Одна из самых больших трудностей при решении такого рода задач состоит в исходной постановке задачи, когда необходимо определить ограничения, представить их в виде неравенств и выдать выражение объективной функции. При решении простых задач только с двумя переменными можно применить графический метод. Для более сложных задач применяется симплексный метод.  [c.304]

В большинстве случаев промышленные объекты могут быть описаны несколькими моделями, в принципе формализованными в одном и том же классе задач. Подтверждением этому являются рассматриваемые здесь два типа моделей, реализованные в классе задач линейного программирования. Отметим, что любую другую модель необходимо воспринимать как еще один способ решения некоторой общей модели, цель которой определена содержательной постановкой и едина для всех возможных формализации.  [c.46]

Задача планирования для НПП в детерминированной или вероятностной постановке сводится к решению задачи линейного или выпуклого программирования, причем задачи стохастического программирования, характерные для НПП, как показано в работе [47], преобразуется в эквивалентную задачу линейного программирования, которая имеет вид  [c.205]

На стадии перспективного планирования в основном используются те же математические методы, что и на стадии текущего планирования, но особое внимание уделяется проверке прогнозных свойств моделей. При экономико-математическом моделировании отдельных экономических показателей деятельности нефтебазового хозяйства предусматривается проверка устойчивости параметров модели во времени. Задачи линейного программирования решаются в вариантной постановке, поэтому выходная информация дается в определенных интервалах значений, соответствующих минимальной, наиболее достоверной и максимальной потребностям в нефтепродуктах. Особенностью математической модели задачи 7 является то, что она охватывает два взаимосвязанных этапа планового периода (5 и 10 лет) и предусматривает использование неоднородной структуры представления исходной информации. В целом эта задача сводится к динамической модели общей задачи линейного программирования.  [c.31]

Математическая постановка сводится к многопродуктовой многоэтапной транспортной задаче линейного программирования с учетом внутригодовой динамики потребления и сезонности работы автомобильного и речного транспорта [2]. Так как модель задачи является одной из модификаций транспортной задачи линейного программирования, то она может быть решена любым из алгоритмов решения транспортной задачи.

Матрица такой задачи включает в себя Т блоков, каждый из которых моделирует условия многоэтапной, многопродуктовой транспортной задачи линейного программирования для одного временного отрезка года.  [c.77]

Ниже даются постановка основной задачи линейного программирования, описание симплексного метода решения и пример применения этого метода для выбора оптимального варианта размещения наливных станций, грузооборота, прикрепления к ним потребителей.  [c.179]

Нелинейное программирование. Оно объединяет методы решения задач, которые описываются нелинейными соотношениями. Постановка и решение задач нелинейного программирования принципиально не отличаются от постановки и решения задач линейного программирования. К задачам нелинейного программирования относятся задачи оптимизации производства для большинства предприятий, поскольку в настоящее время они действуют на неоднородном рынке в условиях монополистической конкуренции и спрос на их продукцию зависит от цены.  [c.

114]

Такие задачи математически бывают представлены в двух видах в сетевой и в матричной постановке. Будучи основанными на принципах транспортной задачи линейного программирования, они очень сложны и решаются специальными, обычно многостадийными приемами с использованием эвристических элементов.  [c.290]

К Р.з. относятся такие широко распространенные задачи, как транспортная задача линейного программирования, задача о назначениях и многие другие. Задачи распределения могут решаться в статической (однократной) и в динамической постановках. В последнем случае часто применяют методы стохастического программирования (в которых принятие решений основано на вероятностных оценках будущих значений параметров).  [c.302]

Машина Оптимум-2 (рис. 3.5) предназначена для решения транспортной задачи линейного программирования в общей постановке транспортной задачи с дополнительными ограничениями на время перевозок транспортной задачи с частично заменяемыми продуктами и неоднородной транспортной задачи позволяет определить  [c.

133]

Таким образом, задача планирования, сформулированная как задача линейного программирования, отражает такой выбор плана из всевозможных его вариантов, который обеспечивает экстремальное значение критерия оптимальности при выполнении в плане всех заданных ограничений на расход ресурсов, выпуск продукции и т. д. Такая постановка стала возможной лишь в рамках оптимального планирования, поскольку, не имея соответствующих методов, плановики даже не могли ставить задачу выбора плана, наилучшего из всех возможных. До появления этих методов тем или иным способом определялось несколько вариантов плана и выбирался вариант, лучший из них.  [c.112]

В работе были даны постановка задач , и метод решения. Постановка имеет вид задачи билинейного программирования, т.е. задачи линейного программирования с неизвестными, однако, коэффициентами. Для решения выполняется эквивалентная линеаризация модели, коэффициенты которой поддаются разложению по вершинам выпуклых.многогранников эти многогранники задают допустимые области изменения коэффициентов.

 [c.3]

Мы рассматривали стохастические аналоги задач линейного программирования. Как легко видеть, детерминированные эквиваленты задач линейного программирования со случайными параметрами условий, соответствующие, например, моделям с вероятностными ограничениями, представляют собой, вообще говоря, задачи нелинейного, а иногда и невыпуклого программирования. Поэтому в стохастическом программировании обычно несущественно, порождена ли стохастическая задача линейной или нелинейной экстремальной задачей. Если не ограничиваться стохастическими аналогами линейных моделей, можно привести более общую запись задачи стохастического программирования, объединяющую различные постановки стохастических задач.  [c.10]

Запись многих задач стохастического программирования в терминах гильбертова пространства Hin более прозрачна, чем в первичных вероятностных терминах. Ряд естественных для стохастических задач целевых функций оказываются линейными или выпуклыми функционалами в Hin. Некоторые ограничения, используемые в разных постановках задач стохастического программирования, высекают в Htn выпуклые множества. Таким образом, многие задачи стохастического программирования могут рассматриваться как задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве Н п.  [c.20]

Связывая задачу линейного программирования тем или иным способом с выбранным вектором и(х) размерности больше двух, можно получить различные гибкие постановки задач линейной лексикографической оптимизации. Разобьем, например, условия задачи на k групп в соответствии с соображениями приоритета, определяемыми содержательной постановкой задачи, и обозначим через pr( ), f=l, 2,…,k, характеристическую функцию r-го многогранного множества, обусловленного r-и группой условий.  [c.263]

Жесткая (точнее, почти жесткая) постановка задачи линейного стохастического программирования укладывается [c.267]

Рассмотрим следующую постановку задачи линейного стохастического программирования  [c.267]

При нахождении экстремума целевой функции многих переменных может быть получена сложная система уравнений. Для ее решения зачастую прибегают к численным методам (итерационный, градиентный, метод Ньютона и др. ). Численные методы могут быть использованы не только как вспомогательные при решении системы уравнений, но и как самостоятельные для отыскания локальных максимумов целевой функции. При выборе параметров машины может оказаться, что целевая функция линейна, линейны и ограничения, накладываемые на некоторые из переменных. В такой постановке возникает задача линейного программирования, а формулируется она в стандартном виде следующим образом.  [c.212]

Нормировка задачи. Входящие в постановку задачи функционалы Fi [и ( )] обычно имеют разный физический смысл и разные размерности задача допускает очевидное эквивалентное преобразование Ft -ж , которое, не меняя совершенно существа дела, имеет самые серьезные последствия с точки зрения фактического хода процесса поиска. Вопрос о разумной нормировке задачи (о выборе чисел xf) тесно связан со следующим какие приращения функционалов р следует считать равноценными Ответ может быть примерно таким те, которые порождены одинаковыми вариациями управления именно это соображение и будет использовано. Другое соображение состоит в том, что эти равноценные приращения функционалов должны выражаться числами одного порядка. Реализуется же подходящая нормировка на стадии решения задачи линейного программирования  [c.174]

Ограничения по загрузке производственных мощностей и по неотрицательности объемов производства продукции не отличаются от случая постановки задачи линейного программирования, как и техника получения решений средствами электронных таблиц MS Ex el.  [c.114]

Базилевич А. А. Постановка задачи линейного программирования с применением данных корреляционно-регрессионного анализа//Экономика и математические методы.— 1967. — № 1.— С. 83—87.  [c.195]

И1, И2 и Ф1 являются постановками задач линейного программирования, ление которых позволяет контролировать рыночный риск, а в случае И2, — иск волатильности. Для того чтобы контролировать отраслевой риск, не-одимо добавить ограничения на диверсификацию портфеля, т. е. включить о состав платежные обязательства, связанные с различными финансовы-и промышленными секторами. Диверсификация также позволяет умень-гь несистематический риск, т. е. риск отдельных платежных обязательств, iop отраслей и инструментов, которые имеют достаточно высокий кредит-i рейтинг, позволяет добиться ограничения кредитного риска. Наличие транзакционных издержек, связанных с покупкой и продажей зательств, приводит к возникновению дополнительного вида риска, кото-[ не учитывается в задачах И1, И2 и Ф1. Если волатильность процентных зок будет высока, то перестраивать портфель придется более часто. Оценка ичины потерь, связанных с транзакционными издержками, может быть вы-нена в рамках динамических оптимизационных моделей [28].  [c.709]

Решение транспортных задач методом потенциалов. Продемонстрируем метод решения транспортных задач в сетевой постановке, так называемый метод потенциалов. Он был предложен Л. В. Канторовичем в начале сороковых годов п является первым методом решения транспортных задач. Интересно отметить, что метод с самого начала предназначался для решения транспортных задач в сетевой постановке и только впоследствии был преобразован к матричной форме. Метод потенциалов является одним из способов реализации общего принципа решения задач линейного программирования — принципа последовательного улучшения плана, о котором мы уже говорили в 4 гл. 1.  [c.189]

Блоки 8 и 9 предусматривают выявление транспортных условий нефтеснабжения района. В блоке 8 раскрывается характеристика источников ресурсов, расположенных в обслуживаемом районе (место расположения, фактические и максимально возможные объемы поставок). В блоке 9 отражаются перевозки имеющие место в базисном году при доставке нефтепродуктов по отдельным этапам транспортного процесса, приводятся данные об используемых видах транспорта, протяженности путей сообщения и характере работы отдельных видов транспорта (о сезонности работы и регулярности доставки нефтепродуктов). Анализ внутрирайонных перевозок массовых видов нефтепродуктов, проведенный по материалам нескольких территориальных управлений Госкомнефтепро-дукта РСФСР, позволяет утверждать, что транспортные расходы народного хозяйства могут быть сокращены за счет рационализации этих перевозок а всех этапах транспортного процесса. Выбор схемы доставки нефтепродуктов от источников ресурсов до потребителей района целесообразно осуществлять с помощью моделей задач линейного программирования. Для постановки таких задач необходимо изучать транспортные условия снабжения района, т. е. составлять схемы современной и перспективной сетей, включающих в себя все возможные виды транспортировки нефтепродуктов (железнодорожный, речной, трубопроводный и автомобильный транспорт), а также поучастковую расценку этих схем с учетом перспектив развития и характерных особенностей каждого вида транспорта.  [c.27]

Для оптимизации текущего планирования необходимо выбирать такой вариант внутрирайонных транспортно-экономических связей по нефтепродуктам, который обеспечивал бы рационализацию внутриуправленческих перевозок нефтепродуктов в условиях наиболее эффективного использования имеющегося нефтебазового хозяйства. Для перспективного плана развития необходим вариант транспортно-экономических связей, обеспечивающий рациональность перспективных внутриуправленческих перевозок в условиях экономически эффективного развития объектов нефтебазового хозяйства, их реконструкции и расширения. Для рационализации современных и перспективных внутрирайонных транспортно-экономических связей наиболее эффективно использовать различные модели линейного программирования. При текущем планировании задача может быть сведена к многопродуктовой многоэтапной задаче линейного программирования с учетом внутригодовой динамики потребления и сезонности работы отдельных видов транспорта. При перспективном планировании, когда необходим учет неопределенности исходной информации, задача сводится к вариантной постановке динамической задачи линейного программирования с неоднородной структурой исходных данных.  [c.27]

Предлагаемый порядок оперативного планирования рассчитан на широкое применение электронно-вычислительной техники. Разработанные экономико-математические модели могут быть реализованы на ЭВМ по стандартным программам. На первом этапе планирования в Главном вычислительном центре АСУнефтеснаб РСФСР предлагается решать сетевую транспортную задачу линейного программирования с дополнительными ограничениями, на втором этапе в кустовых вычислительных центрах этой организации — многопродуктовую транспортную задачу линейного программирования в матричной постановке.  [c.33]

Во многих задачах управления в условиях неполной информации, свя занных с повторяющимися ситуациями, нет необходимости в том, чтобы ограничения задачи удовлетворялись при каждой реализации случая (или, как говорят, при каждой реализации состояния природы). Затраты на накопление информации или другие затраты, обеспечивающие исключение невязок в условиях задачи, могут превышать достигаемый при этом эффект. Часто конкретное содержание задачи требует лишь, чтобы вероятность попадания решения в допустимую область превышала некоторое заранее заданное число а>0. В тех случаях, когда возможные невязки в отдельных ограничениях вызьшают различный ущерб, целесообразно дифференцированно подходить к разным условиям. Чтобы уравновесить ущерб, определяемый невязками в разных условиях задачи, естественно ограничить снизу вероятность выполнения каждого из них различными числами а >0. Обычно аг>]/2- Подобные постановки задач стохастического программирования называются моделями с вероятностными ограничениями. Если коэффициенты линейной формы сх задачи детерминированы, то показатель 1 качества (1.1) является в то же время и целевой функцией задачи с вёроятност-ными ограничениями. Если компоненты вектора с случайны , TQ в качестве целевой функции задачи с вероятностными ограничениями обычно выбирают математическое ожидание линейной формы (1.1) или вероятность превышения линейной формой сх некоторого фиксированного порога.  [c.9]

Первые работы по стохастическому программированию появились в 1955 г. В них содержатся постановки линейных двухэтапных задач и подходы к вычислению распределения оптимального значения целевой функции задачи линейного программирования со случайными параметрами условий (так называемый пассивный подход к задачам стохастического программирования). Модели двухэтапных задач предложены одновременно и, по-видимому, независимо друг от друга Е. Билом i[30], и Дж. Данцигом [89]. Анализ двухэтапных постановок был затем развит А. Маданским [191—193], Р. Ветсом [60—62], П. Каллем [140, 142] и др. В настоящее время двухэтапным задачам посвящена достаточно обширная литература (см., например, [14—16, 71, 58, 94, 160, 176, 199, 253, 176, 284, 320, 49, 361]).  [c.17]

Объяснение линейного программирования: формулы и примеры

Линейное программирование определяется как метод в алгебре, который использует линейные уравнения, чтобы выяснить, как прийти к оптимальной ситуации (максимум или минимум) в качестве ответа на математическую задачу, предполагая, что конечность ресурсов и количественный характер конечной цели оптимизации. В этой статье на примерах объясняется, как работает линейное программирование.

Содержание

• Что такое линейное программирование?
• Методы линейного программирования
• Примеры линейного программирования

Что такое линейное программирование?

Линейное программирование — это алгебраический метод, использующий линейные уравнения для определения того, как достичь оптимальной ситуации (максимума или минимума) в качестве ответа на математическую задачу, предполагая конечность ресурсов и количественный характер конечной цели оптимизации. .

Линейное программирование (ЛП) использует множество линейных неравенств, относящихся к заданному сценарию, для определения «оптимального» значения, которое можно получить при этих ограничениях. Классическим примером может служить расчет «оптимального» уровня производства для максимизации прибыли с учетом ограничений на поставки и персонал.

В «реальном мире» линейное программирование является важным разделом математики, известным как методы оптимизации. Эта область исследований (или, по крайней мере, применимые к ней результаты) используется при распределении ресурсов и управлении ими. Эти «реальные» системы могут иметь десятки или даже сотни переменных. Однако в алгебре вы увидите только базовый (и наглядный) линейный пример с двумя переменными.

Графическое изображение неравенств (называемых «ограничениями») для построения огражденной зоны на плоскости x,y является типичным методом решения задач линейного программирования (известных как «область выполнимости»). Затем вы определяете размеры оконечностей этой возможной зоны (т. е. места пересечения различных пар линий) и оцениваете эти вершины в уравнении (называемом «уравнением оптимизации»), в котором вы пытаетесь получить максимальное значение. или минимальное значение.

Линейное программирование (ЛП) — один из самых простых методов оптимизации. Он упрощает конкретные, сложные вопросы линейного программирования и оптимизации, чтобы помочь вам найти решение. Аналитики данных всегда будут сталкиваться с приложениями и проблемами, требующими решений линейного программирования.

Формула линейного программирования

Проблема линейного программирования включает в себя параметры выбора, нелинейную цель, ограничения и неотрицательные ограничения. Результат модели LP определяется переменными выбора x и y, которые также отражают окончательный ответ.

Z — это функция, которую необходимо оптимизировать (максимизировать или минимизировать), чтобы получить ответ. Ограничения — это ограничения, накладываемые на переменные для ограничения их значений. В соответствии с неотрицательными ограничениями переменные всегда должны иметь неотрицательное значение.

Формулу линейного программирования можно рассматривать следующим образом:

• Функция формулы: ax + by = Z
• Рабочие ограничения формулы: cx + dy ≤ e и fx + gy ≤ h
• Другие неотрицательные ограничения: x ≥ 0, y ≥ 0

Вам нужно знать несколько терминов, чтобы понять значение линейного программирования. Сначала идут переменные решения. Эти элементы борются за ограниченные ресурсы, включая продукты, услуги и т. д. Они называются переменными решения, если они связаны линейной связью, способной определить наиболее оптимальный вариант.

Следующим компонентом будет целевая функция. Задача должна иметь количественно измеримую цель, такую ​​как максимизация прибыли, снижение затрат и т. д. Эти ограничения также применяются к имеющимся ресурсам, таким как ограниченное оборудование, люди, материалы и т. д. Некоторые ограничения существуют, но не препятствуют реализации. процесс изучения вопроса; они называются избыточными ограничениями.

Жизнеспособное решение — это совокупность всех потенциальных решений, удовлетворяющих константам в формате переменных. Кроме того, оптимальное значение — это наилучшее возможное решение, которое эффективно поддерживает цель задачи.

Наиболее важным шагом в решении задачи линейного программирования является ее формулировка с использованием предоставленных данных. Ниже приведены шаги для решения задач линейного программирования:

• Определение факторов выбора
• Разработайте целевую функцию
• Определить, следует ли уменьшить или увеличить функцию
• Запишите ограничения
• Убедитесь, что переменные решения больше или равны 0. (Неотрицательное торможение)
• Используйте либо симплексный, либо графический метод для решения проблемы линейного программирования

Узнать больше: Пять лучших бесплатных облачных платформ для изучения Kubernetes Online

Почему необходимо линейное программирование?

Все мы ежедневно сталкиваемся с несколькими целевыми сценариями. Предположим, у студента есть 15 дней, чтобы выполнить задание, или у продавца есть один месяц, чтобы выполнить свою квоту продаж, в то время как другой человек получает 600 долларов, чтобы потратить на электронное устройство.

Давайте представим, что цель учащегося в этом стремлении — получить максимально возможную оценку. Продавец будет стремиться к максимально возможному ежемесячному объему продаж. Покупатель устройства хотел бы снизить цену настолько, насколько это возможно. Они попытаются купить устройство в рамках своего бюджета. Целью каждой ситуации, описанной выше, является максимизация выгод или снижение затрат. Такие проблемы являются проблемами оптимизации, которые могут быть решены с помощью линейного программирования.

Проблема оптимизации в математике может включать в себя максимизацию прибыли, минимизацию затрат или минимизацию использования ресурсов. Ранее мы описали цели трех представленных обстоятельств; теперь мы можем исследовать их соответствующие ограничивающие соображения. Что это означает?

В любом случае ресурсов не хватает. В первом сценарии сроки выполнения задания сжаты. Точно так же в примере два человек должен продать наибольшее количество вещей в течение заданного периода времени. В третьем сценарии человек должен приобрести устройство в рамках определенного бюджета; следовательно, количество денег является ограничивающим элементом. Недостаток доступных ресурсов сдерживает поиск оптимальных решений поставленных задач.

В этих обстоятельствах нельзя использовать типичные методы исчисления и маржинального анализа. Подходы с исчислением могут обрабатывать только точно равные ограничения, ограничение, которого нет у линейного программирования.

Во многих реальных приложениях используется линейное программирование. Он служит основой для математических моделей, которые представляют реальные связи. Для организации и планирования производства производственные предприятия широко используют линейное программирование. Чтобы сократить время в пути и расход топлива, службы доставки используют линейное программирование для определения кратчайшего маршрута. Финансовые учреждения устанавливают спектр инвестиционных инструментов, которые могут быть предоставлены клиентам с использованием линейного программирования.

Линейное программирование обеспечивает жизненно важное понимание бизнес-задач, облегчая поиск идеального решения в каждом конкретном случае.

Признаки задачи линейного программирования

Задача, решаемая с помощью линейного программирования, будет иметь следующие признаки или характеристики:

• С учетом ограничений : Что касается ресурсов, следует представить ограничения в математической форме.
• Ориентирован на целевую функцию : Целевая функция проблемы должна быть описана количественно.
• Линейная зависимость : Связь функции между двумя или более независимыми переменными должна быть линейной. Это указывает на то, что степень переменной равна единице.
• Включает только конечные числа : Должны быть выходные и входные числа, которые являются как конечными, так и бесконечными. Оптимальное решение не реализуемо, если функция содержит неограниченное количество элементов.
• Не включает отрицательные значения. : Значение переменной должно быть нулевым или положительным. Значение не должно быть отрицательным.
• Зависит от переменных решения : Результат определяется переменной решения. Он обеспечивает окончательное решение проблемы. Первым шагом в решении любой проблемы является определение факторов принятия решения.

Узнать больше: Что такое язык программирования COBOL? Определение, примеры, использование и проблемы

Методы линейного программирования

Существует несколько подходов к решению задач линейного программирования. Четыре наиболее важных подхода:

1. Симплекс-метод

Симплекс-метод — типичный метод решения задач оптимизации в линейном программировании. Обычно он состоит из функции и некоторых ограничений, записанных в виде неравенств. Неравенство определяет многоугольную область, а решение часто находится в вершине. Этот подход представляет собой метод систематического изучения вершин как потенциальных решений.

Метод приближается и, наконец, достигает максимального или наименьшего значения целевой функции с помощью итерационной процедуры. Кроме того, стратегия помогает лицу, принимающему решения, выявить повторяющиеся ограничения, полное решение, несколько альтернатив и неразрешимую проблему, тем самым обеспечивая полное понимание деловой ситуации.

Проблема близнецов сопровождает каждую проблему линейного программирования. Можно легко получить ответ на этот вопрос, используя симплексный подход из решения исходной задачи.

Джордж Данциг создал метод симплекса для линейного программирования. Данциг разработал системы планирования для ПВО США во время Второй мировой войны с помощью настольного калькулятора. В 1946 году коллега предложил ему автоматизировать процедуру планирования, чтобы он не согласился на другую должность. Данциг определил проблему как линейное неравенство, хотя в то время он не включал цель в свою формулировку. Без цели существует множество возможных вариантов. Следовательно, для определения наилучшей возможной альтернативы следует применять специальные военные «основные правила».

Ключевым открытием Данцига было то, что большинство таких основных правил могут быть выражены как линейная функция целей, которые необходимо максимизировать.

2. Решение задач линейного программирования с использованием R

Линейное программирование — отличный инструмент для оптимизации принятия решений. Некоторые программы R, такие как пакет lpSolve R, позволяют решать проблемы линейного программирования. lpSolve — это расширение R, которое позволяет ссылаться на платформу на основе C для решения задач линейного программирования. Имея всего несколько бит кода с открытым исходным кодом, вы можете получить статистически значимую информацию (анализ чувствительности).

В то время как доступны другие бесплатные решения по оптимизации, наличие кода линейного программирования R в индивидуальном репозитории кода может сэкономить значительное количество времени, устраняя необходимость начинать писать формулу с нуля и требуя только модификации коэффициентов и знаков соответствующие матрицы. Это полезно, поскольку R регулярно используется для обработки данных и статистического анализа.

3. Графическое линейное программирование

Метод решения системы линейных уравнений путем построения графика часто называют графическим методом. То же самое справедливо и для задач линейного программирования.

Используя графические подходы, можно легко решить любую проблему программирования оптимизации, используя всего две переменные. Эти переменные можно обозначить как x1 и x2, и большая часть анализа может быть выполнена на двумерном графике с использованием этих переменных. Графический подход к решению линейного программирования использует метод экстремальных или угловых точек и метод линии эффективности изо-прибыли (затраты).

Метод изо-затрат или изо-прибыль определяет комбинацию точек, которая дает те же затраты/прибыль, что и любые другие комбинации точек на той же линии. Это достигается путем рисования параллельных линий градиенту уравнения.

4.

Линейное программирование с использованием OpenSolver

OpenSolver — это инструмент, предназначенный для решения моделей линейного и целочисленного программирования. OpenSolver — это надстройка Excel VBA, которая расширяет возможности встроенного Решателя Excel. Эндрю Мейсон разработал и обновил его вместе со студентами факультета технических наук Оклендского университета. Кроме того, он позволяет использовать линейные и смешанные целочисленные методы оптимизации в Google Таблицах без ограничений по произвольному размеру.

Важно отметить, что почти все широко используемые библиотеки линейного программирования и смешанно-целочисленного линейного программирования написаны на Fortran, C или C++ и являются родными для этих языков. Это связано с тем, что линейное программирование требует много работы с (часто значительными) матрицами, что трудно сделать на таком языке, как Python. Такая библиотека называется решателем.

5. Смешанно-целочисленное линейное программирование

Линейное программирование можно сделать еще более надежным с помощью смешанно-целочисленного линейного программирования. Он может решать задачи, в которых хотя бы одна переменная имеет дискретное целочисленное значение вместо непрерывного значения. На первый взгляд задачи со смешанными целыми числами выглядят как задачи с непрерывными переменными, но они намного лучше по гибкости и точности.

Целочисленные переменные необходимы для точного представления чисел, выраженных целыми числами, таких как количество произведенных самолетов или количество обслуженных клиентов. Двоичная переменная — это очень важный тип целочисленной переменной. Он может принимать только значения 0 или 1 и помогает принимать решения «да» или «нет», например, строить ли завод или включать машину. Вы также можете использовать их для имитации логических ограничений.

Подробнее: Переход от программиста к архитектору решений: четыре навыка и сертификата для достижения успеха

Примеры линейного программирования

Задача линейного программирования (ЗПП) заключается в поиске наилучшего значения заданной линейной функции. Идеальным значением может быть как наибольшее, так и наименьшее значение. Здесь представленная линейная функция рассматривается как целевая функция. Целевая функция может включать несколько переменных, зависящих от ситуации, и должна удовлетворять линейным ограничениям, набору линейных неравенств. Можно использовать вопросы линейного программирования, чтобы найти идеальное решение, среди прочего, для производства, диеты, транспортировки и распределения.

Ниже приведены несколько иллюстраций проблем, обычно решаемых методами линейного программирования:

Пример 1: Оптимизация диетических потребностей и ограничений по стоимости из 8 элементов витамина А и десяти элементов витамина С. Пища «I» включает 2 единицы витамина А на килограмм и 1 единицу витамина С на килограмм. Пища «II» содержит 1 единицу витамина А на килограмм и 2 единицы витамина С на килограмм. Еда «I» стоит 5 долларов за килограмм, тогда как еда «II» стоит 7 долларов за килограмм. Чтобы минимизировать цену такой комбинации, это можно выразить как задачу линейного программирования.

Пример 2: Оптимизация пищевых ингредиентов и объема продуктов

Для одного торта требуется 200 г муки и 25 г жира, а для другого – 100 г муки и 50 г жира. Эта проблема может быть выражена как задача линейного программирования для определения наибольшей доли торта, который можно испечь, используя 5 кг пшеницы и 1 кг жира. Это также подразумевает наличие достаточного количества других компонентов для приготовления торта.

Пример 3: Оптимизация затрат на транспортировку товаров

Рассмотрим производственный бизнес с двумя заводами в городах F1 и F2 и тремя торговыми точками в городах C1, C2 или C3. Ежемесячная потребность в торговых точках составляет 8, 5 и 2 единицы, тогда как месячная поставка у производителей – 6 и 9 соответственно. Обратите внимание, что все предложение и спрос равны. Также нам предоставляется стоимость транспортировки одной единицы от производства до торговых точек. Эта задача линейного программирования направлена ​​на оценку количества, которое необходимо отправить от каждого производителя в каждую точку розничной торговли, чтобы удовлетворить спрос при минимально возможной общей стоимости доставки.

Пример 4: Оптимизация продаж продукции для достижения максимальной прибыли

Пекарня производит два вида печенья: шоколадное и карамельное. Пекарня ожидает ежедневный спрос как минимум на 80 карамелизированных и 120 шоколадных печений. Из-за нехватки сырья и рабочей силы пекарня может производить 120 карамельных и 140 шоколадных печений в день. Чтобы пекарня была жизнеспособной, она должна продавать минимум 240 печенек каждый день. Каждое поданное печенье с шоколадной крошкой приносит 0,75 доллара прибыли, а каждое карамельное печенье приносит 0,88 доллара. Решение о количестве печенья с шоколадной крошкой и карамельного печенья, которое пекарня должна производить каждый день, чтобы максимизировать прибыль, может быть определено с помощью линейного программирования.

Узнать больше: Программист на Cobol: описание работы, ключевые навыки и зарплата в 2022 году

Вывод

Линейное программирование, такое как деревья решений и нечеткая логика, имеет важное значение для вычислительных алгоритмов. Он утверждает, что при заданном наборе фиксированных ограничений ресурсов существует оптимальное или наилучшее решение. Это имеет множество применений в когнитивных технологиях, таких как ИИ или машинное обучение, которые пытаются применить математические формулы и статистические модели к реальным проблемам.

Достаточно ли в этой статье объясняется, как работает линейное программирование? Расскажите нам на Facebook Открывает новое окно , Twitter Открывает новое окно и Linkedin Opens A New Window . Мы хотели бы услышать от вас!

БОЛЬШЕ ОБ ИТ-СТРАТЕГИИ

• Что такое унифицированные коммуникации? Определение, система, облачная служба, рекомендации и примеры
• 10 лучших практик планирования аварийного восстановления (DRP)
• 10 лучших SIEM-решений в 2022 году
• Что такое геймификация? Определение, программное обеспечение, примеры и лучшие практики 2022
• Scrum и DevOps: понимание основных различий

 

Формулировка задач линейного программирования | StudySmarter

Предположим, вы решили создать диаграмму диеты. Вы хотели бы, чтобы он содержал все питательные вещества, необходимые для здорового организма, а также хотел бы минимизировать расходы, связанные с покупкой включенных видов продуктов питания. Распределение пищевых продуктов на каждый день можно выполнить, сформулировав его в виде задачи линейного программирования (ЗПП).

Что такое линейное программирование?

Задачи линейного программирования связаны с определением оптимального распределения ограниченных ресурсов для достижения целей. Некоторые классические задачи линейного программирования встречаются при планировании производства, питания и транспорта.

Ресурсы могут быть в форме людей, сырья, денег, спроса, машин и т. д. Целью задачи линейного программирования может быть максимизация прибыли и полезности, минимизация общих затрат и капитальных затрат и т. д. Будут определенные ограничения на общий объем доступных ресурсов и на количество или качество каждого производимого продукта.

Задача линейного программирования связана с оптимизацией (максимизацией или минимизацией) функции. Он состоит из трех частей: целевой функции, переменной решения и ограничений.

Функции, которые необходимо оптимизировать, известны как целевая функция .

Переменные, значения которых определяют решение данной задачи, называются переменными решения задачи.

Набор одновременных линейных уравнений или неравенств, которым подчиняется задача, известен как ограничения .

В задачах линейного программирования термин «линейный» относится к тому факту, что все переменные, участвующие в целевой функции и ограничениях, являются линейными, то есть имеют степень \(1\) в рассматриваемых задачах. Термин «программирование» относится к процессу определения определенного курса действий.

Правила формулирования задач линейного программирования

Следующие правила должны применяться при формулировании задачи линейного программирования.

1. Должна быть четко определенная цель для достижения (максимизация или минимизация).

2. Существует только конечное число переменных решения.

3. По крайней мере несколько ресурсов должны быть в ограниченном количестве, что приводит к ограничениям.

4. Все элементы должны поддаваться количественной оценке. Все переменные решения должны принимать только неотрицательные значения.

5. И заданная целевая функция, и ограничения должны быть линейными уравнениями или неравенствами.

6. Должны быть альтернативные направления действий на выбор.

Математическая формулировка задач линейного программирования

Если \(x_i (i=1,2,…,n)\) являются \(n\) переменными решения задачи и если данная к \(k\) ограничениям, то общую математическую модель можно записать в виде

Оптимизация \(Z = f(x_1,x_2,…,x_n)\) при условии \(g_i(x_1,x_2, …,x_n) \leq ,=,\geq b_j,(i=1,2,…,k)\)

и \(x_1,x_2,….,x_n \geq 0\)

Давайте рассмотрим шаги, связанные с математической формулировкой задач линейного программирования.

1. Мы должны идентифицировать неизвестные переменные решения, которые необходимо определить, и присвоить им символы.

2. После этого определите цель или задачу и представите ее также как линейную функцию переменных решения.

3. Далее вам необходимо определить все ограничения или ограничения в данной задаче и выразить эти ограничения или ограничения в виде линейных уравнений или неравенств переменных решения.

4. Выразите полную формулировку задачи линейного программирования в виде математической модели, состоящей из цели и ограничений.

Этапы формулирования задач линейного программирования

Следующие этапы используются для математической формулировки задач линейного программирования.

Шаг 1: Во-первых, для оптимизации функции определите все количество переменных решения, которые управляют поведением целевой функции. Представим это как ‘\(n\)’.

Шаг 2: Во-вторых, вам необходимо определить набор ограничений на переменные решения. Вам нужно будет выразить их через линейные уравнения или форму неравенства. Это поможет вам настроить вашу область в \(n\)-мерном пространстве, в котором ваша целевая функция должна быть оптимизирована. Обратите внимание на условие неотрицательности переменных решения, то есть все они должны быть положительными, поскольку проблема может представлять реальный сценарий, а такие переменные не могут быть отрицательными.

Шаг 3: Теперь выразим целевую функцию в виде линейного уравнения или неравенств в переменных решения.

Шаг 4: Наконец, математически оптимизируйте целевую функцию.

Примеры постановки задачи линейного программирования

Фабрика производит два типа продукции \(S\) и \(T\) и продает их с прибылью \(2$\) по типам \(S\) и \(3$ \) по типу \(T\). Каждое изделие обрабатывается на двух машинах \(M_1\) и \(M_2\). Тип \(S\) требует \(1\) минуты обработки для \(M_1\) и \(2\) минут для \(M_2\). Тип \(T\) требует \(1\) минуты на \(M_1\) и 1 минуту на \(M_2\). Машина \(M_1\) доступна не более \(6\) часов \(40\) минут, а машина \(M_2\) доступна в течение \(10\) часов в любой рабочий день. Сформулируйте задачу как LPP так, чтобы максимизировать прибыль.

Решение:

Пусть фабрика решает производить \(x_1\) единиц продукта \(S\) и \(x_2\) единиц продукта \(T\), чтобы максимизировать свою прибыль.

Для производства этих единиц продукции типа \(S\) и типа \(T\) требуется \(x_1+x_2\) минут обработки на \(M_1\) и \(2x_1+x_2\) минут обработки на \ (М_2\). Поскольку машина \(M_1\) доступна максимум \(6\) часов \(40\) минут, а \(M_2\) доступна максимум \(10\) часов в любой рабочий день, ограничения составляют

\[x_1+x_2 \leq 400,\] \[2x_1+x_2 \leq 600,\] и \[x_1,x_2 \geq 0.\]

Поскольку прибыль от вида \(S\) равна \ ($2\) и прибыль от типа \(T\) равна \($3\), общая прибыль равна \(2x_1+3x_2\). Поскольку цель состоит в том, чтобы максимизировать прибыль, целевая функция состоит в том, чтобы максимизировать \(Z=2x_1+3x_2\).

Полная формулировка LPP: \(\text {Maximise}\, Z=2x_1+3x_2\) с учетом ограничений

\[x_1+x_2\leq 400,\]

\[2x_1+x_2\ leq 600,\]

и \[x_1,x_2 \geq 0.\]

Рассмотрим еще одну проблему.

Компания производит умные часы и флагманские телефоны. Прогнозы компании указывают на ожидаемый спрос как минимум на \(200\) флагманских телефонов и \(140\) умных часов каждый день. Из-за некоторых ограничений в производственном отделе ежедневно может производиться не более \(300\) флагманских телефонов и \(180\) умных часов.

Для того, чтобы упростить контракт на отгрузку, минимум \(240\) товаров должен отгружаться каждый день. Если каждый проданный флагманский телефон приводит к убытку \($10\), но каждые умные часы приносят прибыль \($20\); тогда сколько умных часов и флагманских телефонов каждого типа необходимо производить ежедневно, чтобы максимизировать чистую прибыль?

Решение:

Давайте решим данную задачу линейного программирования в соответствии с шагами.

Шаг 1: Вы должны найти переменные решения. Вас попросили оптимизировать количество смартфонов и флагманских телефонов, выпускаемых компанией. Это будут ваши переменные решения в данной задаче.

Пусть \(x=\)Количество выпущенных флагманских телефонов и \(y=\)Количество выпущенных смартфонов

Следовательно, \(x\) и \(y\) являются двумя переменными решения в данной задаче.

Шаг 2: Теперь вам нужно позаботиться об ограничениях. Поскольку компания не может произвести отрицательное количество флагманских телефонов и умных часов, очевидными ограничениями будут \[x \ge 0,\] и \[y \ge 0.\]. В данной задаче нижняя граница для компании продают свои умные часы и дарят флагманские телефоны. Вы можете записать их как \[x \ge 200,\] и \[y \ge 140.\] Также даны верхние границы для этих производств с учетом ограничений производственного отдела. Вы можете записать их как \[x \le 300,\] и \[y \le 180.\]. Кроме того, у вас есть общее ограничение как для умных часов, так и для флагманских телефонов из-за доставки. контракт как \[x+y \ge 240.\]

Шаг 3: Теперь рассмотрим целевую функцию. Вы должны оптимизировать функцию чистой прибыли. Он задается как \[P=-10x+20y.\]

Шаг 4: Последний шаг — решить проблему.

\[\text {Maximise}\, P=-10x+20y \]

при условии \[200 \le x \le 300,\] \[140 \le y \le 180,\] и \[ x+y \ge 240.\]

Давайте рассмотрим еще один реальный сценарий.

Дейв хочет выбрать составные части своего рациона, которые удовлетворят его ежедневные потребности в белках, жирах и углеводах при минимальных затратах. Он получает эти питательные вещества из четырех разных продуктов. Выходы на единицу его пищи приведены в следующей таблице.

3737 1\]

Food type	Yield/unitProteins	Yields/unitFats	Yields/unitCarbohydrates	Cost/unit$
\[1\]	\[3\]	\[2 \]	\[6\]	\[2\]
\[2\]	\[4\]	\[2\]	\[4\]
\[3\]	\[8\]	\[7\]	\[7\]	\[5\]
\[4\]	\[6\]	\[5\]	\[4\]	\[3\]
\[	] Минимальное требование\[ ] \[200\] \[700\] Сформулируйте модель линейного программирования для задачи. Решение: Пусть \(x_1,x_2,x_3\) и \(x_4\) будут единицами пищи типа \(1\), \(2\), \(3\) и \(4\) используются соответственно. Из этих единиц пищи видов \(1\), \(2\), \(3\) и \(4\) ему требуется \[3x_1+4x_2+8x_3+6x_4\, \text{Белки/день},\] \[2x_1+2x_2+7x_3+5x_4\, \text{Жиры/день}\] \[ 6x_1+4x_2+7x_3+4x_4\, \text{Углеводов/день}.\] Поскольку минимальная потребность в этих белках, жирах и углеводах составляет \(900\), \(200\) и \(700 \) соответственно ограничения: \[3x_1+4x_2+8x_3+6x_4 \geq 900,\] \[2x_1+2x_2+7x_3+5x_4 \geq 200,\] \[6x_1+4x_2+7x_3+4x_4 \geq 700,\] и \[x_1,x_2,x_3,x_4 \geq 0.\] Так как стоимость этой еды типа \(1\), \(2\), \(3\) и \(4\) составляет \($2\), \($1\), \($5\ ) и \(3$\) за единицу, общая стоимость составляет \(2x_1+x_2+5x_3+3x_4\, $\). Поскольку целью является минимизация общих затрат, целевая функция равна \[\text {Минимизировать}\, Z=2x_1+1x_2+5x_3+3x_4. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт