Финансовая математика (учебное пособие для студентов)
Самаров К.Л.
Учебное пособие для студентов по математике
СОДЕРЖАНИЕ
- Схемы предоставления ссуд
- Простейшие сведения о процентах
- Предоставление ссуд на срок в 1 год на основе годовых процентных и учетных ставок
- Предоставление ссуд на срок, выражаемый в годах, по схемам простых и сложных процентов на основе процентной ставки
- Предоставление ссуд на срок, выражаемый в годах, по схемам простых и сложных процентов на основе учетной ставки
- Способы определения срока возврата ссуд в годах для ссуд, выданных на срок, исчисляемый в днях
- Ссуды, обеспеченные залогом (ломбардные кредиты)
- Сравнение денежных сумм, выплаченных в различные моменты времени
- Предоставление ссуд по схеме непрерывных процентов на основе процентной ставки
- Консолидация ссуд
- Простейшие сведения о конверсии валют
- Схемы погашения ссуд
- Погашение ссуд одинаковыми платежами (потребительские кредиты)
- Погашение ссуд одинаковыми платежами, на которые начисляются процентные деньги
- Погашение ссуд одинаковыми платежами в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
- Погашение ссуд платежами, содержащими одинаковые выплаты долга, в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
- Погашение ссуд при помощи выплат долга, изменяющихся по арифметической прогрессии в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
- Погашение ссуд при помощи выплат долга, изменяющихся по геометрической прогрессии, в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
- Погашение ссуд при помощи аннуитетов, последний из которых может отличаться от остальных в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
- Выбор оптимального варианта погашения кредита
- Постоянные финансовые ренты
- Схемы покупки долгов
- Учет и переучет векселей
- Форфейтинговый кредит
- Доходность финансовых операций
- Аналогия финансовых операций по схемами предоставления ссуд
- Мгновенная доходность финансовых операций
- Примеры и задачи для самостоятельного решения
- Библиографический список
| Скачать пособие «Финансовая математика» (формат pdf, 1062 кб) |
Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть разделы нашего справочника «Проценты.
Решение задач на проценты» и «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наше учебное пособие «Задачи на проценты».
Наверх
6.2: Сложные проценты — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 37876
- Рупиндер Секон и Роберта Блум
- Колледж Де Анза
Цели обучения
В этом разделе вы научитесь:
- Находить будущую стоимость паушальной суммы.
- Найдите текущую стоимость паушальной суммы.
- Найдите эффективную процентную ставку.
Сложные проценты
В предыдущем разделе мы рассмотрели задачи, связанные с простыми процентами.
Предположим, мы вносим 200 долларов на счет, который выплачивает 8% годовых. В конце года у нас будет 200 долларов + 200 долларов (0,08) = 200 долларов (1 + 0,08) = 216 долларов.
Теперь предположим, что мы положили эту сумму, 216 долларов, на тот же счет. Еще через год у нас будет 216 долларов + 216 долларов (0,08) = 216 долларов (1 + 0,08) = 233,28 долларов.
Таким образом, первоначальный депозит в размере 200 долларов за два года увеличился до 233,28 долларов. Кроме того, обратите внимание, что если бы это были простые проценты, эта сумма составила бы всего 232 доллара. Причина, по которой сумма немного выше, заключается в том, что проценты (16 долларов), которые мы заработали за первый год, были возвращены на счет.
Суммируем следующим образом:
| Первоначальная сумма | 200 долларов | = 200 долларов |
| Сумма по истечении одного года | 200 долларов (1 + 0,08) | = 216 | долларов США
| Сумма через два года | 200 долларов (1 + 0,08) 2 | = 233,28 доллара США |
| Сумма через три года | 200 долларов (1 + 0,08) 3 | = 251,94 доллара США |
| Сумма через пять лет | 200 долларов (1 + 0,08) 5 | = 293,87 доллара США |
| Сумма после t лет | 200 долларов (1 + 0,08) т |
ПЕРИОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ
Банки часто начисляют проценты более одного раза в год.
{t}\), когда \(n = 1\). 9{t}
\end{aligned} \nonumber \]
Мы используем логарифмы для нахождения значения \(t\), поскольку переменная \(t\) находится в показателе степени.
\[t=\log _{1.04}(1.5) \nonumber \]
Используя формулу замены основания, мы можем найти \(t\):
\[t=\frac{\ln (1.5 )}{\ln (1.04)}=10,33 \text { years } \nonumber \]
Требуется 10,33 года, чтобы 4000 долларов накопились до 6000 долларов при условии инвестирования под 4% годовых с начислением сложных процентов
Пример \(\PageIndex{4 }\) 9{1 / 24}=1+\frac{\mathrm{r}}{4} \nonumber \]
Вычисление левой части уравнения дает
\[\begin{array}{l}
1,0197765=1 +\frac{\mathrm{r}}{4} \\
0,0197765=\frac{\mathrm{r}}{4} \\
\mathrm{r}=4(0,0197765)=0,0791
\end{array } \nonumber \]
Процентная ставка 7,91% необходима для того, чтобы 5000 долларов, вложенных сейчас, накопились до 8000 долларов через 6 лет, с ежеквартальным начислением процентов.
Эффективная процентная ставка
Банки должны указывать свою процентную ставку в виде «эффективная доходность» » или «эффективная процентная ставка» , для целей сравнения. Эффективная ставка также называется годовой процентной доходностью (APY) или годовой процентной ставкой (APR).
Эффективная ставка представляет собой процентную ставку, начисляемую ежегодно, которая будет эквивалентна установленной ставке и периодам начисления процентов. В следующем примере показано, как рассчитать эффективную ставку.
Чтобы проверить несколько инвестиций, чтобы определить, какая из них имеет лучшую ставку, мы находим и сравниваем эффективную ставку для каждой инвестиции.
В примере \(\PageIndex{5}\) показано, как рассчитать эффективную ставку.
Пример \(\PageIndex{5}\)
Если банк А ежемесячно выплачивает 7,2% годовых, какова эффективная процентная ставка?
Если банк B выплачивает 7,25% годовых с начислением сложных процентов, какова эффективная процентная ставка? Какой банк платит больше процентов?
Решение
Банк A: Предположим, мы вложим 1 доллар в этот банк и оставим его на год, мы получим
\[\begin{array}{l} 9{2}-1=0,0738 \номер\]
Эффективная процентная ставка составляет 7,38% .
Банк А платит несколько более высокие проценты с эффективной ставкой 7,44% по сравнению с Банком Б с эффективной ставкой 7,38%.
Непрерывное начисление сложных процентов
Проценты могут начисляться ежегодно, раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно и ежедневно. Используя те же методы расчета, мы могли бы вычислять каждый час, каждую минуту и даже каждую секунду. По мере того как период начисления процентов становится все короче и короче, мы движемся к концепции непрерывного начисления процентов.
Но что мы имеем в виду, когда говорим, что проценты начисляются непрерывно, и как мы вычисляем такие суммы? Когда проценты начисляются «бесконечно много раз», мы говорим, что проценты равны , непрерывно начисляемым . Наша следующая цель — вывести формулу для моделирования непрерывного начисления процентов.
Предположим, мы положили 1 доллар на счет со 100% процентной ставкой. Если проценты начисляются один раз в год, общая сумма через год будет \(\$ 1(1+1)=\$ 2\).
{n}\) 9{0,07}-1 \\
\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=1,0725-1 \\
\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=0,0725 \text {или} 7,25 \%
\end{array} \nonumber \]
Пример \(\PageIndex{8}\)
Если сумма инвестируется под 7% непрерывного начисления сложных процентов, сколько времени потребуется, чтобы удвоиться?
Мы предлагаем два решения.
Решение 1 использует логарифмы для вычисления точного ответа, поэтому оно предпочтительнее. Мы уже использовали этот метод в примере \(\PageIndex{3}\) для определения времени, необходимого для накопления инвестиций до указанной будущей стоимости. 9{.07 t}=2 \nonumber \]
Используя натуральный логарифм:
\[\begin{array}{l}
.07 \mathrm{t}=\ln (2) \\
\mathrm{t }=\ln (2) / .07=9,9 \: \mathrm{years}
\end{array} \nonumber \]
Деньги удваиваются за 9,9 лет, если их инвестировать под 7% годовых.
Решение 2: Оценка ответа с использованием закона 70:
Закон 70 — полезный инструмент для оценки времени, необходимого для удвоения стоимости инвестиций.
Это приближение, оно не является точным и исходит из нашего предыдущего решения. Мы подсчитали, что
\[\mathrm{t}=\ln (2) / \mathrm{r} \text{ где } \mathrm{r} \text{ было 0,07 в этом решении.} \nonumber \]
Оценка \( \ln(2) = 0,693\), дает \(t = 0,693/\mathrm{r}\). Умножение числителя и знаменателя на 100 дает \(t = 69,3/(100\mathrm{r})\)
Если мы оценим 69,3 на 70 и укажем процентную ставку в процентах вместо десятичной дроби, мы получим закон 70 :
Закон 70-х: Количество лет, необходимое для удвоения денег ≈ 70 ÷ процентная ставка
- Обратите внимание, что это приблизительная оценка.
- Процентная ставка указывается в процентах (не десятичных) в Законе 70-ти.
Использование Закона 70 дает нам \(t\) ≈ 70/7=10, что близко, но не точно к значению 9,9 лет, рассчитанному в Решении 1.
| Годовая процентная ставка | 1% | 2% | 3% | 4% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% | |
| Количество лет для удвоения денег | 70 | 35 | 23 | 18 | 14 | 12 | 10 | 9 | 8 | 7 |
Схема в таблице аппроксимирует Закон 70.
При наличии технологий для выполнения вычислений с использованием логарифмов мы будем использовать Закон 70 только для быстрой оценки времени удвоения. Использование закона 70 в качестве оценки работает только для времени удвоения, но не для других множителей, поэтому он не заменяет знания о том, как находить точные решения.
Тем не менее, Закон 70 может быть полезен для быстрой мысленной оценки многих проблем «времени удвоения», что может быть полезно в приложениях со сложными процентами, а также в других приложениях, связанных с экспоненциальным ростом.
Пример \(\PageIndex{9}\)
- При пиковых темпах роста в 1960-х годах население мира удваивалось за 35 лет. В то время примерно какой был темп роста?
- По состоянию на 2015 год ежегодный прирост населения мира составлял примерно 1,14%. Основываясь на этой скорости, найдите приблизительное время удвоения.
Раствор
а. По закону 70 г.время удвоения = \(35 \приблизительно 70 \дел r\)
\(r \приблизительно 2\), выраженное в процентах
Таким образом, население мира росло примерно на 2% в 1960-х годах.
b.. Согласно закону 70,
время удвоения \(t \примерно 70 \дел r = 70 \дел 1,14 \приблизительно 61\) лет
Если бы население мира продолжало расти в годовом исчислении при темпах роста 1,14 % потребуется примерно 61 год, чтобы население удвоилось. 9{\mathbf{r}}-1 \номер\]
Количество лет для удвоения денег примерно равно 70 ÷ процентная ставка
Эта страница под названием 6.2: Compound Interest распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Рупиндером Секоном и Робертой Блум с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Рупиндер Сехон и Роберта Блум
- Лицензия
- СС BY
- Версия лицензии
- 4,0
- Показать страницу TOC
- нет
- Теги
- сложные проценты
- непрерывное компаундирование
- источник@https://www.
deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.html
deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.htmlСложные проценты | Математика для гуманитарных наук Базовый курс
Результаты обучения
- Расчет сложных процентов по сценарию с процентами
- Расчет начального баланса с учетом процентного сценария
- Нахождение времени в задаче на сложные проценты
Начисление сложных процентов
С простыми процентами мы предполагали, что мы присвоили проценты, когда мы их получили. На стандартном банковском счете любые проценты, которые мы зарабатываем, автоматически добавляются к нашему балансу, и мы получаем проценты на эти проценты в последующие годы. Это реинвестирование процентов называется рецептура .
Предположим, что мы кладем 1000 долларов на банковский счет с ежемесячной процентной ставкой 3%. Как будут расти наши деньги?
Процентная ставка в размере 3% представляет собой годовую процентную ставку (годовая) – общая сумма процентов, подлежащих выплате в течение года.
Поскольку проценты выплачиваются ежемесячно, каждый месяц мы будем зарабатывать [latex]\frac{3%}{12}[/latex]= 0,25% в месяц.
В первый месяц
- P 0 = 1000 долларов
- r = 0,0025 (0,25%)
- I = 1000 долл. США (0,0025) = 2,50 долл. США
- A = 1000 долл. США + 2,50 долл. США = 1002,50 долл. США
В первый месяц мы заработаем 2,50 доллара в виде процентов, увеличив баланс нашего счета до 1002,50 доллара.
Во второй месяц
- P 0 = 1002,50 долл. США
- I = 1002,50 долл. США (0,0025) = 2,51 долл. США (округлено)
- A = 1002,50 долл. США + 2,51 долл. США = 1005,01 долл. США
Обратите внимание, что во второй месяц мы заработали больше процентов, чем в первый месяц. Это связано с тем, что мы заработали проценты не только на первоначальные 1000 долларов США, которые мы внесли, но мы также получили проценты на 2,50 доллара США процентов, которые мы заработали в первый месяц.
Это ключевое преимущество составляет проценты дают нам.
Подсчет еще нескольких месяцев дает следующее:
| Месяц | Начальный баланс | Полученные проценты | Конечный баланс |
| 1 | 1000.00 | 2,50 | 1002.50 |
| 2 | 1002.50 | 2,51 | 1005.01 |
| 3 | 1005.01 | 2,51 | 1007,52 |
| 4 | 1007,52 | 2,52 | 1010.04 |
| 5 | 1010.04 | 2,53 | 1012,57 |
| 6 | 1012,57 | 2,53 | 1015.10 |
| 7 | 1015.10 | 2,54 | 1017,64 |
| 8 | 1017,64 | 2,54 | 1020.18 |
| 9 | 1020. 18 | 2,55 | 1022,73 |
| 10 | 1022,73 | 2,56 | 1025,29 |
| 11 | 1025,29 | 2,56 | 1027,85 |
| 12 | 1027,85 | 2,57 | 1030.42 |
Мы хотим упростить процесс расчета сложных процентов, поскольку создание таблицы, подобной приведенной выше, требует много времени. К счастью, математика хорошо подсказывает, как срезать путь. Чтобы найти уравнение, представляющее это, если P м представляет собой сумму денег через м месяцев, тогда мы могли бы написать рекурсивное уравнение: м = (1+0,0025) P m-1
Вы можете признать это рекурсивной формой экспоненциального роста.
рекурсивный рост
Вспомните основной процесс рекурсивного роста. Начиная с начального количества, [latex]P_0[/latex], каждое последующее количество, [latex]P_m[/latex], растет пропорционально себе, [latex]P_{m-1}[/latex], с некоторой скоростью.
[латекс]г[/латекс]. 9{m+n}[/латекс].
То есть при умножении подобных оснований мы складываем степени.
Пример
Постройте явное уравнение для роста 1000 долларов, размещенных на банковском счете с процентной ставкой 3%, ежемесячно начисляемой на сложные проценты.
Показать решениеПосмотрите это видео, чтобы ознакомиться с концепцией сложных процентов.
Хотя эта формула работает нормально, чаще используется формула, включающая количество лет, а не количество периодов начисления сложных процентов. Если N — количество лет, тогда м = N k . Это изменение дает нам стандартную формулу сложных процентов.
[латекс]m=Nk[/латекс]
Как мы получили [латекс]m = Nk[/латекс]?
Напомним, что [latex]m[/latex] представляет собой количество периодов начисления процентов, в течение которых инвестиция остается на счете, а [latex]k[/latex] представляет количество раз в год, когда ваши проценты начисляются.
Если проценты по вашему депозиту начисляются ежемесячно, то [latex]k = 12[/latex]. Если оставить депозит на [latex]1[/latex] год, то [latex]m = 12[/latex]. Но если [latex]k = 12[/latex] и вы оставляете залог на [latex]2[/latex] лет, тогда [latex]m = 2*12 = 24[/latex]. Если посмотреть на это с другой стороны, [латекс]м = N\текст{ лет} * к[/латекс].
[латекс]m = Nk[/латекс].
Пример. Инвестиции в размере 1000 долларов США, приносящие проценты по ставке 4%, начисляемые ежеквартально (4 раза в год), остаются на счете в течение [latex]3[/latex] лет.
У нас есть [латекс]4[/латекс] периода начисления процентов в год, поэтому [латекс]k = 4[/латекс]
Если мы оставим наши деньги на [латекс]1[/латекс] год, количество периоды начисления составляют [латекс]1*4: m=4[/латекс].
Если мы оставим наши деньги на [латекс]3[/латекс] лет, [латекс]m = 3*4[/латекс] или [латекс]12[/латекс]. 9{Nk}[/latex]
- P N это остаток на счете после N лет.
- P 0 начальный баланс счета (также называемый начальным депозитом или основной суммой)
- r — годовая процентная ставка в десятичной форме
- k — количество периодов начисления сложных процентов в одном году.
- Если начисление производится ежегодно (раз в год), к = 1.
- Если начисление процентов производится ежеквартально, к = 4.
- Если начисление процентов производится ежемесячно, k = 12.
- Если начисление процентов производится ежедневно, k = 365.
Самое важное, что нужно помнить об использовании этой формулы, это то, что она предполагает, что мы кладем деньги на счет один раз и оставляем их там, чтобы получать проценты.
В следующем примере мы покажем, как использовать формулу сложных процентов, чтобы найти остаток по депозитному сертификату через 20 лет.
не забудьте преобразовать проценты в десятичную форму
Обычно для выполнения вычислений над числом, выраженным в процентах, вам необходимо преобразовать его в десятичную форму.
Ставка [latex]r[/latex] в формулах процентов должна быть преобразована из процентов в десятичную форму перед использованием формулы.
Пример
Депозитный сертификат (CD) — это сберегательный инструмент, который предлагают многие банки. Обычно это дает более высокую процентную ставку, но вы не можете получить доступ к своим инвестициям в течение определенного периода времени. Предположим, вы вкладываете 3000 долларов в депозитный сертификат с ежемесячной процентной ставкой 6%. Сколько будет у вас на счету через 20 лет?
Показать решениеНиже представлено видео с решением этой проблемы.
Давайте сравним сумму денег, заработанную на сложном проценте, с суммой, которую вы заработаете на простых процентах
| Годы | Простые проценты (15 долларов США в месяц) | 6% ежемесячно начисляется = 0,5% каждый месяц. |
| 5 | $3900 | 4046,55 $ |
| 10 | 4800 $ | 5458,19 $ |
| 15 | $5700 | 7362,28 $ |
| 20 | 6600 $ | 9930,61 $ |
| 25 | 7500 $ | 13394,91 $ |
| 30 | $8400 | 18067,73 $ |
| 35 | $9300 | 24370,65 $ |
Как видите, в течение длительного периода времени начисление сложных процентов сильно влияет на баланс счета. Вы можете распознать в этом разницу между линейным ростом и экспоненциальным ростом.
Линейный рост против экспоненциального роста
Напомним, что линейный рост увеличивается с постоянной скоростью. График линейного роста будет описывать прямую линию между любыми двумя точками на графике. График изменяется на ту же аддитивную величину на единицу ввода.
Например, банковский счет, который увеличивается на 5 долларов в год, имеет линейный рост.
Экспоненциальный рост описывает количество, растущее со скоростью, пропорциональной самой себе на каждую единицу ввода. График изменяется кратно своему текущему значению на единицу ввода. График будет описывать быстро возрастающую кривую. 9{x}}\пробел 240[/латекс]. Попробуйте — у вас должно получиться что-то около 3.3102044758.
Пример
Вы знаете, что вам потребуется 40 000 долларов на образование вашего ребенка через 18 лет. Если ваш счет зарабатывает 4% ежеквартально, сколько вам нужно внести сейчас, чтобы достичь своей цели?
Показать решениеПопробуйте
Округление
Важно быть очень осторожным с округлением при вычислениях с показателями степени. В общем, вы хотите сохранить как можно больше десятичных знаков во время вычислений. Обязательно сохранить не менее 3 значащих цифр (числа после любых начальных нулей).
Округление 0,00012345 до 0,000123 обычно дает «достаточно близкий» ответ, но всегда лучше оставить больше цифр.
Пример
Чтобы понять, почему недопустимость чрезмерного округления так важна, предположим, что вы инвестируете 1000 долларов США под 5% годовых, начисляемых ежемесячно в течение 30 лет.
| P 0 = 1000 долларов | первоначальный депозит |
| r = 0,05 | 5% |
| к = 12 | 12 месяцев в 1 году |
| N = 30 | так как ищем сумму через 30 лет |
Если мы сначала вычислим r/k , то получим 0,05/12 = 0,00416666666667
Вот результат округления до различных значений:
| р/к округлить до: | Получается P 30 будет: | Ошибка |
| 0,004 | 4208,59 $ | 259,15 $ |
| 0,0042 | 4521,45 $ | 53,71 $ |
| 0,00417 | 4473,09 $ | 5,35 $ |
| 0,004167 | 4468,28 $ | 0,54 $ |
| 0,0041667 | 4467,80 $ | 0,06 $ |
| без округления | 4467,74 $ |
Если вы работаете в банке, вы, конечно, вообще не будете округлять.
Для наших целей ответ, который мы получили, округлив до 0,00417, трех значащих цифр, достаточно близок — скидка 5 долларов с 4500 долларов не так уж и плоха. Конечно, сохранение этого четвертого знака после запятой не помешало бы.
Просмотрите следующее для демонстрации этого примера.
Использование калькулятора 9{360}}[/латекс].
Теперь мы можем использовать калькулятор.
| Тип | Калькулятор показывает |
| 0,05 ÷ 12 = . | 0,00416666666667 |
| + 1 = . | 1.00416666666667 |
| ух 360 = . | 4.46774431400613 |
| × 1000 = . | 4467.74431400613 |
Использование калькулятора продолжение
Предыдущие шаги предполагали, что у вас есть калькулятор «одна операция за раз»; более продвинутый калькулятор часто позволяет вам ввести вычисляемое выражение целиком.