Задачи на сочетание перестановку и размещение: Перестановки. Размещения. Сочетания. Урок решения комбинаторных задач

Перестановки. Размещения. Сочетания. Урок решения комбинаторных задач

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Перестановки.
Размещения.
Сочетания.
Урок решения
комбинаторных задач
9 класс
Пусть имеются три кубика с буквами А, В и С.
Составьте всевозможные комбинации из этих
букв.
В
А
ABC
ВСА
CAB
С
АСВ
ВАС
CBA
Эти комбинации отличаются друг от друга только
расположением букв (перестановка букв).

Перестановки
Перестановки — это комбинации, составленные из одних и тех же
элементов и отличающиеся порядком их следования.
Число всех возможных перестановок элементов обозначается Pn, и
может быть вычислено по формуле:
Формула перестановки:
Рn=n!
При перестановке число объектов остается неизменными,
меняется только их порядок
С ростом числа объектов количество перестановок очень
быстро растет и изображать их наглядно становится
затруднительно.
3 объекта
Рn=n!
Р3=3!=1∙2∙3=6
количество перестановок 6
Задача 1. В турнире участвуют семь команд. Сколько
вариантов распределения мест между ними возможно?
Р7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
Ответ: 5040
Задача 2. Сколькими способами могут разместиться за круглым
столом 10 человек?
Р10 =10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800
Ответ: 3628800
1. Вычислить:
а) 5!
7!
б)
3!
11!
в)
8!
2. В среду в 9 классе 6 уроков: алгебра, русский язык, черчение, биология,
химия, обществознание. Сколько вариантов расписания можно составить на
среду?
Размещения
Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми
возможными способами между собой .
Получившиеся комбинации называются размещениями из
n объектов по m, а их число равно:
Формула размещения:
n!
А
n m !
m
n
При размещениях меняется и состав выбранных объектов, и их порядок.
n!
А
n m !
m
n
3 объекта
n=3 — всего объектов (различных фигур)
m= 2 – выбор и перестановка объектов
Размещение по 2 фигуры
А
2
3
3!
6
6
3 2 ! 1
Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке, если
выбирать их из имеющихся в наличии семи книг?
n!
А
n m !
m
n
А
5
7
7!
7! 2! 3 4 5 6 7
2520
7 5 ! 2!
2!
Ответ: 2520 способов
1. Вычислить:
а) А
2
6
А А
б)
3
А10
4
12
4
11
2. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися
цифрами, которые можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 60 чисел
Сочетания
3 объекта
Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов все возможными способами
Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m,
n!
С
(n m)! m!
m
n
В сочетаниях меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен
Задача: Сколькими способами можно распределить три путевки в
один санаторий между пятью желающими?
Так как путевки предоставлены в один санаторий, то
варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы
одним желающим. Поэтому число способов распределения
n!
С
(n m)! m!
m
n
Ответ: 10 способов.
Задача:
Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой
партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество
возможных вариантов сочетаний.
Ответ: 190
Задача: В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими
способами можно сформировать бригаду из 7 человек, чтобы в ней было
3 женщины?
Из пяти женщин необходимо выбирать по три, поэтому число способов отбора
Так как требуется отобрать четырех мужчин из семи,
то число способов отбора мужчин
Ответ: 350
.

English     Русский Правила

Самостоятельная работа по теме «Комбинаторика»

13 сентября 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

TG 4ЕГЭ

Пробные работы ОГЭ по математике

16 заданий с ответами.

komb.doc

1. Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопрос…

а) о том, сколько и каких комбинаций можно получить из элементов данного множества;
б) о том, как строятся логические выражения;
в) о подсчете числа выборок, отличающихся порядком расположения или составом элементов.

2. В классе 20 мальчиков и 12 девочек. Сколькими способами можно выбрать 1 человека из класса?

а) 20;
б) 12;
в) 8;
г) 32;
д) 240

3. Если объект А можно выбрать 5 способами, а В – 7, то сколькими способами можно выбрать объект «А и В»?

а) 12;
б) 35;
в) 2.

4. О какой выборке идет речь в задаче: «Из 15 учащихся класса выбирают дежурного и старосту» ?

а) сочетания;
б) размещения;
в) перестановки;

г) дополнения

5. О какой выборке идет речь в задаче: «Из 15 учащихся класса выбирают 2 дежурных»?

а) сочетания;
б) размещения;
в) перестановки;
г) выборки без повторения элементов;
д) вычитания

6. О какой выборке идет речь в задаче: «15 томов энциклопедий расставляются в ряд на книжной полке»?

а) размещения;
б) перестановки.

7. Сочетаниями называются выборки, отличающиеся только ….

а) порядком расположения элементов;
б) составом элементов;
в) числовым значением элементов.

8. Перестановками называются выборки, отличающиеся только ….

а) порядком расположения элементов;
б) составом элементов;
в) количеством элементов.

9. Размещениями называются выборки, отличающиеся только …

а) порядком расположения элементов;

б) составом элементов;
в) количеством элементов;
г) порядком расположения или составом элементов.

10. По формуле: вычисляется число…

а) перестановок;
б) размещений;
в) сочетаний;
г) дополнений;
д) выборок.

11. По формуле: вычисляется число…

а) перестановок;
б) сочетаний;
в) размещений;
г) выборок с повторениями.

12. По формуле: k! вычисляется число…

а) перестановок;
б) перестановок из k элементов;
в) перестановок без повторений из k элементов;
г) сочетаний;
д) размещений.

13. На 3 карточках написаны цифры 1, 2, 3. Сколько однозначных чисел можно получить из этих карточек?

а) 6;
б) 3;
в) 1.

14. Из карточек с буквами «а», «б» и «в» составлены выборки: «аб», «ав», «бв». Как называются такие выборки?

а) сочетания;
б) размещения;
в) перестановки;
г) выборки с повторениями элементов;
д) дополнения.

15. На карточках написаны цифры 2, 5,9. Составляют выборки: 259, 295, 592 и т.д. Как называются такие выборки?

а) размещения;
б) сочетания;
в) перестановки;
г) дополнения без повторений.

16. На карточках написаны буквы «а», «б», «в». Делают выборки: «аб», «ба», «ав», «ва», «бв», «вб». Как называют такие выборки?

а) размещения;
б) сочетания;
в) перестановки;
г) дополнения;
д) повторения.

Ответы

1-а,
2-г,
3-б,
4-б,
5-а,
6-б,
7-б,
8-а,
9-д,
10-в,
11-в,
12-в,
13-б,
14-а,
15-в,

16-а.

Автор: Галиакбаров Малик Максутович.

Узнайте о перестановках и комбинациях

Перестановки

Мы обсудим перестановки и комбинации. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре 1 и практические задачи.

В первом видео мы будем работать с перестановками.

У нас есть три машины, синяя, белая и зеленая.
У нас могут быть разные заказы:
BWG,
BGW,
WBG,
WGB,
GBW и
GWB9.0011, что в сумме дает 6 возможностей порядка.

Еще один способ посмотреть на это — подумать о машинах по порядку:

• Во-первых, может быть три машины.
• На втором месте может быть только две машины, так как одна машина уже стоит на первом месте.
• На третьем месте может быть только одна машина, так как осталась только одна.

Умножая 3 на 2 на 1 , получаем 6 . который является тем же ответом, что и выше.

Мы можем просто использовать факториал, « ! » для решения такого рода вопросов.

Для 4! выражение также можно записать как
от заданного числа до 1

Перемножив числа вместе, мы получим

Давайте поработаем над другим примером:
Если есть 5 автомобилей, сколькими способами они могут финишировать на первых трех машинах?

В этой ситуации мы не можем напрямую использовать 5! потому что не находим заказ на все пять машин.
Вместо этого мы можем применить умножение до желаемого порядка, который мы называем перестановками. Мы используем перестановки в ситуациях, когда порядок и положение имеют значение.

₅ P ₃ =
₅ P ₃ =

На калькуляторе мы можем ввести первое число, нажать MATH/PRB nPr и ввести второе число. Ответ одинаков в обеих ситуациях.

Примеры перестановок

Пример 1

Код состоит из цифр в определенном порядке, цифры находятся между . Сколько существует различных перестановок, если одну цифру можно использовать только один раз?

Поскольку в вопросе сказано, что можно использовать только одну цифру, это ограничивает количество комбинаций.
Следовательно,
_{10 4} =

Пример 2

Сколькими различными способами можно сложить из шаров бильярдные шары.
_{16 3} =

Стенограмма видеоурока

Пройдемся по перестановкам.

Например, есть три машины. Синяя машина, белая машина и зеленая машина. Мы хотим увидеть, сколькими способами мы можем расположить их в разном порядке.

Возможны разные заказы:

Сине-бело-зеленый
Сине-зелено-белый

Бело-сине-зеленый
Бело-зелено-синий

Зелено-сине-белый
Зелено-бело-синий

Эти три автомобиля можно разместить по-разному.

Другой способ думать об этом — это как иметь первое место, второе место и третье место.

Количество автомобилей, которые могут занять первое место, равно .

Но после того, как одна машина окажется на первом месте, останется только две машины.

Тогда после первых двух мест на третье место остается только одна машина.

Если мы умножим эти три, мы получим

Это то же самое, что

Если у нас есть четыре машины, мы делаем четыре факториала

Если мы собираемся считать все места, мы могли бы использовать эту вещь, называемую факториалом.

Давайте посмотрим на этот пример.

В гонке участвуют автомобили: A, B, C, D и E.

а) Сколько они могут закончить, ?

Поскольку мы собираемся считать все пять, мы воспользуемся пятифакториалом.

Если мы умножим их вместе:

Это потому, что пять машин могут ехать первыми. Тогда только четверо будут вторыми, а трое будут бороться за третье место. Тогда на второе место останется только два, так как три места уже заполнены. Два могут быть на втором месте и, наконец, одно будет на пятом месте.

Итак, есть способы, которыми эти пять машин могут финишировать.

б) Сколько они могут закончить, ?

Здесь мы не можем провести факториал, потому что у нас не будет последнего или пятого места.

Давайте просто напишем здесь четыре точки, которые обозначают первое место, второе место, третье место и четвертое место.

Это также дало нам тот же ответ, что и первый, потому что последний не имеет значения.

Это несущественно, потому что после четвертого места остается только одна машина. Это не изменит количество результатов.

Теперь давайте посмотрим на

c) Сколько они могут закончить, ?

Опять разыграем первое место, второе место и третье место.

г) Сколько они могут закончить, ?

Мы рассмотрим первое и второе место.

д) Сколько они могут закончить?

Есть автомобили, поэтому все они могут занять первое место.

Перестановки аналогичны факториалам, за исключением того, что мы не заканчиваем все.

Если у нас разные числа и мы хотим четыре исхода, мы начнем с общего числа, которое у нас есть, а затем напишем количество мест, к которым мы приближаемся.

В букве b,

Это умножит все вплоть до пятен.

При решении буквы c мы получим

Буква d будет решена как

А ответ на букву e будет

Эти два взаимозаменяемы.

Теперь давайте посмотрим на реальную перестановку.

Это означает, что мы начнем с первых чисел и умножим их.

Мы не останавливаемся на номере, мы останавливаемся на четвертом месте или номере.

В калькуляторе мы можем просто ввести это.

Перейдите к разделу «Математика», затем «Вероятность», затем выберите nPr, который обозначает число, перестановку и второе число.

Это дает нам тот же ответ.

Когда мы используем перестановку?

Мы используем перестановку, если порядок или положение имеют значение.

Например, если у нас есть первое место, второе место, третье место и т. д. в определенном порядке, мы используем перестановку.

Или мы выбираем людей, которые будут президентом, вице-президентом, секретарем и казначеем, мы также можем использовать перестановку.

Допустим, есть студенты, баллотирующиеся в студенческий совет с доступными должностями, такими как президент, вице-президент и казначей.

Мы можем использовать

Допустим, у нас есть другие студенты, чтобы сформировать команду без четкой позиции, и порядок не имеет значения, тогда мы не используем перестановку.

Помните, что в перестановке важен определенный порядок или положение.

Перестановки с повторяющимися элементами

Во втором видео мы будем работать с перестановками с повторяющимися элементами.

Слово KNEE состоит из трех отличительных букв, причем буква E повторяется дважды.

Если бы нам нужно было реорганизовать буквы, чтобы сформировать другой порядок, мы бы также использовали факториал, как в последнем видео. Единственная разница здесь в том, что, поскольку есть повторяющийся элемент, нам нужно разделить общее количество исходов на повторяющиеся исходы.

Примеры перестановок с повторяющимися элементами

Пример 1

КОЛЕНО

Пример 2

ТАТУ

Стенограмма видеоурока

У нас будет перестановка с повторением.

Например, слово ACT. Его буквы A-C-T можно переставлять по-разному.

ACT
ATC
CTA
CAT
TCA
TAC

Это

Теперь давайте посмотрим на слово TOO. Давайте реорганизуем это

TOO
TOO
OTO
OOT
OTO
OOT

Здесь нет большой разницы, так как есть две буквы O.

Есть аранжировки, которые похожи друг на друга из-за той же буквы.

Итак, вы не можете просто провести факториал или перестановку.

Вместо этого мы должны сделать это:

Давайте посмотрим на другой пример, и он будет иметь больше смысла.

Давайте переставим буквы в слове КОЛЕНО.

Давайте посмотрим на слово ТАТУИРОВКА

Давайте посмотрим на слово ДИВИДЕНД

Если у вас есть повторяющиеся буквы или элементы, просто сделайте перестановку, как если бы вы
обычно делят на факториал количества повторяющихся элементов.

Комбинации

В этом видео мы будем работать с комбинациями.

Комбинации: Количество заказов, порядок которых не имеет значения.
Мы можем использовать формулу: _n C _r , чтобы найти комбинацию.

Для ₅ C ₃ =
У нас было бы 5! сверху и 3! 2! внизу, что похоже на перестановки с повторяющимися элементами.

₅ C ₃ =

Уменьшите при необходимости
₅ C ₃ =

Умножение на
₅ C ₃ =

и We Ahd
9 5 5 3 =

и мы будем иметь
9 ₅ 3 =

и мы. =

Примеры комбинаций

Пример 1

Джонс является председателем комитета. Сколькими способами можно выбрать комитет из людей, если Джонс должен быть одним из них?

Джонс уже выбран, поэтому нам нужно выбрать другого из .

При выборе комитета порядок не имеет значения; поэтому нам нужно количество комбинаций людей, выбранных из

₉ C ₄

Пример 2

Количество комбинаций шести объектов, взятых по два за раз.
₆ C ₂

Стенограмма видеоурока

Давайте пройдемся по комбинациям.

Это способ узнать, сколько способов можно сделать, где порядок или место
не имеют значения.

Когда мы формируем комитет, или группу, или команду, или комбинацию, и порядок не имеет значения, мы собираемся использовать эту формулу для решения:

Это может показаться сложным, но на самом деле все не так уж и плохо.

Если у нас есть

Давайте посмотрим на другой пример:

Здесь мы также можем использовать калькулятор.

Давайте рассмотрим этот пример.

В классе есть ученики. из них будут назначены классные обязанности на неделю. Сколько групп можно составить?

Здесь порядок не имеет значения, потому что среди выбранных учеников нет отличительных факторов.

В этом случае мы будем использовать комбинацию.

Это намного проще сделать с помощью калькулятора.

Далее у нас есть ученики, которые должны быть выбраны для работы в классе – президент, вице-президент, секретарь, казначей и судья.

Важно то, что существует пять различных порядков или мест. Это не просто группа разных людей. Это люди, у каждого из которых своя позиция.

В этом случае порядок имеет значение. Итак, мы будем использовать перестановку.

Существует четкое различие между комбинацией и перестановкой.

Комбинации или перестановки0001

спросил 5 лет, 5 месяцев назад

Изменено 5 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено 320 раз

$\begingroup$

Компания имеет 12$ строительных рабочих. Менеджер планирует назначить 3$ рабочих на объект A, 4$ на рабочий объект B и 5$ на рабочий объект C. Сколькими различными способами менеджер может выполнить это назначение?

Я попытался ответить на этот вопрос, умножив $\binom{12}{3}$ на $\binom{9}{4}$ на $\binom{5}{5}$.

Я не понимаю, как подойти к этому вопросу, надеюсь, я смогу получить четкое объяснение того, как использовать комбинацию (в том числе и перестановку!) Заранее спасибо.

• перестановки
• комбинации

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Ваш подход правильный. Сначала вы выбираете группу из $3$ рабочих из $12$ $\binom{12}{3}$ способами. Затем вы выбираете группу из $4$ рабочих из $12-3=9$ рабочих $\binom{9}{3}$ способами. Оставшиеся $12-3-4=5$ назначаются работе $C$. Все вместе мы получаем $$\binom{12}{3}\cdot \binom{9}{4}=\frac{12!}{3!4!5!}.$$ Обратите внимание, что эта окончательная формула зависит только от общего числа рабочих и мощностей групп. Это не зависит от порядка выбора. Например, вы также можете сначала выбрать рабочих для сайта $C$, затем для сайта $B$ и, наконец, для сайта $A$. Результат тот же: $$\binom{12}{5}\cdot \binom{7}{4}=\frac{12!}{3!4!5!}.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Вы должны выбрать между строителями за 12$. Допустим, $N=12$. Тогда сколько существует возможностей выбрать $3$ рабочих для сайта $A$? Ответ: $$\binom{12}{3}$$Теперь вам нужно выбрать другую группу из $4$ человек для работы на сайте $B$. У вас есть $$\binom{9}{4}$$ возможностей. Вот почему вы уже выбрали $3$ человек, работающих над сайтом $A$. Теперь оставшиеся $5$ автоматически переходят на сайт $C$.

Таким образом, ответ $$\binom{12}{3} \binom{9}{4}$$

Небольшое пояснение:

Сколькими способами можно выбрать подгруппу из $k$ элементов между $N $? Ответ: $\binom{N}{k}$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Комбинации достаточно, когда нам не нужно упорядочивать вещи. В вашем случае, когда вы выбираете своих работников для разных работ, вам не нужно расставлять их так, как будто они будут выполнять одну и ту же работу, независимо от того, в каком порядке.

Что касается выбора рабочих, то вы правы.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я не понимаю, как подойти к этому вопросу

-> Да, понимаете!

Я попытался подойти к этому вопросу, умножив 12C3 на 9c4 на 5C5

-> Отлично, у вас правильный подход и правильная формула.