Задачи на теорию вероятностей: Сборник задач по теории вероятностей (с решениями) | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9, 11 класс):

Теория вероятностей — Основные Формулы и Примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

528.5K

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

• Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

• Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

• Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза,

D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

• A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;

• Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие

A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Примеров масса:

• Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или

  4, или 6 очков.

• Событие B_{1, 2} = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

• Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит

и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃,. .., и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

• A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

• Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

• A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

• Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:

• событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

• событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

• событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

• событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Свойства вероятности:

• Вероятность достоверного события равна единице.

• Вероятность невозможного события равна нулю.

• Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Как рассуждаем:

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Ответ: 0.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Как рассуждаем:

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Следовательно:

Ответ: 0,25.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

189.7K

Что такое рациональные числа?

К следующей статье

Числовые и буквенные выражения

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Теория вероятностей — задачи с решением. Решение контрольных работ на заказ. Онлайн-помощь

В разделе размещены подробно разобранные задачи по теории вероятностей и математической статистике, перед решением которых излагается теория в сжатом виде, где содержаться основные формулы разбираемой темы.

Примеры упорядочены в соответствии с содержанием курса теории вероятностей в ВУЗах. Задачи будут полезны для студентов экономических и технических специальностей.

О платной помощи студентам с учебой можно почитать на странице Как заказать решение задач по теории вероятностей и математической статистике

Случайные события
Комбинаторика — основные формулы

В краткой форме раскрыты основные понятия — перестановки, размещения, сочетания, и приведены основные формулы комбинаторики. После каждой формулы приводится пример решения задачи.

Классическая вероятность

В краткой форме рассмотрено понятие вероятности случайного события и дано классическое определение вероятности. На подробном примере решения задач о бросании игральных костей и извлечении шаров из урны раскрыто одно из важнейших определений теории вероятностей.

Геометрическое определение вероятности

Изложено геометрическое определение вероятности и приведен пример решения широко известной задачи о встрече.

Статистическое определение вероятности

Приведено определение относительной частоты и изложено статистическое определение вероятности. Приведены примеры решения задач.

Сложение и умножение вероятностей
Теорема сложения вероятностей

Сформулирована теорема сложения вероятностей и решены примеры на данную тему.

Теорема умножения вероятностей

Рассматривается понятие произведения событий и условной вероятности. Приведена теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий и решено множество примеров.

Формула полной вероятности и формула Байеса

На примере решения задачи рассмотрены формула полной вероятности и формула Байеса, дается сопутствующее понятие гипотез.

Повторение испытаний
Формула Бернулли

Страница содержит краткое изложение теории повторных независимых испытаний и приведен пример решения задачи на формулу Бернулли.

Локальная теорема Муавра — Лапласа

Изложены краткие теоретические сведения по локальной теореме Муавра — Лапласа, рассмотрены условия ее применимости, а также приведен пример решения задачи.

Интегральная теорема Лапласа

В краткой форме раскрыто содержание интегральной теоремы Муавра — Лапласа, рассматриваются условия ее применимости. Приводится образец задачи с подробным решением.

Следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа

Рассматривается на подробном примере решения задачи отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Наивероятнейшее число

Рассматривается на подробном примере решения задачи понятие наивероятнейшего числа и как найти вероятность появления наивероятнейшего числа.

Формула Пуассона

Рассматривается формула Пуассона и условие ее применимости. Приведен пример решения задачи теории вероятностей на формулу Пуассона.

Случайные величины
Дискретная случайная величина

На странице рассмотрен закон распределения дискретной случайной величины, изложена схема вычислений математического ожидания и дисперсии одномерной дискретной случайной величины. Приведен пример решения задачи с построением функции распределения.

Непрерывная случайная величина

На странице рассматривается непрерывная случайная величина, ее функция распределения и плотность распределения. Перечислены свойства плотности вероятности, приведены формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии НСВ. Даны образцы решения задач на расчет характеристик и построение графиков функции распределения и плотности распределения непрерывной случайной величины.

Функции распределения случайных величин

Рассматриваются функции распределения дискретных и непрерывных случайных величин — определение, свойства, графики функции распределения.

Плотность распределения вероятностей

Рассматривается плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины — определение, свойства, графики плотности распределения вероятностей.

Математическое ожидание и его свойства

Рассматривается математическое ожидание случайной величины — одно из важнейших понятий теории вероятностей. Приведены примеры решения задач. Кратко излагается что такое математическое ожидание и каковы его свойства. Математическое ожидание суммы и произведения случайных величин.

Дисперсия и ее свойства

Излагается определение дисперсии случайной величины и среднего квадратического отклонения, которые являются важными понятиями в курсе теории вероятностей и математической статистики. Описываются свойства дисперсии — дисперсия суммы случайных величин, дисперсия постоянной величины.

Начальные и центральные моменты случайной величины

На странице рассмотрены определения начальных и центральных моментов случайной величины, приведены формулы их взаимосвязи. Даны понятия об асимметрии и эксцессе непрерывной и дискретной случайных величин.

Мода и медиана случайной величины. Квантиль уровня случайной величины

На странице рассматривается мода и медиана случайной величины в теории вероятностей, вычисление моды и медианы на примере непрерывных и дискретных случайных величин. Изложено понятие квантилей и процентных точек СВ. Приведены примеры.

Функции одного и двух случайных аргументов

Излагается понятие функции одного и двух случайных аргументов, а также понятие композиции случайных величин. Приведены примеры.

Закон больших чисел
Неравенство Маркова

На странице рассматривается неравенство Маркова (лемма Чебышева) и приведены примеры решения задач.

Неравенство Чебышева

Рассмотрен пример решения задачи на закон больших чисел (неравенство Чебышева).

Основные законы распределения
Биномиальное распределение

Страница содержит определение биномиального закона распределения, формулу для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Приведен пример решения задачи.

Геометрическое распределение

Излагается понятие геометрического закона распределения дискретной случайной величины и рассматривается пример решения задачи. Приведены формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.

Закон распределения Пуассона

Излагается понятие пуассоновского закона распределения дискретной случайной величины и рассматривается пример решения задачи. Приведены формулы характеристик распределения.

Простейший поток событий

Простейший поток событий и его свойства — теория и примеры решения задач.

Гипергеометрическое распределение

Рассматривается гипергеометрическое распределение, моделирующее количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности. Страница содержит определение гипергеометрического закона распределения, формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, а также образец решения задачи.

Нормальный закон распределения

Рассматривается нормальное распределение случайной величины — его плотность и функция распределения, а также правило трех сигм. Приведены необходимые теоретические сведения и образцы решения задач на нормальный закон распределения.

Показательный закон распределения

Рассмотрен экспоненциальный (показательный) закон распределения случайной величины, приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач. Излагаются понятия математического ожидания, дисперсии и параметра показательного закона распределения.

Равномерное распределение

Излагается понятие закона равномерного распределения случайной величины. Приведены необходимые теоретические сведения, рассмотрены математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно и приведен пример решения задачи на эту тему.

Двумерная случайная величина
Дискретная двумерная случайная величина

Рассматривается двумерная дискретная случайная величина и ее числовые характеристики — математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, а также условные законы распределения, коэффициенты ковариации и корреляции.

Непрерывная двумерная случайная величина

Рассматривается двумерная непрерывная случайная величина. Функция распределения двумерной СВ и ее свойства. Плотность распределения двумерной СВ и ее свойства, а также условные и безусловные законы распределения.

Выборочный метод
Полигон, гистограмма, кумулята, огива

Рассматривается подробно построение полигона и гистограммы частот и относительных частот — графиков статистического ряда распределения. Также затронута тема построения графиков накопленных частот — кумуляты и огивы с примерами задач.

Несмещенная оценка дисперсии — исправленная выборочная дисперсия

В задаче, приведенной на странице, вычисляется несмещенная оценка дисперсии (исправленная выборочная дисперсия)

Показатели асимметрии и эксцесса

Приведены необходимые теоретические сведения на тему показателей асимметрии и эксцесса, и образцы решения задач, где показан подробный расчет коэффициента асимметрии и эксцесса распределения.

Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

Построение доверительного интервала для математического ожидания (среднего) и дисперсии — рассмотрена краткая теория, приведен подробный пример решения задачи.

Корреляционный и регрессионный анализ
Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов (МНК)

На странице даны образцы решения задач на построение парной линейной регрессии методом наименьших квадратов (МНК). Решение задач предваряют краткие теоретические сведения, где подробно рассматривается соответствующая система нормальных уравнений и следующие из нее формулы для нахождения параметров парной линейной регрессии.

Линейный коэффициент корреляции

Рассмотрены формула и смысл коэффициента линейной корреляции. Страница содержит типовой пример по расчету выборочного линейного коэффициента корреляции и проверке его значимости.

Нелинейные модели парной регрессии

Рассматриваются нелинейные уравнения парной регрессии — степенные, гиперболические, показательные и параболические. Приведены соответствующие системы нормальных уравнений и решены задачи, в которых, помимо параметров уравнения, рассчитаны для каждого вида модели коэффициенты детерминации и эластичности.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Содержится краткая теория и пример решения задачи на ранговую корреляцию. Дано понятие ранговой корреляции, показан расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

На странице рассмотрено применение ранговой корреляции и коэффициента ранговой корреляции Кендалла в статистике. Приведена краткая теория, а также задача с примером расчета коэффициента Кендалла с проверкой гипотезы о его значимости.

Статистическая проверка статистических гипотез
Проверка гипотезы о равенстве средних

На примере решения задачи подробно рассматривается проверка гипотезы о равенстве средних значений, понятия нулевой и конкурирующей гипотезы.

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по нормальному закону. На примере решения задачи вычислены теоретические частоты нормального распределения и осуществлена проверка гипотезы о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона.

Проверка гипотезы о показательном распределении

Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по экспоненциальному (показательному) закону. На примере решения задачи вычислены теоретические частоты показательного распределения и осуществлена проверка гипотезы об экспоненциальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона.

Проверка гипотезы о распределении по закону Пуассона

Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. Показано вычисление теоретических частот и применение критерия Пирсона на примере решения задачи.

Дисперсионный анализ
Однофакторный дисперсионный анализ

Даны краткие теоретические сведения о дисперсионном анализе. Рассмотрен пример решения задачи на однофакторный дисперсионный анализ с вычислениями факторной и случайной дисперсии.

Статистические таблицы
Таблица значений функции Лапласа

Приведена таблица значений функции Лапласа и образцы решения задач.

Таблица критических точек Стьюдента

Приведена таблица критических точек t-критерия Стьюдента и образцы решения задач.

Таблица критических точек «Хи-квадрат»

Приведена таблица критических точек распределения χ2 (хи-квадрат) критерия Пирсона и образцы решения задач.

Таблица критических точек Фишера-Снедекора

Приведена таблица критических точек распределения F Фишера-Снедекора и образцы решения задач.

---

Большое количество типовых задач по теории вероятностей для самостоятельного решения.

• Часть первая: 108 типовых задач по теории вероятностей
• Часть вторая: 137 типовых задач по теории вероятностей
• Часть третья: 114 типовых задач по теории вероятностей
• Часть четвертая: 89 типовых задач по теории вероятностей

---

pr.probability — Каковы большие проблемы в теории вероятностей?

спросил 12 лет, 7 месяцев назад

Изменено 1 месяц назад

Просмотрено 41к раз

$\begingroup$

В большинстве разделов математики есть большие, сексуальные знаменитые открытые задачи. В теории чисел есть гипотеза Римана и программа Ленглендса, среди многих других. В геометрии долгое время существовала гипотеза Пуанкаре, а в настоящее время имеется классификация 4-многообразий. Теория PDE имеет дело с уравнением Навье-Стокса.

Итак, каковы основные проблемы теории вероятностей и стохастического анализа?

Я аспирант, работающий в этой области, но я не могу назвать какие-либо основные нерешенные гипотезы или открытые проблемы, которые стимулируют исследования. Я слышал, что стохастическая эволюция Лёвнера в наши дни является большой областью изучения, но я не знаю, какие догадки или проблемы связаны с ними.

У кого-нибудь есть предложения?

• пр.вероятность
• большой список
• открытые проблемы

$\endgroup$

3

$\begingroup$

На мой взгляд, одна из самых больших открытых проблем теории вероятностей, в том смысле, что она является знаменитым основным утверждением, которое мы не знаем, как решить, состоит в том, чтобы показать, что «в критической точке нет перколяции» (упомянутой в особенно в разделе 4. 1 вклада Гордона Слейда в Princeton Companion to Mathematics). Резюме капсулы: $\mathbb{Z}_{d,p}$ обозначим случайным подграфом $d$-мерной целочисленной решетки ближайших соседей, полученным путем независимого сохранения каждого ребра с вероятностью $p$. Тогда известно, что существует критическая вероятность $p_c(d)$ ( порог перколяции }) такой, что при $p < p_c$ с вероятностью единица $\mathbb{Z}_{d,p}$ не содержит бесконечных компонент, а при $p > p_c$ с вероятностью единица существует единственная бесконечная компонента.

Гипотеза состоит в том, что с вероятностью один $\mathbb{Z}_{d,p_c(d)}$ не содержит бесконечной компоненты. Известно, что гипотеза верна, когда $d =2$ или $d \geq 19$.

Между прочим, один из самых эффективных имеющихся у нас способов понимания просачивания — техника, известная как расширение кружева, в значительной степени разработанная Такеши Хара и Гордоном Слейдом — также является одним из ключевых инструментов для изучения самоизбегающих прогулок и множество других моделей случайных решеток.

Эта статья Слейда на самом деле полна интригующих догадок в области критических явлений, но гипотеза, которую я только что упомянул, вероятно, самая известная из всех.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Возможно, проблема №1 теории вероятностей состоит в том, чтобы сделать строго то, что можно найти практически в любом учебнике по статистической механике. Другими словами, это должно строго обосновать предсказания теории ренормализационных групп Вильсона. Многие из тем, упомянутых в этом посте, являются частными предположениями в этой более широкой программе.

---

Обновление: хороший недавний обзор Гордона Слэйда на эту тему можно найти здесь.

$\endgroup$

$\begingroup$

Понимание самоизбегающих случайных блужданий, см. http://gowers.wordpress.com/2010/08/22/icm2010-smirnov-laudatio/.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Нормальное распределение и множество мест, где оно встречается в математике и его приложениях, являются основным примером универсального явления. Доказательство и понимание других универсальных явлений вероятности имеет большое значение. Один из примеров, который мне нравится, — это понимание распределений, полученных из теории случайных матриц и встречающихся в различных других местах. Одним из таких распределений является распределение наибольшего собственного значения случайной матрицы, обнаруженное Трейси и Видомом.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

У Мишеля Талаграна есть несколько открытых задач (с вознаграждением), перечисленных на его веб-сайте. Я не смотрел их все, но, зная его, гарантирую вам, что они очень тяжелые и достаточно важные. Это мотивировано направлениями его исследований, но, в отличие от некоторых областей, в настоящее время в теории вероятностей доминирует не одно направление исследований и не один набор открытых проблем.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Одной из основных проблем является распространение прекрасного понимания плоских стохастических моделей на более высокие измерения. Таким образом, понимание 3,4-мерной перколяции, модели Изинга, самоизбегающих блужданий, случайных блужданий со стиранием петель и пределов их масштабирования является довольно важной проблемой.

$\endgroup$

$\begingroup$

Для определения предельной формы перколяции первого прохода.

В $n$-мерной сетке начните с одной вершины, окрашенной в черный цвет, а все остальные — в белый. Равномерно выберите двухцветное ребро (один черный конец, один белый конец) и закрасьте черным его белый конец. Продолжайте этот процесс вечно.

Черная часть растет, и известно, что если мы масштабируем ее так, чтобы она имела постоянный диаметр, она сходится к выпуклой форме. Чего мы не знаем, так это формы.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Отсутствие так называемой большой проблемы в теории вероятностей, кажется, предполагает богатство самого предмета. Одним из самых интересных подполей является определение скорости сходимости марковских цепей с конечным пространством состояний. Многие проблемы сходимости даже на конечных группах исчерпали современные аналитические методы. Например, интуитивные выводы из задачи коллекционера купонов подсказывают, что случайное блуждание по соседним транспозициям демонстрирует отсечение сходимости полной вариации к равномерной мере на симметричной группе, а разрыв верхней и нижней границ составляет всего два раза. Существует множество инструментов, которые можно было бы использовать. использовать для изучения таких задач, как теория представлений и дискретная версия неравенств из теории частных производных, что делает решения очень творческими.

$\endgroup$

7

$\begingroup$

У Дэвида Олдоса есть список открытых проблем на его веб-сайте, хотя они выглядят как личные любимые, а не как «большие» вопросы. Вы можете взглянуть на проблемы, которые Олдос называет «Тип 2: у нас есть точная математическая проблема, но мы не видим правдоподобного плана для потенциального доказательства».

Глава 23 недавно вышедшей монографии «Цепи Маркова и времена смешивания» представляет собой список открытых проблем. Однако опять же, я не могу сказать, какие из них «большие».

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Может быть, гипотеза Кантелли 1917 года? Если $f$ — положительная функция действительных чисел, если $X$ и $Z$ — $N(0,1)$ независимые с. в. такие, что $X+f(X)Z$ нормальна, докажите, что $f$ является константой п.в.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вы также можете просмотреть список открытых задач на домашней странице Майкла Айзенмана:

http://www.math.princeton.edu/~aizenman/OpenProblems.iamp/

Они очень важны для (математических) задач. физики, а некоторые относятся к области теории вероятностей (в частности, мягкие фазы в двумерных моделях O(N) и спиновое стекло).

$\endgroup$

$\begingroup$

В предельных теоремах одной из самых больших проблем является ответ на гипотезу Ибрагимова, которая утверждает следующее: 9{2+\delta}$ конечно для некоторого положительного $\delta$ (кажется, Ибрагимова).

$\endgroup$

$\begingroup$

Формирование инструментов для обработки случайных поверхностей и доказательство универсальной центральной предельной теоремы для них при минимальных условиях (вспомните обычную CLT):

а) Гауссово свободное поле (GFF) оказалось ограничивающим универсальным объектом для многих случайных поверхностей ( в KPZ 2+1, случайные мозаики, теория случайных матриц, ансамбли Жинибре (см. работы Бородина и Кеньона)

b) Эволюция Шрамма-Левнера (SLE) оказалась ограничивающим интерфейсом для семейств статистических моделей.

c) Наконец, слияние двух изображений выше, поскольку SLE могут быть связаны с GFF (см. Sheffield).

Другим важным результатом будет демонстрация эквивалентности случайных плоских карт и квантовой гравитации Лиувилля (LQG) (многообещающий подход Миллера и Шеффилда). Это происходит потому, что на этих случайных поверхностях становится легче работать со статистическими моделями (модель Казанова-Изинга, LERW-Дюплантье).

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

примеров вероятностей с вопросами и ответами

Пример 1: Монета подбрасывается 3 раза. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один орёл?
Sol: Пример пространства = [HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT]
Общее количество путей = 2 × 2 × 2 = 8. Избранное. Случаев = 7
P (A) = 7/8
ИЛИ
P (получить хотя бы одну голову) = 1 – P (без головы)⇒ 1 – (1/8) = 7/8

Пример 2: Найдите вероятность того, что карта с номером выпадет из колоды из 52 карт.
Sol: Всего карт = 52. Пронумерованные карты = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 9 каждой масти 4 × 9 = 36
P (E) = 36/52 = 9/13

Пример 3: Есть 5 зеленых 7 красных шаров. Два шара выбираются один за другим без замены. Найти вероятность того, что первый зеленый, а второй красный.
Sol: P (G) × P (R) = (5/12) x (7/11) = 35/132

Пример 4: Какова вероятность того, что сумма 7 выпадет на двух игральных костях бросают?
Sol:   Математика вероятности — общее количество способов = 6 × 6 = 36 способов. Благоприятные случаи = (1, 6) (6, 1) (2, 5) (5, 2) (3, 4) (4, 3) — 6 способов. P (A) = 6/36 = 1/6

Пример 5: Из колоды в 52 карты случайным образом вытягивается 1 карта.
(i) Найдите вероятность того, что это карта чести.
(ii) Это лицевая карта.
Sol: (i) карты чести = (A, J, Q, K) 4 карты каждой масти = 4 × 4 = 16
P (карта чести) = 16/52 = 4/13
(ii) лицо карты = (J, Q, K) 3 карты каждой масти = 3 × 4 = 12 карт.
P (лицевая карта) = 12/52 = 3/13

Пример 6: Из колоды в 52 карты вытягиваются две карты. Найдите вероятность того, что оба бубны или оба короли.
Соль: Всего нет. Пути = ⁵² C ₂
Случай I: Оба являются бриллиантами = ¹³ C ₂
Случай II: Оба являются King или оба короля) = ( ¹³ C ₂  + 9Пример 7 Какова вероятность получить хотя бы одну «4»?
Sol: Общее количество способов = 6 × 6 × 6 = 216. Вероятность получить число «4» хотя бы один раз
= 1 – (Вероятность не получить число 4) = 1 – (5/6) x (5/6) x (5/6) = 91/216

Пример 8: Дана задача трем людям P, Q, R, шансы решить которые соответственно равны 2/7, 4/7, 4 /9соответственно. Какова вероятность того, что проблема решена?
Sol: Вероятность решения проблемы = 1 – (Вероятность того, что никто из них не решит проблему)

Вероятность решения проблемы = 1 – (5/7) x (3/7) x (5/ 9) = (122/147)

Пример 9: Найти вероятность выпадения двух решек при подбрасывании пяти монет.
Sol: Количество способов получить две головы = ⁵ C ₂ = 10. Всего способов = 2 ⁵ = 32
P (два орла) = 10/32 = 5/16

Пример 10: Какова вероятность выпадения суммы 22 или более при бросании четырех игральных костей?
Sol: Общее количество способов = 6 ⁴ = 1296. Количество способов получить сумму 22 равно 6,6,6,4 = 4! / 3! = 4
6,6,5,5 = 4! / 2!2! = 6. Количество способов получить сумму 23 равно 6,6,6,5 = 4! / 3! = 4.
Количество способов получения суммы 24 равно 6,6,6,6 = 1.
Изб. Количество случаев = 4 + 6 + 4 + 1 = 15 способов. P (получение суммы 22 и более) = 15/1296 = 5/432

Пример 11: Два игральных кубика бросают вместе. Какова вероятность того, что число, выпавшее на одном из кубиков, кратно числу, выпавшему на другом кубике?
Sol: Общее число случаев = 6 ² = 36
Поскольку число на кубике должно быть кратно другому, возможно
(1, 1) (2, 2) (3, 3) — —— (6, 6) — 6-ходовой
(2, 1) (1, 2) (1, 4) (4, 1) (1, 3) (3, 1) (1, 5) ) (5, 1) (6, 1) (1, 6) — 10 способов
(2, 4) (4, 2) (2, 6) (6, 2) (3, 6) (6, 3) — 6 способов
Благоприятные случаи = 6 + 10 + 6 = 22. Итак, P(A) = 22/36 = 11/18

Пример 12: Из колоды карт наугад берутся три карты. Найти вероятность того, что все карты разной масти.
Sol: Общее количество ящиков = ⁵² C ₃
Каждая карта должна быть выбрана из другой масти. Три масти можно выбрать в ⁴ C ₃ было
Всего карт можно выбрать ( ⁴ C ₃ ) x ( ¹³ C ₁ ) x ( ¹³ C ₁ ) x ( ¹³ C ₁ )
= 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4. ₁ ) ³ / ⁵² C ₃
= 4 x (13) ³ / ⁵² C ₃

43 . .
Sol: В високосном году может быть 52 воскресенья или 53 воскресенья. В високосном году 366 дней, из них 52 полных недели и 2 оставшихся дня. Теперь эти два дня могут быть (Сб, Вс) (Вс, Пн) (Пн, Вт) (Вт, Ср) (Ср, Чт) (Чт, Пятница) (Пятница, Сб).
Итак, всего 7 случаев, из которых (Сб, Вс) (Вс, Пн) два благоприятных случая. Итак,  P (53 воскресенья) = 2 / 7 
Теперь P(52 воскресенья) + P(53 воскресенья) = 1 
Итак, P (52 воскресенья) = 1 — P(53 воскресенья) = 1 – (2/7 ) = (5/7)

Пример 14: Пятнадцать человек сидят за круглым столом. Каковы шансы против двух конкретных людей, сидящих вместе?
Sol: 15 человек могут разместиться в 14! Пути. Количество способов, которыми два конкретных человека сидят вместе, равно 13! × 2!
Вероятность того, что два человека будут сидеть вместе 13!2! / 14! = 1/7
Шансы против события = 6 : 1

Предлагаемое действие:

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам. Зарегистрируйтесь сейчас

Пример 15: В трех сумках 3 красных, 7 черных; 8 красных, 2 черных и 4 красных и 6 черных шаров соответственно. Наугад выбирается 1 из мешков и из него вынимается шар. Если вынутый шар красный, найти вероятность того, что он вынут из третьего мешка.

No related posts.