Задачи на вероятность с решением егэ: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

Содержание

Подготовка к ЕГЭ. Решение задач по теории вероятности

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Дуплинская С.И. 1

1МБОУ г Иркутска лицей №3

Ерлыкова Т.С. 1

1МБОУ г Иркутска лицей №3

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение:

Вероятность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднена. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Целевой аудиторией являются ученики 11-ых классов, сдающие ЕГЭ по профильной математике. В КИМ ЕГЭ 2020 по профильной математике было введено задание (в первую часть) на вероятность сложных событий. В анкетировании приняли участие 82 ученика 11-ых классов. Анкетирование (Приложение 2) показало, что большинство учеников недостаточно хорошо разбираются в разнообразии задач по теории вероятности.

Исходя из выявленной проблемы, мною было принято решение помочь ученикам 11-ых классов лучше понять тему вероятности путем создания методического пособия, в котором будет разбор некоторых задач, а также представлены примеры для самостоятельного решения.

Цель проекта:

Создание методического пособия, содержащего различные типажи задач по теории вероятности для учащихся 11-ых классов для подготовки к ЕГЭ.

Задачи проекта:

Изучение теоретического материала, касающегося теории вероятности

Систематизация теоретического анализа имеющейся информации в интернете по вопросу, которые касаются теории вероятности.

Анкетирование учеников 11-ых классов с целью выявления их уровня знаний в решении задач по теории вероятности, и дальнейший анализ полученной информации.

Отбор теоретического материала для создания методического пособия.

Глава 1. Теоретическая часть

Историческая справка

История теории вероятностей отмечена многими уникальными особенностями. Прежде всего, в отличие от появившихся примерно в то же время других разделов математики (например, математического анализа или аналитической геометрии), у теории вероятности не было античных или средневековых предшественников, она целиком создание Нового времени. Долгое время теория вероятностей считалась чисто опытной наукой и «не совсем математикой», её строгое обоснование было разработано только в 1929 году, то есть даже позже, чем аксиоматика теории множеств (1922). В наши дни теория вероятностей занимает одно из первых мест в прикладных науках по широте своей области применения; «нет почти ни одной естественной науки, в которой так или иначе не применялись бы вероятностные методы».

Историки выделяют в развитии теории вероятностей несколько периодов. Предыстория, до XVI века включительно. В античные времена и в Средневековье натурфилософы ограничивались метафизическими рассуждениями о происхождении случайности и её роли в природе. Математики в этот период рассматривали и иногда решали задачи, связанные с теорией вероятностей, но никаких общих методов и тематических понятий ещё не появилось. Главным достижением данного периода можно считать развитие комбинаторных методов, которые позже пригодились создателям теории вероятностей.

Начало формирования во второй половине XVII века основных понятий и методов теории вероятностей для случайных величин с конечным числом значений. Стимулом вначале служили преимущественно проблемы, возникающие в азартных играх, однако область применения теории вероятностей почти сразу начинает расширяться, включая в себя прикладные задачи демографической статистики, страхового дела и теории приближённых вычислений. На этом этапе важный вклад в идеи новой науки внесли Паскаль и Ферма. Гюйгенс ввёл два фундаментальных понятия: числовая мера вероятности события, а также понятие математического ожидания случайной величины.

В XVIII веке появились монографии с систематическим изложением теории вероятностей. Первой из них стала книга Якоба Бернулли «Искусство предположений» (1713 год). В ней Бернулли предложил классическое определение вероятности случайного события как отношение числа равновероятных исходов, связанных с этим событием, к общему числу исходов. Он также изложил правила подсчёта вероятности для сложных событий и дал первый вариант ключевого «закона больших чисел», разъясняющего, почему частота события в серии испытаний не меняется хаотично, а в некотором смысле стремится к своему предельному теоретическому значению (то есть вероятности).

Идеи Бернулли далеко развили в начале XIX века Лаплас, Гаусс, Пуассон. Применение вероятностных методов в прикладной статистике значительно расширилось. Понятие вероятности стало определено и для непрерывных случайных величин, благодаря чему появилась возможность применения методов математического анализа. Появляются первые попытки применения теории вероятностей в физике. К концу XIX века появляются статистическая физика, строгая теория ошибок измерения, вероятностные методы проникают в самые различные прикладные науки.

В XX веке в физике была создана теория микромира, а в биологии — теория наследственности, обе они существенно основаны на вероятностных методах.

Карл Пирсон разработал алгоритмы математической статистики, широко и повсеместно применяемые для анализа прикладных измерений, проверки гипотез и принятия решений. А. Н. Колмогоров дал классическую аксиоматику теории вероятностей. Из других новых областей применений теории вероятностей необходимо упомянуть теорию информации и теорию случайных процессов. Философские споры о том, что такое вероятность и в чём причина её устойчивости, продолжаются.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A0 — в результате броска монеты выпадет орел;

Ā0 — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A1 + A2 + A3 + A4 + A5 состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A1, A2, A3, A4, A5, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A1, или событие A2, или событие A3, или событие A4, или событие A5.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A1A2A3 … A10 подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A1, и событие A2, и событие A3…, и событие A10.

Рассмотрение различных методик и способов решения задач по теории вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Свойства вероятности:

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Формула Бернулли

Вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз.

, где .

Можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие А наступает k раз в n независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из n по k:

Глава 2. Практическая часть

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Классическое определение вероятности

Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Решение:

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Следовательно: P=m/n=9/36=1/4=0,25

Ответ: 0,25.

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Решение:

Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5.

Следовательно: 0,5 · 0,5 = 0,25.

Ответ: 0,25.

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение:

По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965.

Следовательно: 1 − 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

Вероятность сложных событий

Задача о бросках кубика.

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение:

Пусть событие A состоит в том, что при первом бросании выпала комбинация 5 и 6 очков, а событие B состоит в том, что при втором бросании выпала комбинация 5 и 6 очков.

P(A)=P(B)=2/36=1/18

Событие, состоящее в том, что комбинация 5 и 6 очков выпадет хотя бы один раз из двух попыток, является суммой этих событий. События A и B являются совместными и независимыми, вероятность их суммы вычисляется по формуле:

P(A)+P(B)-P(A) · P(B)=1/18 + 1/18 – 1/18 · 1/18 = 0,108…

Округляя до сотых, получим 0,11.

Ответ: 0,11.

Задача о бросках монеты

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 5 орлов, к общему количеству вариантов:

P(A)=N(A)/N

Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 4 орла, к общему количеству вариантов:

P(B)=N(B)/N

Тогда отношение этих вероятностей:

P(A)/P(B)=N(A)/N(B)

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно

Тогда:

Ответ: 1,2.

Задача о зависимых и независимых событиях

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

3 июля

4 июля

0,8

0,2

0,8

5 июля

0,2

0,8

0,2

0,8

6 июля

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

Глава 3. Задачи для самостоятельного решения

В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Ответ: 0,994.

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Ответ: 0,05.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Ответ: 0,375.

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Ответ: 0,2.

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Ответ: 0,216.

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Ответ: 0,08.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ: 0,019.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Ответ: 0.5.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Ответ: 0,75.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Ответ: 0,38.

Заключение:

В ходе работы мною были рассмотрены основные виды задач по теории вероятности, представлены некоторые задачи из бланков ЕГЭ по профильной математике и подобраны задачи для самостоятельного решения.

По результатам анкетирования, учащиеся продемонстрировали, что в некоторых моментах недостаточно хорошо знают тему теории вероятности, средний процент выполнения заданий – 73%.

Для решения этой проблемы мною было приято решение создать методическое пособие, включающее в себя примеры решения некоторых задач по теории вероятности и задачи для самостоятельного решения.

Список литературы:

Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, изд., К. — Л.,2008.

Луговая И. Н. История теории вероятностей, 4 изд., М., 2001.

Бернштейн С. Н. Теория вероятностей, 4 изд., К. — Л., 2003.

Афанасьев В.В., Мамонтов С.И. Случайные события: Учебное пособие. Я.: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1999.- 48 с.

https://math-ege.sdamgia.ru/

https://skysmart.ru/articles/mathematic/teoriya-veroyatnostej-formuly-i-primery

https://www.evkova.org/teoriya-veroyatnosti

https://lfirmal.com/reshenie-zadach-po-teorii-veroyatnostej/

Приложение 1

Анкета

Решите задачи по теории вероятности. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе.

Ответ: _______________

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет ровно 6, 7 или 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: _______________

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 3, но не дойдя до отметки 6.

Ответ: _______________

Приложение 2

Результаты анкетирования

Просмотров работы: 52

Сборник задач по теории вероятности из 37 задач с решениями

Ниже для вас собран сборник задач по теории вероятности для подготовки к решению задачи 4 ЕГЭ по математике из профиля или задачи 10 из базы. Можно потренироваться решать задачи, разобрав решения из этого сборника. Это не означает, что нужно ограничиваться именно ими, они даны только для тренировки и отработки навыка решения. Больше полезных материалов у меня в телеграм канале: https://t.me/zanimmath

Задача 1.

В некоторой местности наблюдения показали:

Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.
Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение.

Найдем вероятность того, что утро пасмурное (0,3) и дождя не будет (1-0,4) или утро ясное (1-0,3) и дождя не будет (1-0,1).

0,3*(1- 0,4) + 0,7*(1-0,1) = 0,3*0,6 + 0,7*0,9 = 0,18+0,63 = 0,81

Если события соединены связкой И, то вероятности этих событий перемножаются. Если события соединяются связкой ИЛИ, то вероятности этих событий складываются.

Задача 2.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение. Событие Х — «Играя белыми одну партию, А. выигрывает». Событие У — «Играя черными одну партию, А. выигрывает». Рассмотрим событие (Х и У). Р(Х и У) = Р(Х)*Р(У) = 0,6*0,4=0,24.
Ответ: 0,24

Задача 3.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.
Решение. Переводим %% в дроби. Событие А — «Куплено стекло первой фабрики». Р(А)=0,3 Событие В — «Куплено стекло второй фабрики». Р(В)=0,7 Событие Х — » Стекло бракованное». Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009 — вероятноcть того, что купленное стекло сделано первой фабрикой И оно бракованное. Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028 — вероятность, что стекло со 2-й фабрики И оно бракованное. По формуле полной вероятности: Р = 0.009+0.028 = 0.037
Ответ: 0,037

Задача 4.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение. Вероятность того, что взятая наугад батарейка исправна, равна 1-0,06 = 0,94 Р = 0,94*0,94 — вероятность, что и первая и вторая исправны
Ответ: 0,8836

Задача 5.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
Решение. Вероятность, что готовая батарейка исправна равна 1-0,02=0,98 Р1= 0,02*0,99 = 0,0198 — вероятность, что неисправную батарейку забракуют Р2= 0,98*0,01 = 0,0098 — вероятность, что исправная батарейка будет забракована Р=Р1+Р2 = 0,0296
Ответ: 0,0296

Задача 6.

Вероятности того, что деталь определенного типа находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится не более, чем в трех ящиках.
Решение. Не более, чем в 3-х ящиках означает, что деталь находится в одном, двух или трех ящиках. Противоположное событие — деталь находится во всех четырех ящиках. Найдем вероятность этого противоположного события. Р1 = 0,6*0,7*0,8*0,9 = 0,3024, тогда Р = 1- Р1 = 1 — 0,3024 = 0,6976
Ответ: 0,6976

Задача 7.

Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажутся не бракованными.
Решение. Вероятность, что деталь бракованная равна 0,2, что деталь без брака равна 1-0,2=0,8. Р1= 0,2*0,8*0,8 = 0,128 — вероятность того, что первая деталь бракрованная, а вторая и третья нет. Р2=0,8*0,23*0,8 = 0,128 — вторая бракованная, аналогично Р3=0,128 — третья бракованная. Р = Р1+Р2+Р3 = 3*0,128 = 0,384
Ответ: 0,384

Задача 8.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Решение. Исход — выбор направления на разветвлении. На первом разветвлении у паука 2 есть исхода, вероятность каждого 1/2. С вероятностью 0,5 он поползет к выходу D.
Ответ: 0,5

Задача 9.

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой‐то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. (Из трен. вар. 22)
Решение. Благоприятный диапазон — 3 промежутка (10-11, 11-12, 12-1), весь диапазон — 12 промежутков. Р = 3/12 =1/4=0,25
Ответ: 0,25

Задача 10.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А. (Из трен. вар. 23)
Решение. На каждом разветвлении вероятность выбора направления равна 0,5. К выходу А есть 2 пути. На одном — паук делает выбор 5 раз, а на втором — 3 раза, с вероятностью 0,5 каждый раз. Р = 0,5⁵ +0,5³ = 0,5³(0,25+1) = 0,125*1,25 = 0,15625
Ответ: 0,15625

Задача 11.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным
Решение. Вероятность того, что поступивший болен гепатитом равна 0,05, а что не болен — равна 0,95. Умножаем в каждом случае на вероятность положительного результата: 0. 9 для больного и 0,01 для здорового. Р= 0,05*0,9 + 0,95*0,01 = 0,0545
Ответ: 0,0545

Задача 12.

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение. Исход — выбор 2-х человек из 5. Количество исходов С₅² = 5!/(2!*3!) = 5*4/2 = 10. Благоприятный исход: Турист А с кем-то в паре. Таких исходов 4. Р = 4/10 = 0,4
Ответ: 0,4

Задача 13.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Решение. В одной игре команда «Физик» имеет 2 исхода: начинает игру или начинает не она. Т.к. игр три, то всего исходов 2³=8. Будем обозначать благоприятный исход — 1, не благоприятный 0. Для трех игр расстановка исходов такая: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Среди них благоприятных 3: 011, 101, 110. Р=3/8 = 0,375.

Задача 14.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение. Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить её при первом или втором или … k-м выстреле. Будем вычислять вероятность уничтожения при k-м выстреле, задавая значения k=1,2,3… И суммируя полученные вероятности k=1 P=0,4 S=0,4 k=2 P=0,6*0,6=0,36 — при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена S=0,4+0,36=0,76 k=3 P=0,6*0,4*0,6 = 0,144 — цель уничтожена при третьем выстреле S=0,76+0,144=0,904 k=4 P=0,6*0,4*0,4*0,6= 0,0576 — при 4-м S=0,904+0,0576=0,9616 k=5 P=0,6*0,4³*0,6 = 0,02304 S=0,9616+0,02304=0,98464 — достигли нужной вероятности при k=5.
Ответ: 5.

Задача 15.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. Решение. 4 очка и больше в двух играх можно набрать такими способами: 3+1 выиграла, ничья 1+3 ничья, выиграла 3+3 оба раза выиграла Вероятность выигрыша равна 0,4, проигрыша — 0,4, вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4 = 0,2. Р = 0,4*0,2 + 0,2*0,4 + 0,4*0,4 = 2*0,08+0,16 = 0,32
Ответ: 0,32

Задача 16.

На сборку поступают детали с двух автоматов: с первого – 70%, со второго – 30%. При этом незначительные дефекты с первого автомата в 10% случаев, а со второго – в 20%. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь имеет незначительный дефект. Решение. Пусть всего х деталей, тогда с 1-го станка поступило 0,7х деталей и среди них 0,7х*10%=0,7х*10/100=0,07х с дефектами. Со второго станка поступило 0,3х деталей и среди них 0,3х*20/100=0,06х с дефектами. Всего в партии деталей с дефектами 0,07х+0,06х=0,13х. По формуле классической вероятности Р= 0,13х/х=0,13
Ответ: 0,13

Задача 17.

В магазин поступают изделия с 4-х фабрик. 1-я, 2-я, 3-я, 4-я поставляют соответственно 10, 20, 30, 40 %. Среди изделий 1, 2, 3, 4-й фабрик соответственно 0,08, 0,08, 0,05, 0,06 бракованных. Найти вероятность того, что купленное изделие является качественным. Решение. Вероятность купить изделие 1-й фабрики 10% или 0,1, вероятность, что оно качественное равна 1-0,08=0,92. Вероятность купить качественное изделие первой фабрики Р1=0,1*0,92=0,092. Аналогично, вероятность купить качественное изделие 2-й фабрики равна Р2= 0,2*(1-0,08)=0,184. Р3=0,3*(1-0,05)=0,285 — 3-й Р4=0,4*(1-0,06)=0,376 — 4-й
Вероятность купить качественное изделие равна сумме вероятностей: 0,092 + 0,184 + 0,285 + 0,376=0,937

Задача 18.

В аквариуме из 12 рыбок 4 золотых. Какова вероятность того, что из случайно отловленных 3-х рыбок 1 золотая?
Решение. В аквариуме 4 золотые рыбки, 8 — обычные. Исходом считаем выбор трех любых рыбок, а благоприятным исходом — выбор одной золотой рыбки и двух простых. Найдем количество благоприятных исходов. Количество способов выбрать 1 золотую рыбку из 4-х равно 4. Количество способов выбрать 2 простые рыбки из 8 равно С₈²=8!/(2!*6!) = 8*7*6*5*4*3*2*1/(2*6*5*4*3*2)= 8*7/2=28. Всего благоприятных исходов m=4*28=112. Количество всех исходов n=C₁₂³ = 12!/(3!*9!) = 12*11*10/(1*2*3)=220. P= m/n = 112/220 = 0,509… ≈ 0,51

Задача 19.

В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны на угад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будет: а) два белых шара; б) два черных шара; в) один черный и один белый.
Решение. a) Вероятность, что первый шар белый Р=5/9 Осталось 4 белых, всего 8 шаров, вероятность вытащить второй белый = 4/8=1/2 Р=5/9*1/2 = 5/18 =0,28 б) Р=4/9 * 3/8 = 1/6 в) Вероятность, что первый черный, а второй белый Р=4/9 * 5/8 = 5/18 Вероятность, что первый белый, а второй черный Р=5/9 * 4/8 = 5/18 Окончательно, вероятность, что 1 белый и один черный Р=5/18 + 5/18 = 10/18 = 5/9

Задача 20.

В урне 2 белых и 8 черных шаров. Из урны извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары черного цвета? одинаковые? разных цветов?
Решение. Всего шаров в первой урне 10. 1) Вероятность извлечь первым черный шар из первой урны равна 8/10, останется 9 шаров, из них 7 черных. Вероятность извлечь черны шар равна 7/9. Вероятность того, что первый черный и второй черный Р1=8/10*7/9= 28/45 = 0,6222..≈ 0,62 2) Аналогично находим, что оба шара белые. Р2 = 2/10 * 1/9 = 1/45 ≈ 0,02 Вероятность, что оба шара одного цвета (или оба черные или оба белые) равна Р = Р1+Р2 = 28/45+1/45 = 29/45 = 0,64 3) Вероятность, что первый белый, а второй черный Р3= 2/10 * 8/9 = 8/45 Вероятность, что первый черный, а второй белый Р4 = 8/10 * 2/9 = 8/45 Р = Р3+Р4 = 16/45 = 0,35

Задача 21.

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых, 4 черных и 4 красных шара, во второй – 4 белых, 6 черных и 8 красных шаров, а в третьей – 6 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирается урна и из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался красным. Какова вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?
Решение.1. Событие А — вынут красный шар. Гипотезы Н1, Н2, Н3 — шар вынут, соответственно, из 1-й, 2-й, третьей урны. Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3 P(A|h2) = 4/12 = 1/3 P(A|h3) = 8/18=4/9 P(A|h4) = 0/12 = 0 P(A) = 1/3*(1/3+4/9+0) = 1/3* 7/9 = 7/27 P(h3|A) = P(h3)*P(A|h3)/P(A) = (1/3 * 4/9) / (7/27) = 4/7

Задача 22.

В первой урне находится 6 белых и 4 черных шаров, а во второй — 5 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую переложили один шар, после чего из второй урны извлекли один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?
Решение. Н1 — выбран белый шар из 1-й корзины Н2 — выбран черный шар из 1-й корзины А — выбран белый шар из 2-й корзины Р(Н1) = 6/10 = 0,6 Р(Н2)= 4/10 = 0,4 Р(А/Н1) =6/10 = 0,6 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н1} Р(А/Н2) = 5/10 = 0,5 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н2} Р(А) = Р(Н1)*Р(А/Н1) + Р(Н2)*Р(А/Н2) = 0,6*0,6 + 0,4*0,5 = 0,56 Р(Н1/А) = [ Р(А/Н1) * Р(А) ] / Р(Н1) = (0,6*0,56)/0,6 = 0,56
Ответ: 0,56

Задача 23.

В каждой из двух урн по 5 черных и 5 белых шара. Из первой во вторую урну переложили шар. Какова вяроятность того, что случайно выбранный из второй урны шар окажется белым?
Решение. Пусть событие А — из второй урны вынут белый шар. Рассмотрим гипотезы: Н1 — из первой урны вынули белый шар Н2 — из первой урны вынули черный шар Р(Н1) = 5/10 = 0,5 Р(Н2) = 5/10 = 0,5 Р(А|h2) = 6/11 (во второй урне стало 6 белых 5 черных) P(A|h3) = 5/11 (во 2-й урне стало 5 белых и 6 черных). P(A) = P(h2)*P(A|h2) + P(h3)*P(A|h3) = 0,5*6/11 + 0,5*5/11 = 0,5 Ответ: 0,5

Задача 24.

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся все белые шары, во второй – черные, а в третьей – 2 белых и 1 черный шар. Наудачу выбирается урна и из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?
Решение. Событие А — вынут черный шар. Гипотезы Н1, Н2, Н3 — шар вынут, соответственно, из 1-й, 2-й, 3-й урны. Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3 P(A|h2) = 0 — вероятность вынуть черный шар при условии, что выбрана первая урна P(A|h3) = 1 — вероятность вынуть черный шар из второй урны P(A|h4) = 1/3 — вероятность вынуть черный шар из третьей урны P(A) = 1/3*(0+1+1/3) = 1/3* 4/3 = 4/9 Найдем условную вероятность, что черный шар вынут из второй урны. P(h3|A) = P(h3)*P(A|h3)/P(A) = (1/3 * 1) / (4/9) = 1/3 * 9/4= 3/4 = 0,75
Ответ: 0,75

Задача 25.

Из урны, содержащей 5 шаров с номерами от 1 до 5, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером два будет извлечен при втором извлечении.

Решение. Событие А: извлекли первый шар с номером 1 (вероятность равна 1/5), то его не вернут, и вероятность вынуть затем шар №2 равна 1/4. Р(А) =1/5*1/4=1/20. Событие В: извлекли шар №»2 с вероятность 1/5, осталось 4 шара, вероятность вторым вынуть шар №2 равна 0. Р(В)=1/5*0=0 Событие С: первым извлекли шар №3 или №4 или №5. Вероятность равна 3/5, вероятность вынуть вторым шар №2 равна 1/5 (так первый шар вернули). Р(С)=3/5 * 1/5 = 3/25 Р= Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1/20+ 0 + 3/25 = 0,05+0,12 = 0,17

Ответ: 0,17

Задача 26.

В одном ящике 6 белых и 4 черных шара, в другом 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что а) шары черные; б) только один черный; в) хотя бы один черный.

Решение. а) 4/10 — вероятность вытащить черный шар из 1-го ящика, 3/10 — вер. вытащить черный шар из 2-го. Р=0,4*0,3=0,12 б) Вер., что из первого ящика черный, а из второго белый Р1=4/10 *7/10=0,28 Вер., что из первого белый, а из второго черный Р2=6/10*3/10=0,18 Р=Р1+Р2=0,28+0,18=0,46 в) Найдем вероятность противоположного события: вытащили все белые. р= 6/10 * 7/10=0,42 Тогда вероятность, что хотя бы 1 черный равна 1-р=1-0,42=0,58

Задача 27.

В урне 4 белых и 2 черных шара. Вытаскивают все шары по одному. Найти вероятность того, что черные шары вытащили последними. Решение. Найдем вероятность, что сначала вытащили все белые шары, тогда 2 последних будут черные. Всего шаров 6. Вероятность, что первым вытащили белый шар равна 4/6=2/3. Осталось 5 шаров: 3 белых, 2 черных. Вероятность вытащить белый шар равна 3/5. Осталось 4 шара: 2 белых, 2 черных. Вероятность вытащить белый шар 2/4=1/2. Осталось 3 шара: 1 белый, 2 черных. Вероятность вытащить белый шар 1/3. Вероятность того, что вытащили подряд 4 белых шара равна Р=2/3 * 3/5 * 1/2 * 1/3 = 1/15

Ответ: 1/15

Задача 28.

В урне 10 шаров в них 2 чёрных наудачу взято 3 найти вероятность того что среди выбранных шаров хотя бы один чёрный

Решение. Найдем вероятность противоположного события: «Среди взятых трех шаров нет ни одного черного.» Вероятность вытащить первый шар белый Р1= 8/10. Осталось 9 шаров, из них 7 белых, вероятность вытащить второй белый шар Р2=7/9. Осталось 8 шаров, среди них 6 белых. Р3=6/8. Р=Р1*Р2*Р3=8/10 *7/9 *6/8 = 14/30=7/15. Вероятность, что из трех шаров хотя бы 1 черный равна 1-Р=1-7/15=8/15.

Ответ: 8/15

Задача 29.

В урне 4 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 — черные? Решение. Всего 8 шаров. Количество способов вынуть 5 шаров из 8 : n=С₈⁵ = 8!/(5!*3!)=8*7*6/(2*3)= 56 Количество способов вынуть 2 белых из 4 белых: С₄²=4!/(2!*2!) = 1*2*3*4/(2*2)= 6 Количество способов вынуть 3 черных из 4 черных: С₄³=4!/(3!*1!)= 1*2*3*4*(1*2*3)=4 Количество способов вынуть 2 белых и 3 черных m=6*4=24 P=m/n=24/56=3/7

Задача 30.

В ящике 20 белых,15 черных,25 синих и 10 красных шаров. Какова вероятность того,что: a) Наугад вынут шар черного цвета; b) Наугад вынут шар черного или белого цвета; в) Наугад вынут шар не красного цвета; г) Оба вынутых наугад шара оказались красными; д) Из двух вынутых наугад шаров хотя бы один оказался синего цвета.

Решение. Всего шаров 70. а) По формуле Р=m/n, где n — количество всех шаров, m — количество черных шаров, получим Р= 15/70=3/14≈0,214 б) Черных+белых шаров = 20+15=35, m=35, n=70. Р=35/70=0,5 в) Не красных шаров 70-10=60, Р=60/70=6/7 г) Оба оказались красными. Вероятность события, что первый вытянутый шар красный, равна 10/70=1/7. При этом останется 70-1=69 шаров, из них 9 красных. Вероятность события, что второй шар вытянут красный, равна 9/69 =3/23. Вероятность, что произойдут оба этих события (и первый и второй — красные) равна произведению вероятностей. Р=1/7 * 3/23 = 3/161 ≈ 0,019 д) Найдем вероятность противоположного события — «ни один из двух шаров не синего цвета». Всего шаров 70, 25 — синих, 45 — не синих. Вероятность вытащить первый не синий шар р1=45/70=9/14, вероятность вынуть второй не синий р2=44/69. Вероятность, что оба не синих р1*р2=9/14 *44/69 = 66/161 Вероятность противоположного события, что хотя бы 1 синий равна Р= 1 — 66/161 = 95/161 ≈ 0,59

Задача 31. В урне 12 белых, 5 красных и 3 черных шара. Наудачу вынимается три шара. Найдите вероятность того, что а) все шары будут красными? б) хотя бы один шар будет черным? в) два шара будут белыми?
Решение. а) В урне 5 красных шаров и 15 не красных. Всего 20 шаров. Найдем вероятность того, что все 3 вынутых шара будут красные. Вероятность, что первый вынутый шар красный равна 5/20=1/4. После этого осталось 19 шаров, из них 4 красных. Вероятность вынуть красный шар равна 4/19. Осталось 18 шаров, из них 3 красных. Вероятность вынуть третьим красный шар равна 3/18=1/6. Т.к. все события должны произойти, то вероятность равна 1/4 * 4/19 * 1/6 = 1/114. Можно решать комбинаторным способом: Р=С₅³/С₂₀³ = 5!/(3!*2!) / (20!/(3!*17!)), получим то же самое. б) Найдем вероятность противоположного события: ни один вынутый шар из трех — не черный. Всего 20 шаров, 17 не черных. Р₁ =С₁₇³/С₂₀³= 17!/(3!*14!) / (20!/(3!*17!) = 17*16*15/(20*19*18) = 0,596 Р=1-Р1=1-0,596= 0,404 в) 12 белых, 8 не белых. Р= С₁₂²*8 / С₂₀³(количество способов выбрать 2 белых и один не белый делим на количество способов выбрать 3 любых шара из 20). Р= 12!/(2!*10!) *8/(20!/(3!*17!) = 12*11/2 *8 /(20*19*18/6) = 66*8*6/(20*19*18)= 0,463

Задача 32. В урне находится равное количество шаров красного, синего, зеленого, желтого и черного цветов. Из урны последовательно 3 раза достают по одному шару, каждый раз возвращая его обратно. Найти вероятность того, что хотя бы два шара окажутся одинакового цвета.
Решение. Шаров каждого цвета n, а всего шаров 5n. Шары вынимаются с возвращением. Выбрать 1 шар можно 5n способами. Надо найти вероятность противоположного события — того, что все 3 вынутых шара будут разного цвета. А затем из 1 вычесть найденную вероятность. Количество всех исходов 5n*5n*5n=125n³. Количество наборов из трех разных цветов — С₅^3.Набор — это три разных цвета для трех шаров, а т. к. шар любого цвета может быть выбран n cпособами, то количество благоприятных исходов равно С₅³* n*n*n. P1 = C₅³ *n³ / (125n³) = 5!/(3!*2!) /125 = 10/125 = 0,08 P = 1 -P1= 1-0,08= 0,92 2-й способ. Т.к. количество шаров n — то положим n=1. найдем вероятность вынуть набор красный, желтый и черный. Т.к. вынимаем с возращением, то вероятность вынуть любой шар равна 1/5, а вероятность вынуть указанный набор равна 1/5*1/5*1/5 = 1/125. Количество всевозможных наборов из трех разных шаров равно С₅³=10. По теореме о сумме вероятностей Р1=10/125 = 2/25. Р= 1- 2/25 = 23/25= 0,92.

Задача 33. Вероятность попадания стрелком в мишень при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и равна 0,8. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти вероятности следующих событий: а) мишень поражена одной пулей; б) мишень поражена двумя пулями; в) зарегистрировано хотя бы одно попадание; г) зарегистрировано не менее трех попаданий.
Решение. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.8, а вероятность не попадания равна 0,2. а) По ф-ле Бернулли Р=0,8*0,2⁴ *С₅¹=0,8*0,2⁴*5=0,0064 (1 раз попал и 4 раза не попал) б) По формуле Бернулли Р=0,8*0,8*0,2³ *C₅² = 0,8²*0,2³*5!/(3!*2!)=0,0512 в) Рассмотрим противоположное событие — не попал ни разу р=0,2⁵. Тогда вероятность попадания хотя бы 1 раз равна Р= 1- 0,2⁵г) не менее трех означает, что попал 1 или 2 или 3 раза Р = 5*0,8*0,2⁴ + С₅²*0,8²*0,3³ + С₅³*0,8³*0,2²

Задача 34. Вероятность попадания стрелком в цель при выстреле равна 0,7. Стрелок стреляет до первого попадания. Чему равна вероятность того,что ему потребуется: а)три выстрела б)не более трех выстрелов
Решение. Вероятность не попадания при выстреле равна 1-0,7=0,3 а) 0,3*0,3*0,7=0,063 — первые 2 раза не попал, а третий раз попал. б) не более трех — это значит, что потребуется 1 или 2 или 3 выстрела для каждого случая считаем вероятности и их складываем 0,7+0,3*0,7+0,3*0,3*0,7=0,7+0,21+0,063=0,973

Задача 35. Вероятность промаха при одном выстреле 0,4. Чему равно среднее число попаданий при 20 выстрелах?
Решение. 0,6 -вероятность попадания при одном выстреле, это 60% попаданий. 20*60%=20*0,6=12
Ответ: 12 попаданий

Задача 36. Снаряд уничтожает цель с вероятностью 0,8. Сколько надо выпустить снарядов по цели, чтобы уничтожить цель с вероятностью 0,99?
Решение. Вероятность промаха при первом выстреле равна 0,2, при каждом следующем выстреле такая же. Подсчитаем количество выстрелов х, при которых цель не будет уничтожена с вероятностью менее 1-0,99=0,01. x=1 p1=0,2 — вероятность промаха при одном выстреле x=2 p2=0,2*0,2=0,04 — вероятность промаха при 2-х выстрелах. х=3 р3=0,2*0,2*0,2=0,008 — вероятность промаха при трех выстрелах, что меньше 0,01. Значит х=3 Ответ: 3. 2-й способ. Вероятность поражения цели при х выстрелах равна сумме вероятностей поражения цели при одном или 2-х или 3-х и т.д. или при х выстрелах. 1) Вероятность поражения цели при одном первом выстреле равна р1=0,8, 2) Вероятность промаха при первом и поражения при втором равна р2=0,2*0,8=0,16. Вероятность поражения при первом или втором рана 0,8+0,16=0,96 3) Вероятность промаха при первом и втором и поражении при третьем равна р3=0,2*0,2*0,8=0,032 Вероятность поражения при первом или втором или третьем равна р1+р2+р3=0,8+0,16+0,032= 0,992 >0,99 Значит, необходимо сделать 3 выстрела.
Ответ: 3.

Задача 37. Вероятность попадания одной ракеты в цель равна р = 0,7. Для поражения цели достаточно одного попадания. Сколько следует выполнить пусков ракет, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,99?
Решение. Рк — вероятность попадания при к-том выстреле Р1=0,7 Р2=0,3*0,7=0,21 — первый раз ракета не попала, второй попала Р1+Р2=0,91 — вероятность, что попала при первом или втором выстреле. Получили меньше 0,99 Вычисляем Р3 и находим новую сумму. Р3=0,3*0,3*0,7 = 0,063 — 2 раза не попала, третий попала Р1+Р2+Р3=0,91+0,063=0,973 — мало Р4=0,3*0,3*0,3*0,7=0,0441 — 3 раза не попала, 4-й раз попала Р1+Р2+Р3+Р4=0,973+0,0441= 1,0171 > 1 значит, при четырех выстрелах ракета наверняка попадет
Ответ: 4

Много интересного в телеграм:
👉1. Занимательная математика
👉2. Занимательный английский
👉3. Занимательный космос
👉4. Занимательные путешествия
👉5. Фильмы, сериалы, мультфильмы
👉6. Аниме
👉7. Аирдропы криптовалюты
👉8. СВО

Вероятность — SAT Math

Все математические ресурсы SAT

16 диагностических тестов 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 14 15 Следующая →

SAT Math Help » Анализ данных » Вероятность

В пакете мармеладок 20 арбузных мармеладок, 45 кисло-яблочных мармеладок, 30 апельсиновых мармеладок и 5 мармеладок из сахарной ваты. Если вы протянете руку и возьмете одно драже, какова вероятность того, что оно будет со вкусом арбуза?

Возможные ответы:

4/19

1/20

1/4

1/5

1/3

Правильный ответ:

1/5

. Объяснение:

Сложите общее количество мармеладок, 20 + 45 + 30 + 5 = 100.

Разделите количество арбузных драже на общее количество: 20/100 и уменьшите дробь до 1/5.

Сообщить об ошибке

В квадрат вписан круг. Если случайным образом выбрать точку внутри квадрата, какова вероятность того, что эта точка окажется и внутри круга?

Возможные ответы:

5/6

π/6

3/4

π/4

Правильный ответ:

16 10 4/4 90 Объяснение:

Вероятность того, что точка окажется внутри круга, равна отношению площади круга к площади квадрата. Если предположить, что окружность имеет радиус r, то квадрат должен иметь сторону 2r. Площадь круга πr ², а площадь квадрата 〖(2r)〗 ² =〖4r〗 ² , поэтому доля площадей равна (πr ² )/〖4r〗 ² =π/4.

Сообщить об ошибке

У Джона есть миска с 54 шариками. Половина шариков зеленые, а половина шарики синие. Джон берет из банки 3 зеленых и 6 синих шариков. Затем Джон берет 13 дополнительных шариков из оставшихся в банке. Какое минимальное количество из этих 13 шариков должно быть зеленым, чтобы синих шариков было больше, чем зеленых?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

В чаше 54 шарика, половина зеленых, половина синих. Это дает нам 27 зеленых и 27 синих шариков:

27 G / 27 B

Затем Джон берет 3 зеленых и 6 синих из миски. Таким образом, в чаше остается:

24 G / 21 B

Если после 13-ти шариков Джона будет больше синих, чем зеленых, он должен взять по крайней мере на 4 зеленых шарика больше, чем синих, потому что прямо сейчас есть На 3 синих шарика меньше. Значит надо взять не менее 9 зеленых шариков , что будет означать, что 4 или меньше шариков будут синими (8 зеленых и 5 синих оставят нам одинаковое количество зеленых и столько же синих шариков, поэтому должно быть больше 8 зеленых шариков, что дает нам 9 зеленых шариков).

Мы также можем решить это как неравенство. Вы берете разницу в шариках, которая равна 3, а это значит, что вам нужно, чтобы разница в зеленых и синих шариках была больше 3 или по крайней мере 4. У вас есть b + g = 13 и g — b > 3, где b и g — целые положительные числа.

b + g = 13 (вычесть g из обеих частей уравнения)

b = 13 — g

g — b > 3 (подставить вышеприведенное уравнение)

g — (13 — g) > 3 (распределить отрицательное знак в скобках)

g — 13 + g > 3 (сложить обе переменные g)

2g — 13 > 3 (прибавить 13 к обеим частям неравенства)

2g > 16 (разделить обе части неравенства на 2 )

g > 8, поэтому g должно быть 9 или больше.

Сообщить об ошибке

Если x выбран случайным образом из набора (4, 6, 7, 9, 11) и y выбирается случайным образом из набора (12, 13, 15, 17), то какова вероятность того, что xy нечетно?

Возможные ответы:

9/10

11/20

9/20

3/10

6/10

Правильный Ответ:

9/2059

. Объяснение:

Если x выбирается случайным образом из набора (4, 6, 7, 9, 11), а y выбирается случайным образом из набора (12, 13, 15, 17), то какова вероятность того, что xy странный?

Здесь у нас есть 5 возможных вариантов для x и 4 возможных варианта для y, что дает нам 5 * 4 = 20 возможных результатов.

Мы знаем, что нечетное число раз нечетное = нечетное; даже раз даже = даже; и четные времена нечетные = четные. Таким образом, нам нужны все исходы, где x и y нечетны. У нас есть 3 возможности нечетных чисел для x и 3 возможности нечетных чисел для y, поэтому у нас будет 9 исходов из наших 20 исходов, где xy является нечетным, что дает нам вероятность 9/20 .

Сообщить об ошибке

У Майка есть мешок с шариками: 4 белых, 8 синих и 6 красных. Он вытаскивает из мешка один шарик, и он красный. Какова вероятность того, что второй шарик, который он вытащит из мешка, будет белым?

Возможные ответы:

4/17

4/18

3/18

1/6

Правильный ответ:

4/17

Пояснение:

Всего 18 шариков. Один из них удален, так что теперь есть 17 шариков. Это наш знаменатель. Все исходные белые шарики все еще находятся в мешке, поэтому существует вероятность 4 из 17 или 4/17, что следующий шарик, извлеченный из мешка, будет белым.

Сообщить об ошибке

Майкл подбрасывает три монеты. Какова вероятность того, что хотя бы одна из этих монет выпадет орлом?

Возможные ответы:

1/4

1/2

3/4

1/8

7/8

Правильный ответ:

7/8

. Пояснение:

Майкл может подбросить одну, две или три головы.

Если Майкл подбрасывает одну голову, то это может быть при первом, втором или третьем броске. Мы могли бы смоделировать это так, где H представляет решку, а T — решку.

HTT, THT или TTH

Если Майкл подбрасывает две решки, то возможны три комбинации:

HHT, HTH или THH

Если Майкл подбрасывает три решки, то возможна только одна комбинация:

HHH

Таким образом, есть семь способов, которыми Майкл может подбросить хотя бы одну голову. Мы должны найти вероятность каждого из этих способов, а затем сложить их вместе.

Вероятность выпадения головы равна ½, а вероятность выпадения решки равна ½. Поскольку каждый бросок монеты независим, мы можем перемножить вероятности вместе.

Например, вероятность комбинации HTT равна (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8

Вероятность HTT = 1/8

Вероятность THT = (1/2 )(1/2)(1/2) = 1/8

Вероятность TTH = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8

Вероятность HHT = 1/8

Вероятность HTH = 1/8

Вероятность THH = 1/8

Вероятность HHH = 1/8

Итак, есть семь возможных способов, которыми Майкл может подбросить хотя бы одну решку. Вероятность каждого из этих семи способов равна 1/8. Таким образом, общая вероятность всех семи событий равна 7/8.

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ РЕШЕНИЕ:

Майкл может выбросить хотя бы одну решку, или он может выбросить ноль решек. Сумма этих двух вероятностей должна равняться единице, потому что они представляют все способы, которыми Майкл мог подбрасывать монеты. Он мог либо кинуть хотя бы на голову, либо вообще не кинуть.

Вероятность выпадения хотя бы одного орла + вероятность того, что орел не выпадет = 1

Вероятность того, что орел не выпадет, возможна только при комбинации ТТТ. Вероятность выпадения трех решек равна (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8

Вероятность выпадения хотя бы одной решки + 1/8 = 1

Вероятность выпадения хотя бы одной решки = 1 – 1/8 = 7/8 .

Сообщить об ошибке

В банке с шариками 125 шариков. 25 синих шариков, 65 красных шариков, 15 зеленых шариков и 20 желтых шариков. Какова вероятность того, что первые три вынутых шарика будут зелеными или синими?

Возможные ответы:

0,020

0,025

0,031

0,015

0,043

Правильный ответ:

0,031

Объяснение:

Вероятность каждого события = (количество зеленых шариков + # синих шариков)/общее количество шариков

P1 = (15 + 25) / 125 = 40 / 125

Второе событие предполагает, что для второго события был выбран синий или зеленый первое событие, поэтому сверху на один шарик меньше, а также на один шарик меньше в общем количестве шариков.

P2 = (14 + 25) / 124 = 39 / 124

Третье событие предполагает, что для первого и второго событий был выбран синий или зеленый, поэтому сверху на два шарика меньше, а также на два шарика меньше в общем количестве шариков .

P3 = (13 + 25) / 124 = 38 / 123

Вероятность нескольких событий = P1 x P2 x P3

(40/125) * (39/124) * (38/123)

( 40 * 39 * 38) / (125 * 124 * 123 ) = 59280 / 1

0 = 0,031
Сообщить об ошибке
Если даны две игральные кости, какова вероятность того, что сумма выпавших чисел будет равна 9?
Возможные ответы:
1/9
1/6
1/24
1/36
1/18
Правильный ответ:
1/9
Объяснение:
Есть 36 возможных исходов аддитивного броска кубиков. Способ выпадения суммы 9 — это 6 (и наоборот) и 3 или 5 и 4 (и наоборот). Это возможно 4 из 36 раз, что дает вероятность суммы двух бросков костей 4/36 или 1/9.
Сообщить об ошибке
В мешке 6 зеленых, 5 синих и 9 красных шариков. Какова вероятность того, что вы вытащите из мешка два зеленых шарика?
Возможные ответы:
21/190
6/20
3/38
9/100
5/42
Правильный ответ:
3/38
14. Пояснение:
Всего 20 шариков. Выбор первого зеленого шарика имеет шанс 6/20, второго зеленого шарика — 5/19. Это дает общий шанс 30/380 или шанс 3/38.
Сообщить об ошибке
В старшей школе проводится специальный конкурс, победитель которого получит приз в размере 100 долларов. В конкурсе принимают участие 300 старшеклассников, 200 юниоров, 200 второкурсников и 100 первокурсников. Каждый старший помещает свое имя в шляпу 5 раз, младший 3 раза, а второкурсник и первокурсник только один раз. Какова вероятность того, что будет выбрано имя младшего?
Возможные ответы:
5/8
1/4
1/6
2/5
1/24
Правильный ответ:
1/4
Пояснение:
Первое, что нужно сделать здесь, это найти общее количество студентов, принявших участие в конкурсе. Старших = 300 * 5 = 1500, Младших = 200 * 3 = 600, Второкурсников = 200 и Первокурсников = 100. Таким образом, сложив все это, вы получите в общей сложности 2400 имен в шляпе. Из этих 2400 имен 600 юниоров. Таким образом, вероятность выбора имени Джуниора составляет 600/2400 = 1/4.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 14 15 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все математические ресурсы SAT
16 Диагностические тесты 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
15 Вероятностные вопросы и практические задачи
Вероятностные вопросы и вероятностные задачи требуют от учащихся определения вероятности того, что что-то произойдет. Вероятности можно описать словами или числами. Вероятности варьируются от 0 до 1 и могут быть записаны в виде дробей, десятичных знаков или процентов .
Здесь вы найдете подборку вероятностных вопросов разной сложности, показывающих разнообразие, с которым вы, вероятно, столкнетесь в средней и старшей школе, включая несколько более сложных экзаменационных вопросов.
Какие есть примеры вероятности из реальной жизни?
Чем более вероятно, что что-то произойдет, тем выше его вероятность. Мы все время думаем о вероятностях.
Например, вы могли заметить, что в определенный день вероятность дождя составляет 20%, или подумать о том, насколько вероятно, что вы выпадете 6 при игре или выиграете в лотерее при покупке билета.

Как рассчитать вероятности
Вероятность того, что что-то произойдет, определяется по формуле: число возможных исходов}}\]
Мы также можем использовать следующую формулу, которая поможет нам рассчитать вероятности и решить задачи:
Вероятность того, что что-то не произойдет = 1 – вероятность того, что произойдет
P(not\;A) = 1 — P(A)
Для взаимоисключающих событий:
Вероятность события A ИЛИ событие B = вероятность события A +
Вероятность события B
P(A\;или\;B) = P(A)+P(B)
Для независимых событий:
Вероятность события A И события B = вероятность события A, умноженная на вероятность события B
P(A\;и\;B) = P(A) × P(B)

Вероятностный вопрос: A сработал пример
Вопрос: Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты три раза подряд выпадет решка?
При подбрасывании монеты возможны два исхода – орёл или решка. Каждый из этих вариантов имеет одинаковую вероятность выпадения при каждом подбрасывании. Вероятность выпадения орла или решки при одном подбрасывании монеты равна ½.
Поскольку существует только два возможных исхода и вероятность их возникновения одинакова, это называется биномиальным распределением.
Давайте посмотрим на возможные результаты, если мы подбросим монету три раза.
Пусть H=орел и T=решка.
Возможные исходы: HHH, THH, THT, HTT, HHT, HTH, TTH, TTT
Каждый из этих исходов имеет вероятность ⅛.
Таким образом, вероятность подбросить монету три раза подряд и все три раза упасть орлом равна ⅛.

Вероятностные вопросы в средней школе
В средней школе вероятностные вопросы знакомят с идеей шкалы вероятности и того факта, что сумма вероятностей равна единице. Мы рассматриваем теоретическую и экспериментальную вероятность, а также изучаем типовые пространственные диаграммы и диаграммы Венна.
Вероятностные вопросы для 6-го класса
В настоящее время существует два нечетных числа и два простых числа, поэтому шансы выпадения нечетного или простого числа одинаковы. Добавляя 3, 5 или 11, вы добавляете одно простое число и одно нечетное число, поэтому шансы остаются равными.

Добавляя 9, вы добавляете нечетное число, но не простое. Было бы три нечетных числа и два простых числа, поэтому счетчик с большей вероятностью выпадет на нечетное число, чем на простое.
\frac{1}{6}
\frac{1}{3}
\frac{1}{2}
\frac{2}{3}
A и E — гласные, поэтому 2 результата, которые являются гласными из 6 результатов в целом.

Следовательно, вероятность равна \frac{2}{6}, что можно упростить до \frac{1}{3} .
Вероятностные вопросы 7-го класса
\frac{1}{2}
\frac{26}{41}
\frac{26}{67}
\frac{26}{100}
Макс бросил монета 67 раз и орлом выпала 26 раз.

\text{Относительная частота (экспериментальная вероятность)} = \frac{\text{количество успешных испытаний}}{\text{общее количество испытаний}} = \frac{26}{67}
Добавить их вместе
Вычесть число на кубике 2 из числа на кубике 1
Умножить их
Вычесть меньшее число из большего числа
Для каждой пары чисел Грейс вычла меньшее число из большего числа.

Например, если она выбросила 2 и 5, она выкинула 5 − 2 = 3,
Вероятностные вопросы для 8-го класса
Поскольку вероятность взаимоисключающих событий прибавляется к 1:

\begin{align} х+4х&=1\\\\ 5x&=1\\\\ х&=\фракция{1}{5} \end{выровнено}

\frac{1}{5} шаров красные, а \frac{4}{5} шаров синие.

\frac{4}{5} \text{ из } 25 = 20
Нам нужно посмотреть на числа, которые не входят в кружок «Как наука». В данном случае это 9+ 7 = 16.

Вероятностные вопросы для старших классов
В старших классах вероятностные вопросы включают в себя решение задач для предсказания вероятности события. Мы также узнаем о диаграммах дерева вероятностей, которые можно использовать для представления нескольких событий, и условной вероятности.
Один из первых слайдов вероятности на древовидных диаграммах для старшеклассников в рамках онлайн-интервенции Third Space Learning.
Вероятностные вопросы для 9-го класса
Количество различных комбинаций 2 × 3 × 2 = 12.
\frac{12}{30}
\frac{3}{7}
\frac{1}{4}
\frac{ 3}{12}
Сначала нам нужно определить, сколько учеников ходит в школу пешком:

\frac{2}{9} \text{ of } 18 = 4

\frac{1}{ 4} \text{ of } 12 = 3

4 + 3 = 7

7 учеников идут в школу пешком. 4 девочки и 3 мальчика. Таким образом, вероятность того, что студент — мальчик, равна \frac{3}{7} . 92 = 0,16\\\\ р = 0,4. \end{выровнено}

Вероятность выпадения орла равна 0,4, поэтому вероятность выпадения решки равна 0,6.

Вероятность выпадения двух решек равна 0,6 × 0,6 = 0,36.
Вероятностные вопросы для 10-го класса
Сначала нам нужно рассчитать вероятность сорвать апельсин. Сумма вероятностей равна 1, поэтому 1 — (0,2 + 0,15 + 0,1 + 0,3) = 0,25.

Вероятность сорвать апельсин равна 0,25.

Количество раз, когда я ожидаю, что выберу апельсиновую мармеладку, равно 0,25 × 60 = 15. } \times \frac{4}{13} = \frac{4}{26}

Если в игру сыграют 260 человек, Декстер получит 260 долларов.

Ожидаемое количество победителей будет \frac{4}{26} \times 260 = 40

Декстер должен раздать 40 × 3 доллара = 120 долларов.

Следовательно, прибыль Декстера составит 260 долл. США – 120 долл. США = 140 долл. США.
\frac{1}{8}
\frac{3}{8}
\frac{1}{2}
\frac{1}{6}
Есть три способа получить две головки и один хвост: HHT, HTH или THH.

Вероятность каждого из них равна \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Следовательно, общая вероятность равна \frac{1}{8} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
Вероятностные вопросы для 11-го/12-го класса
\frac{32}{200}
\frac{32}{100}
\frac{32}{88}
\frac{32}{56}
Поскольку мы знаем, что человек выбрал 100 м, нам нужно включить людей только в этот столбец.

Всего 88 человек выбрали 100 м, поэтому вероятность того, что это женщина, равна \frac{32}{88} .
\фрак{12}{50}
\фрак{3}{50}
\фрак{12}{35}
\фрак{10}{35}
Для этого нам нужно нарисовать диаграмму Венна.

Начнем с того, что поместим 25 человек, которым нравятся оба варианта, в среднюю часть. Среди 37 человек, которым нравится овощная пицца, есть 25, которым нравится и то, и другое, так что еще 12 человек должны любить овощную пиццу. 3 тоже не нравится. У нас осталось 50 – 12 – 25 – 3 = 10 человек, так что это число должно нравиться только пепперони.

Всего 35 человек любят пиццу пепперони. Из них 10 не любят овощную пиццу. Вероятность равна \frac{10}{35} .
\frac{n(12-n)}{66}
\frac{n(n-1)}{132}
\frac{(12-n)(11-n)}{132}
\frac{n(12-n)}{132}
Нам нужно подумать об этом, используя древовидную диаграмму. Если всего 12 шариков и n красных, то 12-n синих.

Чтобы получить один красный и один синий, Нико может выбрать красный, затем синий или синий, а затем красный, так что вероятность:

\begin{выровнено} \frac{n}{12} \times \frac{12-n}{11} + \frac{12-n}{11} \times \frac{n}{11} &= \frac{n(12- n)}{132} + \frac{n(12-n)}{132}\\\\ &= \frac{2n(12-n)}{132}\\\\ &=\frac{n(12-n)}{66} \end{выровнено}
Ищете другие вопросы по математике для средней и старшей школы?
Попробуйте это:
15 Вопрос о соотношении
15 Вопросы алгебры
15 Вопросы тригонометрии
15 Обратные уравнения. по математике?
Предоставьте своим учащимся четвертого и пятого классов больше возможностей для закрепления навыков обучения и практики с помощью индивидуального обучения элементарной математике с их собственным специализированным онлайн-репетитором по математике.
Каждый учащийся получает дифференцированное обучение, предназначенное для устранения индивидуальных пробелов в обучении, а система обучения гарантирует, что каждый учащийся учится в нужном темпе.
No related posts.