Задачи по теории вероятностей: Сборник задач по теории вероятностей (с решениями) | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9, 11 класс):

alexxlab / / Разное

Теория вероятности (7 задач)

Задача 1. Имеется 15 изделий, из них 5 бракованных. Для контроля наудачу берутся 2 изделия. Определить вероятность того, что а) брак не обнаружен; б) одно изделие бракованное, другое нет.

Решение. Событие А – среди двух взятых изделий брак не обнаружен;

Событие В – среди двух взятых изделий одно изделие бракованное, другое нет.

Всего имеется способов извлечь два изделия из 15 изделий.

А) Исходов благоприятствующих наступлению события А , т. к. то, что брак не обнаружен, означает, что оба изделия взяты из 10 небракованных изделий.

Используя формулу классической вероятности,

,

Где число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;

N − число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий,

Получаем:

Б) Исходов благоприятствующих наступлению события В .

Используя формулу классической вероятности, получаем:

Ответ: а) 0,429; б) 0,476.

Задача 2. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной 3 наудачу бросают монета радиуса 1 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата.

Решение. Событие А – монета не пересечёт ни одной из сторон квадрата можно представить в виде двух событий: В – монета не пересечёт вертикальных линий и С – монета не пересечёт горизонтальных линий. Тогда вероятность наступления события А можно представить в виде вероятности произведения событий В и С:

Предполагаем, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка, а вероятность попадания точки на плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры, и не зависит от ее расположения.

Используя геометрическую вероятность, получаем:

Тогда искомая вероятность равна

Ответ: 0,111.

Задача 3. При повышении напряжения в сети машина А выходит из строя с вероятностью 0,1, а машина В – с вероятностью 0,2.

Определить вероятность того, что а) обе машины выйдут из строя; б) хотя бы одна из машин выйдет из строя, если машины выходят из строя независимо друг от друга.

Решение. Введем события:

А − из строя вышла машина А;

В − из строя вышла машина В.

Тогда искомые вероятности найдем по следующим формулам:

А)

Б)

Ответ: а) 0,02; б) 0,28.

Задача 4. В первой урне 2 белых и 5 черных шаров, во второй – 5 белых и 2 черных. Из первой во вторую переложили один шар, затем из второй урны извлекли один шар. Определить вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны – черный.

Решение. Пусть событие А – шар, извлеченный из второй урны, оказался черным.

Введем гипотезы:

из первой урны во вторую переложили черный шар;

из первой урны во вторую переложили белый шар.

Вероятности гипотез равны соответственно

Если происходит событие , то во второй урне станет 2 + 1 = 3 черных и 5 белых шаров. В этом случае вероятность наступления А равна

Если же происходит событие , то во второй урне станет 5 + 1 = 6 белых и 2 черных шара. В этом случае вероятность наступления А равна

Тогда по формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 0,339.

Задача 5. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове 0,2. Определить вероятность того, то при 5 вызовах число сбоев не более двух.

Решение. Условие задачи соответствует схеме Бернулли.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

,

Со следующими параметрами: .

Тогда искомая вероятность

Ответ: 0,942.

Задача 6. Случайная величина Х – число сбоев в предыдущей задаче. Найти 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[X], 5) СКВО, 6) P{x>4}.

Решение. 1) Случайная величина Х – число сбоев в работе телефонной станции при 5 вызовах, может принимать следующие возможные значения:

0, 1, 2, 3, 4, 5.

Найдем вероятности соответствующие данным значениям, используя формулу Бернулли:

Получаем следующий закон распределения случайной величины Х:

0

1

2

3

4

5

0,32768

0,4096

0,2048

0,0512

0,0064

0,00032

2) Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Изобразим ее график

3) Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биномиальному закону, равно:

4) Дисперсия случайной величины, распределённой по биномиальному закону, равна:

5) Среднее квадратическое отклонение

6)

Задание 7. Дана плотность распределения

Найти А, F(X), M[X], D[X],

Решение. Найдём параметр А, используя основное свойство плотности распределения:

.

Тогда:

Функция плотности распределения принимает вид:

Интегральную функцию распределения вероятности F(X) можно найти по следующей формуле:

Если , то , следовательно,

F(X) =

Если то , следовательно,

Если , то , следовательно,

Итак, искомая функция распределения:

Ее график имеет вид:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал находим по формуле:

Получаем:

.

< Предыдущая   Следующая >

Деордица Ю.С. Решение задач по теории вероятностей с использованием MATHCAD

  • формат doc
  • размер 903. 37 КБ
  • добавлен 06 января 2012 г.

Учебно-методическое пособие. Луганск. ВНУ им. В. Даля. 2011. 118 стр.

Учебно-методическое пособие состоит из четырех разделов: «Случайные события», «Случайные величины», «Цепи Маркова» и «Метод Монте-Карло». Каждый раздел пособия содержит краткие теоретические сведения и примеры решения типовых задач с использованием системы MATHCAD.

Похожие разделы

  1. Академическая и специальная литература
  2. Математика
  3. Задачники и решебники
  1. Академическая и специальная литература
  2. Математика
  3. Теория вероятностей и математическая статистика
  4. Задачники и решебники по ТВиМС
  1. Академическая и специальная литература
  2. Математика
  3. Теория вероятностей и математическая статистика
  4. Математическая статистика
  5. Задачники по математической статистике

Смотрите также

  • формат pdf
  • размер 652. 65 КБ
  • добавлен 11 февраля 2009 г.

Пособие содержит решение типовых задач по основным разделам теории вероятностей, предусмотренных программой подготовки бакалавров и магистров. Каждый раздел содержит краткое теоретическое введение, решение типовых задач и задачи для самостоятельного решения. Приведено 20 вариантов индивидуальных заданий по 11 задач в каждом. Работа предназначена для студентов второго курса, изучающих теорию вероятностей и для преподавателей, ведущих практические…

  • формат pdf
  • размер 509.66 КБ
  • добавлен 11 июня 2010 г.

РГУ, 2003. 32 с. Методические указания по решению задач по теории вероятностей для студентов механико-математического факультета. Часть 4 — Числовые характеристики функций случайных величин, предельные теоремы теории вероятностей. Цель настоящей работы — помочь студентам в приобретении навыков решения задач по теории вероятностей. В начале каждого раздела дается необходимый теоретический материал, после чего подробно рассматривается решение типо…

  • формат djvu
  • размер 3.78 МБ
  • добавлен 30 ноября 2011 г.

Учебное пособие для студентов вузов. Москва, изд-во «Статистика», 1975. — 199 с. В сборнике даны подробные решения типовых задач по теории вероятностей и математической статистики. Большинство задач носит конкретный характер, при их составлении использован фактический материал. Сборник содержит сквозные задачи, решение которых развивает у студентов способность анализировать явления с помощью математических методов. Для их решения используются как…

  • формат mcd, pdf
  • размер 545.5 КБ
  • добавлен 30 мая 2010 г.

Методические указания для студентов специальности «Организация и технология защиты информации» по выполнению практического занятия № 1 по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Приведены основные теоретические сведения по теме занятия. Вопросы занятия: Выполнение основных операций над множествами и событиями. Аксиоматика теории вероятностей. Выполнение основных операций над множествами с использованием MathCAD. Документ в ф…

Контрольная работа

  • формат docx
  • размер 37.82 КБ
  • добавлен 10 января 2011 г.

Решение лабораторной работы по теории вероятностей и матстатистике (вариант 5) Тема — «Случайные события». В работе содержаться примеры решения задач на темы: Классическая вероятность. Геометрическая вероятность. Алгебра событий. Полная вероятность. Формула Байеса. Формула Бернулли.

Контрольная работа

  • формат docx
  • размер 170.66 КБ
  • добавлен 20 января 2011 г.

Решение лабораторной работы №2 по теории вероятностей и матстатистике (вариант 5) Тема — «Случайные одномерные величины». В работе содержаться примеры решения задач на темы: Таблица распределения одной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Вычисление неизвестных коэффициентов в функции распределения. Функция плотности вероятностей. Геометрическое распределение. Внимание! Сде…

Контрольная работа

  • формат rtf
  • размер 1. 67 МБ
  • добавлен 14 марта 2011 г.

Решения 17 задач по теории вероятностей и матстатистике Решебник содержит задачи по теории вероятностей и математической статистике и примеры их решения. В решебник вошли 17 задач по способам определения вероятности происхождения события с помощью формулы Бейеса на примере задач о вынимании шарика определенного цвета из урны, попадании стрелком в мишень, о выпадении герба монеты, передачи сообщения по средствам связи без помех.

  • формат pdf
  • размер 841.74 КБ
  • добавлен 25 июня 2010 г.

Представленная работа является пособием по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Предназначена прежде всего для самостоятельной работы студентов. Содержит задачи, решаемые в течение ряда лет, на практических занятиях на радиотехническом факультете УГТУ – УПИ для студентов специальностей: «Средства связи с подвижными объектами», «Радиоэлектронные системы» и «Информационная безопасность телекоммуникационных систем». Соде…

  • формат doc
  • размер 598.5 КБ
  • добавлен 21 декабря 2011 г.

Индивидуальные задания. — Пермь: ПГТУ, 2007. — 32с. В пособии приведен разбор решений 7 типовых задач теории вероятностей. Решение остальных заданий базируется на одних и тех же свойствах и теоремах, а поэтому задачи решаются аналогично.

  • формат jpg
  • размер 2.46 МБ
  • добавлен 12 июля 2011 г.

Решение задач для РГР по предмету Теория вероятностей и Матстатистика по задачнику Чудесенко В.Ф. 17 вариант. для студентов 3 курса. 2010г.rn

Почему теория вероятностей сложна. Это не потому, что ты глупый или… | Грэм Кейт

Фото Тома Памфорда на Unsplash

В 1982 году Канеманн, Слович и Тверски опубликовали книгу «Суждения в условиях неопределенности: эвристики и предубеждения» и разрушили коллективное самообман человечества о том, что у нас есть какая-то функциональная интуиция для решения даже самых элементарных проблем вероятности. теория. Эта работа пережила возрождение популярности после публикации более доступной книги Канемана «Думая быстро и медленно».

Канеман в целом сочувствует нашей борьбе, но большая часть последующей литературы и материалов курса имеет слегка пренебрежительный, если не сказать покровительственный запах, как будто надежная вероятностная интуиция — это всего лишь вопрос упорной работы и приложения.

Я преподавал теорию вероятностей всем людям всех возрастов, профессий, уровней мотивации и уровня математического энтузиазма; от талантливых школьников и борющихся школьников до студентов, которые берут это, потому что они должны, и аспирантов, которые изучают это из любви. Большая часть моих консультаций связана с обучением вероятности людей, которые хотят использовать данные для принятия более обоснованных решений.

Я здесь, чтобы сказать вам, что с вероятностью сложно и почему, но немногое имеет большое значение, и оно того стоит.

Когда учимся водить, крутим руль, машина откликается. На разных скоростях реагирует по разному. Когда мы начинаем, это застает нас врасплох. Сначала мы переворачиваемся, затем недоворачиваемся, потому что мы только что перевернулись, затем мы начинаем сужаться до подходящей реакции и учимся делать это в диапазоне скоростей. Мы можем это сделать, потому что в основном наша машина каждый раз реагирует одинаково на заданную скорость. Мы поглощаем и интегрируем эти реакции, а также усваиваем сигналы, которые позволяют нам распространить эту выученную интуицию на другие подобные механические системы, а оттуда на механические системы в целом.

Photo by Keenan Constance on Unsplash

Ненадежные системы по определению каждый раз реагируют по-разному на одни и те же входные данные. Проводка, которой мы располагаем, чтобы включить, интегрировать и автоматизировать ответы, просто не может работать. В лучшем случае его просто можно не задействовать. В худшем случае мы пытаемся выдвинуть гипотезу о протоколах реагирования — выводим закономерности там, где их нет, — и злимся и разочаровываемся, когда они не работают.

Принимая во внимание огромную проблему развития интуитивных представлений только об одной стохастической системе, нас вряд ли удивит, что практически невозможно обобщить неопределенные системы вообще

Читатели книги Канемана «Думай быстро и медленно» поймут различие между Системой I «Быстрое» (интуитивное, инстинктивное, часто эмоциональное) и Системой II «Медленное» (обдуманное, методичное, рациональное) мышление. Система II медленная, но и сложная; это требует энергии, силы воли и — не говоря уже об определенных состояниях ума — это ограниченный ресурс. Поскольку Теория Вероятностей не интуитивна, она обречена на вечное чахание в парадигмах Системы II.

Фото Рэя Хеннесси на Unsplash

Мы могли бы надеяться, что, несмотря на дополнительные затраты на развитие стохастической интуиции, достаточное воздействие в течение достаточно длительного периода времени может привести нас к инстинктивному восприятию сомнительных систем. Это может быть; однако, несмотря на докторскую степень по математике и два десятилетия профессионального использования теории вероятностей, я сам с этим не сталкивался. Тем не менее, несомненно, можно развить эффективную интуицию в отношении того, как решать вероятностные задачи с помощью Системы II. Таким образом, хотя мы можем развить интуицию, чтобы ускорить наше «медленное» мышление, оно все равно остается «медленным» (и трудным).

Студенты (в самом широком смысле), которые хотят изучить «Медленную» логику вероятности, сразу же сталкиваются со значительными концептуальными трудностями.

Photo by Parsa khass on Unsplash

Во-первых, теоретики вероятности даже не согласны с тем, что такое вероятность и как о ней думать. Хотя существует широкое согласие относительно определенных классов задач, связанных с монетами, игральными костями, цветными шариками в идеально перемешанных мешочках и лотерейными билетами, как только мы переходим к практическим вероятностным задачам с более нечетко определенными пространствами исходов, мы получаем онтологический омлет из частотность, байесианство, аксиомы Колмогорова, теория Кокса, субъективное, объективное, исходное пространство и пропозициональные доверительные отношения.

Даже если теоретик вероятностей на испытательном сроке в конце концов вводится (по выбору или случайно, конечно, преподавателем) в ту или иную школу, ни одна из этих структур не является концептуально легкой для доступа. Неудивительно, что так много вероятностной педагогики сводится к методологическому заучиванию наизусть и эмпирическим правилам.

Есть еще. Теорию вероятностей часто преподают не очень хорошо. Обозначения могут сбивать с толку; и не заставляйте меня начинать с теории меры.

Хорошей новостью является то, что с точки зрения практического применения, очень мало может помочь вам очень далеко. Альтернативой базовому уровню понимания, позволяющему проводить количественный анализ неопределенности, являются, откровенно говоря, хрустальные шары и чайные листья. Даже простые модели, основанные на самых элементарных вероятностных парадигмах, прояснят результаты, предоставят основу и дадут представление о данных, необходимых для принятия обоснованных решений.

И хотя это сложно, без малейшего сомнения оно того стоит. Теория вероятностей, несмотря на непрекращающуюся войну за сферы влияния, является достаточно зрелой с математической точки зрения, чтобы любая структура, которую вы принимаете, на самом деле представляла собой в значительной степени минимальный концептуальный механизм, необходимый вам для рационального преодоления неопределенности.

Так что дерзайте, но будьте готовы и будьте добры к себе. Это сложно.

Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций — Цифровая библиотека Огайо

Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций — The Ohio Digital Library — OverDrive

Ошибка загрузки страницы.
Попробуйте обновить страницу. Если это не сработает, возможно, возникла проблема с сетью, и вы можете использовать нашу страницу самопроверки, чтобы узнать, что мешает загрузке страницы.
Узнайте больше о возможных проблемах с сетью или обратитесь в службу поддержки за дополнительной помощью.

Поиск Расширенный

Решение проблем — главная цель этой превосходной, хорошо организованной рабочей тетради. Книга подходит для студентов всех уровней теории вероятностей и статистики. В ней представлено более 1000 задач и их решений, иллюстрирующих фундаментальную теорию и репрезентативные приложения в следующих областях: случайные события; Законы о распределении; корреляционная теория; Случайные переменные; Энтропия и информация; Марковские процессы; Системы случайных величин; Предельные теоремы; Обработка данных; и более.
Охват тем широк и глубок: от самых элементарных комбинаторных задач до предельных теорем и теории информации. Во введении каждой главы излагаются основные формулы и общий план теории, необходимые для решения последующих задач. Далее следует группа типовых задач и их подробно разработанных решений, которые служат эффективной ориентацией для последующих упражнений.
Акцент на решение проблем и множество представленных задач делают эту книгу, переведенную с русского языка, ценным справочным пособием для ученых, инженеров и специалистов по вычислительной технике, а также исчерпывающим рабочим пособием для студентов, изучающих эти области.

Математика Документальная литература
  • Детали