Производные(задачи)
II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Понятие производной. Производная функции .
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.
Геометрический смысл дифференциала.
Непрерывность дифференцируемой функции.
Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
Производная сложной функции.
Инвариантность формы дифференциала.
Производная обратной функции.
Производные обратных тригонометрических функций.
Найти
производную.5.1. 5.2.
5.3. 5.4.
5.5. 5.6.
5.7. 5.8.
5.9. 5.10.
5.11. 5.12.
5.13. 5.14.
5.15. 5.16.
5.17. 5.18.
5.19. 5.20.
5.21. 5.22.
5.23. 5.24.
5.25. 5.26.
5.27. 5.28.
5.29. 5.30.
5.31.
Задача 6. Найти производную.
6.1. 6.2.
6.3. 6.4.
6.5. 6.6.
6.7. 6.8.
6.9. 6.10.
6.11. 6.12.
6.13.6.14.
6.
15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21. 6.22.
6.23. 6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29. 6.30.
6.31.
Задача 8. Найти производную.
8.1. 8.2.
8.3. 8.4.
8.5. 8.6.
8.7. 8.8.
8.9. 8.10.
8.11. 8.12.
8.13. 8.14.
8.15. 8.16.
8.17. 8.18.
8.19. 8.20.
8.21. 8.22.
8.23. 8.24.
8.
25.
8.26.
8.27. 8.28.
8.29. 8.30.
8.31.
Задача 9. Найти производную.
9.1. 9.2.
9.3.
9.4.
9.5. 9.6.
9.7.
9.8.
9.9. 9.10.
9.11. 9.12.
9.13. 9.14.
9.15. 9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21. 9.22.
9.23. 9.24.
9.25. 9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
9.31.
Задача
17. Найти
производную
-го
порядка.
17.1. 17.2.
17.3. 17.4.
17.5. 17.6.
17.7. 17.8.
17.9. 17.10.
17.11. 17.12.
17.13. 17.14.
17.15. 17.16.
17.17. 17.18.
17.19. 17.20.
17.21. 17.22.
17.23. 17.24.
17.25. 17.26.
17.29. 17.30.
17.31.
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
18.1. 18.2.
18.3. 18.4.
18.5. 18.6.
18.7. 18.8.
18.9. 18.10.
18.11. 18.12.
18.
13.
18.14.
18.15. 18.16.
18.17. 18.18.
18.19. 18.20.
18.21. 18.22.
18.23. 18.24.
18.25. 18.26.
18.27. 18.28.
18.29. 18.30.
18.31.
Соседние файлы в папке Геологи(1 курс)
- #
30.03.2015947.2 Кб28Вектора(задачи).doc
- #
30.03.2015245.76 Кб24Графики(задачи).doc
- #
30.03.2015561.15 Кб36Интегралы(задачи).doc
- #
30.03.2015184.83 Кб31Пределы(задачи).doc
- #
30.03.2015491.01 Кб118Производные(задачи).doc
- #
30.03.2015334.85 Кб21Тема_01_ВЕКТОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.DOC
- #
30.
03.2015271.87 Кб22Тема_02_СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.DOC - #
30.03.2015254.46 Кб24Тема_03_ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.DOC
- #
30.03.2015343.55 Кб21Тема_09_ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.DOC
- #
30.03.2015329.73 Кб26Тема_10_ПРОИЗВОДНАЯ.ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.DOC
03.2015271.87 Кб22Тема_02_СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.DOCТиповые задачи на производную с иррациональными функциями 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тема: Производная
Урок: Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
1. Техника дифференцирования
Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.
Повторим ее на следующем примере.
Дана функция . Найти .
Напомним, что .
. — постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а . Отсюда, .
Следующее действие – найти производную в конкретной точке.
. Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке, ищем производную в любой точке , а потом подставляем нужное значение.
2. Исследование функции и построение графика (задача 1)
Построить график функции .
Сначала надо попытаться все сделать без производной и понять эскиз графика функции.
1. Интервалы знакопостоянства функции.
: .
Найдем корни (нули) функции: или .
Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться над осью (см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции .
2. Построить график в окрестности каждого корня.
Функция в точке равна нулю. Справа и слева от точки функция положительна, значит, в точке функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить. В точке функция тоже рана нулю. Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.2):
Рис. 2. Схематический график функции в окрестности каждого корня.
Точек разрыва нет, и когда , то . Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис.3):
Рис. 3. Схематический график функции при .
Построили эскиз графика функции.
3. Проведем исследование функции с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
отсюда .
Оба значения принадлежат области определения.
Найдем интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис.4):
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.
Итак, — точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-» (см.
рис.4). Найдем значение функции в этой точке:
. Точка — точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+». Вычислим .
Таким образом, можем построить график функции (см. рис. 5).
Рис. 5. График функции .
3. Решение задачи с параметром
Дано уравнение . Найти положительное значение параметра , при котором уравнение имеет ровно два различных решения.
Решение.
Воспользуемся графиком функции (см. рис.5). При уравнение имеет два различных корня, но по условию поэтому .
Ответ: При .
Итак, мы рассмотрели функцию , где есть иррациональность, исследование и построение графика. Методика построения графика функции следующая: построить эскиз графика функции без использования производной (интервалы знакопостоянства функции, поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, в окрестности корней и бесконечно удаленных точек). Потом исследование с помощью производной уточняет график функции.
4. Исследование функции и построение графика (задача 2)
Построить график функции .
Решение.
Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.
: .
Найдем нули функции.
или . Определим знак функции на каждом интервале (см. рис.6).
Рис. 6. Интервалы знакопостоянства функции.
Итак, знаем, что на промежутке график функции будет находиться над осью , а на промежутке — под осью .
Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис.7).
Рис. 7. Схематический график функции в окрестности каждого корня.
Если , то . График идет следующим образом (см. рис.8):
Рис. 8. Эскиз графика функции .
Мы предполагаем, что на промежутке должен быть экстремум (см.рис.8). На все вопросы даст ответ производная.
Проведем исследование функции с помощью производной.
Приравняем производную к нулю, получим:
, отсюда — единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдем интервалы знакопостоянства производной (см. рис.9):
Рис. 9. Интервалы знакопостоянства производной.
Осталось вычислить значение функции в точке .
Итак, координаты точки экстремума таковы:
Рис. 10. График функции .
Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.
Например, найти все значения параметра , при которых уравнение не имеет решений.
Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр не входит в множество значений функции (см. рис. 10).
Рис. 10. Множество значений функции.
Ответ: уравнение не имеет решений при всех .
5. Итог урока
Итак, мы рассмотрели типовые задачи на производную для тех функций, в которых присутствует иррациональность.
Вспомнили, как дифференцируются такие функции, каким образом исследуются функции, и как строятся графики функций.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.
Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 45.9, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях).
Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
Производные и задачи по физике
Упражнение 1
Уравнение прямолинейного движения: d(t) = t³ − 27t. В какой момент скорость равна нулю? И какое ускорение в этот момент?
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Упражнение 2
С какой скоростью движется автомобиль согласно уравнению d(t) = 2 − 3t² на пятой секунде своего пути? В этом случае пространство измеряется в метрах, а время в секундах.
Упражнение 3
Из-за плохих условий окружающей среды колония из миллиона бактерий не размножается в течение первых двух месяцев исследования. Функция, которая представляет популяцию колонии в течение всего исследования (время представлено в месяцах), имеет вид:
1. Убедитесь, что популяция является непрерывной функцией времени.
2. Рассчитать среднюю скорость изменения популяции в интервале [0, 2] и [0, 4].
3. Рассчитайте мгновенную скорость изменения при t = 4.
Упражнение 4
Рост бактериальной популяции представлен функцией p(t) = 5000 + 1000t², где t — время, измеряемое в часах. Определить:
1. Средняя скорость роста.
2. Мгновенная скорость роста.
3. Мгновенная скорость роста при t 0 = 10 часов.
Упражнение 5
Уравнение кругового движения: φ(t) = ½t². Чему равны угловая скорость и ускорение на семисекундной отметке?
Упражнение 6
Человек находится в 2000 м от основания башни и запускает ракету в направлении той же башни. Когда ракета взлетает, изменение угла между траекторией полета и землей представлено как Φ(t) в зависимости от времени. Зная, что Φ'(t) = Π/3, определить:
1. Высота ракеты при Φ = Π/3 радиан.
2. Скорость ракеты при Φ = Π/3 радиан?
Упражнение 7
Газ закачивается в сферический резервуар со скоростью 6 м³/мин. Если давление остается постоянным, с какой скоростью изменится размер радиуса, если диаметр равен 120 см?
Решение упражнения 1
Уравнение прямолинейного движения: d(t) = t³ − 27t.
В какой момент скорость равна нулю? И какое ускорение в этот момент?
v(t) = d′t) = 3t² − 27 3t² − 27 = 0t = ± 3
a(t) = d′'(t) = 6ta(−3) = −18a(3) = 18
Решение упражнения 2
С какой скоростью движется автомобиль согласно уравнению d(t) = 2 − 3t² на пятой секунде своего пути? В этом случае пространство измеряется в метрах, а время в секундах.
Решение упражнения 3
Из-за плохих условий окружающей среды колония из миллиона бактерий не размножается в течение первых двух месяцев исследования. Функция, которая представляет популяцию колонии в течение всего исследования (время представлено в месяцах), имеет вид:
1. Убедитесь, что популяция является непрерывной функцией времени.
2. Рассчитайте среднюю скорость изменения совокупности в интервале [0, 2] и [0, 4].
3.
Рассчитайте мгновенную скорость изменения при T = 4.
Решение упражнения 4
Рост бактериальной популяции представлен функцией P (T). = 5000 + 1000t², где t — время в часах. Определить:
1. Средняя скорость роста.
2. Мгновенная скорость роста.
3. Мгновенная скорость роста при t 0 = 10 часов.
Решение упражнения 5
Уравнение кругового движения: φ(t) = ½t². Чему равны угловая скорость и ускорение на семисекундной отметке?
ω(t)= φ′(t)= t ω = 7
α(t)= φ′′ (t)= 1 α = 1
Решение упражнения 6
Человек находится на расстоянии 2000 м от основания башни и запускает ракету в направлении башня. Когда ракета взлетает, изменение угла между траекторией полета и землей представлено как Φ(t) в зависимости от времени. Зная, что Φ'(t) = Π/3, определить:
1. Высота ракеты при Φ = Π/3 радиан.
2. Скорость ракеты при Φ = Π/3 радиан?
Решение упражнения 7
Газ закачивается в шаровой резервуар со скоростью 6 м³/мин. Если давление остается постоянным, с какой скоростью изменится размер радиуса, если диаметр равен 120 см?
Проблемы с дифференциальным вычислением с решениями
0198Что такое скорость изменения в вычислениях?
Производную также можно использовать для определения скорости изменения одной переменной по отношению к другой. Несколько примеров – темпы роста населения, темпы производства, расход воды, скорость и ускорение.
Скорость изменения обычно используется для описания движения объекта, движущегося по прямой линии. В таких задачах принято использовать либо горизонтальную, либо вертикальную линию с обозначенным началом для обозначения линии движения.
На таких линиях движение вперед считается положительным направлением, а движение назад считается отрицательным направлением.
Задача 1:
Уровень земли, выпущенный ракетой, поднимается вертикально вверх на x метров за t секунд и x = 100t — (25/2)t 2 . Найдите
(i) начальную скорость ракеты,
(ii) время, когда высота ракеты будет максимальной
(iii) максимальную достигнутую высоту и
(iv) скорость, с которой ракета достигает земли.
Решение:
x = 100t — (25/2)t²
(i) Момент запуска ракеты равен 0.
Расстояние изменяется во времени.
dx/dt = 100 (1) — (25/2) (2t)
= 100 — 25 t
= 100 — 25 (0)
= d 100 – 0
метр /секунды
(ii) Когда объект достигает максимальной высоты, его скорость становится равной нулю.
DX/DT = 0
DX/DT = 100 — 25 T
100 — 25 T = 0
— 25 T = — 100
T = 100/25
T = 4 секунды
SO SO , объекту требуется 4 секунды, чтобы достичь максимальной высоты.
(iii) Ракете требуется 4 секунды, чтобы достичь максимальной высоты.
положить t = 4
x = 100t — (25/2)t²
x = 100 (4) — (25/2) (4)²
= 400 — (25/2) (16)
= 400 — (25) (8)
= 400 — 200
= 200 метров
(iv) Когда ракета достигает земли, высота ракета = 0
x = 100t — (25/2)t 2
100t — (25/2)t 2 = 0
— (
— (90/2)t² 3 = 900 100 25/2)t² = 100 t
t²/t = 100 (2/25)
t = 200/25
t = 8
dx/dt = 100 — 9 25 t0199
= 100 — 25 (8)
= 100 — 200
= -100 м/с
Поскольку он достигает земли, ответ имеет отрицательный знак.
Задача 2 :
Частица с единичной массой движется так, что перемещение через t секунд равно x = 3 cos (2t — 4). Найдите ускорение и кинетическую энергию в конце 2 с. (K.E = (1/2) m v²)
Решение:
перемещение частицы в секундах
x (t) = 3 cos (2t — 4)
масса = 1
чтобы найти ускорение, мы должны изменить данное уравнение два раза
скорость dx/dt = 3 [- sin (2t — 4) ] (2(1) — 0)
Скорость = -6 sin (2t — 4)
скорость при t = 2
v = -6 sin (2(2) — 4)
= -6 sin (4-4)
= -6 sin (0)
= 0
Ускорение d 2 x/dt 2 = -6 cos (2 t — 4) (2(1)- 0)
= -6 cos (2 t — 4)2
= -12 cos (2 t — 4)
теперь мы должны положить t = 2
= -12 cos (2(2) — 4)
= -12 cos (4 — 4)
= -12 cos (0)
= -12 (1) ==> -12
Кинетическая энергия K.