Задачи с решением на перестановку сочетание и размещение: Решение комбинаторных задач. Сочетания. Математика

Сочетания и размещения, элементы комбинаторики в 11 классе, урок

Дата публикации: 10 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:Сочетания и размещения (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов «Тригонометрия» Интерактивное пособие для 10–11 классов «Логарифмы»

---

При подсчете вероятности события, иногда бывает довольно сложно подсчитать общее количество исходов. На данном уроке мы займемся способами подсчета количества исходов.
На прошлом уроке мы повторили правило умножения. В курсе алгебры 9 класса мы изучали некоторые понятия, давайте повторим некоторые из них.

Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал) $n!=1*2*…*(n-1)*n$.

n факториал – состоящий из n множителей.

Заметим важное свойство факториала: $n!= (n-1)!*n$.

Количество перестановок из n элементов можно вычислять, используя следующую теорему:
Теорема. N отличных друг от друга предметов можно расставить по одному на N разных мест ровно N! способами. $P_{N}=N!$.
Где P – количество перестановок из N элементов, без повторений.

Пример.
К Иван Васильевичу пришли гости: Александр, Алексей, Петр и Николай. За столом 5 стульев.
а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом?
б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место Ивана Васильевича известно?
в) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Петр и Николай всегда сидят рядом?
г) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Алексей и Александр не могут сидеть рядом?

Решение.

а) Способы которыми можно рассадить гостей и хозяина — это не что иное, как количество перестановок наших гостей возле разных стульев. Воспользуемся теоремой: всего гостей — 5 человек, тогда имеем 5! способов расстановки.
Ответ: 120 способов.
б) Место Иван Васильевича уже известно, тогда гости могут выбрать 4 оставшихся стула, а это 4!=24 способа выбора.
Ответ: 24.
в) Петр и Николай сидят рядом, тогда первый из них может выбрать себе место пятью способами, а вот второму останется выбор только из двух мест — рядом с первым. Остается 3 места для 3 человек: 3!=6 способов. Тогда всего способов: 5*2*6=60.
Ответ: 60.
г) Алексей может выбрать место пятью способами, но вот Александру остается для выбора всего два места, так как рядом с Алексеем он сидеть не может. Тогда способов: 5*2*3!=60.
Ответ: 60.

Пример.
В чемпионате по хоккею участвовало 8 команд, каждая команда сыграла с другой по одной игре. Сколько всего сыграно игр?

Решение.
Данную задачу можно решать различными способами. Начнем с самого очевидного, но не всегда самого простого. Составим таблицу сыгранных игр и непосредственно подсчитаем количество игр.
Команда сама с собой играть не может (закрашенные клетки), тогда у нас остается $64-8=56$ клеток. Игр у нас произошло ровно в два раза меньше, так внизу таблицы могут быть записаны те же результаты, только в обратном порядке в зависимости от победы или поражения. Всего сыграно 28 игр.

Второй способ: Пронумеруем команды. Зная номера команд, можно подсчитать, что первая команда сыграет 7 игр, второй команде уже останется сыграть 6 игр, поскольку она уже сыграла игру с первой командой и так далее, получим: $7+6+5+4+3+2+1=28$.

Внимательно проанализируем нашу задачу: у нас есть 8 команд, в каждой игре участвуют 2 команды. Нам надо найти количество сочетаний или количество игр 8 команд, в каждой игре участвуют 2 команды. Порядок выбора команд совершенно не важен.

Количество сочетаний из n элементов по 2 легко вычисляется по формуле:
Теорема. k$.

Задачи для самостоятельного решения

1) К Мише пришли гости: Саша, Леша, Петя, Коля, Аркаша. Торт разрезали на 6 кусков.
а) Сколькими способами каждый ребенок может выбрать кусок торта?
б) Сколькими способами каждый ребенок может выбрать кусок торта, если Миша уже выбрал себе кусочек?
в) Сколькими способами каждый ребенок может выбрать кусок торта, если Аркаша всегда выбирает соседний от куска Саши?

2) Ребята 11 А и 11 Б решили поиграть в шахматы. В 11 А учится 13 человек, а в 11 Б — 9 человек.
Сколькими способами:
а) могут сыграть ребята 11 А между собой?
б) могут сыграть ребята 11 Б между собой?
в) Сколько игр возможно между ребятами 11 А и 11 Б?

г) Сколько всего игр возможно?

3) Из 16 дежурных надо выбрать трех для столовой. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

4) Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали олимпийских игр по теннису, если в этих играх участвовало 15 стран?

Идентификация проблемы перестановки и проблемы комбинации

$\begingroup$

Я понимаю, что комбинация используется, когда порядок чего-то не имеет значения. По большей части я могу различать их. Но бывают моменты, когда я почти уверен, что что-то основано на комбинации, и в конечном итоге это перестановка. Например, эта задача:

На факультете социологии 8 преподавателей женского пола и 9 преподавателей мужского пола. Будут выбраны 2 преподавателя-женщины или 2 преподавателя-мужчины, которым будут поставлены следующие задачи: играть в ведомственной команде по регби с совместным обучением; команда-преподает курс гуманитарных наук. Сколько различных результатов возможно, если предположить, что никому не будет поручено более одной задачи?

Мое решение было $\binom82$+$\binom92$. Фактическое решение было таким же, но с перестановкой. Мне любопытно, как порядок здесь имеет значение. На мой взгляд, я думаю, что не имеет значения, какие женские или мужские факультеты выбраны, в любом случае будут выбраны 2 из каждого факультета. Это неправильный способ оценки проблемы? Может ли кто-нибудь дать мне подробное объяснение некоторых ключевых слов, на которые следует обратить внимание, чтобы различать их, чтобы я не делал таких неосторожных ошибок на экзамене.

Спасибо!

• перестановки
• комбинации

$\endgroup$

$\begingroup$

Суть в том, что один из них будет играть в регби, а другой будет преподавать гуманитарные науки. Как это связано с «порядком имеет значение», вы можете себе представить, что первый выбранный преподаватель будет играть в регби, а второй выбранный будет преподавать гуманитарные науки.

Это контрастирует с чем-то, где они, скажем, выбираются в комитет. Тогда комитет, в состав которого входят учитель $A$ и учитель $B$, имеет тот же результат, что и комитет, в который входят учитель $B$ и учитель $A$. В этой ситуации вы бы использовали комбинации.

Обратите внимание, что это действительно отличается от вашего вопроса. Результат, когда учитель $A$ играет в регби, а учитель $B$ преподает гуманитарные науки, отличается от результата, когда учитель $B$ играет в регби, а учитель $A$ преподает гуманитарные науки.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Самая важная часть:

…играть в команде по регби; команда-преподает курс гуманитарных наук.

Потому что он говорит вам, что есть 2 варианта. Вы можете сделать это более ясным, представив, что преподаватели мужского и женского пола случайным образом выстраиваются в отдельные ряды, и выбираются первые двое в ряду. Первый идет в команду по регби с совместным обучением, а второй — на курс гуманитарных наук. Затем поменяйте порядок первых двух и посмотрите, имеет ли это значение для того, кто куда идет.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Перестановки и комбинации с вопросами и ответами

Введение:

Рекомендуемое действие

БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего Звездного Факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас

Вопросы из области Перестановки и Комбинации появляются почти на всех конкурсных экзаменах. Хотя поначалу эта тема может показаться громоздкой, при внимательном анализе она является расширением различных принципов системы счисления или принципов счета. Итак, давайте сначала разберемся с Основополагающими принципами счета, поскольку существует слишком много понятий с небольшими различиями. За каждой концепцией следует иллюстрация этой концепции, так что вы изучите не только концепцию, но и ее применение. Мы настоятельно рекомендуем вам пройтись по каждому пункту, приведенному ниже, чтобы решить вопросы о перестановках и комбинациях.

Фундаментальный принцип счета:

• Умножение: Если есть две работы, одна из которых может быть выполнена p способами, а после ее завершения любым из этих p способов, то вторая работа может быть выполнена за q разными способами, то две работы (последовательно) можно выполнить p × q способами.

Иллюстрация 1: В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Учитель хочет выбрать одного мальчика и одну девочку, чтобы представить класс в функции. Сколькими способами учитель может сделать выбор?

Sol: Здесь учитель должен выполнить две работы:

1. Выбор мальчика среди 15 мальчиков
2. Выбор девушки среди 10 девушек.

Первое задание можно выполнить 15 способами, второе — 10 способами. По фундаментальному принципу умножения общее количество способов равно: 15 × 10 = 150.

• Сложение: Если существуют две работы, которые можно выполнить независимо способами a и b соответственно, то любой из две работы могут быть выполнены (a + b) способами.

Иллюстрация 2: В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Учитель хочет выбрать мальчика или девочку, чтобы представить класс в функции. Сколькими способами учитель может сделать выбор?

Сол: Здесь учитель должен выполнить одно из следующих двух заданий.

1. Выбор мальчика среди 15 мальчиков или
2. Выбор девушки среди 10 девушек.

Первую задачу можно выполнить 15 способами, а вторую — 10 способами. По фундаментальному принципу сложения любое из двух заданий можно выполнить: 15 + 10 = 25 способами. Таким образом, учитель может выбрать мальчика или девочку 25 способами.

Примечание. Приведенные выше принципы подсчета можно распространить на любое конечное число заданий.

Формула перестановки и примеры перестановок

Каждое из расположений, которые могут быть сделаны путем взятия части или всего количества вещей, называется перестановкой. Пройдите следующие

например. ⇒ Перестановки трех букв X, Y, Z :
Перестановки трех букв X, Y, Z, взятые все сразу: XYZ, XZY, YZX, ZYX, ZXY, YXZ
⇒ Перестановка трех букв X, Y , Z взято два раза:
Требуемые перестановки: XY, YX, YZ, ZY, XZ, ZX.

• Калькулятор перестановок: Перестановка n различных объектов, взятых за ‘r’ за раз {Здесь r и n — положительные целые числа и 1 ≤ r ≤ n}
  is = P(n,r)= ⁿ P _r =n(n-1)(n-2)_____(n-r+1)
  P(n,r)= ⁿ P _r =(n!/(n-r)!)

Иллюстрация 3: Сколькими способами можно носить 3 неодинаковых кольца на 5 пальцах?

Сол. 93. Таким образом, общее количество путей равно 125.

ИЛИ, мы можем сказать, что существует 5 способов для первого кольца, 5 для второго и 5 для 3-го кольца, поэтому общее количество случаев будет 5*5*5. =125 случаев.

Иллюстрация 4: Сколько четырехбуквенных слов со значением или без него можно составить, используя буквы слова «ОТЦОВСКИЙ», используя каждую букву ровно один раз (имея в основном букву «F» в качестве одной из букв)?

1. Количество четырехбуквенных слов, начинающихся с «F» = ^8–1 Р _4-1 = ⁷ Р ₃
2. Количество четырехбуквенных слов со второй буквой «F» = ^8-1 P _4-1 = ⁷ P ₃
3. Количество четырехбуквенных слов, в которых третья буква – «F» = ^8-1 P _4-1 = ⁷ P ₃
4. Количество четырехбуквенных слов с буквой F на последней букве = ^8-1 P _4-1 = ⁷ P ₃

Общее количество слов = ⁷ P ₃ + ⁷ P ₃ + ⁷ P ₃ + ⁷ P ₃ = 4.   ⁷ P ₃

• Permutation of ‘n’ distinct объекты, взятые ‘r’ в то время, когда конкретный объект никогда не берется, это   ^n-1 P _r  . Здесь ни один конкретный объект (из n заданных объектов) никогда не берется. Итак, мы должны найти нет. способов, которыми r мест можно заполнить (n – 1) различными объектами. Ясно, что нет. аранжировки ^н-1 Р _р .
• Перестановка «n» разных объектов, принимая «r» за раз, в которой два указанных объекта всегда встречаются вместе, равна 2! (r – 1) ^n-2 P _r-2 Здесь, если исключить два указанных объекта, то количество перестановок оставшихся (n – 2) объектов, принимая (r – 2) за раз ^n-2 P _r-2 . Теперь рассмотрим два указанных объекта временно как один объект и прибавим к каждому из них ^n-2 P _r-2 перестановок, которые можно выполнить (r – 1) способами. Таким образом, количество перестановок становится (r – 1) ^n-2 P _r-2 . Но две указанные вещи можно соединить в 2! способы. Следовательно, необходимое количество перестановок равно 2! (r – 1) ^n-2 P _r-2 .
• Перестановка объектов (не всех отдельных): До сих пор мы обсуждали перестановки отдельных объектов (возьмем некоторые или все сразу). Теперь мы обсудим перестановки заданного количества объектов, когда не все объекты различны. Число взаиморазличимых перестановок n вещей, взятых одновременно, из которых p одного вида, q второго рода, таких, что p + q = n равно (n!/p!q!)
• Перестановка (когда объекты могут повторяться): Количество перестановок n разных вещей, взятых r за раз (когда каждая из них может повторяться любое количество раз в каждом расположении), равно n ^r .

Концепцию можно объяснить, сравнив эту перестановку с количеством способов, которыми r мест могут быть заполнены n различными предметами, когда каждый предмет может быть повторен r раз.

Первое место может быть заполнено n способами любой из n вещей. Заполнив первое место, снова остается n вещей; поэтому второе место можно заполнить n способами. Точно так же каждое из 3-го, 4-го, _ _ _ _ r-го места можно заполнить n способами. Таким образом, согласно фундаментальному принципу подсчета, общее количество способов заполнить «r» мест = n × n × n _ _ _ _ _ _ до r факторов = n ^р .

Иллюстрация 5: Сколькими способами можно отправить 4 письма в 3 почтовых ящика?

Sol: Поскольку каждое письмо можно отправить в любой из трех почтовых ящиков, письмо можно отправить тремя способами. Итак, общее количество способов, которыми можно разместить все четыре буквы = 3 ⁴ способа.

• Круговые перестановки: Перестановку n различных объектов по кругу можно выполнить за (n – 1)! способы.

Примечание: Эту концепцию можно понять, если понять, что n линейных перестановок, если рассматривать их вдоль окружности, дают одну круговую перестановку. Таким образом, требуемые круговые перестановки = (n!/n)=(n-1)!

Перестановки по кругу — по часовой стрелке и против часовой стрелки считаются одинаковыми.

Количество перестановок n различных объектов — по часовой стрелке и против часовой стрелки, аналогично = ((n-1)!/2)

• Комбинации и формулы комбинаций: Каждый из различных выборов, сделанных путем взятия части или всего количества объектов, независимо от их расположения, называется комбинацией.

Разница между комбинациями и перестановками:

1. В комбинациях важен только выбор, тогда как в случае перестановок учитывается не только выбор, но и расположение в определенной последовательности.
2. В комбинации порядок выбранных объектов не имеет значения, тогда как в перестановке порядок важен.
3. Чтобы найти перестановки n различных элементов, взятых по r за один раз: мы сначала выбираем r элементов из n элементов, а затем упорядочиваем их. Так что обычно количество перестановок превышает количество комбинаций.

• Формула для комбинаций: Комбинация n различных объектов, взятых по r за раз, определяется как: C(n, r) = ⁿ C _r = (n!/(n-r)!r!)

Свойства ⁿ C _r

Опора I: ⁿ C _r = ⁿ C _n-r  для 0 ≤ r ≤ n

Предложение II. Пусть n и r — неотрицательные целые числа такие, что r ≤ n. Тогда ⁿ C _r + ⁿ C _r-1 = ⁿ⁺¹ C _r

Предложение III. Пусть n и r — целые неотрицательные числа такие, что Тогда ⁿ C _r = (n/r). ^n-1 C _r-1

Рекомендуемое действие:

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к более чем 25 макетам, более чем 75 видео и более чем 100 тестам по главам. Зарегистрируйтесь сейчас

Выбор одного или нескольких элементов: Количество способов выбора одного или нескольких элементов из группы «n» отдельных элементов равно 2 ⁿ – 1.