Операции над векторами: теория и примеры решений
- Линейные операции над геометрическими векторами
- Проекция вектора на ось
- Операции над векторами, заданными в координатной форме
- n— мерные векторы и операции над ними
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
На этом уроке освоим самые простые операции над векторами, достаточные для вхождения в изучение векторной алгебры. Предварительно желательно ознакомиться с материалом о том, что такое вообще векторы.
Прежде чем Вы узнаете всё об операциях над векторами, настройтесь на решение
несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор
предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей — к Цели 2. Правила игры
таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей.
А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и «Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.
Умножение вектора на число
Произведением вектора на число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)
Из определения следует, что векторы и =
всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».
. (1)
Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.
Сложение и вычитание векторов
При сложении векторов нужно знать, что суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)
Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов . При сложении
нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, начало которого
совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора
приложить начало вектора , а к концу вектора
— начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора
— начало вектора , то
суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора
, а конец — с концом последнего вектора .
Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.
При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор . Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма даёт нулевой вектор, длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.
В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора вектор означает прибавить к вектору противоположный вектор , т.е.
Пример 1. Упростить выражение:.
Решение:
,
то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности,
также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед
вычислением произведений векторов.
Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.
Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат — требуемые в условии задачи векторы:
Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость» и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.
Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 3.
Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Правильное решение.
Пример 4. Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Правильное решение.
Как найти длину суммы векторов?
Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .
Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.
А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе
онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».
А где произведения векторов?
Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».
Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).
Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.
Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси,
начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .
Проекцией вектора на ось l называется число
,
равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.
Основные свойства проекций вектора на ось:
1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.
3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.
4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
- Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l,
если , а углы —
.
Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:
Находим окончательную проекцию суммы векторов:
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
Перед решением задач этого параграфа желательно ознакомиться с материалом о координатах вектора.
Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:
или
или
Укажем действия над этими векторами.
1.Сложение:
или, что то же
(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).
2.Вычитание:
или, что то же
,
(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).
3.Умножение вектора на число:
или, что то же
,
(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).
Пример 6. Даны два вектора, заданные координатами:
.
Решение:
.
Пример 7. Даны четыре вектора:
, , , .
Найти координаты векторов и .
Решение.
.
.
Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8.
На плоскости даны векторы
и
. Найти
координаты векторов ,
и
.
Правильное решение и ответ.
Пример 9. Точка конца вектора — точка . Найти точку начала этого вектора.
Правильное решение и ответ
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным
обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства
и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного
«n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.
д.
n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде
,
где — i – й элемент (или i – я координата) вектора x.
Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:
Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,
—
n – мерный вектор.
Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:
0 = (0; 0; …; 0).
Введём операции над n-мерными векторами.
Произведением вектора
на действительное число называется вектор
(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).
Зная вектор
можно получить противоположный вектор
Суммой векторов
и
называется вектор
,
(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).
Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж
,
где
—
продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .
Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:
Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:
При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:
Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.
Свойство 1.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Свойство 5.
Свойство 6.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
Поделиться с друзьями
Весь блок «Аналитическая геометрия»
- Векторы
- Понятие вектора, операции над векторами
- Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
- Скалярное произведение векторов, угол между двумя векторами
- Линейная зависимость векторов
- Базис системы векторов. Аффинные координаты
- Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов
- Плоскость
- Уравнения плоскости, взаимное расположение плоскостей
- Прямая на плоскости
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- Общее уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой в отрезках
- Каноническое уравнение прямой на плоскости
- Параметрические уравнения прямой на плоскости
- Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
Практическое занятие: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ | Учебно-методическое пособие по математике (10, 11 класс):
Практическое занятие
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Цель практического занятия:
приобрести навыки выполнения действий над векторами;
научиться применять векторы и метод координат к решению геометрических задач.
- Краткие сведения из теории
Понятие вектора. Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины принято изображать направленными отрезками, которые называются векторами.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.
В прямоугольной системе координат в пространстве любой вектор можно разложить единственным образом по базисным векторам
=++ ,
коэффициенты , и этого разложения называются координатами вектора в данной системе координат.
Абсолютная величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат: .
Действия над векторами, заданными своими координатами.
- При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:
.
- При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:
- При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:
.
- Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.
Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов:
.
Вычисление угла между векторами.
Из определения скалярного произведения векторов можно получить величину угла между векторами:
или в координатах: .
Пример 1: Даны два вектора и (1;3;0).
1. Найдите координаты векторов и ;
Координаты векторов и находим по правилу умножения вектора на число: 3 .
Координаты вектора находятся по правилу вычитания векторов:
Координаты вектора:
- Вычислите скалярное произведение векторов и ;
По формуле скалярного произведения:
= 1(-3) + (-12)(-9)+9·0 = -3 + 108 +0= 105.
- Найдите длину векторов и ;
Длина вектора ;
Длина вектора .
4. Определите угол между векторами и .
Угол между векторами и определяется по формуле:
.
2. Выполните задания в соответствии с номером варианта:
Даны координаты вершин треугольника ABC.
| ||
№ варианта | Координаты вершин треугольника ABC | |
A (4; 6; 3), B (-5; 2; 6), C (4;-4; -3). | ||
A (4; 3; -2), B (-3; -1; 4), C (2; 2; 1). | ||
A (-2; -2; 4), B (1; 3; -2), C (1; 4; 2). | ||
A (2; 4; 3), B (3; 1; -4), C (-1; 2; 2). | ||
A (2; 4; 5), B (1; -2; 3), C (-1; -2; 4). | ||
A (-1; -2; 4), B (-1; 3; 5), C (1; 4; 2). | ||
A (1; 3; 2), B (-2; 4; -1), C (1; 3; -2). | ||
A (2; -4; 3), B (-3; -2; 4), C (0; 0; -2). | ||
3. Решение типовых примеров:
Даны вершины : A (-2; 5; 2), B (2; 3; -1), C (6; 4; -3).
1) Найти .
— это угол между векторами и .
Найдём координаты вектора :
= ()
= (-2-2; 5-3; 2-(-1)) = (-4; 2; 3)
Аналогично находим координаты вектора :
= (6-2; 4-3; -3-(-1)) = (4; 1; -2)
=.
Ответ: =.
2) Определить вид .
Чтобы определить вид треугольника нужно найти длины его сторон и проверить по теореме Пифагора является ли он прямоугольным.
=
=
=
По т. Пифагора:
90 29+21
Следовательно, — косоугольный, разносторонний.
3) Вычислить координаты вектора =2 — 4 + 3
2 = 2 (8; -1; -5) = (16; -2; -10)
-4= -4 (-4; 2; 3) = (16; -8; -12)
3 = -3 = -3 (4; 1; -2) = (-12; -3; 6)
2 = (16; -2; -10)
-4= (16; -8; -12)
2 -4+3= (20;-13;-16)
Ответ: (20;-13;-16)
Исчисление II — Векторы (практические задачи)
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.
е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Вот набор практических задач для главы «Векторы» в «Исчислении II».
- Если вам нужен документ в формате PDF, содержащий решения, на вкладке загрузки выше есть ссылки на файлы в формате PDF, содержащие решения для полной книги, главы и раздела. В настоящее время я не предлагаю pdf-файлы для решения отдельных проблем.
- Если вы хотите просмотреть решения в Интернете, перейдите на веб-страницу набора задач, щелкните ссылку решения для любой проблемы, и вы перейдете к решению этой проблемы.
Обратите внимание, что в некоторых разделах будет больше проблем, чем в других, а в некоторых будет большее или меньшее разнообразие проблем.
Большинство разделов должны иметь ряд уровней сложности в задачах, хотя это будет варьироваться от раздела к разделу.
Вот список всех разделов, для которых были написаны практические задачи, а также краткое описание материала, содержащегося в примечаниях к этому конкретному разделу.
Основные понятия. В этом разделе мы введем некоторые общие обозначения для векторов, а также некоторые основные понятия о векторах, такие как величина вектора и единичные векторы. Мы также покажем, как найти вектор по его начальной и конечной точкам.
Векторная арифметика. В этом разделе мы обсудим математическую и геометрическую интерпретацию суммы и разности двух векторов. Мы также определяем и даем геометрическую интерпретацию скалярного умножения. Мы также даем некоторые из основных свойств векторной арифметики и вводим общие обозначения \(i\), \(j\), \(k\) для векторов.
Скалярное произведение. В этом разделе мы определим скалярное произведение двух векторов. Мы даем некоторые из основных свойств скалярных произведений и определяем ортогональные векторы и показываем, как использовать скалярное произведение, чтобы определить, являются ли два вектора ортогональными.
В этом разделе мы также обсуждаем нахождение векторных проекций и направляющих косинусов.
Перекрестное произведение. В этом разделе мы определяем перекрестное произведение двух векторов и приводим некоторые основные факты и свойства перекрестных произведений.
Практические задачи: векторы — physics-prep.com
Практические задачи: Векторы
Щелкните здесь, чтобы просмотреть решения.
1. (просто) Вектор A представляет 5,0 м смещения на восток. Если вектор B представляет 10,0 м смещения на север, найдите сумму двух перемещений ( R ).
2. (просто) Определите компоненты x и y смещения, величина которого составляет 30,0 м под углом 23° к оси x.
3. (умеренная) Автомобиль движется на 150,0 м под углом 63° к «северо-востоку» (это просто означает 63° от оси X). Некоторое время он остается в покое, а затем перемещается на 300 м под углом 34° к юго-западу (это означает, что он находится на расстоянии 214° от оси x).
Найдите полное перемещение автомобиля.
4. (легко) На объект действуют две силы, но в разных направлениях. Например, вы и ваш друг можете дергать за веревочки, прикрепленные к одному деревянному бруску. Найдите величину и направление равнодействующей силы при следующих обстоятельствах.
а) Первая сила имеет величину 10 Н и действует на восток. Вторая сила имеет величину 4 Н и действует на запад.
б) Первая сила имеет величину 10 Н и действует на восток. Вторая сила имеет величину 4 Н и действует на север.
5. (умеренная) Найдите уравновешивающую силу для описанной здесь системы сил:
Сила A : 20 Н при 20°
Сила B : 40 Н при 230°
6. (умеренная) Вектор A представляет смещение в метрах, выраженное в виде единичного вектора как
A = 2 i + 6 j + 3 k
Вектор B представляет второе смещение.
В = 5 i -3 j – 2 k
Найдите скалярное произведение двух векторов, их перекрестное произведение и угол между ними.
7. (Умеренный) Вектор D = 3 I — 4 J + 2 K и вектор: E = 4 I — J — 2 K . Найдите величину D + E и величину D — E .
8. (умеренная) Если вектор силы F 1 имеет величину 30 Н, направленную в направлении -z, и вектор силы F 2 имеет величину 60 Н, направленную в направлении +x, определите скалярное произведение ( F 1 • F 2 ) и перекрестное произведение ( F 1 x F 2 ).
Как изменились бы ответы, если бы векторы поменялись местами в уравнениях?
9. (умеренное) Два смещения с величинами 10 м и 12 м могут быть объединены для формирования результирующих векторов с множеством различных величин. Какая из следующих величин может возникнуть в результате этих двух смещений? 22 м, 2 м, 30,9м, 15,6 м. Какой угол существует для возможных равнодействующих между первоначальными смещениями?
10. (умеренная) Велосипедная шина (радиус = R = 0,4 м) катится по земле (без проскальзывания) на три четверти оборота. Рассмотрим точку на шине, которая изначально касалась земли. На какое расстояние он сместился от своего исходного положения?
11. (умеренная) Учащийся несет кусок глины от двери первого этажа (уровень земли) небоскреба (на улице Грант) к лифту, находящемуся на расстоянии 24 м. Затем она поднимается на лифте на 11-й этаж. Наконец, она выходит из лифта и несет глину 12 м обратно в сторону Грант-стрит. Определить полное перемещение глины, если каждый этаж находится на 4,2 м выше нижнего этажа.