Задачи сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: Мерзляк 6 класс — § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Разработка урока «Решение задач на тему «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»»

Урок №112 «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ»

Цели урока:

Образовательная — 
Повторение и обобщение изученного материала:

понятие правильной и неправильной дроби;

сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями;

сравнение обыкновенных дробей;

проверить и расширить представления об обыкновенных дробях.

Применение знаний о дробях для решения задач.

Развивающая

Развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание и мышление.

Воспитательная

Продолжить развивать познавательный интерес; воспитание ответственности, умение работать в коллективе; самостоятельности.

Задачи урока:

Предметные: обобщить  и систематизировать знания учащихся об обыкновенных дробях.

Личностные: продолжить формировать умение планировать свои действия в соответствии с учебным заданием;  

умения  работать в коллективе и находить согласованные решения; проявление  инициативы  при выполнении заданий;

ясное, точное, грамотное изложение своих мыслей; 

умение исправлять и дополнять ответы других учащихся.

Метапредметные: развитие  понимания сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

самостоятельное определение  цели  своего обучения;

осуществление  контроля своей деятельности; построение  логических рассуждений.

Урок направлен на формирование следующих УУД.

Познавательные УУД:

навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей, сравнение дробей;

правильно читать и записывать выражения, содержащие обыкновенные дроби;

умение решать задачи на сложение и вычитание дробей;

применять полученные знания при решении задач.

Коммуникативные УУД:

воспитывать интерес к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.

Регулятивные УУД:

понимать учебную задачу урока;

осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;

определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки;

отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения.

Личностные УУД:

формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.

ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП 1 МИН

— Ребята, здравствуйте. Садитесь.

Сегодня у нас с вами необычный урок, сегодня у нас гости на уроке. Но давайте не будем волноваться и переживать  Закройте глаза, три раза глубоко вздохните и выдохните. Теперь улыбнитесь и открывает глаза. Давайте начнем наш урок. 1 МИН

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 15 МИН

— Давайте проверим ваше домашнее задание. Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте. У вас было задано упр. 550, 554. Правильные ответы на доске, проверьте своих товарищей. (Разобрать кратко «почему так верно») Карандашом поставьте оценку за работу. Хорошо. Дежурный, собери, пожалуйста, тетради с домашним задание и раздай проверенные. 5 МИН

— Давайте вспомним, чем мы занимались с вами на предыдущих уроках. Как обычно проведем разминку. Задание на доске. (Отвечают устно или письменно у доски)

«Взаимоопрос» — те, кто не отвечал у доски, отвечают на вопросы одноклассников.

Например, вопросы:

— правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним)

— правило разности дробей с одинаковыми знаменателями (чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним)

— основное свойство дроби (Если числитель и знаменатель дроби у множить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится дробь равная данной)

— какая дробь называется правильной

— пример неправильной дроби

— как сравнить дроби с разными знаменателями

— пример правильной дроби

— как сравнить дроби с одинаковыми числителями/ знаменателями

— какая дробь ближе к 1

— как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями

— Хорошо, ребята. Мы вспомнили основные правила, необходимые нам для работы на сегодняшнем уроке.

10 МИН

Задания для разминки

Постановка цели. 3 МИН

Ребята, на слайде вы видите ребус, который подскажет вам тему нашего урока.

Итак, кто сформулирует тему нашего урока? (дети формулируют «Решение задач на тему «Сложение и вычитание дробей») Слайд с темой.

Откройте тетради. Запишите число и тему урока.

Закрепление 15 МИН

— Итак, давайте решим несколько задач на эту тему. Задачи на слайдах.

 

5. ТВОРЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ 7 МИН

— Молодцы ребята! А теперь попробуйте придумать свою задачу на тему «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»! На это задание мы отведем 5 минут, а затем почитаем ваши задачи. (Зачитать 3 задачи, без решения)

6. ИНФОРМАЦИЯ О ДОМАШНЕМ ЗАДАНИИ 1 МИН

— Запишите домашнее задание упр. 555,557 (б) Слайд с ДЗ.

7. РЕФЛЕКСИЯ 3 МИН

— Ребята, я раздам вам листки, на которых написаны незаконченные предложения. Закончите их, пожалуйста. Таким образом, мы подведем итоги нашего сегодняшнего урока. Например, «Сегодня на уроке я узнала, некоторые способы решения задач на дроби» и тд. Понятно? Работаем.

Поблагодарить за урок.

Приложение 1

Тексты задач (раздатка для тех, кто работает быстрее или медленнее)

Археологи в первую неделю раскопок выполнили часть всей работы, а во вторую неделю – еще часть всей работы. Какую часть работы археологи выполнили за 2 недели? Какая часть работ осталась?

Журналист прочитал отзыв на свою статью за 12 минут. Какую часть отзыва он прочитал за 1 минуту, а какая часть останется непрочитанной? За 2 минуты?

Кондитер Виктор изготовил кг конфет, а кондитер Андрей на г больше. Сколько конфет изготовили кондитеры вместе? Выразите ответ в граммах.

Рабочий может выполнить весь заказ за 3 ч, а ученик – за 7 ч. Какую часть заказа выполнит рабочий за 1 ч? Какую часть заказа выполнит ученик за 1 ч? Какую часть заказа они выполнят, работая вместе, за 1 ч?

До остановки автобус ехал ч, а на оставшийся путь он затратил на ч меньше. Сколько времени занял весь маршрут, если на остановке автобус стоял ч? Ответ выразите в часах и минутах.

Упр. 558 стр. 159

Туристы отправились на прогулку на лодке. До привала они плыли часа, обратный путь занял у них на ч больше. Сколько времени длилась прогулка, если привал занял ч? Ответ выразите в часах и минутах.

Выполнение задания по литературе заняло у Иры ч, а по биологии – на ч меньше.

а) Сколько времени ушло у Иры на оба задания?

б) Больше это или меньше 1 ч и на сколько?

в) Выразите полученную разницу в минутах.

 

Приложение 2

Карточки для рефлексии

Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось…	Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось…
Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось…	Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось…

Задачи на сложение и вычитание дробей 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

 

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

 

Урок: Задачи на сложение и вычитание дробей

 

1. Общий вид рассматриваемых примеров

 

 

На уроке рассмотрим и обобщим все случаи сложения и вычитания дробей: с одинаковыми и с разными знаменателями. В общем виде будем решать задачи вида:

 

.

Ранее мы уже видели, что при сложении или вычитании алгебраических дробей одной из важнейших операций является разложение знаменателей на множители. Аналогичная процедура проделывается и в случае обыкновенных дробей. Еще раз вспомним, каким образом необходимо работать с обыкновенными дробями.

 

2. Пример на сложение/вычитание обыкновенных дробей

 

 

Пример 1. Вычислить .

 

Решение. Воспользуемся, как и ранее, основной теоремой арифметики о том, что любое число можно разложить на простые множители: .

Определим наименьшее общее кратное знаменателей:  – это и будет общий знаменатель дробей, и, исходя из него, определим дополнительные множители для каждой из дробей: для первой дроби , для второй дроби , для третьей дроби .

.

Ответ..

 

3. Методы, которые применяются для сложения/вычитания алгебраических дробей, и пример на упрощение сложного выражения

 

 

В указанном примере мы пользовались основной теоремой арифметики для разложения чисел на множители. Далее, когда в роли знаменателей будут выступать многочлены, их необходимо будет раскладывать на множители следующими известными нам методами: вынесение общего множителя, метод группировки, выделение полного квадрата, использование формул сокращенного умножения.

 

Пример 2. Сложить и вычесть дроби .

Решение. Знаменатели всех трех дробей являются сложными выражениями, которые необходимо разложить на множители, затем найти для них наименьший общий знаменатель и указать дополнительные множители для каждой из дробей. Проделаем все эти действия отдельно, а затем подставим результаты в исходное выражение.

В первом знаменателе вынесем общий множитель:  – после вынесения общего множителя можно заметить, что выражение в скобках сворачивается по формуле квадрата суммы.

Во втором знаменателе вынесем общий множитель:  – после вынесения общего множителя применяем формулу разности квадратов.

В третьем знаменателе выносим общий множитель: .

После разложения на множители третьего знаменателя можно заметить, что во втором знаменателе можно выделить множитель  для более удобного поиска наименьшего общего знаменателя дробей, сделаем мы это с помощью вынесения минуса за скобки , во второй скобке мы поменяли местами слагаемые для более удобной формы записи.

Определим наименьший общий знаменатель дробей как выражение, которое делится на все знаменатели одновременно, он будет равен: .

Укажем дополнительные множители: для первой дроби , для второй дроби  – вынесенный в знаменателе минус не учитываем, т. к. запишем его ко всей дроби, для третьей дроби .

Теперь выполним действия с дробями, не забыв поменять знак перед второй дробью:

. 

На последнем этапе решения мы привели подобные слагаемые и записали их в порядке убывания степеней при переменной .

Ответ. .

 

4. Примеры на сокращение дробей до их сложения или вычитания

 

 

На приведенном примере мы еще раз, как и на прошлых уроках, продемонстрировали алгоритм сложения/вычитания дробей, который заключается в следующем: разложить на множители знаменатели дробей, найти наименьший общий знаменатель, дополнительные множители, выполнить процедуру сложения/вычитания и, по возможности, упростить выражение и произвести сокращение. Этим алгоритмом мы будем пользоваться и в дальнейшем. Рассмотрим теперь более простые примеры.

 

Пример 3. Вычесть дроби .

Решение. В данном примере важно увидеть возможность сократить первую дробь до приведения ее к общему знаменателю со второй дробью. Для этого числитель и знаменатель первой дроби разложим на множители.

Числитель:  – в первом действии разложили часть выражения по формуле разности квадратов, а во втором – вынесли общий множитель .

Знаменатель:  – в первом действии разложили часть выражения по формуле квадрата разности, а во втором – вынесли общий множитель . Подставим полученные числитель и знаменатель в исходное выражение и сократим первую дробь на общий множитель :

.

Ответ: .

Пример 4. Выполнить действия .

Решение. В этом примере, как и предыдущем, важно заметить и осуществить сокращение дроби до выполнения действий. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:  – по формуле разности кубов.

Знаменатель:  – вынесли общий множитель. Подставим все в исходное выражение и сократим дробь на :

.

После сокращения укажем область допустимых значений переменной .

Ответ..

На сегодняшнем уроке мы еще раз подчеркнули важность умения раскладывать многочлены на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей. Эта техника окажется полезной и на дальнейших уроках.

На следующем уроке мы поговорим об умножении и делении алгебраических дробей.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика в школе: поурочные планы (Источник).

2. Математика в школе: поурочные планы (Источник).

3. Республиканский ресурсный центр. Информатизация образования в Удмуртской республике (Источник).

 

Домашнее задание

1. №205, 206 (а, б), 208, 209. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Выполнить действия .

3. Выполнить действия .

4. Выполнить действия .

 

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Результаты обучения

• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Определять и использовать дробные операции

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, мы сначала должны записать их как эквивалентные дроби, имеющие одинаковый знаменатель. Мы будем использовать методы из предыдущего раздела, чтобы найти НОК знаменателей дробей. Напомним, что мы называем это LCD (наименьший общий знаменатель). При нахождении ЖК мы используем только знаменатели дробей, а не числители.

Затем мы можем использовать свойство «Эквивалентные дроби», чтобы алгебраически преобразовать дробь в эквивалентную. Помните, что две дроби эквивалентны, если они имеют одинаковое значение. Шаги для нахождения LCD и свойства Equivalent Fractions повторяются ниже для справки.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

 

Эквивалентные дроби Свойство

Если [latex]a,b,c[/latex] — целые числа, где [latex]b\ne 0,c\ne 0,\text{то}[/latex]

[latex]\Large\frac {a}{b}=\Large\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\normalsize\text{ и }\Large\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\Large\ frac{a}{b}[/latex]

После того, как мы преобразовали две дроби в эквивалентные формы с общими знаменателями, мы можем складывать или вычитать их, добавляя или вычитая числители. Попробуйте приведенные ниже примеры и попрактикуйтесь в решении задач, чтобы освежить эти навыки.

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями

1. Найдите ЖК-дисплей.
2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
3. Сложение или вычитание дробей.
4. Запишите результат в упрощенной форме.

Пример

Добавить: [latex]\Large\frac{1}{2}+\Large\frac{1}{3}[/latex]

Решение:

	[латекс]\Большой\фракция{1}{2}+\Большой\фракция{1}{3}[/латекс]
Найдите ЖК-дисплей [латекс]2[/латекс], [латекс]3[/латекс].
Преобразование в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея [латекс]6[/латекс].	[латекс]\Large\frac{1\cdot\color{red}{3}}{2\cdot\color{red}{3}} +\Large\frac{1\cdot\color{red}{2 }}{3\cdot\color{red}{2}}[/latex]
Упростите числители и знаменатели.	[латекс]\Большой\фракция{3}{6}+\Большой\фракция{2}{6}[/латекс]
Доп.	[латекс]\большой\фрак{5}{6}[/латекс]

Помните, всегда проверяйте, можно ли упростить ответ. Поскольку [латекс]5[/латекс] и [латекс]6[/латекс] не имеют общих множителей, дробь [латекс]\большой\фрак{5}{6}[/латекс] нельзя сократить.

Попробуйте

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров и пояснений о том, как сложить две дроби с разными знаменателями.

Пример

Вычесть: [латекс]\Большой\фракция{1}{2}-\left(-\Большой\фракция{1}{4}\правый)[/латекс]

Показать решение

Попробуйте

В следующем видео приведены еще два примера вычитания двух дробей с разными знаменателями.

Пример

Добавить: [латекс]\Большой\фрак{7}{12}+\Большой\фрак{5}{18}[/латекс]

Показать решение

Попробуйте

Когда мы используем свойство «Эквивалентные дроби», есть быстрый способ найти число, на которое нужно умножить, чтобы получить ЖК-дисплей. Запишите множители знаменателей и LCD так же, как вы это делали, чтобы найти LCD. «Недостающие» множители каждого знаменателя — это числа, которые вам нужны.

LCD, [латекс]36[/латекс], имеет [латекс]2[/латекс] коэффициенты [латекс]2[/латекс] и [латекс]2[/латекс] коэффициенты [латекс]3[ /латекс].

Twelve имеет два множителя [латекс]2[/латекс], но только один из [латекс]3[/латекс] — так что «отсутствует» один [латекс]3[/латекс]. Мы умножили числитель и знаменатель [latex]\Large\frac{7}{12}[/latex] на [latex]3[/latex], чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем [latex]36[/latex].

Восемнадцать отсутствует один множитель [латекс]2[/латекс] — поэтому вы умножаете числитель и знаменатель [латекс]\большой\фрак{5}{18}[/латекс] на [латекс]2[/латекс] чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем [латекс]36[/латекс]. Мы будем применять этот метод при вычитании дробей в следующем примере.

Пример

Вычесть: [латекс]\Большой\фрак{7}{15}-\Большой\фрак{19}{24}[/латекс]

Показать решение

Попробуйте

Пример

Добавить: [латекс]-\Large\frac{11}{30}+\Large\frac{23}{42}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Как складывать и вычитать дроби со знаменателем «отличие» | 4 класс Математика

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями мы делаем две вещи:

1️⃣ Складываем числители.

2️⃣ Скопируйте знаменатель.

Как мы складываем дроби с в отличие от знаменателей ?

Некоторые добавляют числители, а затем знаменатели.

✖️ Так нельзя!

Чтобы сложить дроби , они должны иметь общий знаменатель.

Совет: общий означает то же самое.

Итак, как мы можем сложить две дроби со знаменателем в отличие от ?

Хитрость заключается в том, чтобы переписать каждую дробь как эквивалентную дробь с общим знаменателем.

Совет:

Равнозначные дроби — это дроби, у которых разные числители и знаменатели, но то же значение, что и у исходной дроби.

Мы можем сделать эквивалентные дроби, умножив и числитель и знаменатель дроби на любое число.

Совет: Когда мы умножаем на 4/4, это то же самое, что умножать на 1, что не меняет число. Мы просто упрощаем работу.

Нахождение общего знаменателя

Один быстрый способ получить общий знаменатель — умножить на знаменатели обеих дробей.

Затем мы можем превратить каждое слагаемое в эквивалентную дробь с этим общим знаменателем, 12!

Много слов. 😅 Давайте покажем вам, что это значит, на нашем примере.

Начнем с первого сложения, 3/4. Как нам превратить его в эквивалентную дробь со знаменателем 12?

Мы спрашиваем себя, на какое число нужно умножить 4, чтобы получить 12?

Совет: это то же самое, что спросить сколько 12 ÷ 4.

Да, 3!

Итак, мы также умножаем числитель на 3.

Мы нашли эквивалентную дробь.

Мы превратили первое слагаемое 3/4 в эквивалентную дробь с нашим общим знаменателем 9/12. 👏

Далее повторяем те же действия для второго слагаемого, 2/3.

Превратим ее в эквивалентную дробь с общим знаменателем 12.

Спросим себя, какое число умножить на 3, получится 12?

Это 4! Итак, мы умножаем числитель 2 на 4, чтобы найти нашу эквивалентную дробь:

Теперь мы превратили второе слагаемое в эквивалентную дробь с желаемым знаменателем 12.

Наконец, мы можем сложить две дроби с общим знаменателем:

У-у-у, мы нашли ответ!

Итак, что вы узнали?

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала найдите общий знаменатель , затем превратите каждую из этих дробей в эквивалентные дроби с этим общим знаменателем, а затем сложите их.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей похоже на сложение дробей.

Чтобы вычитать дроби, они должны иметь общий знаменатель .

Превратим каждую приведенную выше дробь в эквивалентную с общим знаменателем 10.

После перехода к эквивалентным дробям мы можем вычитать.

Можем ли мы еще упростить эту дробь? 🤔

Больше нет.

3/10 наш окончательный ответ. ✅

Отличная работа.

Добавление смешанных номеров

Смешанный Числа состоят из целых чисел и дробей.

Вы можете складывать или вычитать смешанные числа, превращая их сначала в неправильные дроби .

Неправильные дроби — это дроби, у которых числитель больше знаменателя.

Попробуем на примере:

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Для этого умножаем знаменатель дроби на целую часть числа и прибавляем это произведение к числителю.

Например, чтобы преобразовать 2 1/4:

4 x 2 = 8

8 + 1 = 9

Затем просто скопируйте знаменатель.

Сложение теперь выглядит так:

Затем вы можете превратить каждую дробь в эквивалентную с общим знаменателем, как мы делали в примерах выше.

Преобразуем обратно в смешанную дробь.

71/12 в смешанной дроби 5 11/12 . ✅

Отличная работа.

Вычитание смешанных чисел

Вычитание смешанных чисел аналогично сложению смешанных чисел.

Сначала превратим их в неправильные дроби.

Давайте потренируемся.

Мы преобразуем эти в неправильные дроби .

Новое вычитание выглядит так:

Теперь давайте найдем наименьший общий знаменатель (LCD).

Знаменатели 2 и 5.

Итак, начнем с перечисления кратных 5.

5, 10…

Является ли 5 ​​кратным 2?

Нет, это не так! ✖️

10 кратно 2?

Да, это так. ✅

10 кратно 2. Мы можем прекратить перечисление кратных, потому что нашли ЖК-дисплей.

Найдем эквивалент дроби с ЖКИ.

Теперь задача на сложение выглядит так:

65/10 — 28/10 = 37/10

Преобразуем ее обратно в смешанное число.

Отличная работа, научился складывать и вычитать смешанные числа.