Математические задачи — Вероятности | Логические задачи и головоломки
Какова вероятность, что в 31-дневном месяце будет 5 понедельников?
В трех углах равностороннего треугольника находится по муравью. Каждый из муравьев начинает двигаться в другой случайно выбранный угол по прямой. Какова вероятность того, что ни один из муравьев не столкнется с другим муравьем?
У женщины и мужчины (не родственников) — по двое детей. По крайней мере один из детей женщины — мальчик; старший ребёнок мужчины — мальчик. Равна ли вероятность того, что у женщины два мальчика, вероятности того, что у мужчины два мальчика?
В воскресенье к нам должна прийти пообедать тетя Мотя. Моя жена отправилась куда-то на машине. Захотела она просто проехаться или отправилась за тетей Мотей, которая не может добраться к нам без посторонней помощи,— об этом я абсолютно ничего не знаю. Разумеется, я мог бы на второй машине сам отправится за нашей старой тетушкой, которая живет в 10 км от нас, но мне не хочется гонять машину понапрасну.
Итак, я могу поступить тремя способами:
1) не ездить за тетей Мотей;
2) поехать за ней;
3) позвонить ей по телефону и поехать за ней только в том случае, если она ответит.
А как бы вы поступили на моем месте?
Если Вы выберете ответ на этот вопрос случайным образом из приведенных ниже четырех вариантов, то какова вероятность того, что Вы выберете правильный ответ?
a) 25%
b) 50%
c) 66,67%
d) 25%
Опрашивают 40 наугад выбранных прохожих. Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое, празднующие свой день рождения в один и тот же день года, вы проигрываете. Если все дни рождения различны — выигрыш ваш.
Приняли бы вы участие в подобном пари, особенно, если ставка достаточно высока?
На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.
Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.
Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?
P.S. Задача предоставлена пользователем Artem of 93, которому отдельное спасибо за толковые комментарии к задачам
В наших родных краях дождь идет в среднем лишь один день из трех.
А наши чудо-метеорологи, в силу свойственного им пессимизма, ошибаются в прогнозах в половине случаев, когда имеет место хорошая погода, но всего лишь один раз из пяти в дождливую погоду.
Каждое утро моя подруга Юля на весь день уходит из дому. Если она оставит зонтик дома в дождливый день, то она промокнет, а если не будет дождя, а она возьмет зонтик, то ей придется зря носить с собой зонтик, впрочем, второе она считает вдвое менее неприятным, чем первое.
«Стоит ли мне,— задает она себе естественный вопрос,— слушать каждое утро радио и брать с собой зонтик лишь в том случае, когда прогноз говорит о том, что в нем есть нужда? А не лучше ли брать с собой зонтик ежедневно или, напротив, не брать его никогда?»
Что бы вы посоветовали моей подруге Юле?
В трех одинаковых комодах по два ящика в каждом. В каждом ящике комода А — золотая монета, в каждом ящике комода Б — серебряная монета, а в комоде В — серебряная монета в одном ящике и золотая — в другом. Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету.
Какова вероятность того, что в другом ящике этого же комода находится золотая монета?
На стандартной шахматной доске восемь на восемь клеток случайным образом расставлены две фигуры — ладья и король. Каковы шансы, что ладья бьет короля?
Игра в кости, о которой пойдет речь, весьма популярна на ярмарках и карнавалах, но, поскольку игроки редко приходят к согласию относительно своих шансов на выигрыш, я предлагаю ее в форме простой задачи по теории вероятностей.
На прилавке лежат шесть квадратов, помеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Игрокам предлагается на любой из квадратов положить любое количество денег. Затем бросаются три кости. Если номер вашего квадрата выпадает только на одной из костей, то вы получаете ваши деньги назад, и к ним прибавляется еще такая же сумма. Если ваш номер выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваши деньги плюс сумму, вдвое большую, чем та, которую вы ставили на квадрат. Если же ваш номер выпадает на всех трех костях, то кроме ваших денег вы получаете сумму, втрое превышающую вашу ставку.
Разумеется, если номер вашего квадрата не выпадает ни на одной из костей, то все деньги забирает владелец аттракциона.
Поясним это на примере. Допустим, вы поставили 1 доллар на квадрат № 6. Если на одной из костей выпадает 6, то вы получаете назад ваш доллар да еще 1 доллар впридачу. Если 6 выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваш доллар плюс еще 2 доллара. Если же 6 выпадает на всех трех костях, то вы забираете назад ваш доллар и получаете еще 3 доллара.
Игрок может рассуждать так: шанс моего числа выпасть на одной кости составляет 1/6, но поскольку костей три, то он повышается до 3/6, то есть до 1/2; значит, эта игра честная. Разумеется, в интересах владельца аттракциона, чтобы так думал каждый.
У кого в этой игре предпочтительнее шансы — у владельца аттракциона или у игрока, и насколько они велики?
Барри и Бенни дошли до финала соревнований по бильярду, который состоит из пяти партий. Кто победит в трех из них, тот получит приз $300. Барри выиграл первую партию, Бенни вторую, а Барри третью, но на этом матч был остановлен, поскольку сломалась пожарная сигнализация.
Как нужно поделить приз между Барри и Бенни?
В 1971 году психологи Дэнни Канеман и Амос Тверски решили помучить профессоров статистики вопросами, сформулированными не как статистические вопросы. Один был приблизительно таков: представьте, что вы живете в городе, где есть два роддома — один большой, другой маленький. В определенный день в одном из этих роддомов среди новорожденных оказывается 60% мальчиков. В каком роддоме это скорее всего могло бы произойти?
— Hу, нет, — сказал как-то математик своему четырнадцатилетнему сыну, — на этой неделе я не собираюсь давать тебе лишние десять долларов. Однако, если хочешь, могу предложить одно рискованное предприятие.
Мальчик тяжело вздохнул.
— Что ты придумал на этот раз ?
— У меня есть десять хрустящих новеньких десятидолларовых банкнот и десять бумажек по одному доллару; они тоже новые и хрустят. Все эти банкноты ты можешь распределить как угодно, но так, чтобы получилось два набора. Один набор положим в шляпу А, второй в шляпу Б.
После этого я завяжу тебе глаза и, перемешав содержимое внутри каждой шляпы, положу одну шляпу справа от камина, а вторую слева. Ты должен будешь взять наугад одну из шляп и вынуть из нее одну бумажку. Если вынешь десятку — она твоя.
— А если нет ?
— Будешь без разговоров целый месяц стричь газон.
Мальчик согласился. Как он должен распределить по шляпам двадцать бумажек, чтобы максимально увеличить вероятность вытянуть десять долларов, и чему будет равна эта вероятность ?
У вас было 50 монет на общую сумму в 1 доллар. Вы играли с ними, подбрасывая их в руке. И вдруг одна монетка упала в раковину и провалилась. Какова вероятность того, что это была монетка в 25 центов?
На школьном уроке учитель уронил тонкую пластиковую указку, которая после удара о пол раскололась на три части. Жаль, конечно. Но учитель не растерялся и задал вопрос о том, сколько в среднем потребовалось бы сломать указок, чтобы из кусков от одной указки получился треугольник?
В мешке находится одинаковое количество зеленых и желтых изумрудов, на ощупь их не отличишь.
Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик?
Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «одностороннюю игру», а вы не остались в убытке?
Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)?
Страницы
- 1
- 2
- следующая ›
- последняя »
Мастер-класс, посвященный решению задач по теории вероятности, прошел в ИЦО
Мастер-класс, посвященный решению задач по теории вероятности, прошел в ИЦО
25 марта 2023 года в Институте цифрового образования МГПУ был проведен мастер-класс, посвященный решению задач по теории вероятности (задания 3, 4) из ЕГЭ по профильной математике.
На нем мы рассмотрели задачи из 1 части, преимущественно из задания № 4, так как именно оно посвящено вероятности сложных событий. Познакомились с определениями несовместных, совместных и независимых событий, а также научились находить их вероятность. Рассмотрели задачи, для решения которых необходима формула полной вероятности, отвечали на возникшие вопросы. А также рассмотрели формулу Бернулли!
Поделиться
Образование
Создать блог, привлечь и удержать аудиторию: набор открыт
12 апреля, 2023 г.
Медиаменеджмент, копирайтинг и продвижение: Московский городской приглашает на программу профессиональной переподготовки. Студенты могут пройти ее бесплатно
Наука
Директор ИИЯ и другие эксперты выступили на конференции в МГИМО
11 апреля, 2023 г.
Преподаватели ИИЯ приняли участие в конференции «Профессиональный полилог в мультикультурном мире: язык, культура, метод», адресованной специалистам в области лингвистики, лингводидактики и смежных дисциплин
Главные новости
О весна, без конца и без краю!
12 апреля, 2023 г.
Апрельский день открытых дверей института гуманитарных наук
12 апреля, 2023 г.Ушел из жизни профессор Эдуард Яковлевич Шейнин
12 апреля, 2023 г.«Интеллектуальный мегаполис. Потенциал»: практический этап
12 апреля, 2023 г.Доцент ИЦО принял участие в работе круглых столов «Другие уроки»
12 апреля, 2023 г.Профессор ИЦО выступил в Курске
12 апреля, 2023 г.Выставка шахматного фотографа Бориса Долматовского
12 апреля, 2023 г. «Арт-фестиваль-2023» для подростков с особенностями в развитии
12 апреля, 2023 г.К 200-летию со дня рождения А. Островского
12 апреля, 2023 г.Создать блог, привлечь и удержать аудиторию: набор открыт
12 апреля, 2023 г.
Задание 1. Выборочное распределение вероятности выпадения 4 на шестигранном кубике размер случайной выборки и неопределенность оценок вероятности, сделанных на основе этой выборки.
В этой первой задаче мы рассмотрим неопределенность в оценке вероятности броска каждой стороны шестигранного кубика, полученную в доверительных интервалах. Мы рассмотрим существующую электронную таблицу, которая генерирует случайные выборки бросков костей (честных игральных костей!!) для различных размеров выборки, оценивает вероятность броска каждой стороны и сравнивает с известной вероятностью 1/6.
Подумайте, почему я говорю, что вероятность известна в этих экспериментах!
Шагов:
Откройте электронную таблицу под названием «доверительные пределы эксперимента с игральными костями.xlsm». Это та же самая таблица, которая использовалась в упражнении в понедельник утром, с добавленной информацией о доверительных интервалах. Вы должны оказаться на вкладке с надписью «12». (Если нет, перейдите на вкладку «12»!!) Посмотрите на оранжевую область, начиная с ячейки C26. Это показывает вычисление 90% доверительного интервала на основе Нормальное распределение . Чтобы нормальное распределение было адекватным представлением неопределенности, N * p > 5 должно быть истинным, где N = размер выборки, а p = вероятность успеха (вероятность выпадения 4).
Вопрос 1: Выполнено ли требование?
Нажмите здесь, чтобы развернуть…
Нет, для N = 12, N*p = 2. Поэтому нормальное приближение здесь не подходит.
Посмотрите на нижний и верхний край 90% доверительный интервал, рассчитанный по нормальному распределению для размера выборки N=12, указанный в ячейках E31:E32.
Вопрос 2: Какие проблемы вы видите?
Нажмите здесь, чтобы развернуть…
Нижняя граница 90-процентного интервала является отрицательной, что маловероятно. Нормальное распределение не выполняется, потому что можно получить оценку с большей положительной ошибкой, чем с отрицательной ошибкой, потому что может произойти намного больше, чем 2 четверки, но меньше, чем 0 четверок, не может.
Доверительный интервал нанесен на график относительной частоты пунктирными оранжевыми линиями. Несколько раз нажмите F9, чтобы нарисовать новые выборки и посмотреть, как часто оценка вероятности выпадения 4 (или вероятности выпадения любого значения) превышает интервал. Также построен доверительный интервал с результатами 20 повторов эксперимента — учитывайте результаты и интервал.
Проверьте расчет доверительного интервала на других вкладках для размера выборки N = 100, 1000 и 10000 роликов.
Вопрос 3: Является ли нормальная аппроксимация доверительного интервала адекватной для больших размеров выборки?
Нажмите здесь, чтобы развернуть…
N*p > 5 для всех больших размеров выборки, что означает, что нормальная аппроксимация является адекватным приближением.
Вкладки содержат результат только 20 оценок вероятности выпадения 4 для каждого размера выборки. Это небольшая выборка результатов. (ПРИМЕЧАНИЕ, здесь речь идет о выборке образцов!) Вкладка «Эксперимент» содержит результаты 1000 оценок (из 1000 образцов) каждого интересующего размера выборки. 1000 оценок представлены в 1000 строк со столбцами для 12, 100, 1000 и 10 000. В верхней части вкладки справа от этих столбцов находится расчет гистограммы и график всех оценок.
Вопрос 4: Что особенного в оценках размера выборки N=12? Что вызывает этот результат?
Нажмите здесь, чтобы развернуть.
..
Расчетные значения p широко разнесены (грубо). Это связано с тем, что существует ограниченное количество возможных оценок, вычисляемых как 1/12, 2/12, 3/12, …, 12/12. Большие размеры выборки имеют менее грубые оценки.
Обратите внимание, что оценки вероятности выпадения 4 становятся ближе к правильному значению 1/6 (или 0,1667) с увеличением размера выборки.
Прокрутите вниз вкладку «Эксперимент», чтобы увидеть статистику, полученную по 1000 выборок каждого размера, а также ожидаемую статистику, основанную на параметрах выборочного распределения. Отмечают выборочную статистику среднего значения, стандартного отклонения и асимметрии 1000 выборок, а также оценки 90% доверительных интервалов. Наносятся среднее значение, стандартное отклонение и асимметрия. Обратите внимание, что среднее значение является правильным (т. е. среднее значение распределения выборки = фактическому p, равному 1/6) для всех размеров выборки.
Вопрос 5: Что средние значения говорят об относительной частоте как оценке вероятности выпадения 4?
Нажмите здесь, чтобы развернуть.
..
Средние значения оценок верны даже для N=12. Это означает, что оценщик НЕСМЕЩЕННЫЙ.
Также обратите внимание, что стандартное отклонение уменьшается по мере увеличения размера выборки.
Вопрос 6: Что говорит уменьшение стандартного отклонения с увеличением размера выборки об относительной частоте как оценке вероятности выпадения 4?
Нажмите здесь, чтобы развернуть…
Тот факт, что стандартные отклонения уменьшаются с увеличением N, означает, что оценка ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНА.
Наконец, обратите внимание, что асимметрия выборок уменьшается с размером выборки.
Вопрос 7: Какова вероятная причина уменьшения перекоса?
Нажмите здесь, чтобы развернуть…
Перекосы уменьшаются, потому что ограничение, заключающееся в невозможности выбросить меньше 0 четверок, становится менее актуальным при увеличении выборки, хотя оно очень актуально при N=12.
(т. е. для N = 12 правильно = 2/12, но 6/12 возможно, а меньше 0/12 невозможно. Для N = 100 правильно = 17/100, а значения варьируются от 8/100 до 28. /100 из 1000 образцов.)
Справа зеленым цветом показаны параметры выборочного распределения среднего и стандартного отклонения оценки вероятности, а также 90% доверительные интервалы.
Вопрос 8: Насколько хорошо оценки экспериментальной выборки соответствуют параметрам распределения? В каком случае вы могли бы предпочесть оценки экспериментальной выборки?
Нажмите здесь, чтобы развернуть…
Средние значения и стандартные отклонения хорошо совпадают. Доверительные интервалы хорошо совпадают, за исключением N = 12. Для N = 12 интервал, полученный из 1000 оценок, возможно, лучше, потому что он не основан на нормальном приближении и отражает оценки, которые не могут быть сделаны на самом деле (т. е. без отрицательных значений!).
Закройте электронную таблицу и перейдите к задаче 2.
Задание 2
Карточки вероятностных задач (Math SOL 3.14)
Описание
Карточки вероятностных задач — отличный ресурс для перечисления возможных результатов и описания вероятности событий. . Этот ресурс включает в себя 28 карточек с заданиями, лист ответов учащихся и ключ для ответов. Вопросы открытые и с множественным выбором.
Что учащиеся будут просматривать с помощью этих карточек с заданиями?
С помощью этих карточек с вероятностными задачами учащиеся:
- Дают определение вероятности
- Перечислите все возможные исходы для одного события (с 12 или менее исходами)
- Опишите степень вероятности исхода, используя такие термины, как невозможный, маловероятный, равновероятный, вероятный и определенный
Какие стандарты охватываются?
Эти карточки с вероятностными задачами специально согласованы с SOL 3.14 по математике штата Вирджиния 2016 (это самые последние SOL по математике).
Включена ли цифровая версия?
Этот ресурс с вероятностными задачами включает КАК цифровую версию, так и версию в формате PDF. Доступ к цифровой версии можно получить через Google Forms, что позволяет учащимся легко проверять свою работу самостоятельно. Вы также можете использовать карточки задач Google Forms для отслеживания успеваемости учащихся.
При покупке этого продукта вам будет предоставлен доступ к ссылке, которая позволит вам открыть файл в Google Forms. Затем вы поделитесь этим файлом со своими учениками.
Что делать, если я хочу создать свои собственные карточки с математическими задачами?
В комплект входят четыре пустые карточки с заданиями, чтобы при необходимости можно было создать дополнительные вопросы. Для этих карточек с заданиями вы распечатаете пустые карточки и напишете свои вопросы прямо на карточках.
Не пропустите!
Карточки с заданиями — это отличный, не требующий особой подготовки способ повторения в конце математического раздела или перед государственным тестированием.
Эти карточки с вероятностными задачами можно легко использовать как часть математического центра, занятия Scoot или обзорной игры.
Хотите сэкономить?
Эти карточки с заданиями включены в мой набор карточек с заданиями SOL по математике для 3-го класса по сниженной цене! В комплект входит 13 наборов карточек с математическими задачами, соответствующих каждому SOL по математике третьего класса.
Другие ресурсы по математике, которые могут вас заинтересовать:
- Учебные пособия по математике для родителей 3-го класса
————————————————
Другая информация:
© Меган Вестал, Vestal’s 21st Century Classroom LLC. Все права защищены. Этот продукт должен использоваться только первоначальным загрузчиком. Копирование для учителей, класса, отдела, школы или школьной системы запрещено. Этот продукт не может распространяться или отображаться в цифровом виде для всеобщего обозрения.