Замечательные пределы доклад: Математическое Бюро. Страница 404

alexxlab / / Разное

6.2. Замечательные пределы.

Теорема. Первый замечательный предел имеет вид .

Так как под переменной х обычно понимают «что угодно», то из первого замечательного предела следует его применение в более общих ситуациях. Главное, чтобы та величина, которая стремится к нулю, была записана под знаком синуса и в знаменателе отношения. Так, например,

и и

. Присмотритесь к изменению аргумента х и изменению величины, записанной под знаком синуса и в знаменателе.

Второй замечательный предел. Теорема. .

е – число Непера, упоминавшееся в обзоре основных элементарных функций.

Этот предел может иметь вид .

Обозначим символически все возможные случаи, которые встречаются при вычислении пределов так ;;; 0; 1 ; 0о ; о . Все символы кроме первого обозначают в математике так называемую неопределенность.

Это значит, что предельное значение установить затруднительно. Для развязки возникшей неприятности применяют специальные приемы, о которых речь ниже.

1-й шаг алгоритма всегда один и тот же. «Подставим» предельное значение аргумента под знак предела и определим тип предела.

2-й шаг. Зависит от полученного типа предела. И потому здесь несколько разных действий.

2.1.Если тип предела и В0 , А, В, то тип предела и даст сам предел.

2.2. Если тип предела и В=0 , то рассматривают дробь, у которой знаменатель уменьшается, а числитель ограничен и потому дробь растет неограниченно. Мы получаем бесконечный предел (см. частные случаи пределов).

2.3.Если А=0 и В=0, то имеем предел типа — неопределенность. Здесь могут быть разные случаи.

2.3.1.Если под знаком предела есть синусы, косинусы, тангенсы или обратные им функции, то следует преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы можно было применить 1-й замечательный предел.

Он тоже имеет такой тип.

2.3.2.Если под знаком предела записано отношение полиномов, то их следует разложить на множители, используя значение корней. Затем до перехода к пределу сократить на множитель, вносящий неопределенность. И далее вернуться к п.1. алгоритма.

2.3.3.Если под знаком предела имеется иррациональность, то перенести ее из числителя в знаменатель (и-или наоборот). Затем обработать полученное по п.2.3.2. и вернуться к п.1.

2.4.Если тип предела , то преобразуют дробь, используя связь бмв и ббв(см. частные случаи пределов), и переходят к п.2.3 .

2.5.Если тип предела 0, то преобразуют произведение в дробь, используя связь бмв и ббв, и переходят к пунктам 2.3 или 2.4. соответственно.

2.6.Если тип предела -, то поступают в зависимости от выражений, дающих ббв.

2.6.1.Если эти выражения – рациональные дроби, то иногда достаточно привести их к общему знаменателю и перейти к п. 2.3.

2.6.2. Если эти выражения – разность иррациональностей, то следует перенести ее из числителя в знаменатель и вернуться после упрощения к п.1.

2.7. Пределы типа 1 обрабатывают в направлении применения 2-го замечательного предела (сначала выписывают нужную в работе 1; затем оставшиеся слагаемые в основании преобразуют; затем в показателе записывают величину, обратную преобразованному выражению и старый показатель; затем новый показатель умножают на величину так , чтобы сохранилось общее равенство; затем применяют замечательный предел и обрабатывают оставшийся показатель). См. примеры.

2.8. Пределы типа 0о ; о обрабатывают по одной схеме на основании основного логарифмического тождества . Пусть мы имеем предел вида .

Тогда выражение под знаком предела следует записать так

=и затем вычислять предел показателя полученного выражения. Во всех случаях там получаются пределы, рассмотренные ранее.

Пример 3.5. Вычислить пределы.

1. .

Решение. Это тип предела -; он содержит иррациональности и потому переносим иррациональность в знаменатель, умножив числитель и знаменатель но сопряженное числителю. Получаем==. Получен предел типа, в которой знаменатель растет, а числитель неизменен. По п.2.2. ответом будет 0.

2. .

Решение. Имеем тип предела 1 .Обрабатываем его в направлении 2-го замечательного. Получаем последовательно

=== (сохранена 1 и сделано приведение к общему знаменателю. Предстоит упростить)

=== (т.к.=е)

==(т.к.=по схеме 2.3.2)

примеры нахождения, задачи и подробные решения

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: limx→0sin xx=1.

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: limx→0sink·xk·x=1, где k – некоторый коэффициент.

Поясним: limx→0sin(k·x)k·x=пусть t=k·xиз x→0 следует t→0  =limt→0sin(t)t=1.

Следствия первого замечательного предела:

  1. limx→0xsin x=limx→0=1sin xx=11=1
  1.  limx→0k·xsin k·x=limx→01sin (k·x)k·x=11=1

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Пример 1

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: limx→0sin(3x)2x.

Решение

Подставим значение:

limx→0sin(3x)2x=00

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3x и получим:

limx→0sin(3x)2x=00=limx→03x·sin(3x)3x·(2x)=limx→0sin (3x)3x·3x2x==limx→032·sin (3x)3x

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: limx→0sin (3x)3x=1.

Тогда приходим к результату:

limx→032·sin (3x)3x=32·1=32

Ответ: limx→0sin (3x)3x=32.

Пример 2

Необходимо найти предел limx→01-cos(2x)3×2.

Решение

Подставим значения и получим:

limx→01-cos(2x)3×2=1-cos (2·0)3·02=1-10=00

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

limx→01-cos(2x)3×2=00=limx→02sin2(x)3×2

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

limx→02sin2(x)3×2=limx→023·sin xx·sin xx=23·1·1=23

Ответ: limx→01-cos (2x)3×2=23.

Пример 3

Необходимо произвести вычисление предела limx→0arcsin(4x)3x.

Решение

Подставим значение:

limx→0arcsin(4x)3x=arcsin(4·0)3·0=00

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

пусть

 arcsin (4x)=t⇒sin (arcsin(4x))=sin (t)4x=sin (t)⇒x=14sin (t)limx→0(arcsin(4x))=arcsin(4·0)=0, значит t→0 при x→0.

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

limx→0arcsin(4x)3x=00=limt→0t3·14sin(t)==limt→043·tsin t=43·1=43

Ответ: limx→0arcsin(4x)3x=43.

Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Areumdawoon agnyeo (1958) — IMDb

  • 19581958

ВАША ОЦЕНКА Он пытается привести ее в честное общество, но Джи-хи не верит, что она заслуживает счастья истинного л. .. Читать всеДжо Ханг, художник, рисует портрет красивой проститутки по имени Джи-хи. Он пытается привести ее в честное общество, но Джи-хи не верит, что она заслуживает счастья настоящей любви. Джо Ханг, художник, рисует портрет красивой проститутки по имени Джи-хи. Он пытается привести ее в честное общество, но Джи-хи не верит, что она заслуживает счастья настоящей любви

Ваш рейтинг

  • Директор
    • Kang-Cheon Lee
  • Писатель
    • Jong-Ho Par
  • Режиссер
    • Kang-Cheon Lee
  • Писатель
    • Парк Чон Хо (сценарий)
  • Звезды
    • Hango
    • Ji-Hie
    • NAM HAN JO
    • Ji-Hie Choi
    • NAM. 0004
  • См. Производство, кассовые сборы и компания Info
  • См. Подробнее на IMDBPRO

    • Фотографии

    TOP CAST

    HANG JO

    JI-Hie Choi

    NAM-Hyeon Choi

    Jang-KANG HEO

    9966.

  • Режиссер
    • Ли Кан Чхон
  • Сценарист
    • Пак Чон Хо (сценарий)
  • Все актеры и съемочная группа
  • Производство, кассовые сборы и многое другое на IMDb4

    066 Storyline

    User reviews

    Be the first to review

    Details

    • Release date
      • March 1, 1958 (South Korea)
    • Country of origin
      • South Korea
    • Language
      • Korean
    • Также известна как
      • Beautiful Evil Woman
    • Продюсерская компания
      • Dongbang Productions
    • См. больше кредитов компании на IMDbPro

    Технические спецификации

    • Color
      • Черно -белый

    Связанные новости

    Внесение в эту страницу

    Предложите редактирование или добавление отсутствующего контента

    .

    У вас нет недавно просмотренных страниц

    Tempest and Sunshine (короткометражный 1910)

    • 19101910

    ВАША ОЦЕНКА

    DramaRomanceShort

    Плантатор Миддлтон из Кентукки имеет двух прекрасных дочерей, одну из которых зовут «Темпест», а другую — «Солнышко» из-за их разных характеров. За «Солнечным светом» ухаживает зло… Читать полностьюУ Плантера Миддлтона из Кентукки есть две прекрасные дочери, одна из которых известна как «Темпест», а другая — как «Солнечный свет» из-за их разных характеров. За «Саншайн» ухаживает деревенский почтмейстер Билл Джеффрис, которого она не любит и отвергает. Позже ее сердце было завоевано … Читать полностьюПлантер Миддлтон из Кентукки имеет двух прекрасных дочерей, одна из которых известна как «Буря», а другая как «Солнечный свет» из-за их разных характеров. За «Саншайн» ухаживает деревенский почтмейстер Билл Джеффрис, которого она не любит и отвергает. Позже ее сердце покоряет молодой доктор Лейси из Нового Орлеана. Вскоре после того, как они обручились, Доктор… Читать все

    Ваше рейтинг

    • Звезды
      • Анна Роземонд
      • Вайолет Хеминг
    • Звезды
      • Анна Роземонд
      • Виота Хемнг

    • .

      • Фото

      Лучшие актеры

      Анна Роузмонд

      • Темпест

      Вайолет Хеминг

      • Саншайн

      Все актеры и съемочная группа

      4

    • Production, box office & more at IMDbPro

    Storyline

    Did you know

    • Connections

      Version of Tempest and Sunshine (1916)

    User reviews

    Be the first to review

    Details

    • Дата выпуска
      • 28 июня 1910 г. (США)
    • Страна происхождения
      • США
    • Языки
      • Нет
      • Английский0004
    • Производственная компания
      • Thanhouser Film Corporation
    • См.

      No related posts.

    • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *