Замечательные пределы как решать: Замечательные пределы и их примеры

1 замечательный предел

Вы искали 1 замечательный предел? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 замечательный предел примеры решения, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 замечательный предел».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 замечательный предел,1 замечательный предел примеры решения,1 и 2 замечательные пределы,1 й замечательный предел,1 предел,1 ый замечательный предел,2 замечательный предел,sinx x предел,sinx предел,x sin x предел,x sinx предел,все замечательные пределы,второй замечательный,второй замечательный предел определение,второй и первый замечательный предел,два замечательных предела,замечательные пределы,замечательные пределы все,замечательные пределы и их следствия,замечательные пределы как решать,замечательные пределы примеры,замечательные пределы примеры решения,замечательные пределы таблица,замечательные пределы это,замечательный предел,замечательный предел 2,как решать замечательные пределы,как решать пределы с косинусами и синусами,как решать пределы с синусами,как решать пределы с синусами и косинусами,калькулятор онлайн первый замечательный предел,калькулятор первый замечательный предел онлайн,онлайн калькулятор первый замечательный предел,первый замечательный,первый замечательный предел,первый замечательный предел второй замечательный предел,первый замечательный предел и второй,первый замечательный предел и второй замечательный предел,первый замечательный предел и его следствия,первый замечательный предел как решать,первый замечательный предел примеры,первый замечательный предел примеры решения,первый замечательный предел следствия,первый и второй замечательные пределы,первый и второй замечательные пределы подробные примеры решений,первый и второй замечательный предел,предел 1 sin x,предел sin 1 x,предел sinx,предел sinx x,предел x arctg x,предел x sin x,предел x sinx,предел арксинуса,предел косинуса,предел синуса,предел тангенса,предел тригонометрической функции,предел тригонометрической функции примеры решения,предел функции тригонометрической,пределы 1 и 2 замечательные пределы,пределы замечательные все,пределы замечательные примеры,пределы примеры решений тригонометрических функций,пределы примеры решения с косинусами и синусами,пределы примеры решения с синусами и косинусами,пределы примеры решения с тригонометрическими функциями,пределы с косинусами и синусами,пределы с синусами и косинусами,пределы с синусами и косинусами примеры решения,пределы с синусами как решать,пределы с тангенсами примеры решения,пределы с тригонометрическими функциями,пределы с тригонометрическими функциями примеры решения,пределы тригонометрические,пределы тригонометрических функций,пределы тригонометрических функций примеры решений,примеры замечательные пределы,примеры первый замечательный предел,примеры решения пределов с тригонометрическими функциями,решение замечательных пределов,решение первого замечательного предела,решение пределов с тригонометрическими функциями,решение пределов тригонометрических,решение тригонометрических пределов,свойства первого замечательного предела,следствия из первого замечательного предела,следствия первого замечательного предела,следствия первый замечательный предел,таблица замечательных пределов,тригонометрические пределы,формулы замечательных пределов,формулы пределов замечательных.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 замечательный предел. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 и 2 замечательные пределы).

Решить задачу 1 замечательный предел вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Примеры первого и второго замечательных пределов онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Некоторые пределы можно вычислить, используя

первый замечательный предел, для других же потребуется применить второй замечательный предел. 2 = (1 — cos(2*a))/2 преобразуем :: /7*x\ /7*x\ 11 — 11*cos|—| 11 — 11*cos|—| \ 9 / \ 9 / lim —————- = lim —————- = x->0+ 2 x->0+ 2 x x :: 2 / \ | /7*x\| = | sin|—|| | \ 18/| 22*| lim ———| \x->0+ x / Сделаем замену :: 7*x u = — 18 тогда :: /7*x\ sin|—| \ 18/ 7*sin(u) = lim ——— = lim ——— x->0+ x u->0+ 18*u :: sin(u) 7* lim —— u->0+ u ————- 18 Предел :: sin(u) lim —— u->0+ u есть первый замечательный предел, он равен 1.
(3*x)

Не забудьте указать, что аргумент x стремится к бесконечности (нужно вбить +oo)

Тогда для вбитой функции вы получите подробное решение:

 


Возьмём предел

::

                   3*x
         /3 + 2*x \
     lim |--------|
    x->oo\-2 + 2*x/

преобразуем

::

                   3*x
         /3 + 2*x \
     lim |--------|    =
    x->oo\-2 + 2*x/

::

                       3*x
         /-2 + 2*x + 5\
     lim |------------|    =
    x->oo\  -2 + 2*x  /

::

                              3*x
         /-2 + 2*x      5    \
     lim |-------- + --------|    =
    x->oo\-2 + 2*x   -2 + 2*x/

::

                       3*x
         /       5    \
     lim |1 + --------|    =
    x->oo\    -2 + 2*x/

сделаем замену

::

        -2 + 2*x
    u = --------
           5

тогда

::

                       3*x
         /       5    \
     lim |1 + --------|    =
    x->oo\    -2 + 2*x/

::

                    15*u
                3 + ----
                     2
         /    1\         =
     lim |1 + -|
    u->oo\    u/

::

                         15*u
                         ----
                3         2
         /    1\  /    1\     =
     lim |1 + -| *|1 + -|
    u->oo\    u/  \    u/

::

                              15*u
                              ----
                3              2
         /    1\       /    1\     =
     lim |1 + -| * lim |1 + -|
    u->oo\    u/  u->oo\    u/

::

                15*u
                ----
                 2
         /    1\     =
     lim |1 + -|
    u->oo\    u/

::

                   15/2
    /             \
    |            u|
    |     /    1\ |
    | lim |1 + -| |
    \u->oo\    u/ /

Предел

::

                u
         /    1\
     lim |1 + -|
    u->oo\    u/

есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.
718281828459045 тогда :: 15/2 / \ | u| | / 1\ | 15/2 | lim |1 + -| | = e \u->oo\ u/ / Получаем окончательный ответ: :: 3*x /3 + 2*x \ 15/2 lim |--------| = e x->oo\-2 + 2*x/

Ещё раз приведу ссылку на сервис:

>> решение пределов <<

Исчисление I — Предельные свойства

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана (

т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2.4: Свойства пределов

Пришло время вычислить некоторые пределы. Однако прежде чем мы это сделаем, нам понадобятся некоторые свойства пределов, которые несколько облегчат нам жизнь. Итак, давайте сначала посмотрим на них. Доказательство некоторых из этих свойств можно найти в разделе «Доказательство различных предельных свойств» главы «Дополнительно».

Свойства

Во-первых, предположим, что \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\) и \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\) существуют и что \(c\) является любой константой. Тогда

  1. \(\ mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {cf\left( x \right)} \right] = c\mathop {\lim }\limits_{x \ к } е\влево( х \вправо)\)

    Другими словами, мы можем «факторизовать» мультипликативную константу вне предела.

  2. \(\ mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim } \limits_{x \to a} f\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left(x \right)\)

    Итак, чтобы взять предел суммы или разности, все, что нам нужно сделать, это взять предел отдельных частей, а затем сложить их вместе с соответствующим знаком. Это также не ограничивается двумя функциями. Этот факт будет работать независимо от того, сколько функций мы разделили «+» или «-».

  3. \(\ mathop {\lim}\limits_{x \to} \left[ {f\left(x\right)g\left(x\right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_ {х \ к а} е \ влево ( х \ вправо) \, \, \, \ mathop {\ lim } \ limit_ {х \ к а} г \ влево ( х \ вправо) \)

    Мы берем пределы продуктов так же, как мы можем брать пределы сумм или разностей. Просто возьмите предел частей, а затем соедините их вместе. Кроме того, как и в случае с суммами или разностями, этот факт не ограничивается только двумя функциями.

  4. \(\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limit_ {x \ to a} \ left [ {\ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right] = \ frac {{\ mathop {\ lim} \ limit_ {x \ to a} f \ left ( x \ right)}} {{\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} g \ слева ( х \ справа)} {\ rm {,}} \, \, \, \, \, {\ rm {при условии}} \, \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} g \ влево( х \вправо) \ne 0\)

    Как отмечено в утверждении, нам нужно беспокоиться только о том, что предел в знаменателе равен нулю, когда мы делаем предел частного. Если бы это был ноль, мы получили бы ошибку деления на ноль, и нам нужно избежать этого. 9n},\,\,\,\,{\mbox{где}}n{\mbox{ — любое действительное число}}\)

    В этом свойстве \(n\) может быть любое действительное число (положительное, отрицательное, целое, дробное, иррациональное, ноль, и т.д. ). В случае, когда \(n\) является целым числом, это правило можно рассматривать как расширенный случай 3 . {\ frac {1} {n}}} \\ & = \ sqrt [n] {{ \ mathop {\ lim} \ limit_ {x \ to a} f \ left ( x \ right)}} \ end {align *} \]

  5. \(\ mathop {\lim }\limits_{x \to a} c = c,\,\,\,\,c{\mbox{любое действительное число}}\)

    Другими словами, предел константы — это просто константа. Вы должны быть в состоянии убедиться в этом, нарисовав график \(f\left( x \right) = c\).

  6. \(\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} x = a\)

    Как и в случае с последним, вы сможете убедиться в этом, нарисовав график \(f\left( x \right) = x\). 9п}\)

    На самом деле это всего лишь частный случай свойства 5 с использованием \(f\left( x \right) = x\).

Обратите внимание, что все эти свойства справедливы и для двух односторонних ограничений, мы просто не записали их с односторонними ограничениями, чтобы сэкономить место.

Давайте вычислим один или два предела, используя эти свойства. 2} + 5x — 92} + 5\left( { — 2} \right) — 9\\ & = — 7\\ & = p\left( { — 2} \right)\end{align*}\]

Другими словами, в данном случае мы видим, что предел — это то же самое значение, которое мы получили бы, просто вычислив функцию в рассматриваемой точке. Кажется, это нарушает одну из основных концепций ограничений, которые мы видели до сих пор.

В предыдущих двух разделах мы много говорили о том, что пределам все равно, что происходит в рассматриваемой точке. Их волнует только то, что происходит вокруг точки. Так как же предыдущий пример вписывается в это, поскольку он, кажется, нарушает эту основную идею о пределах?

Несмотря на видимость, предел все равно не заботится о том, что делает функция в точке \(x = — 2\). В этом случае функция, которую мы получили, просто «достаточно хороша», чтобы то, что происходит вокруг точки, было точно таким же, как и то, что происходит в этой точке. В конце концов мы формализуем то, что подразумевается под «достаточно хорошим». На данный момент давайте не будем слишком беспокоиться о том, что такое «достаточно хороший». Давайте просто воспользуемся тем фактом, что некоторые функции будут «достаточно хорошими», что бы это ни значило.

Функция в последнем примере была многочленом. Оказывается, все полиномы «достаточно хороши», так что то, что происходит вокруг точки, точно такое же, как и то, что происходит в этой точке. Это приводит к следующему факту.

Факт

Если \(p(x)\) полином, то

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} p\left(x\right) = p\left(a\right)\]

К концу этого раздела мы значительно обобщим это на большинство функций, которые мы будем встречать в этом курсе. 93} + 1}}\]

Вообще-то нам следует быть немного осторожными. Мы можем сделать это при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Однако, как мы увидим, это не в данном случае, так что все в порядке.

Теперь и числитель, и знаменатель являются полиномами, поэтому мы можем использовать приведенный выше факт для вычисления пределов числителя и знаменателя и, следовательно, самого предела. +}} f\ влево( x \вправо) = f\влево( a \вправо)\]

Опять же, в конце концов мы формализуем то, что мы подразумеваем под «достаточно хорошим». На данный момент все, что мы хотим сделать, это побеспокоиться о том, какие функции «достаточно хороши». Некоторые функции «достаточно хороши» для всех \(x\), в то время как другие будут «достаточно хороши» только для определенных значений \(x\). Все будет зависеть от функции.

Как отмечено в утверждении, этот факт справедлив как для двух односторонних пределов, так и для нормального предела.

Вот список некоторых наиболее распространенных функций, которые «достаточно хороши».

  • Полиномы достаточно хороши для всех \(x\).
  • Если \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\), то \(f(x) \) будет достаточно хорошим при условии, что и \(p(x)\), и \(q(x)\) достаточно хороши, и если мы не получим деление на ноль в точке, в которой мы оцениваем.
  • \(\cos \left( x \right),\,\,\sin \left( x \right)\) достаточно хороши для всех \(x\)
  • \(\sec \left( x \right),\,\,\tan \left( x \right)\) достаточно хороши при условии \(x \ne \ldots , — \frac{{5\pi }} {2}, — \ frac {{3 \ pi}} {2}, \ frac {\ pi} {2}, \ frac {{3 \ pi}} {2}, \ frac {{5 \ pi}} {2}, \ldots \) ​​Другими словами, секанс и тангенс достаточно хороши везде, где косинус не равен нулю. Чтобы понять, зачем вспоминать, что обе эти функции действительно рациональны и что косинус находится в знаменателе обеих, вернитесь и посмотрите на второй пункт выше.
  • \(\csc \left( x \right),\,\,\cot \left( x \right)\) достаточно хороши при условии \(x \ne \ldots , — 2\pi ,\,\, — \pi ,\,\,0,\,\,\pi ,\,\,2\pi , \ldots \) ​​Другими словами, косеканс и котангенс достаточно хороши везде, где синус не равен нулю.
  • \(\sqrt[n]{x}\) достаточно хорош для всех \(x\), если \(n\) нечетно.
  • \(\sqrt[n]{x}\) достаточно хорош для \(x \ge 0\), если \(n\) четно. Здесь мы требуем \(x \ge 0\), чтобы не иметь дело с комплексными значениями. 9x}\) достаточно хороши для всех \(x\).
  • \({\log _b}x,\,\,\,\ln x\) достаточно хороши для \(x > 0\). Помните, что мы можем подставлять только положительные числа в логарифмы, а не ноль или отрицательные числа.
  • Любая сумма, разность или произведение вышеуказанных функций также будут достаточно хороши. Частные будут достаточно хороши, если мы не получим деление на ноль при оценке предела.

Последняя пуля важна. Это означает, что для любой комбинации этих функций все, что нам нужно сделать, это оценить функцию в рассматриваемой точке, убедившись, что ни одно из ограничений не нарушено. Это означает, что теперь мы можем делать большое количество лимитов. 93}}}{{1 + \ln \left( 3 \right)}} + \sin \left( 3 \right)\cos \left( 3 \right)\\ & = {\rm{8}}{ \rm{.1854272743}}\end{выравнивание*}\]

Не очень красивый ответ, но теперь мы можем сделать предел.

Поиск пределов: определение, правила и функции

Подобно бусинкам на нитке, ведущей к подвеске, точки на графике могут привести вас к пределу функции. Как мы можем использовать точки на графике для оценки пределов? Хороший вопрос! Здесь мы рассмотрим некоторые из различных способов нахождения пределов функций!

Нахождение пределов в исчислении

Существует множество способов найти предел функции!

  • Вы можете использовать определение предела \(\epsilon\), \(\delta\) и написать доказательство. См. Пределы функции для примеров этого метода.

  • Вы можете посмотреть на график или таблицу значений, чтобы увидеть, каким может быть предел. См. Поиск пределов с помощью графика или таблицы для множества примеров нахождения пределов таким способом.

  • Вы можете посмотреть на ограничение слева и справа функции и посмотреть, совпадают ли они. См. Односторонние ограничения для определений и примеров использования этого метода.

  • Вы можете использовать законы пределов, которые являются уже доказанными теоремами для нахождения предела. Если ваша функция хороша, люди часто находят предел именно так. Для получения дополнительной информации о свойствах пределов см. Законы о предельных значениях

  • Вам может понадобиться использовать специальную теорему для нахождения предела, такую ​​как теорема сжатия или теорема о промежуточном значении. Оба они очень полезны, и теорема о промежуточном значении появится позже в таких темах, как нахождение максимального значения функции. См. «Теорему о сжатии» или см. «Теорему о промежуточном значении», чтобы узнать, как их использовать.

Здесь вы увидите примеры способов нахождения предела функции.

Использование определения предела

Чтобы просмотреть определение предела функции, см. Пределы функции.

Возьмем \(f(x)=k\), где \(a\) и \(k\) — постоянные действительные числа. Верно ли, что

\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=k\]

Ответ:

Да. Используя определение, для любого заданного \(\epsilon > 0\)

\[|f(x)-k|=|k-k|=0< \epsilon\]

независимо от того, какую \(\delta\) вы используете. Таким образом, константные функции имеют предел, которого вы от них ожидаете.

Возьмем \(f(x)=x\), и пусть \(a\) будет постоянным действительным числом. Откуда вы знаете, что

\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=a\]

Ответ:

У вас может возникнуть соблазн сказать: «Конечно, предел равен \(a\) — функция — это просто строка». На самом деле этого почти достаточно. Вы не можете использовать какие-либо свойства пределов, но вы можете использовать определение и взять \(\delta = \epsilon\), чтобы показать, что предел равен \(a\). 92+7\), а \(а\) — постоянное действительное число. Найти

\[lim_{x \rightarrow a} f(x)\]

Ответ:

Обратите внимание, что функция представляет собой просто сумму и произведение степеней \(x\) вместе с константой \( 7\). Вы уже знаете, что

\(lim_{x \rightarrow a} x=a\) и \(lim_{x \rightarrow a} 7 =7\)

из двух приведенных выше примеров, что означает условия для применения Правило суммы, правило произведения и правило константы выполняются. Затем их применение дает 92+7\]

Нахождение пределов графически

Ниже приведен пример использования графика для нахождения предела функции. Дополнительные сведения о подобных проблемах см. в разделе Поиск пределов с помощью графика или таблицы.

Рассмотрим функцию

\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]

Найдите предел функции как \( х \стрелка вправо 3 \).

Ответ:

Сначала нарисуйте график функции и составьте таблицу значений рядом с \(x=3\). Хотя у функции больше корней, чем показано на графике, поскольку вас интересует только предел как \(x \стрелка вправо 3\), имеет смысл увеличить масштаб функции.

Использование графика с несколькими точками для нахождения предела функции, выделенной красным цветом.

2,5 37

3,22893 8 9 0293
\(x\) \(f(x)\)
2,5 -3,28
2,6 -3,46
2,65 -3,54
2,7 -3,62
2,75 -3,69 9088939 9088990 2,8 -3,76
2,85 -3,83
2,9 -3,89
2,950 9,950 9 0293
3,0 -4,0
3,05 -4,05
3,1 -4,09
3,15 -4,13
3,2 -4,16 -4,18
3,3 -4,20
3,35 -4,22
3,4 -4,22
9 6 45

Таблица 1. Примеры предельных значений.

Точки на графике соответствуют точкам в таблице. Как на графике, так и в таблице видно, что по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к \(x= 3\), значения функции все ближе и ближе к \(-4\). Это означает, что

\[ lim_{x \rightarrow 3} f(x)=-4\]

.

Обратите внимание, что при поиске предела значение функции в точке \(x=3\) на самом деле не интересует, потому что в определении сказано искать близко к \(x=3\), но не к \(x=3 \).

Алгебраическое нахождение пределов

Другие примеры алгебраического нахождения пределов приведены в отдельной статье. См. раздел «Нахождение пределов конкретных функций».

На самом деле ограничения и непрерывность тоже идут рука об руку.

Если функция непрерывна в точке, то предел функции существует и равен значению функции в этой точке. 92-2x-8}{x-4}=\dfrac{(x-4)(x+2)}{x-4}=x+2\]

до тех пор, пока \(x \neq 4\) . Это означает, что график функции на самом деле представляет собой прямую линию \(y=x+2\) с отверстием в точке \((4, 6)\).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *