Записать в тригонометрической форме 4: Mathway | Популярные задачи

Геометрическое представление комплексного числа

Если мы рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат, то любое комплексное число \(\ z=x+i y \) можно связать с точкой на этой плоскости с соответствующими координатами \(\ \{x, y\} \) и радиус-вектором \(\ r \) комплексного числа, т. е. A вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис.1). Эта плоскость называется комплексной. Реальные числа расположены на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части — на вертикальной (мнимой) оси. {2}}=25 \) . Следовательно,

\(\ r_{1} \cdot r_{2}=25 \sqrt{2} \)

\(\ r_{1} \cdot r_{2}=25 \sqrt{2} \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол \(\ \varphi \) (измеренный в радианах) радиус-вектора точки, который соответствует комплексному числу \(\ z \) на комплексной плоскости, называется аргументом числа \(\ z : \varphi=\arg z \) . В этом случае вещественные числа \(\ x \), y комплексного числа \(\ z=x+i y \) могут быть выражены через модуль \(\ \mathbf{r} \) и аргумент \(\ \varphi : x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi \)

Свойства аргумента \(\ \operatorname{tg} \varphi=\frac{y}{x} \),\(\ \operatorname{ctg} \varphi=\frac{x}{y} \), \(\ \sin \varphi=\frac{y}{r} \)

Для комплексного числа \(\ z \neq 0 \) аргумент определяется с точностью до \(\ 2 \pi n, n \in Z \)

При \(\ z=0 \) значение аргумента не определено.

Основным значением аргумента является число \(\ \varphi \in(-\pi ; \pi] \) . Для инверсии следующего свойства: \(\ \arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg z \)

Действия комплексных чисел в тригонометрической форме сравнение

Два комплексных числа \(\ z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right) \) и \(\ z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right) \) называются равными, если \(\ \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right| \), \(\ \arg z_{1}=\arg z_{2}+2 \pi n \), \(\ n \in Z \)

умножение

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right) \)

ПРИМЕР

Найдите произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \) и \(\ z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \).

Комплекс комплексных чисел:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right)= \)

\(\ =\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

Подробнее о умножении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел. разделение

Фактор комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

\(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) \) Возведение

Для поднятия до степени комплексных чисел в тригонометрической форме справедлива формула:

\(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi) \)