Запишите все подмножества множества делителей числа 7: Запишите все подмножества множества делителей числа 7 — Знания.site

Докажите что множества равны

Алгебра 8 класс. Контрольная работа КР-1 Множества и операции над ними для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Контрольная работа № 1 по алгебре в 8 классе (угл.)

КР-1 Множества и операции над ними

Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1.
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество A = <>.
2. Запишите все подмножества множества делителей числа 7.
3. Какие из приведённых утверждений являются верными:
4. Какие из приведённых утверждений являются верными:
5. На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21 — английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков?
6. Докажите, что множества А и В равны.
7. Докажите, что множество чисел вида , где n е N, счётно.
8. Множество А содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

ОТВЕТЫ на Контрольную № 1

ВАРИАНТ 1.

№ 1. A = <2, -7>
№ 2. A = <1, -1, 7, -7>
№ 3. 1) не верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) не верно
№ 4. 1) верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) верно, 5) верно, 6) верно.
№ 5. Ответ: 1 человек
№ 6. А = В, если их объединение и пересечение совпадает. A ∪ B = . A ∩ B =.
№ 7. При n = 1 ⇒ 1/2; при n = 2 ⇒ 1/4; при n = 3 ⇒ 1/6 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8. 1 и 25 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.

ВАРИАНТ 2.

№ 1. A = <4, -6>
№ 2. A = <1, -1, 5, -5>

№ 3. 1) не верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) не верно
№ 4. 1) не верно, 2) верно, 3) верно, 4) верно, 5) не верно, 6) не верно.
№ 5. Ответ: 5 человек
№ 6. C = D, если их объединение и пересечение совпадает. C ∪ D = . C ∩ D =.
№ 7. При k = 1 ⇒ 1/3; при k = 2 ⇒ 1/6; при k = 3 ⇒ 1/9 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8. 1 и 27 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.

Алгебра 8 класс. Контрольная работа № 1 «Множества и операции над ними» для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др. , изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Очень часто в задачах по дискретной математике, а именно в теории множеств, требуется доказать равенство множеств. Напомним, что равенство множеств $M=N$ означает выполнение взаимного включения, то есть $Msubseteq N$ и $Nsubseteq M$. Следовательно, для доказательства равенства $M=N$ множеств $M, N$ нужно показать выполнение этих включений. Делать это можно различными способами:

1. по определению теоретико-множественных операций;
2. с помощью законов алгебры множеств;
3. построением диаграмм Эйлера-Венна;
4. построением таблиц принадлежности;
5. используя индикаторные функции.

Продемонстрируем каждый из этих способов на конкретном примере.

Доказать равенство множеств:

$$left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$$

1. Равенство двух множеств $M=N$ эквивалентно двум включениям $Msubseteq N, Nsubseteq M$.

Докажем, что $left(Acap B

ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. Пусть $xin left(Acap B
ight)ackslash C$, тогда по определению разности множеств $xin left(Acap B
ight)$ и $x
otin C$. По определению пересечения множеств $xin left(Acap B
ight)$ тогда и только тогда, когда $xin A$ и $xin B$. Так как $xin A$ и $x
otin C$, то $xin Aackslash C$. Так как $xin B$ и $x
otin C$, то $xin Backslash C$. По определению пересечения получаем, что $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. Что доказывает то, что $left(Acap B
ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.

Докажем, что $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. Пусть $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, тогда по определению пересечения множеств $xin left(Aackslash C

ight)$ и $xin left(Backslash C
ight)$. По определению разности множеств $xin A$, $x
otin C$ и $xin B, x
otin C$. По определению пересечения получаем, что $xin left(Acap B
ight) и x
otin C$, то есть $xin left(Acap B
ight)ackslash C$. Что доказывает то, что $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. Из доказанных включений следует, что $Aleft(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.

2. Докажем справедливость соотношения $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, используя основные законы алгебры множеств.

Операцию разность $Xackslash Y$ произвольных множеств $X, Y$ можно записать, как $Xackslash Y=Xcap overline$. Тогда для левой части данного соотношения $left(Acap B

ight)ackslash C=Acap Bcap overline$. Для правой части: $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)=Acap overlinecap Bcap overline=Acap Bcap overline$. Видим, что левая и правая части в результате преобразований совпали $Acap Bcap overline=Acap Bcap overline$. Соотношение верно.

3. Видим, что диаграммы множеств $left(Acap B
ight)ackslash C$ и $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ полностью совпадают, значит, равенство $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ верно.

4. Построим таблицу принадлежности для левой и правой частей данного равенства $left(Acap B

ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.

egin <|c|c|>hline A & B & C & Acap B & left(Acap B
ight)ackslash C & Aackslash C & Backslash C & left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight) \ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline end

Видим, что $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)=left(00000010
ight)$.

5. Докажем справедливость соотношения $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ с помощью индикаторных функций. Индикаторная функция для левой части соотношения:

$$ <chi >_<left(Acap B
ight)ackslash C>left(x
ight)=<chi >_left(x
ight)-<chi >_left(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)$$ Индикаторная функция для правой части: $$<chi >_<left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=<chi >_<left(Aackslash C
ight)>left(x
ight)<chi >_<left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=left(<chi >_Aleft(x

ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)left(<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)+<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight). $$ Видим, что индикаторные функции обеих частей совпали $$<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight).$$ Соотношение верно.

Универсальное множество. Дополнение множества

Если А и В два множества, состоящие из одних и тех же элементов, и не содержат никаких других элементов, то говорят, что множества равны: А = В.

Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называют подмножеством, или частью, множества В. Это отношение записывается так: А  В или В  А.

На рис. 2.1 дана иллюстрация этого определения с помощью так называемых диаграмм Венна (диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие этому множеству).

Приведем примеры подмножеств:

множество жителей Самары является подмножеством множества жителей России;

множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;

множество Z всех целых чисел есть подмножество множества R всех действительных чисел.

Если одновременно А  В, а В  А, то эти множества равны: А = В.

Отметим, что каждое непустое множество имеет, по крайней мере, два подмножества: пустое множество  и само множество.

Пусть дано какое-либо множество Е. Тогда, если рассматриваются все возможные подмножества данного множества, его называют универсальным множеством. На диаграммах Венна прямоугольник как раз и символизирует это универсальное множество.

Например, рассмотрим множество книг в университетской библиотеке. В него входят подмножества научных, художественных книг, книг по искусству и т.д. Научные в свою очередь тоже можно разбить на подмножества книг по математике, физике, химии и т.

д. То есть множество всех книг – это универсальное множество, содержащее в себе различные подмножества книг.

Рассмотрим другой пример. Пусть универсальное множество Е состоит из трех элементов: <a; b; c>. Перечислим все подмножества Е: <a>, <b>, <c>, <a, b>, <a, c>, <b, c>, <a, b, c>, <>. Их всего 8, т.е. 2 3 . Не трудно доказать, что если элементов будет n, то подмножеств будет 2 n .

Пусть множество А есть некоторое подмножества универсального множества Е. Тогда множество

, состоящее из элементов множестваЕ, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множестваА до универсального множества Е (рис. 2.2).

Например, если Е = <целые числа>, А = <четные числа>, то

= <нечетные числа>.

3.. Операции над множествами

Суммой, или объединением, двух множеств А и В называется множество

элементы которого с  С принадлежат либо А, либо В, либо принадлежат и А и В.

Данное определение можно распространить на случай произвольного конечного или бесконечного числа множеств.

На рис. 3.1 показана диаграмма Венна объединения двух (а) и трех (б) множеств.

►Пример 3.1.Заданы числовые множестваА= <3, 5, 7, 13>иВ= <2, 4, 5, 7, 9>. Найти множествоС=АВ. Показать решение с помощью диаграмм Венна.

Решение. Множество С состоит из всех элементов входящих в множество А или множество В. Союз «или» здесь не разделительный, то есть не исключается возможность одновременной принадлежности некоторых элементов и множеству А и множеству В. Итак,

Изобразим С=АВс помощью диаграммы Венна (рис. 3.2). Для наглядности множества показаны вместе с элементами. ◄

Произведением, или пересечением, двух множеств А и В называется множество

элементы которого с  С принадлежат одновременно и А и В.

Данное определение также можно распространить на случай произвольного конечного или бесконечного числа множеств.

На рис. 3.3 показана диаграмма Венна пересечения двух (а) и трех (б) множеств.

►Пример 3.2.По условиям примера 3.1 найти множество

Решение. Множество С состоит из всех элементов входящих одновременно как в А, так и в В. Как видно из рис. 3.2 такими элементами являются 5 и 7. Следовательно

►Пример 3.3. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72>– множество натуральных делителей числа 72, а В = <1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54>– множество натуральных делителей числа 54. Тогда множество С = <1, 2, 3, 6, 9, 18>является пересечением множеств А и В, а числа, входящие в множество С, являются делителями для 72 и 54. Наибольший элемент множества С, то есть 18, называется наибольшим общим делителем чисел 54 и 72. ◄

Следует отметить, что пересечение нескольких непустых множеств может быть пустым множеством.

Термин «пересечение» по существу геометрического происхождения. Например, если прямая и плоскость не параллельны, то их пересечением является точка.

Разностью двух множеств А и В называется множество

состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множествуВ.

Разность между множеством А и множеством В часто называется дополнением множества В до множества А.

►Пример 3.4. Пусть заданы множества А = <3, 5, 7, 13>и В = <2, 4, 5, 7, 9>. Тогда разности этих множеств будут иметь вид:

Практическое занятие 1.2. Операции над множествами. — МегаЛекции

Семестр 1.

Практическое занятие 1.1. Множество. Способы задания множеств. Отношения между множествами.

Вопросы и задания для подготовки к занятию:

 

1. Приведите примеры множеств, включающих в себя однородные объекты. Например, мебель – это множество, которое включает в себя стул, стол, сервант и пр.

2. Запишите с помощью математических символов следующие предложения:

a. 4 натуральное число;

b. 2,1 не является целым числом;

c. множество В является подмножеством множества О;

d. множества К и С равны;

3. Задайте множества А и В другим способом, если А ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}, В = {b, b Î N, b£6}. Изобразите эти множества с помощью кругов Эйлера, каково отношение между этими множествами?

4. Сформулируйте определения понятий «характеристическое свойство множества», «равные множества», «подмножество».

5. Р – множество натуральных чисел, больших 7 и меньших 14. Выясните, какие из чисел 13, 10, 5, 7, 14 ему принадлежат, а какие не принадлежат. Запишите решение, используя математические символы.

6. А – множество решений уравнения . Верно ли, что А – пустое множество? Приведите примеры уравнений, множество решений которых состоит из:

a. одного элемента;

b. двух элементов;

c. трех элементов.

7. Запишите множество букв в слове «математика» и множество цифр в записи числа 515353.

8. Изобразите на координатной прямой множество Х, если:

a.

b.

c. .

9. Задайте двумя способами множество точек координатной прямой (рис. 1)

 

Задания для самостоятельной работы

1. Запишите множество А, элементами которого являются натуральные числа, меньшие 8, используя символические записи характеристического свойства и перечисления элементов множества. Верно, ли, что: а) 5 А; б) 0 А; в) 8 А?

2. Постройте прямую и отметьте на ней начало отсчета, единичный отрезок, точку А(5) и все точки, расстояние от которых от точки А: равно 2, не более 2.

3. Дано множество С = {213, 45, 324, 732, 136}. Составьте подмножества множества С, состоящие из чисел, которые:

a. делятся на 3;

b. не делятся на 4;

c. не делятся на 5.

4. А – множество натуральных чисел, меньших 20; В, С, Е, Н – подмножества множества А, такие, что В состоит из чисел, кратных 6, С – из чисел, кратных 2, Е – из чисел, кратных 3, Н – из чисел, кратных 2 и 3 одновременно. Перечислите элементы множеств А, В, С, Е, Н и укажите среди них равные множества.

5. Отношения между множествами всех выпуклых четырехугольников, параллелограммов, прямоугольников, ромбов и квадратов изображены на рисунке. Покажите каждое из множеств.

6. Пусть разные строчные буквы обозначают разные предметы. Для каких из следующих пар множеств имеет место отношение А Ì В или В Ì А:

a. А={а, b, с, d}, В = {а, с, d};

b. А = {а, b}, В = {а, с, d};

c. А =Æ, В = Æ;

d. А =Æ, В = {а, b, с};

7. Какие из следующих пар множеств связаны между собой отношением включения:

a. А = {х÷ хÎN, х > 2}, В = {у÷у Î N, у > 2};

b. А ={х÷ хÎ R, х > 0}, В ={у÷у Î N, у > 0};

c. А ={х÷ хÎ N, х2 > 4}, В ={х÷ хÎN, х2 > 5};

d. А — множество многоугольников с периметром 4, В — множество квадратов с площадью 1?

8. Равны ли следующие множества: А = {2, 4, 6} и В = {6, 4, 2}; А = {1, 2, 3} и В ={I, II, III}; А = {{1, 2} {2, 3}} и В = {2, 3, 1};

Практическое занятие 1.2. Операции над множествами.

Вопросы и задания для подготовки к занятию:

 

1. Дайте определения понятиям «объединение множеств», «пересечение множеств». Дайте этим операциям графическую иллюстрацию с помощью кругов Эйлера.

2. Сформулируйте свойства операций объединение и пересечение множеств. Проиллюстрируйте их с помощью кругов Эйлера.

3. Дайте определения понятиям «разность множеств», «дополнение множества». Дайте этим операциям графическую иллюстрацию с помощью кругов Эйлера.

4. Сформулируйте свойства разности множеств.

5. Известно, что . Следует ли из этого, что:

°

°

°

6. Найдите пересечение, объединение, разность

° [1; 5] и [3; 7];

° А= ;

° ;

° и ;

° ; Ø..

7. Известно, что . Следует ли из этого, что:

°

°

8. Найдите разность числового отрезка [1; 5] и числового отрезка [3; 7].

9. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания:

° ;

° .

 

Задания для самостоятельной работы

 

1. Перечислите элементы, принадлежащие пересечению множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «грамматика». Из каких элементов состоит объединение данных множеств?

2. Р – множество натуральных делителей числа 18, Н – множество натуральны делителей числа 24. укажите характеристическое свойство элементов пересечения множеств Р и Н и перечислите его элементы.

3. Найдите пересечение и объединение множеств К и М, если К – множество двузначных чисел, М – множество нечетных чисел. Верно ли, что: а) 21 ; б) ; в) ; г) .

4. Найти объединение и пересечение множеств А и В, если и .

5. Три множества Р, Н, М изображены тремя прямоугольниками (рис. 1). Отметьте штриховкой области, изображающие множество Х: а) М Н; б) Р Н; в) (Р Н) (Н М).

Рис. 1.

6. В – множество правильных многоугольников, Т – множество прямоугольников. Из каких фигур состоит объединение и пересечение множеств В и Т. Нарисуйте по две фигуры из каждого множества.

7. Даны множества: А ={а, b, с, d, е}, В ={с, d, f, k}, С = {b, с, d, f, m}. Перечислите элементы множеств К=(АÈВ)ÇС и Р =А È ВÇ С. Содержится ли элемент m в множестве К, а элемент f в множестве Р?

8. А – множество чисел, кратных 2, В – множество чисел, кратных 3, С – множество чисел, кратных 5. Укажите характеристическое свойство элементов множества (А В) С и (А В) С.

9. Найдите объединение и пересечение множеств и дайте графическую иллюстрацию при помощи диаграмм Эйлера — Венна, если:

а) А = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, В = {8, 9, 10, 11};

б) А= {х ÷ х = 5п, п ÎN}, В= {х ÷ х = 2п, п ÎN};

г) А={х ÷ х = 2^п, п ÎN}, В= {х ÷ х = 2п, п ÎN}.

10. Изобразите на числовой прямой и запишите при помощи неравенства объединение и пересечение множеств Р и Q:

а) Р = , Q= ;

б) Р = , Q = ;

в) Р = , Q =

11. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до20. Перечислите элементы множеств А \ В и В \ А.

12. Р – множество двузначных чисел, М – множество четных натуральных чисел. изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р и М и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежащей этой разности. Верно ли, что Р \ М содержит числа 21; 17?

13. Дано множество . Запишите два подмножества множества Х и дополнение этих подмножеств до множества Х.

14. Сформулируйте характеристическое свойство элементов дополнения множества Р до множества треугольников, если: а) Р – множество остроугольных треугольников; б) Р – множество равносторонних треугольников.

15. Найдите дополнение множества У до множества Х, если:

a) Х – множество точек прямой АВ;

b) множество точек отрезка АВ;

c) Х – множество точек квадрата, У – множество точек круга, вписанного в этот квадрат.

16. Найдите дополнение:

d) множества четных натуральных чисел до множества N;

e) множества отрицательных чисел до множества Z;

f) множества целых чисел до множества Q.

2. Отметьте на координатной прямой множество А и укажите характеристическое свойство элементов его дополнения до множества R, если: а) ; б) ; в) .

3. Множества А, В и С таковы, что Ø. Изобразите их при помощи кругов Эйлера и отметьте штриховкой области, представляющие множества (А \ В) С, А \ В С, А (В \ С), А В \ С. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж.

4. А – множество прямоугольников, В – множество правильных многоугольников, С – множество треугольников. постройте круги Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) А В С; б) В С; в) (А В)’ С.

5. Постройте три круга, изображающие три попарно пересекающихся множества А, В и С, и выделите штриховкой области, представляющие множества:

а) АÈВ\С, б) А\СÈВ\С; в) А\(ВÈС).

 

---

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Математические диктанты по алгебре, 8 класс

Математические диктанты по алгебре
(8 класс, учебник авт. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир)

Диктант 1 по теме «Рациональные дроби»

1. Запишите окончание предложения:

1) дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат … ;

2) целые и дробные выражения называют … ;

3) допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют … ;

4) допустимыми значениями переменных, входящих в целое выражение, являются … ;

5) рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой … ;

6) знаменатель рациональной дроби не может быть … ;

7) допустимыми значениями переменных, входящих в рациональную дробь, являются все те значения переменных, при которых … .

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) 4x − 12; 6) ?

1. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную a, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 7; 3) все числа, кроме −2, 3 и 8;

2) все числа, кроме 0 и 1; 4) все числа.

Диктант 2 по теме «Основное свойство рациональной дроби»

1. Запишите окончание предложения:

1) тождественно равными называют выражения, соответствующие значения
которых … ;

2) тождеством называют равенство, которое выполняется при … ;

3) если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим … .

1. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 15b⁸ и 35b¹⁶, и сократите её.

2. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7a²b и 21ab², и сократите её.

3. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно x² − 3x и
   x − 3, и сократите её.

4. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5x + 10 и 5x, и сократите её.

5. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 6a² − 2a и
   7 − 21a, и сократите её.

6. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно b² − 4 и
   b² − 4b + 4, и сократите её.

7. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно a и 3b, и приведите её к знаменателю 6b⁴.

8. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 и a − b, и приведите её к знаменателю a(a − b).

9. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно m и m + n, и приведите её к знаменателю m² + mn.

10. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно x и x + y, и приведите её к знаменателю x² − y².

11. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно a и a − 3, и приведите её к знаменателю 9 − a².

12. Представьте выражение m − 2n в виде дроби со знаменателем:

1) 3; 2) m; 3) 2n²; 4) m² − 4n².

Диктант 3 по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями»

1. Запишите окончание предложения:

1) чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно … ;

2) чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно … .

1. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7a и 4b, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5a и 4b.

2. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3a − 9b и 5ab, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4b − 3a и 5ab.

3. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   7m + n⁴ и 3n, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   7m − 2n⁴ и 3n.

4. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   6p − k² и 8k³, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно k² + 6p и 8k³.

5. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   9a − 5 и a² − b², и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   9b − 5 и a² − b².

6. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a и
   a − 2, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2 и 2 − a.

7. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   m² − 20 и m − 4, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 и
   4 – m.

Диктант 4 по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями»

1. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5 и n⁵, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 − 5n² и n⁷.

2. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a − 2b и ab², и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2a − b и a²b.

3. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3 и b, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 и b + 2.

4. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5 и a − b, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2 и a + b.

5. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно c − 6 и c² − 4, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3 и c − 2.

6. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2m² и m − 5, и одночлена 2m.

7. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно b и b − 5, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3b + 1 и
   3b − 15.

8. Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно n и n + 4, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно n² и
   n² + 8n + 16.

9. Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a + 4 и ab − a², и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно b + 4 и
   ab − b².

Диктант 5 по теме «Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень»

1. Запишите окончание предложения:

1) произведением двух рациональных дробей является дробь, … ;

2) частным двух рациональных дробей является дробь, … ;

3) чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно … .

1. Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 13x⁴ и y¹⁰, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно y⁵ и 26x⁸.

2. Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4b и 45c³, и одночлена 9c¹².

3. Найдите частное дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7 и a², и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 28 и a⁶.

4. Найдите частное дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 6m⁶ и n⁸, и одночлена 12m³n².

5. Возведите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5a² и b⁴, во вторую степень.

6. Возведите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно −2a⁶ и c⁷:

1) в третью степень;

2) в четвёртую степень.

1. Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно m − n и mn, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно m² и
   3m − 3n.

2. Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно c − 3 и 5c + 7, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   25c² − 49 и c² − 6c + 9.

3. Найдите частное многочлена m² − 81n² и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно m + 9n и m.

4. Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a² − 1 и a − 6, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7a − 42 и a² + a.

5. Найдите частное дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
   ab − ac и 4 + 2a + a², и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно c² − b² и a³ − 8.

Диктант 6 по теме «Равносильные уравнения. Рациональные уравнения»

1. Запишите окончание предложения:

1) два уравнения называют равносильными, если … ;

2) если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же … ;

3) если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, … ;

4) если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же … ;

5) рациональным называют уравнение, левая и правая части которого … ;

6) дробь равна нулю тогда и только тогда, когда … ;

7) чтобы решить уравнение вида = 0, где A и B — многочлены, нужно потребовать одновременного выполнения … ;

8) при решении уравнений вида = 0 следует руководствоваться таким алгоритмом: … .

1. Составьте уравнение, равносильное уравнению:

1) 3x − 2 = 7; 2) x² = 9; 3) x − 5 = x − 4; 4) |x| = −1.

1. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:

1) имеет один корень;

2) имеет бесконечно много корней.

1. Решите уравнение:

1) 0; 4) ;

2) = 0; 5) = 1;

3) = 0; 6) = 1.

Диктант 7 по теме «Степень с целым отрицательным показателем»

1. Запишите окончание предложения:

1) для любого числа a, не равного нулю, и натурального числа n a в степени −n равно … ;

2) для любого числа a, не равного нулю, нулевая степень числа a равна … ;

3) выражение 0ⁿ не имеет смысла при … ;

4) стандартным видом числа называют его запись в виде … ;

5) если произведение a · 10ⁿ является стандартным видом числа, то число n называют … .

1. Представьте в виде дроби степень:

1) 7⁻⁵; 3) a⁻¹⁰;

2) 12⁻²; 4) (a + b⁾⁻¹².

1. Представьте дробь в виде степени с целым отрицательным показателем:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1. Вычислите:

1) 6⁻²; 3) ; 5) 0,1⁻¹; 7) 2⁻⁴; 9) (−1)⁻¹⁷;

2) 10⁻²; 4) ; 6) ; 8) (−2)⁻⁴; 10) (−35)⁰.

1. Запишите в стандартном виде число:

1) 18; 3) 1920; 5) 0,007;

2) 350; 4) 0,23; 6) 0,058.

1. Запишите число в виде степени с основанием:

1) 8; 2) 4; 3) 2.

1. Сравните с нулём значение выражения:

1) ; 2) ; 3) 9⁻¹⁰; 4) (−9)⁻¹⁰.

1. Запишите в виде степени числа 10, сколько в 1 мм содержится:

1) сантиметров; 2) дециметров; 3) метров.

Диктант 8 по теме «Свойства степени с целым показателем»

1. Запишите в буквенном виде равенство, выражающее:

1) основное свойство степени;

2) правило деления степеней с одинаковыми основаниями;

3) правило возведения степени в степень;

4) правило возведения произведения в степень;

5) правило возведения дроби в степень.

1. Запишите в виде степени выражение:

1) x⁻⁵x⁷; 5) x ⁻⁶ : x ⁻¹⁰;

2) y⁻⁴y⁸y⁻²; 6) y⁴ : y⁷;

3) ccc ⁻³; 7) (a ⁻³)⁷;

4) b⁻⁸ : b²; 8) (a ⁻²)⁻³.

1. При каком значении p верно равенство:

1) x¹²x ^p = x ⁻⁸;

2) x ⁻⁵ : x ^p = x ³;

3) (x ^p)⁻⁴ = x ²⁰?

1. Найдите значение выражения:

1) 4⁻⁵ · 4⁶; 4) 6⁻⁹ : 6⁻⁷;

2) 5¹³ : 5¹⁵; 5) (3⁻¹)⁴;

3) 2⁻⁷ · 2⁴; 6) .

1. Чему равно значение выражения:

1) ;

2) ?

Диктант 9 по теме «Функция и её график»

1. Запишите окончание предложения:

1) обратной пропорциональностью называют функцию, которую … ;

2) областью определения функции , где k ≠ 0, являются … ;

3) фигуру, являющуюся графиком функции , где k ≠ 0, называют … ;

4) части, из которых состоит график функции , где k ≠ 0, называют … ;

5) областью значений функции , где k ≠ 0, являются … .

1. Запишите какую-нибудь формулу, задающую обратную пропорциональность.

2. Задана функция . Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно 9;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно −6.

1. В каких координатных четвертях расположен график функции ?

2. Известно, что график функции , где k ≠ 0, расположен в первой и третьей координатных четвертях. Сравните числа k и 0.

3. При каких значениях x принимает отрицательные значения функция:

1) ;

2) ?

1. При каком значении k график функции проходит через точку A (−4; 13)?

Диктант 10 по теме «Функция y = x² и её график»

1. Запишите окончание предложения:

1) областью определения функции y = x² являются … ;

2) областью значений функции y = x² являются … ;

3) нулём функции y = x² является число …;

4) график функции y = x² симметричен относительно … ;

5) графиком функции y = x² является фигура, которую называют … ;

6) точка с координатами (0; 0) делит график функции y = x² на две равные части, каждую из которых называют … ;

7) при противоположных значениях аргумента значения функции y = x² … .

1. В каких координатных четвертях расположен график функции y = x²?

2. Чему равно значение функции y = x², если значение аргумента равно −4?

3. Значение функции y = x² при x = 23 равно 529. Чему равно значение этой функции при x = −23?

4. Постройте график функции

Диктант 11 по теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»

1. Запишите окончание предложения:

1) квадратным корнем из числа a называют … ;

2) арифметическим квадратным корнем из числа a называют … ;

3) выражение, стоящее под знаком радикала, называют … ;

4) подкоренное выражение может принимать только … ;

5) действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют … ;

6) равенство выполняется при условии … .

1. Чему равен:

1) квадратный корень из числа 81;

2) арифметический квадратный корень из числа 81?

1. Чему равно значение выражения для любого неотрицательного числа a?

2. Сколько корней имеет уравнение x² = a при a 0? Запишите их.

3. Решите уравнение x² = a при a = 0.

4. Решите уравнение x² = a при a

5. Существует ли квадратный корень из числа:

1) 16; 2) −9; 3) 0?

1. Запишите окончание предложения:

1) число 0,3 не является квадратным корнем из числа 0,9, поскольку … ;

2) число 0,2 является квадратным корнем из числа 0,04, поскольку … ;

3) число −5 не является арифметическим квадратным корнем из числа 25,
поскольку … ;

4) число 10 является арифметическим квадратным корнем из числа 100, поскольку … .

1. Решите уравнение:

1) x² = 400; 2) x² = 10; 3) x² = −49.

1. Решите уравнение:

1) = 7 ; 2) = 0 ; 3) = − 4 .

1. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) ?

Диктант 12 по теме «Множество и его элементы»

1. Запишите окончание предложения:

1) если элемент a принадлежит множеству A, то пишут … ;

2) если элемент b не принадлежит множеству B, то пишут … ;

3) множество, состоящее из одного элемента, называют … ;

4) два множества A и B называют равными, если … ;

5) если множества A и B равны, то пишут … ;

6) множество однозначно определяется … ;

7) если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, … ;

8) множество, не содержащее ни одного элемента, называют … ;

9) множество, не содержащее ни одного элемента, обозначают символом … .

1. Запишите, используя соответствующую символику, утверждение:

1) число 7 является натуральным числом;

2) число −6 не является натуральным числом.

1. Запишите с помощью перечисления элементов множество:

1) букв слова «алгебра»;

2) правильных дробей, сумма числителя и знаменателя которых равна 7;

3) цифр числа 2020;

4) чётных простых чисел.

1. Задайте с помощью характеристического свойства какое-нибудь множество, являющееся пустым множеством.

Диктант 13 по теме «Подмножество. Операции над множествами»

1. Запишите окончание предложения:

1) множество B называют подмножеством множества A, если … ;

2) если множество B является подмножеством множества A, то это записывают так: ;

3) пустое множество считают подмножеством … ;

4) любое множество A является подмножеством … ;

5) пересечением множеств A и B называют множество … ;

6) пересечение множеств A и B обозначают так: … ;

7) если множества A и B не имеют общих элементов, то их пересечением является … ;

8) пересечением любого множества A и пустого множества является … ;

9) если множество A является подмножеством множества B, то пересечением множеств A и B является … ;

10) объединением множеств A и B называют множество … ;

11) объединение множеств A и B обозначают так: … ;

12) объединением любого множества A и пустого множества является … ;

13) если множество A является подмножеством множества B, то объединением множеств A и B является … .

1. Запишите все подмножества множества, состоящего из первых трёх чисел натурального ряда.

2. Запишите множество A делителей числа 12 и множество B делителей числа 18. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.

3. Запишите множество A корней уравнения x² − 2x = 0 и множество B корней уравнения x² − 4 = 0. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.

Диктант 14 по теме «Числовые множества»

1. Запишите окончание предложения:

1) множество натуральных чисел обозначают буквой … ;

2) множество целых чисел образуют … ;

3) множество целых чисел обозначают буквой … ;

4) множество рациональных чисел образуют … ;

5) множество рациональных чисел обозначают буквой … ;

6) каждое рациональное число можно представить в виде отношения … ;

7) каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной … ;

8) каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью … ;

9) никакое иррациональное число не может быть представлено в виде дроби … ;

10) никакое иррациональное число не может быть представлено в виде бесконечной … ;

11) иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных … ;

12) множеством действительных чисел называют объединение … ;

13) множество действительных чисел обозначают буквой … .

1. Запишите, используя соответствующую символику, утверждение:

1) множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел;

2) множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел;

3) множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел.

1. Верно ли утверждение:

1) 4 — натуральное число;

2) −4 — натуральное число;

3) 4 — целое число;

4) −4 — целое число;

5) 4 — рациональное число;

6) −4 — рациональное число;

7) — целое число;

8) — целое число;

9) — рациональное число;

10) 4 — действительное число;

11) −4 — действительное число;

12) — действительное число;

13) — действительное число;

14) — иррациональное число;

15) — рациональное число;

16) — действительное число;

17) — рациональное число;

18) — действительное число?

Диктант 15 по теме «Свойства арифметического квадратного корня»

1. Какому выражению тождественно равно выражение ?

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.

4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.

5. Известно, что неотрицательные числа a₁ и a₂ таковы, что a₁a₂. Сравните значения выражений и .

6. Чему равно значение выражения:

1) ; 3) ;

2) ; 4) ?

1. Вычислите значение выражения:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1. Найдите значение выражения:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1. Упростите выражение:

1) , если x ≥ 0; 3) ;

2) , если y ≤ 0; 4) , если b ≤ 0.

Диктант 16 по теме «Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни»

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1. Внесите множитель под знак корня:

1) 5 ; 3) ;

2) −3 ; 4) 2 .

1. Упростите выражение − + .

2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) ; 2) ; 3) .

1. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно a − 16 и + 4 , и сократите её.

2. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно c − 1 и
   c − 2 + 1 , и сократите её.

3. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно + и , и сократите её.

4. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно – и − , и сократите её.

Диктант 17 по теме «Функция и её график»

1. Запишите окончание предложения:

1) областью определения функции является … ;

2) областью значений функции является … ;

3) график функции расположен … ;

4) графиком функции является фигура, равная … ;

5) большему значению аргумента функции соответствует … ;

6) большему значению функции соответствует … .

1. Чему равно значение функции , если значение аргумента равно:

1) 25; 3) 10 000;

2) 0,69; 4) 6400?

3. При каком значении аргумента значение функции равно:

1) 7; 3) 60;

2) 0,2; 4) 500?

4. Сравните:

1) и ; 3) 9 и ;

2) 2 и ; 4) 2 и .

5. Запишите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) и ; 2) 2 и .

6. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) 7; 2)

Диктант 18 по теме «Квадратные уравнения»

1. Запишите окончание предложения:

1) квадратным уравнением называют … ;

2) приведённым называют квадратное уравнение … ;

3) если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют … ;

4) дискриминантом квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 называют … ;

5) квадратное уравнение не имеет корней, если … ;

6) квадратное уравнение имеет один корень, если … ;

7) квадратное уравнение имеет два корня, если … ;

8) формула корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 имеет вид … .

1. Запишите квадратное уравнение, в котором:

1) старший коэффициент равен 5, второй коэффициент равен −11, а свободный член равен 3;

2) старший коэффициент равен , второй коэффициент равен 0, а свободный член равен −20;

3) старший коэффициент равен −8, второй коэффициент равен , а свободный член равен 0.

1. Решите уравнение:

1) 3x² − 27 = 0; 4) x² + 9x = 0;

2) 6,8x² = 0; 5) 4x² + 16x = 0;

3) 2x² + 8 = 0; 6) 5x² − 7x = 0.

1. Решите уравнение:

1) x² + 8x − 9 = 0; 3) 3x² − 8x − 3 = 0;

2) 2x² + 7x − 4 = 0; 4) x² + 2x − 5 = 0.

Диктант 19 по теме «Теорема Виета»

1. Сформулируйте теорему Виета.

2. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

3. Запишите окончание предложения:

1) сумма корней приведённого квадратного уравнения равна … ;

2) произведение корней приведённого квадратного уравнения равно … ;

3) если числа α и β таковы, что α + β = −b и αβ = c, то эти числа являются корнями ….

1. Запишите, чему равна сумма корней уравнения x² − 3x − 14 = 0.

2. Запишите, чему равна сумма корней уравнения 2x² + 36x + 5 = 0.

3. Запишите, чему равно произведение корней уравнения x² − 8x + 3 = 0.

4. Запишите, чему равно произведение корней уравнения 7x² + 4x − 2 = 0.

5. Найдите коэффициент b уравнения x² + bx + c = 0, если его корни равны −2 и 14.

6. Найдите коэффициент c уравнения x² + bx + c = 0, если его корни равны −5 и 8.

7. Запишите приведённое квадратное уравнение, корни которого равны −7 и 4.

8. Запишите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны и

Диктант 20 по теме «Квадратный трёхчлен»

1. Запишите окончание предложения:

1) квадратным трёхчленом называют многочлен вида … ;

2) корнем квадратного трёхчлена называют … ;

3) квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители, если … ;

4) квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители, если … .

1. Запишите формулу, по которой можно разложить квадратный трёхчлен на линейные множители.

2. Квадратный трёхчлен −3x² + bx + c имеет корни 11 и −17. Разложите этот трёхчлен на линейные множители.

3. Квадратный трёхчлен представили в виде произведения 5(x − 7)(x + 18). Каковы корни этого трёхчлена?

4. Корни квадратного трёхчлена равны −6 и 0,4, а старший коэффициент равен − . Запишите разложение этого трёхчлена на линейные множители.

5. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) x² + 3x − 10;

2) −x² + x + 2;

3) 3x² − 4x + 1.

1. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4a − 12 и
   a² − 5a + 6, и сократите её.

2. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно b² + 5b − 14 и b² − 4b + 4, и сократите её.

3. Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2c² + 5c − 3 и c² − 9, и сократите её.

Программа Python для получения всех подмножеств заданного размера набора

Для заданного набора напишите программу Python для создания всех возможных подмножеств размера n заданного набора в списке.
 

Примеры:  

  Ввод:  {1, 2, 3}, n = 2
  Вывод:  [{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}]
  Ввод:  {1, 2, 3, 4}, n = 3
  Вывод:  [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}] 

Мы уже обсуждали ту же проблему, используя наивный подход в этой статье. В этой статье основное внимание уделяется подходам Pythonic для печати всех подмножеств заданного размера набора.

Python имеет itertools.combinations(iterable, n) , которые возвращают n подпоследовательностей элементов из входного итерируемого объекта. Это можно использовать для печати всех подмножеств заданного размера набора. Теперь у нас есть различные варианты использования этой функции.

Код № 1: 
Просто передайте набор как итерируемый и размер в качестве аргументов в itertools.combinations(), чтобы получить список комбинаций напрямую.
 

Python3

Импорт Itertools DEF FINDSUBSETSES (S, N): .cers 4.1945 9004.   s = { 1 , 2 , 3 } n = 2 Печать (findsubsets (s, n))

Выход:

 [1, 2), (1, 3), (2, 3)] 

9

9

9

  
Код #2 : 
Мы также можем использовать альтернативу описанному выше методу: сопоставление с функцией itertools. combinations().
 

Python3

импорт itertools from itertools import combinations, chain   def findsubsets(s, n):      return list ( map ( set , itertools.combinations(s, n)))        s = { 1 , 2 , 3 } n = 2   print (findsubsets(s, n))

Output:  

 [{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}] 

 

  
Код № 3 :
Другой метод заключается в использовании цикла for в функции itertools. combinations() и добавлении наборов комбинаций в список.
 

Python3

import itertools def findsubsets(s, n):      return [ set (i) for i in itertools.combinations(s, n)]        s = { 1 , 2 , 3 , 4 } N = 3 (findsububsubsubsubes (SINSSUBSUBSISBESISBESBESBES (SINSSUBSISBESISBESBESBESBESBESBESBESISBESBESBESBSISISISBSIPSISBSISBSISBSIPSISBESISBESBESBESBESBESISBES. [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}] Код #4: Много раз, когда этот вопрос задают в интервью, лучше отвечать без использования какого-либо модуля. Итак, вот решение, не использующее модуль itertools: Python3 def subsets(numbers):      if numbers = = []:          return [[ ]] x = Подмножества (числа [ 1 :]) Возврат 444 40044 + 40044 0045 [[Числа [ 0 ]] + y для y в x] 9006 40044, 9006 444444444. 10045.10045.10045.10045.10045 .      return [x for x in subsets(numbers) if len (x) = = n]   if __name__ = = '__main__' :      numbers = [ 1 , 2 , 3 , 4 ] N = 3 (CASTER_OF_OF_SIVER_SIVER_SIVER_SIVER_SISIVER_SISIVER_SISISISISIRIS_OF_OF_OF_OF_OF_SISISISISISIRE_SISISISISIRE_SISISISIFITION0045 Выход: [[2, 3, 4], [1, 3, 4], [1, 2, 4], [1, 2, 3]] Мощность Набор Power Set представляет собой набор всех подмножеств набора . ОК? Понял? Возможно, пример поможет... Все подмножества Для набора {a,b,c}: Пустой набор {} является подмножеством {a,b,c} А это подмножества: {a}, {b} и {c} И это тоже подмножества: {a,b}, {a,c} и {b,c} И {a,b,c} является подмножеством {a,b,c} И вместе мы получаем Power Set из {a,b,c}: P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, { a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Думайте об этом как о различных способах выбора элементов (порядок элементов не имеет значения), включая выбор ни одного, или все. Пример: В магазине есть банановое, шоколадное и лимонное мороженое.   Что вы заказываете? Вообще ничего: {} А может просто банан: {банан}. Или просто {шоколад} или просто {лимон} Или два вместе: {банан,шоколад} или {банан,лимон} или {шоколад,лимон} Или все три! {банан, шоколад, лимон} Вопрос: если в магазине есть еще и со вкусом клубники, какие варианты? Решение позже . Сколько подмножеств Легко! Если исходный набор состоит из n элементов, то в Power Set будет 2 n элементов Пример: {a,b,c} состоит из трех элементов ( a , b и c ). Таким образом, Power Set должен иметь 2 3 = 8, что и происходит, как мы выяснили ранее. Обозначение Число элементов множества часто записывается как |S|, поэтому, когда S состоит из n элементов, мы можем записать: |P(S)| = 2 n Пример: для набора S={1,2,3,4,5} сколько членов будет иметь набор мощности? Итак, S имеет 5 элементов, поэтому: |P(S)| = 2 n = 2 5 = 32 Через минуту вы увидите, почему количество членов равно степени 2 Это двоичное число! А вот и самое удивительное. Чтобы создать Power Set, запишите последовательность двоичных чисел (используя n цифр), а затем пусть «1» означает «поместить соответствующий элемент в это подмножество». Таким образом, "101" заменяется на 1 a , 0 b и 1 c , чтобы связаться с нами {a,c} Вот так:   азбука Подмножество 0 000 { } 1 001 {с} 2 010 {б} 3 011 {б, в} 4 100 {а} 5 101 {а, в} 6 110 {а, б} 7 111 {а, б, в} Ну, они не в порядке, но все они есть. Другой пример Поедим! У нас есть четыре вкуса мороженого: банан, шоколад, лимон и клубника . Сколькими разными способами мы можем их получить? Обозначим ароматы буквами: {b, c, l, s}. Примеры вариантов включают: {} (ничего, вы на диете) {b, c, l, s} (любой вкус) {b, c} (банан и шоколад хорошо сочетаются) и т. д. Сделаем таблицу, используя «binary»:   млрд баррелей Подмножество 0 0000 {} 1 0001 {с} 2 0010 {л} 3 0011 {л,с} ... ... и т.д.. ... и т. д. ... 12 1100 {б, в} 13 1101 {б, в, с} 14 1110 {б, в, л} 15 1111 {б, в, л, с} И результат (более аккуратно): P = { {}, {b}, {c}, {l}, {s}, {b,c}, {b,l}, { б, с}, {с, л}, {с, с}, {л, с}, {б, с, л}, {б, с, с}, {b,l,s}, {c,l,s}, {b,c,l,s} } Симметрия Вы заметили, что в приведенной выше таблице первое подмножество пусто, а в последнем есть все элементы? Но вы также заметили, что во втором подмножестве есть "s", а в предпоследнем подмножестве есть все , кроме "s"?     На самом деле, когда мы отражаем этот стол посередине, мы видим, что существует своего рода симметрия. Это потому, что двоичные числа (которые мы использовали для получения всех этих комбинаций) имеют красивый и элегантный узор. A Яркий пример Power Set может быть полезен в неожиданных областях. Я хотел найти все множители (не только простые множители, а все множителя) числа. Я мог проверить все возможные числа: я мог проверить 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д... Это заняло много времени для больших чисел. Но могу ли я попытаться объединить простые множители? Позвольте мне посмотреть, простые множители числа 510 равны 2×3×5×17 (используя инструмент простого множителя). Итак, все делители из 510 это: 2, 3, 5 и 17, 2×3, 2×5 и 2×17, а также 2×3×5 и 2×3×17 и ... .. ага! Как мороженое, мне нужен Power Set! Вот что у меня получилось:   2,3,5,17 Подмножество Коэффициенты 510 0 0000 { } 1 1 0001 {17} 17 2 0010 {5} 5 3 0011 {5,17} 5 × 17 = 85 4 0100 {3} 3 5 0101 {3,17} 3 × 17 = 51   . .. и т. д. ... ... и т. д. ... ... и т. д. ... 15 1111 {2,3,5,17} 2 × 3 × 5 × 17 = 510 И результат? Множители числа 510 равны 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, 170, 255 и 510 (а также −1, −2, −3 и т. д.). ). См. инструмент All Factors Tool . Автоматизированный Я не мог удержаться от того, чтобы сделать наборы силы доступными для вас автоматизированным способом. Итак, когда вам нужен набор мощности, попробуйте Power Set Maker.     Справочник по формальным методам LaTeX — Konrad Siek Основная идея этого справочника — предоставить шпаргалку по написанию математических в LaTeX для тех, кто не особо в них уверен, например, я. Каждая таблица содержит описание какого-либо символа или понятия, представление символ, исходный код LaTeX и, по желанию, несколько странных заметок о концепции или рендеринг. Я надеюсь продолжать расширять этот справочник, пока не закончатся Вселенная, чтобы вписаться в нее. Вот что у меня есть на данный момент: Содержание Справочник по формальным методам LaTeX Имена переменных Теория множеств Декартовы произведения Типы Математические операторы Сумки Последовательности Формальная логика Законы эквивалентности Логические формы Логика предикатов Отношения и функции Транзакционная память Нотация для представления историй Теоремы Разное Я в значительной степени полагаюсь на главу 2 досье Эндрю Гарри по формальным методам : VDM и Z для большей части теоретического содержания таблиц. Я также использовал Ричарда Книга доказательств Хаммака для некоторых формулы и описания. Detexify и Wikibooks — бесценные источники для LaTeX . вещи. Кроме того, для более полного ознакомления с символами LaTeX попробуйте The Полный список символов LaTeX Скотта Пакина. Имеется два раздела, связанных с транзакционной памятью. Один перечисляет некоторые из символы, используемые Геррауи и Капалкой в ​​Принципах транзакционной памяти как а также из других работ на эту тему, которые довольно часто используются для описывать различные вещи, относящиеся к истории ТМ. Другие списки символов разработан Павлом Т. Войцеховским для визуализировать истории ТМ (или трассы) без необходимости делать чертежи. Обратите внимание, что символы здесь отображаются с помощью JavaScript по sphinx.ext.mathjax или sphinx.ext.jsmath и поэтому может отличаться от что будет отображать LaTeX . Я также не могу отображать некоторые символы вообще здесь это будет прекрасно работать в LaTeX , и в этом случае я отмечу так по соответствующему понятию. Я предоставляю (автоматически генерирую) исходники для LaTeX для всех понятия, но не формулы, иногда встречающиеся в примечаниях. Их источником может быть тем не менее просмотреть, щелкнув их правой кнопкой мыши и выбрав Показать исходный код из выпадающее меню (спасибо Sphinx и MathJax ). Это работает для вторая колонка точно так же. Это (постоянная) работа в процессе, поэтому комментарии и т. д. особенно приветствуются. Концепция Математика Латекс Примечания Наборы \(А,Б,С\) А,Б,С прописные буквы Индексные наборы \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) А_1, А_2, точки, А_н индекс может быть любого типа, не включенного в другие группировки. целое число Выписки \(П, В, Р, С\) П, В, Р, С забавный факт: переставленные они обозначают Senatus Populusque Romanus Операторы с переменными \(Р(х), Q(х), R(х), S(х)\) P(x), Q(x), R(x), S(x)   Концепция Математика Латекс Примечания Набор \(\{а,б,в\}\) \{а,б,в\} установить нумерацию Комплект \(\{\,x \mid P(x)\,\}\) или \(\{\,x : P(X)\,\}\) \{\,x \mid P(x)\,\} или \{\,x : P(X)\,\} понимание набора (описанное неявно свойством \(P\)) также известное как нотация построения набора Бесконечный набор \(\{1,2,3,\ldots\}\) \{1,2,3,\lddots\} и так далее Бесконечный набор \(\{\ldots,1,2,3,\ldots\}\) \{\ldots,1,2,3,\ldots\} и так далее Пустой набор \(\varnothing\) или \(\emptyset\) или \(\{\}\) 9{|С|}\) Участник \(х \в А\) х\дюйм А   Не член \(х \не\в А\) х \не\в А   Подмножество \(A \subset B\) или \(A \subseteq B\) A \subset B или A \subseteq B   Не подмножество \(A \не\подмножество B\) или \(A \nподмножество B\) A \nsubseteq B или A \nsubseteq B   Установить равенство \(А = В\) А = В \(A \subseteq B \text{ и } B \subseteq A\) Союз \(А\чашка Б\) А\чашка В   Перекресток \(А \крышка Б\) А\крышка В   Распределенный или универсальный союз \(\большая чашка СС\) \bigcup нержавеющая сталь сверх набора наборов Распределенный или общий перекресток \(\большая нержавеющая сталь\) \bigcap нержавеющая сталь сверх набора комплектов Соответствующее дополнение \(A - B\) или \(A \setminus B\) A - B или A \setminus B \(\{\,x \mid x \in A \text{ и } x \not\in B\,\}\) Абсолютное дополнение \(А+В\) А+В \((А - В) \стакан (В - А)\) Непересекающиеся наборы     \(A \cap B = \varnothing\) Установить кардинальность (размер) \(\mathbf{card}(S)\) или \(|S|\) \mathbf{card}(S) или |S| количество членов \(S\) Логический набор 9+ = \mathbb{N} \setminus \{0\}\) Набор целых чисел \(\mathbb{Z}\) \mathbb{Z}   Набор рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) \mathbb{Q} \(\frac{a}{b}\), \(a\) - числитель, \(b\) - знаменатель, \(b \neq 0\) Набор реальных чисел \(\mathbb{R}\) \mathbb{R}   Набор простых чисел \(\mathbb{N}\) \mathbb{N}   Набор иррациональных чисел \(\mathbb{I}\) \mathbb{I}   Набор комплексных чисел \(\mathbb{C}\) \mathbb{C}   Концепция Математика Латекс Примечания Заказная пара \((а,б)\) (а, б)   Тройной \((а,б,в)\) (а, б, в)   N-кортеж \((e_1, \ldots, e_n)\) (e_1, \ldots, e_n)   Декартово произведение \(А \раз В\) 9п \(A \times A \times \ldots \times A = \{x_1,x_2,\ldots, x_n | x_1,x_2,\ldots,x_n \in A\}\) Концепция Математика Латекс Примечания Пользовательский тип \(\mathrm{DEFINEDTYPE} = \{2,4,8\}\) \mathrm{DEFINEDTYPE} = \{2,4,8\} набор, определенный явно или посредством понимания набора Тип продукта \(\mathbb{B} \times \mathbb{B}\) \mathbb{B} \times \mathbb{B} набор кортежей (здесь, \(\{(tt,tt),(tt,ff),(ff,ff),(ff,tt)\}\)) Сигнатура функции с двумя аргументами \(\textrm{func}:\mathbb{R} \times\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) \textrm{func}:\mathbb{R} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} тип аргументов - это тип продукта Нумерованный тип \(\textrm{сигнал} = \textrm{КРАСНЫЙ}~|~\textrm{ОРАНЖЕВЫЙ}~|~\textrm{ЗЕЛЕНЫЙ}\) \textrm{сигнал} = \textrm{КРАСНЫЙ}~|~\textrm{ОРАНЖЕВЫЙ}~|~\textrm{ЗЕЛЕНЫЙ} тип объединения литералов Концепция Математика Латекс Примечания Абсолютный оператор \(\mathbf{абс}\ {-20} = 20\) \mathbf{абс}\ {-20} = 20 унарный Оператор половой/целочисленной части \(\mathbf{этаж}\ 2,5 = 2\) \mathbf{этаж}\ 2,5 = 2 унарный Оператор целочисленного деления \(5\ \mathbf{div}\ 2 = 2\) 5\ \mathbf{div}\ 2 = 2 двоичный Остаток оператора \(5\ \mathbf{rem}\ {-2} = 1\) 5\ \mathbf{рем}\ {-2} = 1 двоичный Оператор модуля \(5\ \mathbf{mod}\ {-2} = -1\) 5\ \mathbf{mod}\ {-2} = -1 двоичный Равенство \(а = б\) а = б двоичный Неравенство \(а\neq б\) а\neq б двоичный Менее \(а > б\) а > б двоичный Меньше или равно \(а \ге б\) а\гб двоичный Более \(а < Ь\) а < б двоичный Больше или равно \(а\ле б\) а\ле б двоичный Концепция Математика Латекс Примечания Сумка \([\![ а,б,б,в,г]\!]\) [\![ а,б,б,в,г]\!] Члены могут повторять, неупорядоченно, также \llbracket и \rrbracket из пакета stmaryrd выглядеть лучше Счетчик \(\mathbf{количество}[\![a,b,b,c,d]\!] b = 2\) \mathbf{количество}[\![a,b,b,c,d]\!] b = 2 Сколько раз элемент \(b\) встречается в пакете Мощность сумки \(\mathbf{карта}(B)\) \mathbf{card}(B) Количество членов \(B\) Муфта для мешков (1) \([\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,b, в, в, г ]\!]\) [\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,b,c ,с,г ]\!] Максимальное количество элементов Муфта для мешков (2) \([\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,a,b, б,б,в,в,в,г,в ]\!]\) [\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,a,b,b ,b,c,c,c,d,c ]\!] Сумма элементов Пересечение мешков \([\![ a,b,b,c,d ]\!] \cap [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,c, д ]\!]\) [\![ a,b,b,c,d ]\!] \cap [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,c,d ]\!] Минимальный номер элемента Разница сумок \([\![ a,b,b,c,d ]\!] - [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![b,c ]\!] \) [\![ a,b,b,c,d ]\!] - [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![b,c ]\!] Вычесть количество элементов во втором мешке из первого Концепция Математика Латекс Примечания Пустая последовательность [] []   Последовательность (явное объявление) \([а,б,б,г]\) [а,б,б,г] В таком порядке. Это типичное представление. Последовательность (неявное объявление) \([\,е\середина Р(е)\,]\) [\,е \середина Р(е)\,] Понимание множества (неявно описанное свойством \(P\)) Глава последовательности \(\mathbf{hd}~A\) \mathbf{hd}~A \(\mathbf{hd}~[ a,b,b,c ] = a\) Хвост последовательности \(\mathbf{tl}~A\) \mathbf{tl}~A \(\mathbf{tl}~[a,b,b,c] = [b,b,c]\) Длина последовательности \(\mathbf{len}~A\) \mathbf{len}~A \(\mathbf{len}~[ a,b,b,c ] = 4\) Выбор элемента (по применению) \(А(н)\) А(н) Выберите \(n\)-й элемент последовательности Индексы последовательности \(\mathbf{inds}~A\) \mathbf{inds}~A \(\mathbf{inds}~[ a,b,c ] = \{1,2,3\}\) Элементы последовательности \(\mathbf{элементы}~А\) \mathbf{elems}~A \(\mathbf{elems}~[ a,b,b,c ] = \{a,b,c\}\) Объединение последовательностей     Символ варьируется в зависимости от обозначения Список \(\) или \((a,b,c)\) или \(abc\) или (a,b,c) или abc Альтернативное обозначение и наименование, используемые некоторыми формальными обозначениями Пустой список \(()\) ()   Концепция Математика Латекс Примечания Соединение (И) \(\клин\) или \(\&\) или \(. \) \клин или \& или . Альтернативно \с из пакета cmll вместо \& . Альтернатива (ИЛИ) \(\vee\) или \(|\) или \(+\) \vee или | или +   Отрицание (НЕ) \(\отриц\) или \(\сим\) \neg или \sim   Значение \(\стрелка вправо\) или \(\стрелка вправо\) или \(\supset\) \rightarrow или \rightarrow или \supset \(\text{посылка} \rightarrow \text{заключение}\) Эквивалент \(\leftrightarrow\) или \(\leftrightarrow\) или \(\equiv\) \leftrightarrow или \leftrightarrow или \equiv   Законы эквивалентности Концепция Математика Латекс Примечания Коммутация (соединения) \((P \клин Q) \экв (Q \клин P)\) (P \клин Q) \экв (Q \клин P)   Коммутация (альтернативы) \((P \vee Q) \equiv (Q \vee P)\) (P \vee Q) \экв (Q \vee P)   Коммутация (эквиваленты) \((P \leftrightarrow Q) \equiv (Q \leftrightarrow P)\) (P \leftrightarrow Q) \экв (Q \leftrightarrow P)   Ассоциация (союзы) \(P \клин (Q \клин R) \экв (P \клин Q) \клин R\) P \клин (Q \клин R) \экв (P \клин Q) \клин R   Ассоциация (альтернативы) \(P \vee (Q \vee R) \equiv (P \vee Q) \vee R\) P \vee (Q \vee R) \equiv (P \vee Q) \vee R   Распределение (1) \(P \vee (Q \клин R) \экв (P \vee Q) \клин (P \vee R)\) P \vee (Q \vee R) \equiv (P \vee Q) \wee (P \vee R)   Распределение (2) \(P \клин (Q \клин R) \экв (P \клин Q) \vee (P \клин R)\) P \клин (Q \клин R) \экв (P \клин Q) \vee (P \клин R)   Закон Де Моргана (отрицание конъюнкции) \(\neg(P \клин Q) \equiv \neg P \vee \neg Q\) \neg(P \клин Q) \equiv \neg P \vee \neg Q   Закон де Моргана (отрицание альтернативы) \(\neg(P \vee Q) \equiv \neg P \клин \neg Q\) \neg(P \vee Q) \equiv \neg P \клин \neg Q   Двойное отрицание \(\отр\отр П \экв П\) \neg\neg P \equiv P   Исключен Средний \(P \vee \neg P \equiv tt\) P \vee \neg P \equiv tt   Противоречие \(P \клин \neg P \equiv ff\) P \клин \neg P \equiv ff   Материал Значение \(P \rightarrow Q \equiv \neg P \vee Q\) P \rightarrow Q \equiv \neg P \vee Q   Эквивалентность материалов (1) \((P \leftrightarrow Q) \equiv (P \rightarrow Q) \клин (Q \rightarrow P)\) (P \leftrightarrow Q) \equiv (P \rightarrow Q) \клин (Q \rightarrow P)   Эквивалентность материалов (2) \((P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge Q) \vee (\neg Q \wedge \neg P)\) (P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge Q) \vee (\neg Q \wedge \neg P)   Экспорт \((P \клин Q) \rightarrow R \equiv P \rightarrow (Q \rightarrow R)\) (P \клин Q) \rightarrow R \equiv P \rightarrow (Q \rightarrow R)   Или-упрощение \(P \vee P \экв P\) П\вее П\экв П   Или-упрощение (истина) \(P \vee tt \equiv tt\) P \vee tt \equiv tt   Или-упрощение (ложь) \(P \vee ff \equiv P\) P \vee ff\экв P   А-Упрощение \(П \клин П \экв П\) П\клин П\экв П   И-упрощение (истина) \(П \клин тт \эквив П\) П\клин тт\экв П   И-упрощение (ложь) \(P \клин ff \equiv ff\) P \ клин ff \ эквив ff   Логические формы Концепция Математика Латекс Примечания Модус Поненс \(P \rightarrow Q, P \vdash Q\) P \rightarrow Q, P \ vdash Q Эндрю Гарри использует \uptherefore из MnSymbol Модус Толленс \(P \rightarrow Q, \neg Q \vdash \neg P\) P \rightarrow Q, \neg Q \vdash \neg P   Гипотетический силлогизм \(P \rightarrow Q, Q \rightarrow R \vdash P \rightarrow R\) P \rightarrow Q, Q \rightarrow R \vdash P \rightarrow R   Конструктивная Диллема \(P \rightarrow Q \wedge R \rightarrow S, P \vee R \vdash Q \vee S\) P \rightarrow Q \клин R \rightarrow S, P \vee R \vdash Q \vee S   Разрушительная Диллема \(P \rightarrow Q \wedge R \rightarrow S, \neg Q \vee \neg S \vdash \neg P \vee \neg R\) P \rightarrow Q \wedge R \rightarrow S, \neg Q \vee \neg S \vdash \neg P \vee \neg R   Соединение \(П, Q \втире П \клин Q\) П, Q\vdash P\клин Q   Дополнение \(P \vdash P \vee Q\) П\втире П\вее Q   Логика предикатов Концепция Математика Латекс Примечания Универсальный определитель (все) \(\forall_x\) \forall_x   Универсальная спецификация \(\forall_x \пуля P_x\) \forall_x \bullet P_x \(\forall_x \пуля \mathrm{человек}(х) \стрелка вправо \mathrm{смертный}(х)\) Экзистенциальный определитель (существует) \(\существует_x\) \exists_x   Экзистенциальная спецификация \(\exists_x \пуля P_x\) \exists_x \bullet P_x \(\exists_x \пуля \mathrm{Сократ}(х) \клин \mathrm{человек}(х)\) Диапазон типов (1) \(\forall_x \in X\) или \(\forall_x : X\) \forall_x \in X или \forall_x : X Первое предполагает, что \(X\) — это набор, второе — что это тип Диапазон типов (2) \(\exists_x \in X\) или \(\exists_x : X\) \exists_x \in X или \exists_x : X Первое предполагает, что \(X\) — это набор, второе — что это тип Общение между классификаторами (1) \(\forall_x \bullet P_x \equiv \neg\exists_x \bullet \neg P_x\) \forall_x \bullet P_x \equiv \neg\exists_x \bullet \neg P_x Альтернативно \(\nexists_x\) Общение между классификаторами (2) \(\neg\forall_x \bullet P_x \equiv \exists_x \bullet \neg P_x\) \neg\forall_x \bullet P_x \equiv \exists_x \bullet \neg P_x   Общение между классификаторами (3) \(\neg\forall_x \bullet \neg P_x \equiv \exists_x \bullet P_x\) \neg\forall_x \bullet \neg P_x \equiv \exists_x \bullet P_x   Общение между классификаторами (4) \(\forall_x \bullet\neg P_x \equiv \neg\exists_x \bullet P_x\) \forall_x \bullet \neg P_x \equiv \neg\exists_x \bullet P_x Альтернативно \(\nexists_x\) Концепция Математика Латекс Примечания Отображение \(x \mapsto y\) или \((x, y)\) x \mapsto y или (x, y)   Функциональная подпись \(f:X \стрелка вправо Y\) f:X \стрелка вправо Y Сопоставление \(X\) (домен) с \(Y\) (совместный домен). То, что разрешено быть в \(X\), \(Y\), описывается предусловием, постусловием. 92\ \text{где}\ 1 \le x \le 5   Функция определяется как координаты \(\mathbf{квадрат} = \{(1,2), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)\}\) \mathbf{квадрат} = \{(1,2), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)\} Множество правых координат (здесь \(\{2,4,9,16,25\}\)) есть область значений функции Диапазон \(\mathrm{диапазон}(f)\) \mathrm{диапазон}(f) \(\mathrm{диапазон}(\{(1,a),(2,b),(3,c)\}) = \{a,b,c\}\) Подпись частичной функции \(f:X \nстрелка вправо Y\) f:X \nстрелка вправо Y Не все элементы из \(X\) сопоставляются с элементами из \(Y\) Концепция Математика Латекс Примечания История \(Н\) Н   История последовательных свидетелей \(S\) или \(\шляпа{S}\) S или Шляпа{S}   Завершение       T-объекты       Транзакция \(T_i\), \(T_j\), \(T_k\) Т_и , Т_й , Т_к   Подистория — транзакция \(H|T_i\) H|T_i Подистория, содержащая все операции в истории \(H\), которые выполняются в рамках транзакции \(T_i\) Подистория – т-объект \(Н|х\) Н|х Подистория, содержащая все операции в истории \(H\), которые выполняются над t-объектом \(x\) Префикс истории \(H = H' \circ H''\) H = H' \circ H'' \(H'\) является префиксом \(H''\) Фиксация       Прервать       Принудительное прерывание       Чтение       Запись       Операция \(\пи\) \pi   Обозначения для представления историй Концепция Математика Латекс Примечания Переменные \(х,у,г\) х, у, г   Переменная локальная копия или буфер \(\подчеркивание{х}\) \подчеркивание{х} Копия транзакции \(x\) Переменная версия \(\overset{n}{x}\) \overset{n}{x} Переменная \(x\) версии \(n\) Идентификаторы транзакций \(T_i\), \(T_j\), \(T_k\) Т_и , Т_й , Т_к   Идентификаторы повторных транзакций \(T_i'\), \(T_i''\), \(T_i'''\) Т_и' , Т_и'' , Т_и''' Транзакция \(T_i\) первая, вторая и т. д. повторная попытка Операция чтения \(г(х)в\) р(х)в Считывает значение \(v\) из переменной \(x\), может использоваться с конкретными значениями, например, \(r(x)1\) Операция записи \(ш(х)в\) ш(х)в Записывает значение \(v\) в переменную \(x\), может использоваться с определенными значениями, например, \(w(x)1\) Операция чтения-записи \(\{x \xстрелка вправо{v} y\}\) или \(\{y \xстрелка влево{v} x\}\) \{x \xстрелка вправо{v} y\} или \{y \xстрелка влево{v} x\} Сокращение последовательности \(r(x)v, w(y)v\) Операция чтения с явным членством \(r_i(x)v\) р_и(х)в Операция чтения выполнена в течение \(T_i\) Операция записи с явным членством 9ш, \mathit{op}_i Операция, операция чтения, операция записи, операция внутри \(T_i\) Членство в операции \(\mathit{op} \in T_i\) \mathit{op} \in T_i Сокращение для \(\mathit{op} \in H|T_i\) Начало транзакции \([\![\) или \(\llbracket\) [\![ или \llскобка \(\llbracket\) требуется пакет stmaryrd Фиксация транзакции \(]\!]\) или \(\rrbracket\) ]\!] или \rrbracket \(\rrbracket\) требуется пакет stmaryrd Прерывание транзакции \(\circlearrowright\) или \(\righttoleftarrow\) или \(\curvearrowleft\) \circlearrowright или \righttoleftarrow или \curvearrowleft в amsmath или mathabx или amssymb соответственно Слабый запуск транзакции \([\) [ Используется для обозначения транзакций с ослабленными свойствами, например. в конечном итоге последовательные транзакции Слабая фиксация транзакции \(]\) ] Используется для обозначения транзакций с ослабленными свойствами, например. в конечном итоге последовательные транзакции Безотзывная операция \(\mathit{irr}\) или \(\mathit{ir}\) \mathit{irr} или \mathit{ir}   Происходит до отношения \(\серроу\) \серроу Часто поворачивается примерно на 22 градуса для большей привлекательности Момент времени \(\тау\) \тау напр. транзакция \(T_i\) начинается в момент времени \(\tau_i\) Состояние на момент времени \(\{ х\!=\!1,у\!=\!2,z\!=\!3 \}\) \{ х\!=\!1,у\!=\!2,г\!=\!3 \}   Примеры     См. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт