Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС подмноТСства мноТСства Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 7: Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС подмноТСства мноТСства Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 7 β€” Знания.site

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСства Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

АлгСбра 8 класс. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° КР-1 ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ для УМК ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ, Поляков (Π£Π“Π›Π£Π‘Π›Π•ΠΠΠžΠ• ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅) + ΠžΠ’Π’Π•Π’Π«. Π¦ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ· пособия «АлгСбра 8 класс Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Β» (Π°Π²Ρ‚. ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ, Полонский, Π Π°Π±ΠΈΠ½ΠΎΠ²ΠΈΡ‡ ΠΈ Π΄Ρ€., ΠΈΠ·Π΄-Π²ΠΎ Β«Π’Π΅Π½Ρ‚Π°Π½Π°-Π“Ρ€Π°Ρ„Β») ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… цСлях.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 1 ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π² 8 классС (ΡƒΠ³Π».)

КР-1 ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ

Π’Π΅ΠΌΠ°. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1.
1. Π—Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ пСрСчислСния элСмСнтов мноТСство A = <>.
2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС подмноТСства мноТСства Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 7.
3. КакиС ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:
4. КакиС ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:
5. На Ρ„ΠΈΡ€ΠΌΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ 29 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. Из Π½ΠΈΡ… 15 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ язык, 21 β€” английский ΠΈ 8 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π° языка. Бколько Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΠΈΡ€ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· этих языков?
6. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСства А ΠΈ Π’ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
7. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство чисСл Π²ΠΈΠ΄Π° , Π³Π΄Π΅ n Π΅ N, счётно.
8. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ А содСрТит 25 элСмСнтов. ΠšΠ°ΠΊΠΈΡ… подмноТСств этого мноТСства большС: с Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ количСством элСмСнтов ΠΈΠ»ΠΈ с Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ количСством элСмСнтов?

ΠžΠ’Π’Π•Π’Π« Π½Π° ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ β„– 1

Π’ΠΠ Π˜ΠΠΠ’ 1.

β„– 1. A = <2, -7>
β„– 2. A = <1, -1, 7, -7>
β„– 3. 1) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 2) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 3) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 4) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ
β„– 4. 1) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 2) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 3) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 4) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 5) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 6) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.
β„– 5. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ
β„– 6. А = Π’, Ссли ΠΈΡ… объСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС совпадаСт. A βˆͺ B = . A ∩ B =.
β„– 7. ΠŸΡ€ΠΈ n = 1 β‡’ 1/2; ΠΏΡ€ΠΈ n = 2 β‡’ 1/4; ΠΏΡ€ΠΈ n = 3 β‡’ 1/6 ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. ВсС элСмСнты мноТСства Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, счётно.
β„– 8. 1 ΠΈ 25 (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†) β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ числа. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС.

Π’ΠΠ Π˜ΠΠΠ’ 2.

β„– 1. A = <4, -6>
β„– 2. A = <1, -1, 5, -5>

β„– 3. 1) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 2) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 3) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 4) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ
β„– 4. 1) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 2) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 3) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 4) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 5) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, 6) Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.
β„– 5. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 5 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ
β„– 6. C = D, Ссли ΠΈΡ… объСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС совпадаСт. C βˆͺ D = . C ∩ D =.
β„– 7. ΠŸΡ€ΠΈ k = 1 β‡’ 1/3; ΠΏΡ€ΠΈ k = 2 β‡’ 1/6; ΠΏΡ€ΠΈ k = 3 β‡’ 1/9 ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. ВсС элСмСнты мноТСства Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, счётно.
β„– 8. 1 ΠΈ 27 (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†) β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ числа. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС.

АлгСбра 8 класс. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 1 Β«ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈΒ» для УМК ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ, Поляков (Π£Π“Π›Π£Π‘Π›Π•ΠΠΠžΠ• ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅) + ΠžΠ’Π’Π•Π’Π«. Π¦ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ· пособия «АлгСбра 8 класс Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Β» (Π°Π²Ρ‚. ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ, Полонский, Π Π°Π±ΠΈΠ½ΠΎΠ²ΠΈΡ‡ ΠΈ Π΄Ρ€. , ΠΈΠ·Π΄-Π²ΠΎ Β«Π’Π΅Π½Ρ‚Π°Π½Π°-Π“Ρ€Π°Ρ„Β») ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… цСлях.

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΏΠΎ дискрСтной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств, трСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ равСнство мноТСств. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ равСнство мноТСств $M=N$ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ $Msubseteq N$ ΠΈ $Nsubseteq M$. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° равСнства $M=N$ мноТСств $M, N$ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π”Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами:

  1. ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-мноТСствСнных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ;
  2. с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ мноТСств;
  3. построСниСм Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π’Π΅Π½Π½Π°;
  4. построСниСм Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† принадлСТности;
  5. ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· этих способов Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ равСнство мноТСств:

$$left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$$

1. РавСнство Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств $M=N$ эквивалСнтно Π΄Π²ΡƒΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡΠΌ $Msubseteq N, Nsubseteq M$.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $left(Acap B

ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $xin left(Acap B
ight)ackslash C$, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ разности мноТСств $xin left(Acap B
ight)$ ΠΈ $x
otin C$. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ пСрСсСчСния мноТСств $xin left(Acap B
ight)$ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $xin A$ ΠΈ $xin B$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $xin A$ ΠΈ $x
otin C$, Ρ‚ΠΎ $xin Aackslash C$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $xin B$ ΠΈ $x
otin C$, Ρ‚ΠΎ $xin Backslash C$. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ пСрСсСчСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. Π§Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $left(Acap B
ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ пСрСсСчСния мноТСств $xin left(Aackslash C

ight)$ ΠΈ $xin left(Backslash C
ight)$. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ разности мноТСств $xin A$, $x
otin C$ ΠΈ $xin B, x
otin C$. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ пСрСсСчСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $xin left(Acap B
ight) ΠΈ x
otin C$, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ $xin left(Acap B
ight)ackslash C$. Π§Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. Из Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $Aleft(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.

2. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ основныС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ мноТСств.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ $Xackslash Y$ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… мноТСств $X, Y$ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ $Xackslash Y=Xcap overline$. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ $left(Acap B

ight)ackslash C=Acap Bcap overline$. Для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части: $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)=Acap overlinecap Bcap overline=Acap Bcap overline$. Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ лСвая ΠΈ правая части Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ совпали $Acap Bcap overline=Acap Bcap overline$. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

3. Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ мноТСств $left(Acap B
ight)ackslash C$ ΠΈ $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, равСнство $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ принадлСТности для Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ частСй Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ равСнства $left(Acap B

ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.

egin <|c|c|>hline A & B & C & Acap B & left(Acap B
ight)ackslash C & Aackslash C & Backslash C & left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight) \ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline end

Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)=left(00000010
ight)$.

5. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π˜Π½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Π°Ρ функция для Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

$$ <chi >_<left(Acap B
ight)ackslash C>left(x
ight)=<chi >_left(x
ight)-<chi >_left(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)$$ Π˜Π½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Π°Ρ функция для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части: $$<chi >_<left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=<chi >_<left(Aackslash C
ight)>left(x
ight)<chi >_<left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=left(<chi >_Aleft(x

ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)left(<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)+<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight). $$ Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй совпали $$<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight).$$ Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ мноТСство. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСства

Если А ΠΈ Π’ Π΄Π²Π° мноТСства, состоящиС ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ элСмСнтов, ΠΈ Π½Π΅ содСрТат Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… элСмСнтов, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСства Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹: А = Π’.

Если ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства А являСтся Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя элСмСнтом мноТСства Π’, Ρ‚ΠΎ мноТСство А Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ подмноТСством, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, мноТСства Π’. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ записываСтся Ρ‚Π°ΠΊ: А οƒŒ Π’ ΠΈΠ»ΠΈ Π’  А.

На рис. 2.1 Π΄Π°Π½Π° ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ этого опрСдСлСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ Π’Π΅Π½Π½Π° (Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π’Π΅Π½Π½Π° – это замкнутая линия, Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ располоТСны элСмСнты Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, Π° снаруТи – элСмСнты, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ этому мноТСству).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ подмноТСств:

мноТСство ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π‘Π°ΠΌΠ°Ρ€Ρ‹ являСтся подмноТСством мноТСства ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ России;

мноТСство всСх ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ подмноТСство мноТСства всСх ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²;

мноТСство Z всСх Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл Π΅ΡΡ‚ΡŒ подмноТСство мноТСства R всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Если ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ А οƒŒ Π’, Π° Π’ οƒŒ А, Ρ‚ΠΎ эти мноТСства Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹: А = Π’.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ нСпустоС мноТСство ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π΄Π²Π° подмноТСства: пустоС мноТСство  ΠΈ само мноТСство.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ мноТСство Π•. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ подмноТСства Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ мноТСством. На Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°Ρ… Π’Π΅Π½Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΠΈ символизируСт это ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ мноТСство.

НапримСр, рассмотрим мноТСство ΠΊΠ½ΠΈΠ³ Π² унивСрситСтской Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ΅. Π’ Π½Π΅Π³ΠΎ входят подмноТСства Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ…, худоТСствСнных ΠΊΠ½ΠΈΠ³, ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ искусству ΠΈ Ρ‚.Π΄. НаучныС Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° подмноТСства ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚.

Π΄. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство всСх ΠΊΠ½ΠΈΠ³ – это ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ мноТСство, содСрТащСС Π² сСбС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства ΠΊΠ½ΠΈΠ³.

Рассмотрим Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ мноТСство Π• состоит ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов: <a; b; c>. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ всС подмноТСства Π•: <a>, <b>, <c>, <a, b>, <a, c>, <b, c>, <a, b, c>, <>. Π˜Ρ… всСго 8, Ρ‚.Π΅. 2 3 . НС Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли элСмСнтов Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ n, Ρ‚ΠΎ подмноТСств Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2 n .

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ мноТСство А Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ подмноТСства ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства Π•. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° мноТСство

, состоящСС ΠΈΠ· элСмСнтов мноТСстваЕ, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… мноТСству А, называСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мноТСстваА Π΄ΠΎ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства Π• (рис. 2.2).

НапримСр, Ссли Π• = <Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа>, А = <Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ числа>, Ρ‚ΠΎ

= <Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ числа>.

3.. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ объСдинСниСм, Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств А ΠΈ Π’ называСтся мноТСство

элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ с οƒŽ Π‘ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π»ΠΈΠ±ΠΎ А, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π’, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΈ А ΠΈ Π’.

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° случай ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчного числа мноТСств.

На рис. 3.1 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π’Π΅Π½Π½Π° объСдинСния Π΄Π²ΡƒΡ… (Π°) ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… (Π±) мноТСств.

β–ΊΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.1.Π—Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ числовыС мноТСстваА= <3, 5, 7, 13>ΠΈΠ’= <2, 4, 5, 7, 9>. Найти мноТСствоБ=ΠοƒˆΠ’. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ Π’Π΅Π½Π½Π°.

РСшСниС. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π‘ состоит ΠΈΠ· всСх элСмСнтов входящих Π² мноТСство А ΠΈΠ»ΠΈ мноТСство Π’. Боюз Β«ΠΈΠ»ΠΈΒ» здСсь Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ принадлСТности Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΈ мноТСству А ΠΈ мноТСству Π’. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π‘=ΠοƒˆΠ’Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π’Π΅Π½Π½Π° (рис. 3.2). Для наглядности мноТСства ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ вмСстС с элСмСнтами. β—„

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈΠ»ΠΈ пСрСсСчСниСм, Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств А ΠΈ Π’ называСтся мноТСство

элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ с οƒŽ Π‘ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ А ΠΈ Π’.

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° случай ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчного числа мноТСств.

На рис. 3.3 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π’Π΅Π½Π½Π° пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… (Π°) ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… (Π±) мноТСств.

β–ΊΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.2.По условиям ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 3.1 Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ мноТСство

РСшСниС. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π‘ состоит ΠΈΠ· всСх элСмСнтов входящих ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π² А, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² Π’. Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· рис. 3.2 Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ элСмСнтами ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ 5 ΠΈ 7. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ

β–ΊΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.3. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ А = <1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72>– мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 72, Π° Π’ = <1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54>– мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 54. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° мноТСство Π‘ = <1, 2, 3, 6, 9, 18>являСтся пСрСсСчСниСм мноТСств А ΠΈ Π’, Π° числа, входящиС Π² мноТСство Π‘, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ дСлитСлями для 72 ΠΈ 54. Наибольший элСмСнт мноТСства Π‘, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 18, называСтся наибольшим ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ чисСл 54 ΠΈ 72. β—„

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСсСчСниС Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… нСпустых мноТСств ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пустым мноТСством.

Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «пСрСсСчСниС» ΠΏΠΎ сущСству гСомСтричСского происхоТдСния. НапримСр, Ссли прямая ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… пСрСсСчСниСм являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°.

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств А ΠΈ Π’ называСтся мноТСство

состоящСС ΠΈΠ· элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… мноТСству А, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… мноТСствуВ.

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСством А ΠΈ мноТСством Π’ часто называСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мноТСства Π’ Π΄ΠΎ мноТСства А.

β–ΊΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.4. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ мноТСства А = <3, 5, 7, 13>ΠΈ Π’ = <2, 4, 5, 7, 9>. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° разности этих мноТСств Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1.2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами. β€” ΠœΠ΅Π³Π°Π›Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

БСмСстр 1.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1.1. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ. Бпособы задания мноТСств. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСствами.

Вопросы ΠΈ задания для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ:

 

1. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ мноТСств, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² сСбя ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹. НапримСр, мСбСль – это мноТСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя стул, стол, сСрвант ΠΈ ΠΏΡ€.

2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ матСматичСских символов ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

a. 4 Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

b. 2,1 Π½Π΅ являСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом;

c. мноТСство Π’ являСтся подмноТСством мноТСства О;

d. мноТСства К ΠΈ Π‘ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹;

3. Π—Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ мноТСства А ΠΈ Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ способом, Ссли А ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}, Π’ = {b, b Î N, bΒ£6}. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ эти мноТСства с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими мноТСствами?

4. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ опрСдСлСния понятий «характСристичСскоС свойство мноТСства», Β«Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ мноТСства», «подмноТСство».

5. Π  – мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… 7 ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… 14. ВыяснитС, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· чисСл 13, 10, 5, 7, 14 Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ матСматичСскиС символы.

6. А – мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния . Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ А – пустоС мноТСство? ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… состоит ΠΈΠ·:

a. ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта;

b. Π΄Π²ΡƒΡ… элСмСнтов;

c. Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов.

7. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ мноТСство Π±ΡƒΠΊΠ² Π² словС Β«ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β» ΠΈ мноТСство Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π² записи числа 515353.

8. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой мноТСство Π₯, Ссли:

a.

b.

c. .

9. Π—Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ двумя способами мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой (рис. 1)

 

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ мноТСство А, элСмСнтами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, мСньшиС 8, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ символичСскиС записи характСристичСского свойства ΠΈ пСрСчислСния элСмСнтов мноТСства. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ: Π°) 5 А; Π±) 0 А; Π²) 8 А?

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ отсчСта, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А(5) ΠΈ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А: Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2, Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 2.

3. Π”Π°Π½ΠΎ мноТСство Π‘ = {213, 45, 324, 732, 136}. Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ подмноТСства мноТСства Π‘, состоящиС ΠΈΠ· чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅:

a. дСлятся Π½Π° 3;

b. Π½Π΅ дСлятся Π½Π° 4;

c. Π½Π΅ дСлятся Π½Π° 5.

4. А – мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… 20; Π’, Π‘, Π•, Н – подмноТСства мноТСства А, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’ состоит ΠΈΠ· чисСл, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 6, Π‘ – ΠΈΠ· чисСл, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 2, Π• – ΠΈΠ· чисСл, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 3, Н – ΠΈΠ· чисСл, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 2 ΠΈ 3 ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅ элСмСнты мноТСств А, Π’, Π‘, Π•, Н ΠΈ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ срСди Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ мноТСства.

5. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСствами всСх Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠ², ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ€ΠΎΠΌΠ±ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π½Π° рисункС. ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· мноТСств.

6. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ строчныС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹. Для ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€ мноТСств ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ А Ì Π’ ΠΈΠ»ΠΈ Π’ Ì А:

a. А={Π°, b, с, d}, Π’ = {Π°, с, d};

b. А = {Π°, b}, Π’ = {Π°, с, d};

c. А =Γ†, Π’ = Γ†;

d. А =Γ†, Π’ = {Π°, b, с};

7. КакиС ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€ мноТСств связаны ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ:

a. А = {Ρ…Γ· Ρ…ΓŽN, Ρ… > 2}, Π’ = {ΡƒΓ·Ρƒ Î N, Ρƒ > 2};

b. А ={Ρ…Γ· Ρ…ΓŽ R, Ρ… > 0}, Π’ ={ΡƒΓ·Ρƒ Î N, Ρƒ > 0};

c. А ={Ρ…Γ· Ρ…ΓŽ N, Ρ…2 > 4}, Π’ ={Ρ…Γ· Ρ…ΓŽN, Ρ…2 > 5};

d. А β€” мноТСство ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ 4, Π’ β€” мноТСство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² с ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ 1?

8. Π Π°Π²Π½Ρ‹ Π»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ мноТСства: А = {2, 4, 6} ΠΈ Π’ = {6, 4, 2}; А = {1, 2, 3} ΠΈ Π’ ={I, II, III}; А = {{1, 2} {2, 3}} ΠΈ Π’ = {2, 3, 1};

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1.2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами.

Вопросы ΠΈ задания для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ:

 

1. Π”Π°ΠΉΡ‚Π΅ опрСдСлСния понятиям «объСдинСниС мноТСств», «пСрСсСчСниС мноТСств». Π”Π°ΠΉΡ‚Π΅ этим опСрациям Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ объСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС мноТСств. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

3. Π”Π°ΠΉΡ‚Π΅ опрСдСлСния понятиям Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств», Β«Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСства». Π”Π°ΠΉΡ‚Π΅ этим опСрациям Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

4. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойства разности мноТСств.

5. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΈΠ· этого, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Β°

Β°

Β°

6. НайдитС пСрСсСчСниС, объСдинСниС, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Β° [1; 5] ΠΈ [3; 7];

° А= ;

Β° ;

Β° ΠΈ ;

° ; Ø..

7. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΈΠ· этого, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Β°

Β°

8. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ числового ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° [1; 5] ΠΈ числового ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° [3; 7].

9. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ условия, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… истинны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ высказывания:

Β° ;

Β° .

 

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

 

1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅ элСмСнты, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ мноТСства Π±ΡƒΠΊΠ² Π² словС Β«ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β» ΠΈ мноТСства Π±ΡƒΠΊΠ² Π² словС Β«Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β». Из ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… элСмСнтов состоит объСдинСниС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… мноТСств?

2. Π  – мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 18, Н – мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 24. ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ характСристичСскоС свойство элСмСнтов пСрСсСчСния мноТСств Π  ΠΈ Н ΠΈ пСрСчислитС Π΅Π³ΠΎ элСмСнты.

3. НайдитС пСрСсСчСниС ΠΈ объСдинСниС мноТСств К ΠΈ М, Ссли К – мноТСство Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, М – мноТСство Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ: Π°) 21 ; Π±) ; Π²) ; Π³) .

4. Найти объСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС мноТСств А ΠΈ Π’, Ссли ΠΈ .

5. Π’Ρ€ΠΈ мноТСства Π , Н, М ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ трСмя ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ (рис. 1). ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ области, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ мноТСство Π₯: Π°) М Н; Π±) Π  Н; Π²) (Π  Н) (Н М).

Рис. 1.

6. Π’ – мноТСство ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π’ – мноТСство ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Из ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ состоит объСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС мноТСств Π’ ΠΈ Π’. НарисуйтС ΠΏΠΎ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства.

7. Π”Π°Π½Ρ‹ мноТСства: А ={Π°, b, с, d, Π΅}, Π’ ={с, d, f, k}, Π‘ = {b, с, d, f, m}. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅ элСмСнты мноТСств К=(ΠΓˆΠ’)Γ‡Π‘ ΠΈ Π  =А È Π’Γ‡ Π‘. БодСрТится Π»ΠΈ элСмСнт m Π² мноТСствС К, Π° элСмСнт f Π² мноТСствС Π ?

8. А – мноТСство чисСл, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 2, Π’ – мноТСство чисСл, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 3, Π‘ – мноТСство чисСл, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 5. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ характСристичСскоС свойство элСмСнтов мноТСства (А Π’) Π‘ ΠΈ (А Π’) Π‘.

9. НайдитС объСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС мноТСств ΠΈ Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° β€” Π’Π΅Π½Π½Π°, Ссли:

Π°) А = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, Π’ = {8, 9, 10, 11};

Π±) А= {Ρ… Γ· Ρ… = 5ΠΏ, ΠΏ ÎN}, Π’= {Ρ… Γ· Ρ… = 2ΠΏ, ΠΏ ÎN};

Π³) А={Ρ… Γ· Ρ… = 2ΠΏ, ΠΏ ÎN}, Π’= {Ρ… Γ· Ρ… = 2ΠΏ, ΠΏ ÎN}.

10. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° числовой прямой ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ нСравСнства объСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС мноТСств Π  ΠΈ Q:

Π°) Π  = , Q= ;

Π±) Π  = , Q = ;

Π²) Π  = , Q =

11. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ А состоит ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 10, мноТСство Π’ – ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 5 Π΄ΠΎ20. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅ элСмСнты мноТСств А \ Π’ ΠΈ Π’ \ А.

12. Π  – мноТСство Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, М – мноТСство Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ мноТСства ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств Π  ΠΈ М ΠΈ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ характСристичСскоС свойство элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ этой разности. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π  \ М содСрТит числа 21; 17?

13. Π”Π°Π½ΠΎ мноТСство . Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° подмноТСства мноТСства Π₯ ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих подмноТСств Π΄ΠΎ мноТСства Π₯.

14. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ характСристичСскоС свойство элСмСнтов дополнСния мноТСства Π  Π΄ΠΎ мноТСства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ссли: Π°) Π  – мноТСство ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²; Π±) Π  – мноТСство равносторонних Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

15. НайдитС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСства Π£ Π΄ΠΎ мноТСства Π₯, Ссли:

a) Π₯ – мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ прямой АВ;

b) мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ;

c) Π₯ – мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, Π£ – мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, вписанного Π² этот ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

16. НайдитС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

d) мноТСства Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π΄ΠΎ мноТСства N;

e) мноТСства ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π΄ΠΎ мноТСства Z;

f) мноТСства Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл Π΄ΠΎ мноТСства Q.

2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой мноТСство А ΠΈ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ характСристичСскоС свойство элСмСнтов Π΅Π³ΠΎ дополнСния Π΄ΠΎ мноТСства R, Ссли: Π°) ; Π±) ; Π²) .

3. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° А, Π’ ΠΈ Π‘ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ø. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ области, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ мноТСства (А \ Π’) Π‘, А \ Π’ Π‘, А (Π’ \ Π‘), А Π’ \ Π‘. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ случая сдСлайтС ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ.

4. А – мноТСство ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π’ – мноТСство ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π‘ – мноТСство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². постройтС ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… мноТСств ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ области, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ мноТСства: Π°) А Π’ Π‘; Π±) Π’ Π‘; Π²) (А Π’)’ Π‘.

5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ мноТСства А, Π’ ΠΈ Π‘, ΠΈ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ области, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ мноТСства:

Π°) ΠΓˆΠ’\Π‘, Π±) А\Π‘ΓˆΠ’\Π‘; Π²) А\(Π’ΓˆΠ‘).

 


Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ поиском ΠΏΠΎ сайту:

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, 8 класс

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅
(8 класс, ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π°Π²Ρ‚. А.Π“.ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ, Π’.Π‘.Полонский, М.Π‘.Π―ΠΊΠΈΡ€)

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 1 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ выраТСния ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ содСрТат … ;

2) Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ выраТСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

3) допустимыми значСниями ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, входящих Π² Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

4) допустимыми значСниями ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, входящих Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ … ;

5) Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ β€” это Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ … ;

6) Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ … ;

7) допустимыми значСниями ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, входящих Π² Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ всС Ρ‚Π΅ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… … .

  1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) 4x βˆ’ 12; 6) ?

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ a, допустимыми значСниями ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ:

1) всС числа, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 7; 3) всС числа, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ βˆ’2, 3 ΠΈ 8;

2) всС числа, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 0 ΠΈ 1; 4) всС числа.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 2 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «ОсновноС свойство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) тоТдСствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ выраТСния, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния
ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… … ;

2) тоТдСством Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ равСнство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈ … ;

3) Ссли Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ … .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 15b8 ΠΈ 35b16, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 7a2b ΠΈ 21ab2, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно x2 βˆ’ 3x ΠΈ
    x βˆ’ 3, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  4. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 5x + 10 ΠΈ 5x, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  5. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 6a2 βˆ’ 2a ΠΈ
    7 βˆ’ 21a, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  6. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно b2 βˆ’ 4 ΠΈ
    b2 βˆ’ 4b + 4, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  7. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно a ΠΈ 3b, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‘ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ 6b4.

  8. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 4 ΠΈ a βˆ’ b, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‘ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ a(a βˆ’ b).

  9. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно m ΠΈ m + n, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‘ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ m2 + mn.

  10. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно x ΠΈ x + y, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‘ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ x2 βˆ’ y2.

  11. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно a ΠΈ a βˆ’ 3, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‘ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ 9 βˆ’ a2.

  12. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ m βˆ’ 2n Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ со Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ:

1) 3; 2) m; 3) 2n2; 4) m2 βˆ’ 4n2.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 3 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ … ;

2) Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ … .

  1. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 7a ΠΈ 4b, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 5a ΠΈ 4b.

  2. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 3a βˆ’ 9b ΠΈ 5ab, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 4b βˆ’ 3a ΠΈ 5ab.

  3. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    7m + n4 ΠΈ 3n, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    7m βˆ’ 2n4 ΠΈ 3n.

  4. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    6p βˆ’ k2 ΠΈ 8k3, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно k2 + 6p ΠΈ 8k3.

  5. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    9a βˆ’ 5 ΠΈ a2 βˆ’ b2, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    9b βˆ’ 5 ΠΈ a2 βˆ’ b2.

  6. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно a ΠΈ
    a βˆ’ 2, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 2 ΠΈ 2 βˆ’ a.

  7. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    m2 βˆ’ 20 ΠΈ m βˆ’ 4, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 4 ΠΈ
    4 – m.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 4 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями»

  1. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 5 ΠΈ n5, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 4 βˆ’ 5n2 ΠΈ n7.

  2. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно a βˆ’ 2b ΠΈ ab2, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 2a βˆ’ b ΠΈ a2b.

  3. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 3 ΠΈ b, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 4 ΠΈ b + 2.

  4. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 5 ΠΈ a βˆ’ b, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 2 ΠΈ a + b.

  5. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно c βˆ’ 6 ΠΈ c2 βˆ’ 4, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 3 ΠΈ c βˆ’ 2.

  6. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 2m2 ΠΈ m βˆ’ 5, ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 2m.

  7. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно b ΠΈ b βˆ’ 5, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 3b + 1 ΠΈ
    3b βˆ’ 15.

  8. НайдитС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно n ΠΈ n + 4, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно n2 ΠΈ
    n2 + 8n + 16.

  9. НайдитС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно a + 4 ΠΈ ab βˆ’ a2, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно b + 4 ΠΈ
    ab βˆ’ b2.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 5 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, … ;

2) частным Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, … ;

3) Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ возвСсти Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ … .

  1. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 13x4 ΠΈ y10, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно y5 ΠΈ 26x8.

  2. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 4b ΠΈ 45c3, ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 9c12.

  3. НайдитС частноС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 7 ΠΈ a2, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 28 ΠΈ a6.

  4. НайдитС частноС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 6m6 ΠΈ n8, ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 12m3n2.

  5. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 5a2 ΠΈ b4, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

  6. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно βˆ’2a6 ΠΈ c7:

1) Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ;

2) Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

  1. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно m βˆ’ n ΠΈ mn, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно m2 ΠΈ
    3m βˆ’ 3n.

  2. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно c βˆ’ 3 ΠΈ 5c + 7, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    25c2 βˆ’ 49 ΠΈ c2 βˆ’ 6c + 9.

  3. НайдитС частноС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° m2 βˆ’ 81n2 ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно m + 9n ΠΈ m.

  4. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно a2 βˆ’ 1 ΠΈ a βˆ’ 6, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 7a βˆ’ 42 ΠΈ a2 + a.

  5. НайдитС частноС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно
    ab βˆ’ ac ΠΈ 4 + 2a + a2, ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно c2 βˆ’ b2 ΠΈ a3 βˆ’ 8.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 6 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) Π΄Π²Π° уравнСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли … ;

2) Ссли ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ частям Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ) ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ … ;

3) Ссли ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ слагаСмоС пСрСнСсти ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ части уравнСния Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ, … ;

4) Ссли ΠΎΠ±Π΅ части уравнСния ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ (Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ) Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ … ;

5) Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, лСвая ΠΈ правая части ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ … ;

6) Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° … ;

7) Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° = 0, Π³Π΄Π΅ A ΠΈ B β€” ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выполнСния … ;

8) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° = 0 слСдуСт Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠΌ: … .

  1. Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ:

1) 3x βˆ’ 2 = 7; 2) x2 = 9; 3) x βˆ’ 5 = x βˆ’ 4; 4) |x| = βˆ’1.

  1. Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…:

1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ;

2) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

  1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) 0; 4) ;

2) = 0; 5) = 1;

3) = 0; 6) = 1.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 7 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌΒ»

    1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) для любого числа a, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа n a Π² стСпСни βˆ’n Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ … ;

2) для любого числа a, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, нулСвая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ числа a Ρ€Π°Π²Π½Π° … ;

3) Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 0n Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла ΠΏΡ€ΠΈ … ;

4) стандартным Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ числа Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ запись Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ … ;

5) Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a Β· 10n являСтся стандартным Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ числа, Ρ‚ΠΎ число n Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … .

    1. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ:

1) 7βˆ’5; 3) aβˆ’10;

2) 12βˆ’2; 4) (a + b)βˆ’12.

    1. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

    1. ВычислитС:

1) 6βˆ’2; 3) ; 5) 0,1βˆ’1; 7) 2βˆ’4; 9) (βˆ’1)βˆ’17;

2) 10βˆ’2; 4) ; 6) ; 8) (βˆ’2)βˆ’4; 10) (βˆ’35)0.

    1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² стандартном Π²ΠΈΠ΄Π΅ число:

1) 18; 3) 1920; 5) 0,007;

2) 350; 4) 0,23; 6) 0,058.

    1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ число Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни с основаниСм:

1) 8; 2) 4; 3) 2.

    1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ с Π½ΡƒΠ»Ρ‘ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния:

1) ; 2) ; 3) 9βˆ’10; 4) (βˆ’9)βˆ’10.

      1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни числа 10, сколько Π² 1 ΠΌΠΌ содСрТится:

1) сантимСтров; 2) Π΄Π΅Ρ†ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²; 3) ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ².

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 8 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Бвойства стСпСни с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ равСнство, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅:

1) основноС свойство стСпСни;

2) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ дСлСния стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями;

3) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ возвСдСния стСпСни Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ;

4) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ возвСдСния произвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ;

5) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ возвСдСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

1) xβˆ’5x7; 5) x βˆ’6 : x βˆ’10;

2) yβˆ’4y8yβˆ’2; 6) y4 : y7;

3) ccc βˆ’3; 7) (a βˆ’3)7;

4) bβˆ’8 : b2; 8) (a βˆ’2)βˆ’3.

  1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ p Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ равСнство:

1) x12x p = x βˆ’8;

2) x βˆ’5 : x p = x 3;

3) (x p)βˆ’4 = x 20?

  1. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния:

1) 4βˆ’5 Β· 46; 4) 6βˆ’9 : 6βˆ’7;

2) 513 : 515; 5) (3βˆ’1)4;

3) 2βˆ’7 Β· 24; 6) .

  1. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния:

1) ;

2) ?

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 9 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Ѐункция ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ … ;

2) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅ k β‰  0, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ … ;

3) Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽΡΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅ k β‰  0, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

4) части, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… состоит Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅ k β‰  0, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

5) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅ k β‰  0, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ … .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

  2. Π—Π°Π΄Π°Π½Π° функция . НайдитС:

1) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 9;

2) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ βˆ’6.

  1. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях располоТСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ?

  2. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π³Π΄Π΅ k β‰  0, располоТСн Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ числа k ΠΈ 0.

  3. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… значСниях x ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния функция:

1) ;

2) ?

  1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ k Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ A (βˆ’4; 13)?

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 10 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Ѐункция y = x2 ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ … ;

2) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ … ;

3) Π½ΡƒΠ»Ρ‘ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 являСтся число …;

4) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ … ;

5) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 являСтся Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

6) Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (0; 0) Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 Π½Π° Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ части, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

7) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 … .

  1. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях располоТСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2?

  2. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ βˆ’4?

  3. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 ΠΏΡ€ΠΈ x = 23 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 529. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = βˆ’23?

  4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 11 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. АрифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числа a Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

2) арифмСтичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числа a Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

3) Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, стоящСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

4) ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ … ;

5) дСйствиС нахоТдСния арифмСтичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· числа Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

6) равСнство выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈ условии … .

  1. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½:

1) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа 81;

2) арифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа 81?

  1. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния для любого Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа a?

  2. Бколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x2 = a ΠΏΡ€ΠΈ a 0? Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ….

  3. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x2 = a ΠΏΡ€ΠΈ a = 0.

  4. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x2 = a ΠΏΡ€ΠΈ a

  5. БущСствуСт Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа:

1) 16; 2) βˆ’9; 3) 0?

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) число 0,3 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числа 0,9, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ … ;

2) число 0,2 являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числа 0,04, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ … ;

3) число βˆ’5 Π½Π΅ являСтся арифмСтичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числа 25,
ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ … ;

4) число 10 являСтся арифмСтичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числа 100, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ … .

  1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) x2 = 400; 2) x2 = 10; 3) x2 = βˆ’49.

  1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) = 7 ; 2) = 0 ; 3) = βˆ’ 4 .

  1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… значСниях x ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) ?

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 12 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ элСмСнты»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) Ссли элСмСнт a ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству A, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ … ;

2) Ссли элСмСнт b Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству B, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ … ;

3) мноТСство, состоящСС ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

4) Π΄Π²Π° мноТСства A ΠΈ B Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли … ;

5) Ссли мноТСства A ΠΈ B Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ … ;

6) мноТСство ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ опрСдСляСтся … ;

7) Ссли мноТСство записано с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… скобок, Ρ‚ΠΎ порядок, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ выписаны Π΅Π³ΠΎ элСмСнты, … ;

8) мноТСство, Π½Π΅ содСрТащСС Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

9) мноТСство, Π½Π΅ содСрТащСС Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ символом … .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ символику, ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) число 7 являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом;

2) число βˆ’6 Π½Π΅ являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ пСрСчислСния элСмСнтов мноТСство:

1) Π±ΡƒΠΊΠ² слова Β«Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°Β»;

2) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, сумма числитСля ΠΈ знамСнатСля ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π° 7;

3) Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ числа 2020;

4) Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… простых чисСл.

  1. Π—Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ характСристичСского свойства ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ мноТСство, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ пустым мноТСством.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 13 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) мноТСство B Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ подмноТСством мноТСства A, Ссли … ;

2) Ссли мноТСство B являСтся подмноТСством мноТСства A, Ρ‚ΠΎ это Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: ;

3) пустоС мноТСство ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ подмноТСством … ;

4) любоС мноТСство A являСтся подмноТСством … ;

5) пСрСсСчСниСм мноТСств A ΠΈ B Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ мноТСство … ;

6) пСрСсСчСниС мноТСств A ΠΈ B ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: … ;

7) Ссли мноТСства A ΠΈ B Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… элСмСнтов, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… пСрСсСчСниСм являСтся … ;

8) пСрСсСчСниСм любого мноТСства A ΠΈ пустого мноТСства являСтся … ;

9) Ссли мноТСство A являСтся подмноТСством мноТСства B, Ρ‚ΠΎ пСрСсСчСниСм мноТСств A ΠΈ B являСтся … ;

10) объСдинСниСм мноТСств A ΠΈ B Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ мноТСство … ;

11) объСдинСниС мноТСств A ΠΈ B ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: … ;

12) объСдинСниСм любого мноТСства A ΠΈ пустого мноТСства являСтся … ;

13) Ссли мноТСство A являСтся подмноТСством мноТСства B, Ρ‚ΠΎ объСдинСниСм мноТСств A ΠΈ B являСтся … .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС подмноТСства мноТСства, состоящСго ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… чисСл Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ряда.

  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ мноТСство A Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 12 ΠΈ мноТСство B Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа 18. НайдитС пСрСсСчСниС ΠΈ объСдинСниС мноТСств A ΠΈ B.

  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ мноТСство A ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния x2 βˆ’ 2x = 0 ΠΈ мноТСство B ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния x2 βˆ’ 4 = 0. НайдитС пСрСсСчСниС ΠΈ объСдинСниС мноТСств A ΠΈ B.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 14 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «ЧисловыС мноТСства»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ … ;

2) мноТСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ … ;

3) мноТСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ … ;

4) мноТСство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ … ;

5) мноТСство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ … ;

6) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ … ;

7) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ бСсконСчной … ;

8) каТдая бСсконСчная пСриодичСская дСсятичная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ являСтся записью … ;

9) Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ … ;

10) Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ бСсконСчной … ;

11) ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ бСсконСчных … ;

12) мноТСством Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ объСдинСниС … ;

13) мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ … .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ символику, ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл являСтся подмноТСством мноТСства Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл;

2) мноТСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл являСтся подмноТСством мноТСства Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл;

3) мноТСство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл являСтся подмноТСством мноТСства Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) 4 β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

2) βˆ’4 β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

3) 4 β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число;

4) βˆ’4 β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число;

5) 4 β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

6) βˆ’4 β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

7) β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число;

8) β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число;

9) β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

10) 4 β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

11) βˆ’4 β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

12) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

13) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

14) β€” ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

15) β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

16) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

17) β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число;

18) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число?

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 15 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Бвойства арифмСтичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня»

  1. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ тоТдСствСнно Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ?

  2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ± арифмСтичСском ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ ΠΈΠ· стСпСни.

  3. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ± арифмСтичСском ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ ΠΈΠ· произвСдСния.

  4. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ± арифмСтичСском ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.

  5. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа a1 ΠΈ a2 Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a1a2. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ .

  6. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния:

1) ; 3) ;

2) ; 4) ?

  1. ВычислитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

  1. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

  1. УпроститС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

1) , Ссли x β‰₯ 0; 3) ;

2) , Ссли y ≀ 0; 4) , Ссли b ≀ 0.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 16 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «ВоТдСствСнныС прСобразования Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих арифмСтичСскиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΒ»

  1. ВынСситС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

  1. ВнСситС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня:

1) 5 ; 3) ;

2) βˆ’3 ; 4) 2 .

  1. УпроститС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ βˆ’ + .

  2. ΠžΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:

1) ; 2) ; 3) .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно a βˆ’ 16 ΠΈ + 4 , ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно c βˆ’ 1 ΠΈ
    c βˆ’ 2 + 1 , ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно + ΠΈ , ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  4. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно – ΠΈ βˆ’ , ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 17 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Ѐункция ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΒ»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся … ;

2) ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся … ;

3) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ располоТСн … ;

4) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, равная … ;

5) Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ соотвСтствуСт … ;

6) Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ соотвСтствуСт … .

  1. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

1) 25; 3) 10 000;

2) 0,69; 4) 6400?

3. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

1) 7; 3) 60;

2) 0,2; 4) 500?

4. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅:

1) ΠΈ ; 3) 9 ΠΈ ;

2) 2 ΠΈ ; 4) 2 ΠΈ .

5. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, располоТСнныС Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами:

1) ΠΈ ; 2) 2 ΠΈ .

6. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… значСниях x выполняСтся нСравСнство:

1) 7; 2)

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 18 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

2) ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ … ;

3) Ссли Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ax2 + bx + c = 0 хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· коэффициСнтов b ΠΈΠ»ΠΈ c Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

4) дискриминантом ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ax2 + bx + c = 0 Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

5) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ссли … ;

6) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ссли … ;

7) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня, Ссли … ;

8) Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ax2 + bx + c = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ … .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ:

1) ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ βˆ’11, Π° свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3;

2) ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Π° свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ βˆ’20;

3) ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ βˆ’8, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , Π° свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.

  1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) 3x2 βˆ’ 27 = 0; 4) x2 + 9x = 0;

2) 6,8x2 = 0; 5) 4x2 + 16x = 0;

3) 2x2 + 8 = 0; 6) 5x2 βˆ’ 7x = 0.

  1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1) x2 + 8x βˆ’ 9 = 0; 3) 3x2 βˆ’ 8x βˆ’ 3 = 0;

2) 2x2 + 7x βˆ’ 4 = 0; 4) x2 + 2x βˆ’ 5 = 0.

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 19 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°Β»

  1. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°.

  2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°.

  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) сумма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½Π° … ;

2) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ … ;

3) Ссли числа Ξ± ΠΈ Ξ² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ξ± + Ξ² = βˆ’b ΠΈ Ξ±Ξ² = c, Ρ‚ΠΎ эти числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями ….

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° сумма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния x2 βˆ’ 3x βˆ’ 14 = 0.

  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° сумма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния 2x2 + 36x + 5 = 0.

  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния x2 βˆ’ 8x + 3 = 0.

  4. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния 7x2 + 4x βˆ’ 2 = 0.

  5. НайдитС коэффициСнт b уравнСния x2 + bx + c = 0, Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’2 ΠΈ 14.

  6. НайдитС коэффициСнт c уравнСния x2 + bx + c = 0, Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’5 ΠΈ 8.

  7. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’7 ΠΈ 4.

  8. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ

Π”ΠΈΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚ 20 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Β»

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдлоТСния:

1) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄Π° … ;

2) ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ … ;

3) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Ссли … ;

4) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ нСльзя Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Ссли … .

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

  2. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ βˆ’3x2 + bx + c ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ 11 ΠΈ βˆ’17. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ этот Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

  3. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ прСдставили Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния 5(x βˆ’ 7)(x + 18). ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π°?

  4. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’6 ΠΈ 0,4, Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ βˆ’ . Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

  5. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½:

1) x2 + 3x βˆ’ 10;

2) βˆ’x2 + x + 2;

3) 3x2 βˆ’ 4x + 1.

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 4a βˆ’ 12 ΠΈ
    a2 βˆ’ 5a + 6, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно b2 + 5b βˆ’ 14 ΠΈ b2 βˆ’ 4b + 4, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 2c2 + 5c βˆ’ 3 ΠΈ c2 βˆ’ 9, ΠΈ сократитС Π΅Ρ‘.

ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Python для получСния всСх подмноТСств Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°

Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Python для создания всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… подмноТСств Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° n Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π² спискС.
 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:  

  Π’Π²ΠΎΠ΄:  {1, 2, 3}, n = 2
  Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄:  [{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}]
  Π’Π²ΠΎΠ΄:  {1, 2, 3, 4}, n = 3
  Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄:  [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}] 

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ обсуТдали Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π½Π°ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅. Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ основноС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ удСляСтся ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π°ΠΌ Pythonic для ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΠΈ всСх подмноТСств Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°.

Python ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ itertools.combinations(iterable, n) , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ n ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ элСмСнтов ΠΈΠ· Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΠΈ всСх подмноТСств Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ использования этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Код β„– 1: 
ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π² качСствС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π² itertools.combinations(), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ список ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ.
 

Python3

Π˜ΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ Itertools

DEF FINDSUBSETSES (S, N):

.cers 4.1945 9004.

 

s = { 1 , 2 , 3 }

n = 2

ΠŸΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (findsubsets (s, n))

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄:

 [1, 2), (1, 3), (2, 3)] 

9

9

9

  
Код #2 : 
ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρƒ описанному Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ: сопоставлСниС с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ itertools. combinations().
 

Python3

 

ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ itertools

from itertools import combinations, chain

 

def findsubsets(s, n):

     return list ( map ( set , itertools.combinations(s, n)))

      

s = { 1 , 2 , 3 }

n = 2

 

print (findsubsets(s, n))

Output:  

 [{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}] 

 

  
Код β„– 3 :
Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² использовании Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π° for Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ itertools. combinations() ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π² список.
 

Python3

 

import itertools

def findsubsets(s, n):

     return [ set (i) for i in itertools.combinations(s, n)]

      

s = { 1 , 2 , 3 , 4 }

N = 3

(findsububsubsubsubes (SINSSUBSUBSISBESISBESBESBES (SINSSUBSISBESISBESBESBESBESBESBESBESISBESBESBESBSISISISBSIPSISBSISBSISBSIPSISBESISBESBESBESBESBESISBES.

 [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}] 

Код #4:

Много Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° этот вопрос Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²ΡŒΡŽ, Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π· использования ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ модуля. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ itertools:

Python3

def subsets(numbers):

     if numbers = = []:

         return [[ ]]

x = ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° (числа [ 1 :])

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ 444 40044 + 40044

0045 [[Числа [ 0 ]] + y для y в x]

9006

40044,

9006

444444444. 10045.10045.10045.10045.10045 .

     return [x for x in subsets(numbers) if len (x) = = n]

 

if __name__ = = '__main__' :

     numbers = [ 1 , 2 , 3 , 4 ]

N = 3

(CASTER_OF_OF_SIVER_SIVER_SIVER_SIVER_SISIVER_SISIVER_SISISISISIRIS_OF_OF_OF_OF_OF_SISISISISISIRE_SISISISISIRE_SISISISIFITION0045

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄:

 [[2, 3, 4], [1, 3, 4], [1, 2, 4], [1, 2, 3]] 

ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Набор

Power Set прСдставляСт собой Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх подмноТСств Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° .

ОК? Понял? Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚...

ВсС подмноТСства

Для Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° {a,b,c}:

  • ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ {} являСтся подмноТСством {a,b,c}
  • А это подмноТСства: {a}, {b} ΠΈ {c}
  • И это Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ подмноТСства: {a,b}, {a,c} ΠΈ {b,c}
  • И {a,b,c} являСтся подмноТСством {a,b,c}

И вмСстС ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Power Set ΠΈΠ· {a,b,c}:

P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, { a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Π”ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ± этом ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… способах Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° элСмСнтов (порядок элСмСнтов Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния), Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠ»ΠΈ всС.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π’ ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π±Π°Π½Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅, шоколадноС ΠΈ Π»ΠΈΠΌΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎΠ΅.

 

Π§Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅?

  • Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ: {}
  • А ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ просто Π±Π°Π½Π°Π½: {Π±Π°Π½Π°Π½}. Или просто {шоколад} ΠΈΠ»ΠΈ просто {Π»ΠΈΠΌΠΎΠ½}
  • Или Π΄Π²Π° вмСстС: {Π±Π°Π½Π°Π½,шоколад} ΠΈΠ»ΠΈ {Π±Π°Π½Π°Π½,Π»ΠΈΠΌΠΎΠ½} ΠΈΠ»ΠΈ {шоколад,Π»ΠΈΠΌΠΎΠ½}
  • Или всС Ρ‚Ρ€ΠΈ! {Π±Π°Π½Π°Π½, шоколад, Π»ΠΈΠΌΠΎΠ½}

Вопрос: Ссли Π² ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΈ со вкусом ΠΊΠ»ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹? РСшСниС ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ .

Бколько подмноТСств

Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ! Если исходный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ состоит ΠΈΠ· n элСмСнтов, Ρ‚ΠΎ Π² Power Set Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2 n элСмСнтов

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: {a,b,c} состоит ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов (

a , b ΠΈ c ).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Power Set Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ 2 3 = 8, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ происходит, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ выяснили Ρ€Π°Π½Π΅Π΅.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Число элСмСнтов мноТСства часто записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ |S|, поэтому, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° S состоит ΠΈΠ· n элСмСнтов, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

|P(S)| = 2 n


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: для Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° S={1,2,3,4,5} сколько Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ мощности?

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, S ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 5 элСмСнтов, поэтому:

|P(S)| = 2 n = 2 5 = 32

Π§Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ количСство Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ стСпСни 2

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ число!

А Π²ΠΎΡ‚ ΠΈ самоС ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Power Set, Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл (ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ n Ρ†ΠΈΡ„Ρ€), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Β«1Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ элСмСнт Π² это подмноТСство».

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, "101" замСняСтся Π½Π° 1 a , 0 b ΠΈ 1 c , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с Π½Π°ΠΌΠΈ {a,c}

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

  Π°Π·Π±ΡƒΠΊΠ° ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ
0 000 { }
1 001 {с}
2 010 {Π±}
3 011 {Π±, Π²}
4 100 {Π°}
5 101 {Π°, Π²}
6 110 {Π°, Π±}
7 111 {Π°, Π±, Π²}

Ну, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π² порядкС, Π½ΠΎ всС ΠΎΠ½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ПоСдим! Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ вкуса ΠΌΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ: Π±Π°Π½Π°Π½, шоколад, Π»ΠΈΠΌΠΎΠ½ ΠΈ ΠΊΠ»ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠ° . Бколькими Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ?

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π°Ρ€ΠΎΠΌΠ°Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ: {b, c, l, s}. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚:

  • {} (Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ, Π²Ρ‹ Π½Π° Π΄ΠΈΠ΅Ρ‚Π΅)
  • {b, c, l, s} (любой вкус)
  • {b, c} (Π±Π°Π½Π°Π½ ΠΈ шоколад Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ)
  • ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Β«binaryΒ»:

  ΠΌΠ»Ρ€Π΄ Π±Π°Ρ€Ρ€Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ
0 0000 {}
1 0001 {с}
2 0010 {Π»}
3 0011 {л,с}
... ... ΠΈ Ρ‚.Π΄.. ... ΠΈ Ρ‚. Π΄. ...
12 1100 {Π±, Π²}
13 1101 {б, в, с}
14 1110 {Π±, Π², Π»}
15 1111 {б, в, л, с}

И Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ (Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ):

P = { {}, {b}, {c}, {l}, {s}, {b,c}, {b,l}, { б, с}, {с, л}, {с, с}, {л, с}, {б, с, л}, {б, с, с},
{b,l,s}, {c,l,s}, {b,c,l,s} }


БиммСтрия

Π’Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ подмноТСство пусто, Π° Π² послСднСм Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС элСмСнты?

Но Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ подмноТСствС Π΅ΡΡ‚ΡŒ "s", Π° Π² прСдпослСднСм подмноТСствС Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС , ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ "s"?

   

На самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ этот стол посСрСдинС, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт своСго Ρ€ΠΎΠ΄Π° симмСтрия.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ числа (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ использовали для получСния всСх этих ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ красивый ΠΈ элСгантный ΡƒΠ·ΠΎΡ€.

A Π―Ρ€ΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Power Set ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ Π² Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… областях.

Π― Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π» Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π° всС мноТитСля) числа.

Π― ΠΌΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ числа: я ΠΌΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ 2, 3, 4, 5, 6, 7 ΠΈ Ρ‚. Π΄...

Π­Ρ‚ΠΎ заняло ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… чисСл.

Но ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Π»ΠΈ я ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ?

ΠŸΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅ ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ числа 510 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2Γ—3Γ—5Γ—17 (ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ инструмСнт простого мноТитСля).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, всС Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ· 510 это:

  • 2, 3, 5 ΠΈ 17,
  • 2Γ—3, 2Γ—5 ΠΈ 2Γ—17, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅
  • 2Γ—3Γ—5 ΠΈ 2Γ—3Γ—17 ΠΈ ...
  • .. Π°Π³Π°! Как ΠΌΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎΠ΅, ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Power Set!

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ мСня ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ:

  2,3,5,17 ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ 510
0 0000 { } 1
1 0001 {17} 17
2 0010 {5} 5
3 0011 {5,17} 5 Γ— 17 = 85
4 0100 {3} 3
5 0101 {3,17} 3 Γ— 17 = 51
  . .. ΠΈ Ρ‚. Π΄. ... ... ΠΈ Ρ‚. Π΄. ... ... ΠΈ Ρ‚. Π΄. ...
15 1111 {2,3,5,17} 2 Γ— 3 Γ— 5 Γ— 17 = 510


И Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚? ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ числа 510 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, 170, 255 ΠΈ 510 (Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ βˆ’1, βˆ’2, βˆ’3 ΠΈ Ρ‚. Π΄.). ). Π‘ΠΌ. инструмСнт All Factors Tool .

Автоматизированный

Π― Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ ΡƒΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ силы доступными для вас Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ способом.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ мощности, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Power Set Maker.

 

 

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ LaTeX β€” Konrad Siek

Основная идСя этого справочника β€” ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΡƒ ΠΏΠΎ написанию матСматичСских Π² LaTeX для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ Π½Π΅ особо Π² Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, я. КаТдая Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° содСрТит описаниС ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ символа ΠΈΠ»ΠΈ понятия, прСдставлСниС символ, исходный ΠΊΠΎΠ΄ LaTeX ΠΈ, ΠΏΠΎ ТСланию, нСсколько странных Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅Π½Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ½Π³. Π― надСюсь ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ‚ΡŒ этот справочник, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ закончатся ВсСлСнная, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π½Π΅Π΅. Π’ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚:

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ LaTeX
    • ИмСна ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
    • ВСория мноТСств
    • Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ произвСдСния
    • Π’ΠΈΠΏΡ‹
    • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹
    • Π‘ΡƒΠΌΠΊΠΈ
    • ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
    • Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
      • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ эквивалСнтности
      • ЛогичСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹
      • Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΠ²
    • ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • Вранзакционная ΠΏΠ°ΠΌΡΡ‚ΡŒ
      • Нотация для прСдставлСния историй
    • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹
    • Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅

Π― Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни полагаюсь Π½Π° Π³Π»Π°Π²Ρƒ 2 досьС Π­Π½Π΄Ρ€ΡŽ Π“Π°Ρ€Ρ€ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ : VDM ΠΈ Z для большСй части тСорСтичСского содСрТания Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†. Π― Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ использовал Π ΠΈΡ‡Π°Ρ€Π΄Π° Книга Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² Π₯Π°ΠΌΠΌΠ°ΠΊΠ° для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ описания. Detexify ΠΈ Wikibooks β€” бСсцСнныС источники для LaTeX . Π²Π΅Ρ‰ΠΈ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ознакомлСния с символами LaTeX ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ The ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ список символов LaTeX Π‘ΠΊΠΎΡ‚Ρ‚Π° Пакина.

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°, связанных с Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΠΌΡΡ‚ΡŒΡŽ. Один пСрСчисляСт Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· символы, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π“Π΅Ρ€Ρ€Π°ΡƒΠΈ ΠΈ Капалкой Π² β€‹β€‹ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ°Ρ… Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ памяти ΠΊΠ°ΠΊ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ Π½Π° эту Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ довольно часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ‰ΠΈ, относящиСся ΠΊ истории ВМ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ списки символов Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ Павлом Π’. ВойцСховским для Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ истории ВМ (ΠΈΠ»ΠΈ трассы) Π±Π΅Π· нСобходимости Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠΈ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ символы здСсь ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ JavaScript ΠΏΠΎ sphinx.ext.mathjax ΠΈΠ»ΠΈ sphinx.ext.jsmath ΠΈ поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ LaTeX . Π― Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ символы Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ здСсь это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ прСкрасно Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² LaTeX , ΠΈ Π² этом случаС я ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Ρƒ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

Π― ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽ (автоматичСски Π³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽ) исходники для LaTeX для всСх понятия, Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π² примСчаниях. Π˜Ρ… источником ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΠ² ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π² ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ исходный ΠΊΠΎΠ΄ ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ мСню (спасибо Sphinx ΠΈ MathJax ). Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ для вторая ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅.

Π­Ρ‚ΠΎ (постоянная) Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π² процСссС, поэтому ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚. Π΄. особСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ.

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
Наборы \(А,Π‘,Π‘\) А,Π‘,Π‘ прописныС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹
Π˜Π½Π΄Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) А_1, А_2, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, А_Π½ индСкс ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любого Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, Π½Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число
Выписки \(П, Π’, Π , Π‘\) П, Π’, Π , Π‘ Π·Π°Π±Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚: пСрСставлСнныС ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Senatus Populusque Romanus
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ \(Π (Ρ…), Q(Ρ…), R(Ρ…), S(Ρ…)\) P(x), Q(x), R(x), S(x)  
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
Набор \(\{Π°,Π±,Π²\}\) \{Π°,Π±,Π²\} ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ
ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚ \(\{\,x \mid P(x)\,\}\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\{\,x : P(X)\,\}\) \{\,x \mid P(x)\,\} ΠΈΠ»ΠΈ \{\,x : P(X)\,\} ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° (описанноС нСявно свойством \(P\)) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстноС ΠΊΠ°ΠΊ нотация построСния Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°
БСсконСчный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ \(\{1,2,3,\ldots\}\) \{1,2,3,\lddots\} ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅
БСсконСчный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ \(\{\ldots,1,2,3,\ldots\}\) \{\ldots,1,2,3,\ldots\} ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅
ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ \(\varnothing\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\emptyset\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\{\}\) 9{|Π‘|}\)
Участник \(Ρ… \Π² А\) Ρ…\дюйм А  
НС Ρ‡Π»Π΅Π½ \(Ρ… \Π½Π΅\Π² А\) Ρ… \Π½Π΅\Π² А  
ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ \(A \subset B\) ΠΈΠ»ΠΈ \(A \subseteq B\) A \subset B ΠΈΠ»ΠΈ A \subseteq B  
НС подмноТСство \(A \Π½Π΅\подмноТСство B\) ΠΈΠ»ΠΈ \(A \nподмноТСство B\) A \nsubseteq B ΠΈΠ»ΠΈ A \nsubseteq B  
Π£ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ равСнство \(А = Π’\) А = Π’ \(A \subseteq B \text{ ΠΈ } B \subseteq A\)
Боюз \(А\Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠ° Π‘\) А\Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠ° Π’  
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚ΠΎΠΊ \(А \ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΠΊΠ° Π‘\) А\ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΠΊΠ° Π’  
РаспрСдСлСнный ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ союз \(\большая Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠ° Π‘Π‘\) \bigcup Π½Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π²Π΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΡ‚Π°Π»ΡŒ свСрх Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ²
РаспрСдСлСнный ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ пСрСкрСсток \(\большая Π½Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π²Π΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΡ‚Π°Π»ΡŒ\) \bigcap Π½Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π²Π΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΡ‚Π°Π»ΡŒ свСрх Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ²
Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(A - B\) ΠΈΠ»ΠΈ \(A \setminus B\) A - B ΠΈΠ»ΠΈ A \setminus B \(\{\,x \mid x \in A \text{ ΠΈ } x \not\in B\,\}\)
ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(А+Π’\) А+Π’ \((А - Π’) \стакан (Π’ - А)\)
ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹     \(A \cap B = \varnothing\)
Π£ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Π΄ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€) \(\mathbf{card}(S)\) ΠΈΠ»ΠΈ \(|S|\) \mathbf{card}(S) ΠΈΠ»ΠΈ |S| количСство Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² \(S\)
ЛогичСский Π½Π°Π±ΠΎΡ€ 9+ = \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
Набор Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл \(\mathbb{Z}\) \mathbb{Z}  
Набор Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл \(\mathbb{Q}\) \mathbb{Q} \(\frac{a}{b}\), \(a\) - Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, \(b\) - Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, \(b \neq 0\)
Набор Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл \(\mathbb{R}\) \mathbb{R}  
Набор простых чисСл \(\mathbb{N}\) \mathbb{N}  
Набор ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл \(\mathbb{I}\) \mathbb{I}  
Набор комплСксных чисСл \(\mathbb{C}\) \mathbb{C}  
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
Заказная ΠΏΠ°Ρ€Π° \((Π°,Π±)\) (Π°, Π±)  
Π’Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ \((Π°,Π±,Π²)\) (Π°, Π±, Π²)  
N-ΠΊΠΎΡ€Ρ‚Π΅ΠΆ \((e_1, \ldots, e_n)\) (e_1, \ldots, e_n)  
Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(А \Ρ€Π°Π· Π’\) 9ΠΏ \(A \times A \times \ldots \times A = \{x_1,x_2,\ldots, x_n | x_1,x_2,\ldots,x_n \in A\}\)
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ \(\mathrm{DEFINEDTYPE} = \{2,4,8\}\) \mathrm{DEFINEDTYPE} = \{2,4,8\} Π½Π°Π±ΠΎΡ€, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ явно ΠΈΠ»ΠΈ посрСдством понимания Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°
Π’ΠΈΠΏ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° \(\mathbb{B} \times \mathbb{B}\) \mathbb{B} \times \mathbb{B} Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΊΠΎΡ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ΠΉ (здСсь, \(\{(tt,tt),(tt,ff),(ff,ff),(ff,tt)\}\))
Π‘ΠΈΠ³Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с двумя Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ \(\textrm{func}:\mathbb{R} \times\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) \textrm{func}:\mathbb{R} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} Ρ‚ΠΈΠΏ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² - это Ρ‚ΠΈΠΏ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°
НумСрованный Ρ‚ΠΈΠΏ \(\textrm{сигнал} = \textrm{ΠšΠ ΠΠ‘ΠΠ«Π™}~|~\textrm{ΠžΠ ΠΠΠ–Π•Π’Π«Π™}~|~\textrm{ЗЕЛЕНЫЙ}\) \textrm{сигнал} = \textrm{ΠšΠ ΠΠ‘ΠΠ«Π™}~|~\textrm{ΠžΠ ΠΠΠ–Π•Π’Π«Π™}~|~\textrm{ЗЕЛЕНЫЙ} Ρ‚ΠΈΠΏ объСдинСния Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Π»ΠΎΠ²
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ \(\mathbf{абс}\ {-20} = 20\) \mathbf{абс}\ {-20} = 20 ΡƒΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ/цСлочислСнной части \(\mathbf{этаТ}\ 2,5 = 2\) \mathbf{этаТ}\ 2,5 = 2 ΡƒΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ цСлочислСнного дСлСния \(5\ \mathbf{div}\ 2 = 2\) 5\ \mathbf{div}\ 2 = 2 Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° \(5\ \mathbf{rem}\ {-2} = 1\) 5\ \mathbf{Ρ€Π΅ΠΌ}\ {-2} = 1 Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ модуля \(5\ \mathbf{mod}\ {-2} = -1\) 5\ \mathbf{mod}\ {-2} = -1 Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
РавСнство \(Π° = Π±\) Π° = Π± Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
НСравСнство \(Π°\neq Π±\) Π°\neq Π± Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
МСнСС \(Π° > Π±\) Π° > Π± Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
МСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(Π° \Π³Π΅ Π±\) Π°\Π³Π± Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ \(Π° < Π¬\) Π° < Π± Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(Π°\Π»Π΅ Π±\) Π°\Π»Π΅ Π± Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
Π‘ΡƒΠΌΠΊΠ° \([\![ Π°,Π±,Π±,Π²,Π³]\!]\) [\![ Π°,Π±,Π±,Π²,Π³]\!] Π§Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ, нСупорядочСнно, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ \llbracket ΠΈ \rrbracket ΠΈΠ· ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π° stmaryrd Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅
Π‘Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊ \(\mathbf{количСство}[\![a,b,b,c,d]\!] b = 2\) \mathbf{количСство}[\![a,b,b,c,d]\!] b = 2 Бколько Ρ€Π°Π· элСмСнт \(b\) встрСчаСтся Π² ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π΅
ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сумки \(\mathbf{ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°}(B)\) \mathbf{card}(B) ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² \(B\)
ΠœΡƒΡ„Ρ‚Π° для мСшков (1) \([\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,b, Π², Π², Π³ ]\!]\) [\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,b,c ,с,Π³ ]\!] МаксимальноС количСство элСмСнтов
ΠœΡƒΡ„Ρ‚Π° для мСшков (2) \([\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,a,b, Π±,Π±,Π²,Π²,Π²,Π³,Π² ]\!]\) [\![ a,b,b,c,d ]\!] \cup [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,a,b,b ,b,c,c,c,d,c ]\!] Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° элСмСнтов
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мСшков \([\![ a,b,b,c,d ]\!] \cap [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,c, Π΄ ]\!]\) [\![ a,b,b,c,d ]\!] \cap [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![ a,b,c,d ]\!] ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ элСмСнта
Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° сумок \([\![ a,b,b,c,d ]\!] - [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![b,c ]\!] \) [\![ a,b,b,c,d ]\!] - [\![ a,b,c,c,d ]\!] = [\![b,c ]\!] Π’Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ количСство элСмСнтов Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ мСшкС ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
ΠŸΡƒΡΡ‚Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ [] []  
ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (явноС объявлСниС) \([Π°,Π±,Π±,Π³]\) [Π°,Π±,Π±,Π³] Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ порядкС. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС.
ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (нСявноС объявлСниС) \([\,Π΅\сСрСдина Π (Π΅)\,]\) [\,Π΅ \сСрСдина Π (Π΅)\,] ПониманиС мноТСства (нСявно описанноС свойством \(P\))
Π“Π»Π°Π²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ \(\mathbf{hd}~A\) \mathbf{hd}~A \(\mathbf{hd}~[ a,b,b,c ] = a\)
Π₯вост ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ \(\mathbf{tl}~A\) \mathbf{tl}~A \(\mathbf{tl}~[a,b,b,c] = [b,b,c]\)
Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ \(\mathbf{len}~A\) \mathbf{len}~A \(\mathbf{len}~[ a,b,b,c ] = 4\)
Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ элСмСнта (ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ) \(А(Π½)\) А(Π½) Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ \(n\)-ΠΉ элСмСнт ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
Π˜Π½Π΄Π΅ΠΊΡΡ‹ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ \(\mathbf{inds}~A\) \mathbf{inds}~A \(\mathbf{inds}~[ a,b,c ] = \{1,2,3\}\)
Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ \(\mathbf{элСмСнты}~А\) \mathbf{elems}~A \(\mathbf{elems}~[ a,b,b,c ] = \{a,b,c\}\)
ОбъСдинСниС ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ     Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π²Π°Ρ€ΡŒΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² зависимости ΠΎΡ‚ обозначСния
Бписок \(\) ΠΈΠ»ΠΈ \((a,b,c)\) ΠΈΠ»ΠΈ \(abc\) ΠΈΠ»ΠΈ (a,b,c) ΠΈΠ»ΠΈ abc ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ обозначСниями
ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉ список \(()\) ()  
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (И) \(\ΠΊΠ»ΠΈΠ½\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\&\) ΠΈΠ»ΠΈ \(. \) \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ \& ΠΈΠ»ΠΈ . ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ \с ΠΈΠ· ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π° cmll вмСсто \& .
ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π° (Π˜Π›Π˜) \(\vee\) ΠΈΠ»ΠΈ \(|\) ΠΈΠ»ΠΈ \(+\) \vee ΠΈΠ»ΠΈ | ΠΈΠ»ΠΈ +  
ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ (НЕ) \(\ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\сим\) \neg ΠΈΠ»ΠΈ \sim  
Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\стрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\стрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\supset\) \rightarrow ΠΈΠ»ΠΈ \rightarrow ΠΈΠ»ΠΈ \supset \(\text{посылка} \rightarrow \text{Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅}\)
Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚ \(\leftrightarrow\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\leftrightarrow\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\equiv\) \leftrightarrow ΠΈΠ»ΠΈ \leftrightarrow ΠΈΠ»ΠΈ \equiv  

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ эквивалСнтности

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡ (соСдинСния) \((P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \экв (Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ P)\) (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \экв (Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ P)  
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡ (Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹) \((P \vee Q) \equiv (Q \vee P)\) (P \vee Q) \экв (Q \vee P)  
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡ (эквивалСнты) \((P \leftrightarrow Q) \equiv (Q \leftrightarrow P)\) (P \leftrightarrow Q) \экв (Q \leftrightarrow P)  
Ассоциация (ΡΠΎΡŽΠ·Ρ‹) \(P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ (Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R) \экв (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R\) P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ (Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R) \экв (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R  
Ассоциация (Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹) \(P \vee (Q \vee R) \equiv (P \vee Q) \vee R\) P \vee (Q \vee R) \equiv (P \vee Q) \vee R  
РаспрСдСлСниС (1) \(P \vee (Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R) \экв (P \vee Q) \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ (P \vee R)\) P \vee (Q \vee R) \equiv (P \vee Q) \wee (P \vee R)  
РаспрСдСлСниС (2) \(P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ (Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R) \экв (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \vee (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R)\) P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ (Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R) \экв (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \vee (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R)  
Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ Π”Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½Π° (ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) \(\neg(P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \equiv \neg P \vee \neg Q\) \neg(P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \equiv \neg P \vee \neg Q  
Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ Π΄Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½Π° (ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹) \(\neg(P \vee Q) \equiv \neg P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ \neg Q\) \neg(P \vee Q) \equiv \neg P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ \neg Q  
Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ \(\ΠΎΡ‚Ρ€\ΠΎΡ‚Ρ€ П \экв П\) \neg\neg P \equiv P  
Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ \(P \vee \neg P \equiv tt\) P \vee \neg P \equiv tt  
ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅ \(P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ \neg P \equiv ff\) P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ \neg P \equiv ff  
ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(P \rightarrow Q \equiv \neg P \vee Q\) P \rightarrow Q \equiv \neg P \vee Q  
Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² (1) \((P \leftrightarrow Q) \equiv (P \rightarrow Q) \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ (Q \rightarrow P)\) (P \leftrightarrow Q) \equiv (P \rightarrow Q) \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ (Q \rightarrow P)  
Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² (2) \((P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge Q) \vee (\neg Q \wedge \neg P)\) (P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge Q) \vee (\neg Q \wedge \neg P)  
Экспорт \((P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \rightarrow R \equiv P \rightarrow (Q \rightarrow R)\) (P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q) \rightarrow R \equiv P \rightarrow (Q \rightarrow R)  
Или-ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(P \vee P \экв P\) П\Π²Π΅Π΅ П\экв П  
Или-ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ (истина) \(P \vee tt \equiv tt\) P \vee tt \equiv tt  
Или-ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ (лоТь) \(P \vee ff \equiv P\) P \vee ff\экв P  
А-Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(П \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ П \экв П\) П\ΠΊΠ»ΠΈΠ½ П\экв П  
И-ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ (истина) \(П \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Ρ‚Ρ‚ \эквив П\) П\ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Ρ‚Ρ‚\экв П  
И-ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ (лоТь) \(P \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ ff \equiv ff\) P \ ΠΊΠ»ΠΈΠ½ ff \ эквив ff  

ЛогичСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
ΠœΠΎΠ΄ΡƒΡ ПонСнс \(P \rightarrow Q, P \vdash Q\) P \rightarrow Q, P \ vdash Q Π­Π½Π΄Ρ€ΡŽ Π“Π°Ρ€Ρ€ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ \uptherefore ΠΈΠ· MnSymbol
ΠœΠΎΠ΄ΡƒΡ ВоллСнс \(P \rightarrow Q, \neg Q \vdash \neg P\) P \rightarrow Q, \neg Q \vdash \neg P  
ГипотСтичСский силлогизм \(P \rightarrow Q, Q \rightarrow R \vdash P \rightarrow R\) P \rightarrow Q, Q \rightarrow R \vdash P \rightarrow R  
ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ Π”ΠΈΠ»Π»Π΅ΠΌΠ° \(P \rightarrow Q \wedge R \rightarrow S, P \vee R \vdash Q \vee S\) P \rightarrow Q \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ R \rightarrow S, P \vee R \vdash Q \vee S  
Π Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π”ΠΈΠ»Π»Π΅ΠΌΠ° \(P \rightarrow Q \wedge R \rightarrow S, \neg Q \vee \neg S \vdash \neg P \vee \neg R\) P \rightarrow Q \wedge R \rightarrow S, \neg Q \vee \neg S \vdash \neg P \vee \neg R  
Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(П, Q \Π²Ρ‚ΠΈΡ€Π΅ П \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q\) П, Q\vdash P\ΠΊΠ»ΠΈΠ½ Q  
Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(P \vdash P \vee Q\) П\Π²Ρ‚ΠΈΡ€Π΅ П\Π²Π΅Π΅ Q  

Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΠ²

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (всС) \(\forall_x\) \forall_x  
Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ спСцификация \(\forall_x \пуля P_x\) \forall_x \bullet P_x \(\forall_x \пуля \mathrm{Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ}(Ρ…) \стрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ \mathrm{смСртный}(Ρ…)\)
Π­ΠΊΠ·ΠΈΡΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (сущСствуСт) \(\сущСствуСт_x\) \exists_x  
Π­ΠΊΠ·ΠΈΡΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ спСцификация \(\exists_x \пуля P_x\) \exists_x \bullet P_x \(\exists_x \пуля \mathrm{Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚}(Ρ…) \ΠΊΠ»ΠΈΠ½ \mathrm{Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ}(Ρ…)\)
Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² (1) \(\forall_x \in X\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\forall_x : X\) \forall_x \in X ΠΈΠ»ΠΈ \forall_x : X ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(X\) β€” это Π½Π°Π±ΠΎΡ€, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ β€” Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΈΠΏ
Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² (2) \(\exists_x \in X\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\exists_x : X\) \exists_x \in X ΠΈΠ»ΠΈ \exists_x : X ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(X\) β€” это Π½Π°Π±ΠΎΡ€, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ β€” Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΈΠΏ
ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ классификаторами (1) \(\forall_x \bullet P_x \equiv \neg\exists_x \bullet \neg P_x\) \forall_x \bullet P_x \equiv \neg\exists_x \bullet \neg P_x ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ \(\nexists_x\)
ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ классификаторами (2) \(\neg\forall_x \bullet P_x \equiv \exists_x \bullet \neg P_x\) \neg\forall_x \bullet P_x \equiv \exists_x \bullet \neg P_x  
ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ классификаторами (3) \(\neg\forall_x \bullet \neg P_x \equiv \exists_x \bullet P_x\) \neg\forall_x \bullet \neg P_x \equiv \exists_x \bullet P_x  
ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ классификаторами (4) \(\forall_x \bullet\neg P_x \equiv \neg\exists_x \bullet P_x\) \forall_x \bullet \neg P_x \equiv \neg\exists_x \bullet P_x ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ \(\nexists_x\)
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(x \mapsto y\) ΠΈΠ»ΠΈ \((x, y)\) x \mapsto y ΠΈΠ»ΠΈ (x, y)  
Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ подпись \(f:X \стрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Y\) f:X \стрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Y БопоставлСниС \(X\) (Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½) с \(Y\) (совмСстный Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½). Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² \(X\), \(Y\), описываСтся прСдусловиСм, постусловиСм. 92\ \text{Π³Π΄Π΅}\ 1 \le x \le 5  
Ѐункция опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ \(\mathbf{ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚} = \{(1,2), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)\}\) \mathbf{ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚} = \{(1,2), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)\} ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (здСсь \(\{2,4,9,16,25\}\)) Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ \(\mathrm{Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½}(f)\) \mathrm{Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½}(f) \(\mathrm{Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½}(\{(1,a),(2,b),(3,c)\}) = \{a,b,c\}\)
Подпись частичной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f:X \nстрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Y\) f:X \nстрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Y НС всС элСмСнты ΠΈΠ· \(X\) ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ с элСмСнтами ΠΈΠ· \(Y\)
ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ \(Н\) Н  
Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… свидСтСлСй \(S\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\шляпа{S}\) S ΠΈΠ»ΠΈ Шляпа{S}  
Π—Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅      
T-ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹      
Вранзакция \(T_i\), \(T_j\), \(T_k\) Π’_ΠΈ , Π’_ΠΉ , Π’_ΠΊ  
ΠŸΠΎΠ΄ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ β€” транзакция \(H|T_i\) H|T_i ΠŸΠΎΠ΄ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ, содСрТащая всС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² истории \(H\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(T_i\)
ΠŸΠΎΠ΄ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ – Ρ‚-ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ \(Н|Ρ…\) Н|Ρ… ΠŸΠΎΠ΄ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ, содСрТащая всС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² истории \(H\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°Π΄ t-ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ \(x\)
ΠŸΡ€Π΅Ρ„ΠΈΠΊΡ истории \(H = H' \circ H''\) H = H' \circ H'' \(H'\) являСтся прСфиксом \(H''\)
Ѐиксация      
ΠŸΡ€Π΅Ρ€Π²Π°Ρ‚ΡŒ      
ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅      
Π§Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅      
Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ      
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ \(\ΠΏΠΈ\) \pi  

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ для прСдставлСния историй

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЛатСкс ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ \(Ρ…,Ρƒ,Π³\) Ρ…, Ρƒ, Π³  
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ локальная копия ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ \(\ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅{Ρ…}\) \ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅{Ρ…} Копия Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(x\)
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ вСрсия \(\overset{n}{x}\) \overset{n}{x} ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ \(x\) вСрсии \(n\)
Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ \(T_i\), \(T_j\), \(T_k\) Π’_ΠΈ , Π’_ΠΉ , Π’_ΠΊ  
Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ \(T_i'\), \(T_i''\), \(T_i'''\) Π’_ΠΈ' , Π’_ΠΈ'' , Π’_ΠΈ''' Вранзакция \(T_i\) пСрвая, вторая ΠΈ Ρ‚. Π΄. повторная ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ°
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ чтСния \(Π³(Ρ…)Π²\) Ρ€(Ρ…)Π² Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(v\) ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ \(x\), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, \(r(x)1\)
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ записи \(ш(Ρ…)Π²\) ш(Ρ…)Π² ЗаписываСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(v\) Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ \(x\), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, \(w(x)1\)
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ чтСния-записи \(\{x \xстрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ{v} y\}\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\{y \xстрСлка Π²Π»Π΅Π²ΠΎ{v} x\}\) \{x \xстрСлка Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ{v} y\} ΠΈΠ»ΠΈ \{y \xстрСлка Π²Π»Π΅Π²ΠΎ{v} x\} Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ \(r(x)v, w(y)v\)
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ чтСния с явным члСнством \(r_i(x)v\) Ρ€_ΠΈ(Ρ…)Π² ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ чтСния Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(T_i\)
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ записи с явным члСнством 9ш, \mathit{op}_i ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ, опСрация чтСния, опСрация записи, опСрация Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ \(T_i\)
ЧлСнство Π² ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ \(\mathit{op} \in T_i\) \mathit{op} \in T_i Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ для \(\mathit{op} \in H|T_i\)
Начало Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \([\![\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\llbracket\) [\![ ΠΈΠ»ΠΈ \llскобка \(\llbracket\) трСбуСтся ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ stmaryrd
Ѐиксация Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(]\!]\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\rrbracket\) ]\!] ΠΈΠ»ΠΈ \rrbracket \(\rrbracket\) трСбуСтся ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ stmaryrd
ΠŸΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(\circlearrowright\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\righttoleftarrow\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\curvearrowleft\) \circlearrowright ΠΈΠ»ΠΈ \righttoleftarrow ΠΈΠ»ΠΈ \curvearrowleft Π² amsmath ΠΈΠ»ΠΈ mathabx ΠΈΠ»ΠΈ amssymb соотвСтствСнно
Π‘Π»Π°Π±Ρ‹ΠΉ запуск Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \([\) [ Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для обозначСния Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ослаблСнными свойствами, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Блабая фиксация Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(]\) ] Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для обозначСния Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ослаблСнными свойствами, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
БСзотзывная опСрация \(\mathit{irr}\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\mathit{ir}\) \mathit{irr} ΠΈΠ»ΠΈ \mathit{ir}  
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ \(\сСрроу\) \сСрроу Часто поворачиваСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π½Π° 22 градуса для большСй ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ \(\Ρ‚Π°Ρƒ\) \Ρ‚Π°Ρƒ Π½Π°ΠΏΡ€. транзакция \(T_i\) начинаСтся Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ \(\tau_i\)
БостояниС Π½Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ \(\{ Ρ…\!=\!1,Ρƒ\!=\!2,z\!=\!3 \}\) \{ Ρ…\!=\!1,Ρƒ\!=\!2,Π³\!=\!3 \}  
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹     Π‘ΠΌ.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *

Β© 2015 - 2019 ΠœΡƒΠ½ΠΈΡ†ΠΈΠΏΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°Π·Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ «Валовская срСдняя школа»

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π° сайта