Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Подобные треугольники
- Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 300, В = 600.
Так как катет, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы, то
Но С другой стороны, Итак,
Из основного тригонометрического тождества получаем:
Так как , то:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 450, В = 450.
Данный треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника, поэтому
По теореме Пифагора откуда
Следовательно,
Составим таблицу значений sin , cos , tg для углов , равных 300, 450, 600:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Пропорциональные отрезки
Определение подобных треугольников
Отношение площадей подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Средняя линия треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Практические приложения подобия треугольников
О подобии произвольных фигур
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Подобные треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 647, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 652, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1018, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1020, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1022, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1023, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1057, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1089, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1090, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1242, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
«Значение синуса, косинуса и тангенса некоторых углов»
Конспект урока по теме:
«Значения синуса, косинуса и тангенса
некоторых углов»
tgα
Учитель: Цуроева Пятимат Амирхановна
п Володарского 2021г
Тема урока: «Значения синуса, косинуса и тангенса
некоторых углов».
Тип урока: изучение нового материала
Формы организации деятельности на уроке: эвристическая беседа, самостоятельная работа.
Методы и методические приeмы: дифференцированный, частично-поисковый, исследовательский.
Цель урока:
— закрепление знаний по теме «Cинус, косинус и тангенса острого угла», изучение и первичное закрепление новых знаний по темe урока, вызвать интереc черeз создание проблемной cитуации.
Задачи урока:
— повторение ранее изученного материалa;
— овлaдение знаниями и умениями, необходимыми для применения в практической деятельности, изучения cмежных дисциплин.
«Ты можешь стать умнее тремя путями: путем опыта – это самый горький путь, путем подражания – это самый легкий путь, путем размышления – это самый благородный путь».
Ход урока.
1. Орг. момент.
2. Проверка
домашнего задания.
3. Повторение пройденного материала.
Устная работа.
1 Сформулируйте теорему Пифагора.
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
теорема Пифагора для прямоугольного
треугольника АВС. .
1. Дайте определение косинуса острого угла.
«В прямоугольном треугольнике косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе».
, .
2. Дайте определение синуса острого угла.
«В прямоугольном треугольнике синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе».
, .
3. Дайте определение тангенса острого угла.
«В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катету к прилежащему называется тангенсом острого угла».
, .
4. Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?
Практическая работа:
· А=70°, В — ? В=43°, А — ?
· А=60°, В — ? А=30°, В — ? В=45°, В — ?
5. Повторить формулы приведения.
· ;
· ;
· tgctgα;
· ctg.
Практическая работа:
· ;
· ;
· ; tgctg60°;
· ctg; tg ctg45°.
6. Повторить свойство прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°.
«В прямоугольном треугольнике напротив угла 30° лежит катет равный половине гипотенузы»
- Найти катет АС, используя теорему Пифагора:
- Рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом равным а:
Найти гипотенузу АВ.
Физминутка
для глаз.
Закрываем мы глаза, вот какие чудеса.
А теперь мы их откроем, через речку мост построим.
Нарисуем букву «О», получается легко.
Вверх поднимем, глянем вниз,
Вправо, влево повернем
Заниматься вновь начнем.
4. Изучение нового материала.
Рассмотрим равносторонний треугольник AВС, у которого сторона равна a
AB = BC = AC = a
Опустим высоту BD на основание треугольника, она же будет являться медианой и биссектрисой.
∠BAD=60, ∠ABD=30, AD=, AB=a
По теореме Пифагора найдем сторону BD
BD2=AB2−AD2=a2−=a2, BD=
Запишем, чему равен синус, косинус и тангенс угла в 60°
сos 60=cos∠BAD ==
tg 60tg∠BAD ===
В прямоугольном треугольнике ABD угол ABD равен 30°, стороны известны.
∠BAD=60, ∠ABD=30, AD=, AB=a, BD=
Запишем, чему равен косинус, синус и тангенс угла 30°
cos 30 = cos=
sin 30=
tg 30==
Чтобы найти значения косинуса, синуса и тангенса угла, равного 45°, рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными а
, , AC = BC = a
По теореме Пифагора найдем сторону АВ
AB2=AC2+BC2,
AB2=a2+a2,
AB2=2a2,
AB=a
Найдем, чему равен косинус, синус и тангенс угла 45°
cos 45 = cos==
sin 45===
tg 45= =1
Таким образом, можно заполнить таблицу значений синусов, косинусов и тангенсов для углов тридцать, шестьдесят и сорок пять градусов
Приложение 1
30 | 45 | 60 | |
sin | |||
cos | |||
tg | 1 |
Таблицу значений синуса, косинуса и
тангенса углов 30°, 45° и 60° нужно выучить.
· Игровой момент
Как легко запомнить значения синуса, косинуса ….
С помощью руки.
Как вы понимаете значения синуса и косинуса табличных углов надо знать наизусть, но иногда правило, которое мы изучим на уроке, может помочь вам в трудную минуту. Оказывается, значения синусов и косинусов углов находятся на вашей ладони Посмотрите на свою руку (любую), и разведите как можно сильнее пальцы.
Сейчас мы с вами измерим углы между вашими пальцами.
1. Находим на ладони «Бугор Луны» (на продолжении мизинца и большого пальца)
2. Возьмите прямоугольный треугольник с углами 30 и 45.
Приложите угол 30 вершиной к Бугру Луны…
Оказывается, это угол между мизинцем и безымянным пальцами.
3. Далее самостоятельно…
Посмотрим, что же у вас получилось:
— между мизинцем и безымянным – 30о;
— между мизинцем и средним – 45о;
— между мизинцем и указательным – 60о;
—
между
мизинцем и большим – 90о.
И это у всех людей без исключения!
Обратите внимание:
мы начинаем считать от мизинца и если пальцы
считать лучами, то направление мизинца
соответствует началу отсчёта, то есть 0 .
А теперь давайте введём нумерацию пальцев:
— мизинец № 0 – соответствует 0о;
— безымянный № 1 – соответствует 30о;
— средний № 2 – соответствует 45о;
— указательный № 3 – соответствует 60о;
— большой № 4 – соответствует 90о.
Запомните формулу:
т.е. половина квадратного корня из номера (n) пальца!
Приложение 2
5.
Практическая часть.
· Задача
«В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а и углом 60° найдите катет, противолежащий этому углу».
Решение: так как необходимо найти противолежащий катет, то воспользуемся для его нахождения синусом 60°. , .
Ответ: .
· Задача
В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 5 см. Найдите катеты.
Решение:
Т.к. треугольник прямоугольный равнобедренный, то углы А и В равны, и равны по 45°. АС= АВ·sin45°=5·=.
Ответ: .
Приложение 3
6 Самостоятельная работа
№ 1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, . Найдите АВ.
№ 2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, . Найдите АС.
Физминутка
С тригонометрией сейчас
Знакомы даже звери.
Правила все говорят
Четко и уверенно.
И попросим мы зверят
Рассказать их для ребят.
Как мы косинус считаем,
Ты спроси медузу.
— Делим прилежащий катет
На гипотенузу.
Синус вычислить сумеет
Зверь любой из чащи:
На гипотенузу делит
Катет противолежащий
7. Закрепление Приложение 4
ТЕСТ
Знaчениe cинуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов
1 Задание
Выберите верные формулы для угла в 30°:
Выберите несколько из 6 вариантов ответа:
1) 2) 3) 4) 5) 6)
2 Задание
Выберите верные формулы для угла в 60°:
Выберите несколько из 6 вариантов ответа:
1) 2) 3) 4) 5) 6)
3 Задание
Выберите верные формулы для угла в 45°:
Выберите несколько из 6 вариантов ответа:
1) 2) 3) 4) 5) 6)
4 Задание
Выберите верные формулы для вычисления tg α в треугольнике, изображенном на рисунке:
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) 2) 3) 4)
5 Задание
Составьте верные формулы для элементов прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке:
Укажите соответствие для всех 4 вариантов ответа:
1) 2) 3) 4) 1
__ __ __ __
6 Задание
Вставьте пропущенное слово:
Синусом
острого угла прямоугольного треугольника называется отношение ___________
катета к гипотенузе.
Выберите один из 2 вариантов ответа:
1) прилежащего
2) противолежащего
7 Задание
Вставьте пропущенное слово:
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение ___________ катета к гипотенузе.
Выберите один из 2 вариантов ответа:
1) прилежащего
2) противолежащего
8 Задание
Для какого угла ?
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) 30° 2) 45° 3) 60°
9 Задание
Для какого угла ?
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) 30° 2) 45° 3) 60°
10 Задание
Для какого угла ?
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) 30° 2) 45° 3) 60°
Ответы:
1) (1 б.
)
Верные ответы: 2; 3; 5;
2) (1 б.) Верные ответы: 1; 4; 6;
3) (1 б.) Верные ответы: 2; 4; 6;
4) (1 б.) Верные ответы: 2; 4;
5) (1 б.) Верные ответы: 4; 1; 2; 3;
6) (1 б.) Верные ответы: 1;
7) (1 б.) Верные ответы: 1;
8) (1 б.) Верные ответы: 1;
9) (1 б.) Верные ответы: 2;
10) (1 б.) Верные ответы: 3;
8 Рефлексия:
1. Какие основные понятия мы повторили и использовали при изучении нового материала?
· Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
· Теорему Пифагора.
· Сумму острых углов прямоугольного треугольника.
· Свойства равнобедренного треугольника.
· Формулы приведения.
2. Что нового мы узнали на уроке?
· Определили значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
· Итог урока:
.
Пусть наши достижения не будут
такими крупными, как достижения великих ученых, но ведь это
наши, собственные открытия!
· Домашнее задание: учить пункт 69, № 591,593.
Функции острых углов
Характеристики подобных треугольников , первоначально сформулированные Евклидом, являются строительными блоками тригонометрии. Теоремы Евклида утверждают, что если два угла одного треугольника имеют ту же меру, что и два угла другого треугольника, то эти два треугольника подобны. Также в подобных треугольниках сохраняются мера угла и отношения соответствующих сторон. Поскольку все прямоугольные треугольники содержат угол 90°, все прямоугольные треугольники, содержащие другой угол равной величины, должны быть подобны. Следовательно, отношения соответствующих сторон этих треугольников должны быть равны по величине. Эти отношения приводят к тригонометрические соотношения . Строчные греческие буквы обычно используются для обозначения мер угла.
Неважно, какая буква используется, но довольно часто используются две из них: альфа (α) и тета (θ).
Углы могут быть измерены в одной из двух единиц: градусов или радиан . Связь между этими двумя мерами может быть выражена следующим образом:
Следующие отношения определяются с помощью окружности с уравнением x 2 + y 2 = r 2 и см. рисунок 1 .
Помните, что если углы треугольника остаются прежними, а стороны пропорционально увеличиваются или уменьшаются в длину, эти соотношения остаются прежними. Следовательно, тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках зависят только от величины углов, а не от длин сторон.
Косеканс , секанс и котангенс являются тригонометрическими функциями , которые являются обратными значениями синуса , косинуса и тангенса соответственно.
Если тригонометрические функции угла θ объединены в уравнение и уравнение справедливо для всех значений θ, то уравнение известно как тригонометрическое тождество . Используя тригонометрические отношения, показанные в предыдущем уравнении, можно построить следующие тригонометрические тождества.
Символически (sin α) 2 и sin 2 α взаимозаменяемы. Из рисунка (а) и теоремы Пифагора x 2 + y 2 = r 2 .
Эти три тригонометрических тождества чрезвычайно важны:
Пример 1 : Найдите sin θ и tan θ, если θ — острый угол (0° ≤ θ ≤ 90°) и cos θ = ¼.
Пример 2 : Найти sin θ и cos θ, если θ — острый угол (0° ≤ θ ≤ 90°) тангенс θ = 6,
Если тангенс угла равен 6, то отношение стороны, противоположной углу, и стороны, прилежащей к углу, равно 6. Поскольку все прямоугольные треугольники с этим отношением подобны, гипотенузу можно найти, выбрав 1 и 6 как значения двух катетов прямоугольного треугольника, а затем применить теорему Пифагора.
Тригонометрические функции состоят из трех пар, которые называются кофункциями . Синус и косинус являются кофункциями. Тангенс и котангенс являются кофункциями. Секанс и косеканс являются кофункциями. Из прямоугольного треугольника XYZ можно вывести следующие тождества:
Используя рисунок 2, обратите внимание, что ∠X и ∠Y дополняют друг друга.
Рисунок 2
Опорные треугольники.
Таким образом, в целом:
Пример 3: Каковы значения шести тригонометрических функций для углов, составляющих 30°, 45° и 60° (см. рисунок 3 и таблицу 1 ).
| ТАБЛИЦА 1 | Тригонометрические коэффициенты для углов 30°, 45° и 60° |
Рисунок 3
Чертежи для примера 3
.
геометрия — Расчеты синусов и косинусов рассчитываются только для острых углов треугольников?
спросил
Изменено 6 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 639раз
$\begingroup$
Таким образом, вычисления синуса и косинуса вычисляются только для острых непрямых углов треугольников. Это правильно?
Это с math3.org:
Определение 1 Для любого угла q (0 £ q £ 90 °) мы можем найти синус или косинус этого угла, построив прямоугольный треугольник с одной вершиной угла q. Синус равен длине стороны, противоположной q, деленной на длину гипотенузы треугольника. Косинус равен длине стороны, примыкающей к q, деленной на длину гипотенузы треугольника.
Таким образом, мы можем найти синус или косинус любого q в диапазоне 0 £ q £ 90°.
Определение 2 Нарисуйте единичный круг, в котором круг радиуса 1 с центром в начале координат в 2-мерной системе координат. Учитывая угол q, найдите точку на окружности, которая расположена под углом q от начала координат. (Согласно стандартному соглашению, углы измеряются против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси.) Sin(q) можно определить как координату y этой точки. Cos(q) можно определить как координату x этой точки. Таким образом, мы можем найти синус или косинус любого действительного значения q (q Î Â).
Итак, мои вопросы:
- Что такое грех и косинус? Вы вычисляете только синус и косинус прямоугольных треугольников? Что делать, если треугольник не правильный? Существуют ли еще отношения между сторонами данного угла?
- Когда вы вычисляете sin(85 градусов), что именно мы вычисляем? Мы вычисляем противоположную сторону/гипотенузу прямоугольного треугольника?
- геометрия
$\endgroup$
$\begingroup$
92$, которую вы можете назвать теоремой Пифагора.