Что такое уравнение: определение, решение, примеры
В данной публикации мы рассмотрим, что такое уравнение, а также, что значит его решить. Представленная теоретическая информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
- Определение уравнения
- Корень уравнения
- Равносильные уравнения
Определение уравнения
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которе требуется найти.
Это число обычно обозначается маленькой латинской буквой (чаще всего – x, y или z) и называется переменной уравнения.
Другими словами, равенство является уравнением только в том случае, когда содержит букву, значение которой требуется вычислить.
Примеры простейших уравнений (одна неизвестная и одно арифметическое действие):
- x + 3 = 5
- y – 2 = 12
- z + 10 = 41
В более сложных уравнениях переменная может встречаться несколько раз, также, в них могут содержаться скобки и более сложные математические операции.
Например:
- 2x + 4 – x = 10
- 3 · (y – 2) + 4y = 15
- x2 + 5 = 9
Также, в уравнении может быть несколько переменных, например:
- x + 2y = 14
- (2x – y) · 2 + 5z = 22
Корень уравнения
Допустим, у нас есть уравнение 2x + 6 = 16.
Оно обращается в верное равенство при x = 5. Это значение (число) и является корнем уравнения.
Решить уравнение – это значит найти его корень или корни (в зависимости от количества переменных), либо доказать, что их нет.
Обычно, корень пишется так: x = 3. Если корней несколько, они просто перечисляются через запятую, например: x1 = 2, x2 = -5.
Примечания:
1. Некоторые уравнения могут быть не решаемы.
Например: 0 · x = 7. Какое бы мы число не подставили вместо x, получить верное равенство не получится.
В этом случае в ответе пишется: “уравнение не имеет корней”.
2. Некоторые уравнения имеют бесконечное множество корней.
Например: y = y. В данном случае решением является любое число, т.е. x ∈ R, x ∈ Z, x ∈ N, где N, Z и R – это натуральные, целые и действительные числа, соответственно.
Равносильные уравнения
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
Например: x + 3 = 5 и 2x + 4 = 8. У обоих уравнений решением является число два, т.е. x = 2.
Основные равносильные преобразования уравнений:
1. Перенос какого-то слагаемого из одной части уравнений в другую с изменением его знака на противоположный.
Например: 3x + 7 = 5 равносильно 3x + 7 – 5 = 0.
2. Умножение/разделение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
Например: 4x – 7 = 17 равносильно 8x – 14 = 34.
Уравнение, также, не изменится, если к обеим его частям прибавить/отнять одно и то же число.
3. Приведение подобных слагаемых.
Например: 2x + 5x – 6 + 2 = 14 равносильно 7x – 18 = 0.
Презентация на тему Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений.
Презентация на тему Презентация на тему Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений., предмет презентации: Разное. Этот материал содержит 62 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас — поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.
ru в закладки!
интерактивный проект
по математике
подготовка к ЕГЭ по теме:
классификация уравнений.
Что такое уравнение
Что значит решить уравнение
Основные правила решения уравнений.
Классификация уравнений.
Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня).
Основные правила :
Правило № 1.
Правило № 2.
Правило № 3.
Правило № 4.
Правило № 5.
Правило № 6.
Практика
Правило № 7
Правило № 8
Алгебраические
Целые
Дробные
Иррациональные
Показательные
Логарифмические
Тригонометрические
Смешанные
Уравнения
Трансцендентные
системы
квадратное
логарифмическое
неполное квадратное
приведенное квадратное
с параметром
тригонометрическое
дробно-рациональное
иррациональное
показательное
n-ой степени
с модулем
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а)
7 + х = 23
х = 23 – 7
х = 16
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
( если х – а = d , то х = а + d)
х-8 =5
х = 8+5
х=13
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность
( если а — х =b , то х = а-b)
9-х =1,3
х = 9- 1,3
х = 7,7
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
( если ах = b , то х =b: а )
0,2х = 6
х = 6: 0,2
х=30
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb)
х : 0,3 = 4
х = 4 * 0.3
х = 1.2
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное
(если а : х =b , то х = а:b)
0.8 :х=-5
х=0.8(-5)
х=-0.16
Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.
3х – 8 = х – 14
3х –х = -14 + 8
2х = -6
х = -3
Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю.
Решите самостоятельно:
1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525
4) 35:3х=360 5) 180:y=15 6) 2x=38
линейное
квадратные
радикалы
симметрические
Квадратное
Неполное квадратное
Приведенное квадратное
Теорема Виета
Решением уравнения служит х =
Уравнение ( где а 0 , а равносильно уравнению f (x)=g (x)
Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Решение логарифмического уравнения вида
основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x)
Согласно определению логарифма,
Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение:
Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида
Дискриминантом квадратного уравнения называется число
Если D > 0 , то уравнение решений не имеет
Если D=0, то уравнение имеет единственное решение:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения:
Решите самостоятельно:
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю.
При С=0 уравнение принимает вид
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице.
Определить знаки корней уравнения
ТЕОРЕМА ВИЕТА
Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –р, а их произведение- свободному члену q.
ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА
Если сумма двух чисел равна числу –р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения
Уравнение вида называется биквадратным.
Такое уравнение решается методом замены переменной.
Обозначим , тогда . Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением.
Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что
т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности
Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений:
Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго —
переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения.
Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно.
Обозначение:
Формальная запись этого определения такова:
Решить уравнение:
Формула для корней уравнения
sin x=a ( ) имеет вид
cos x=a
tg x=a
ctg x=a
Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной
Тригонометрическое уравнение вида
все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется
однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно , если все его члены разделить на . При этом если , то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же , то выносится за скобки.
Уравнение вида равносильно уравнению ,где
Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая
часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение , формулы понижения степени , формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему.
Дробно-рациональные уравнения
Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида ,где и –многочлены.
Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие
Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии
Иррациональные уравнения
Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени
Возведение обеих частей уравнения в степень.
При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство.
Равенство нулю произведения( частного) двух выражений.
Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так:
Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю:
Метод введения новой переменной
Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени
Возведение в квадрат обеих частей уравнения.
Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую.
Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.
Введение новой переменной:
Решите самостоятельно:
Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей.
При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами:
Решить уравнение:
Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:
Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ:5,-25/2
Уравнение с параметром
При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше?
Решение: Рассмотрим функцию:
и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) иметь не может.
При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие:
Если же аИтак решение задачи формально задается совокупностью:
Ответ:
Графический способ решения систем уравнений
Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений.
Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество.
Решить систему — значит найти все её решения или доказать что их нет.
Графическое решение систем
Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем:
Строятся графики каждого уравнения системы;
Определяются точки пересечения графиков;
Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков.
Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений.
Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы.
Ответ:( 0;0)
Равносильность уравнений
Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого.
Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению:
1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака)
2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля.
Кроме того, для уравнений в области действительных чисел:
3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень
4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Показательные уравнения.
Показательным называют уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при постоянных основаниях. Показательное уравнение вида
равносильно уравнению
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1)приведение уравнения к виду ,а затем к виду ;
2) введение новой переменной.
Пример: Решим уравнение:
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Решите самостоятельно:
Список используемой литературы:
Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г.
В.К.Егерев- «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.
И.Сканави». 1997г.
Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г.
Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г.
Презентацию подготовили:
Шманова Виктория
Деева Александра
11 класс
МОУ «СОШ №1»
г. Шумиха
2007г.
подробная информация по тел 83524521413
Особая благодарность учителям СОШ №1:
Терегуловой Ирине Викторовне
Шманову Анатолию Ивановичу
Скачать презентацию
терминология — Что значит решить уравнение?
спросил
Изменено 25 дней назад
Просмотрено 12 тысяч раз
$\begingroup$
Этот вопрос скорее философский, чем математический.
2 — 1 = 0$ или $\sin(x) — 1= 0$. Решения этих уравнений достаточно просты. Например, $x = 1$ и $x = -1$ являются решениями первого уравнения. Можно сказать, что решить уравнение $f(x) = 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, которые удовлетворяют уравнению. Для меня этот ответ на самом деле не говорит, что значит решить уравнение, потому что значение глагола найти неоднозначно. Если кто-то скажет, что решениями уравнения являются все числа из множества $\{y \in \mathbb{R} | е(у) = 0\}$
он или она решили уравнение? Я не думаю, что он/она имеет.
- терминология
- определение
- философия
$\endgroup$
14
$\begingroup$
Интересный вопрос. Я бы сказал, что решение $f(x) = 0$ сводится к
, показывающему множество S = $\{ x \mid f(x) = 0 \}$, как правило, путем перечисления его элементов или задания последовательность, все элементы которой являются членами $S$
, демонстрирующий, что перечисленные или пронумерованные элементы в точности равны $S$.
Итак, если я скажу, что решения $\sin x = 0$ равны $n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, я задаю предполагаемое множество решений $S’ $. Теперь мне нужно показать, что для каждого элемента $t$ из $S’$ на самом деле $\sin t = 0$, и что никакие другие значения $t$ не удовлетворяют $\sin t = 0$.
Метод, которым я прихожу к множеству $S$, на самом деле неуместен, несмотря на активный глагол «решить»; решение могло прийти из алгебраических или геометрических манипуляций, или оно могло прийти ко мне во сне. Но вторая часть — демонстрация того, что предполагаемый набор решений является фактическим набором решений — должна подчиняться правилам логики и математики.
Это, однако, в основном мнение об общей математической речи, а не факт о математике.
PS: Для бесконечных наборов решений, которые не являются счетными, ответ Кристиана Блаттера начинает давать хорошее описание, хотя он не принимает во внимание такие вещи, как «все решения иррациональны», где параметризация набора может очень трудно придумать.
Грубо говоря, по мере усложнения наборов решений отображение набора становится все более и более сложным. Ничего удивительного…
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Я согласен с Джоном Хьюзом; этот есть интересный вопрос. Это становится еще более интересным из-за наблюдения, что мы часто делаем отвечаем на вопросы типа «Решить $f(x) = 0$» с чем-то вроде $\{x \mid g(x) = 0\}$, что кажется лицо это как ответ на один вопрос с другим. Обычно, конечно, $g(x)$ в каком-то смысле проще, чем $f(x)$: например, мы могли бы ответить 92 = 0$ для $y \in \mathbb{N}$. (Есть примеры получше, это только тот, что приходит на ум.)
Чем эта характеристика $x$ проще или лучше той, которая поставлена в качестве задачи? Объяснение, которое я привожу, заключается в том, что мы согласны с тем, что — существует консенсус в том, что — решение представляет собой более непосредственное прозрачное описание $x$, решающих проблему, чем сама проблема.
Когда мы начинаем, будучи студентами, мы привыкаем к мысли, что решения должны быть конкретными, например, число $4$ равно $3x-12 = 0$. Позже мы понимаем, что математика — это большая паутина или сеть отношений, и решения часто просто переходят от менее простого или прозрачного выражения к более простому или прозрачному. То, что простота или прозрачность на самом деле представляют , обычно не делается явно, и я не уверен, что это можно сделать явным каким-либо универсальным способом.
2
$\begingroup$
Уравнение или система уравнений определяет набор решений $S$ как набор всех элементов $x$, принадлежащих некоторой вселенной $X$, которые удовлетворяют определенным условиям, закодированным в формуле, или «истории».
$ {\ кал Р} (х) $:
$$S:=\{x\in X\>|\>{\cal P}(x)\}\ .\tag{1}$$
Это неявное описание множества $S$. В большинстве случаев легко проверить, действительно ли предлагаемый $x\in X$ принадлежит $S$ или нет.
Решение $(1)$ означает создание явного описания $S$. Такое явное описание могло бы состоять в доказательстве того, что $S$ на самом деле пусто, оно могло бы состоять в конечном списке $S=\{x_1,\ldots, x_p\}$ явно выставленных элементов $x_k\in X$, или оно может состоять в параметрическом представлении $$f:\quad I\to X,\qquad \iota\mapsto x_\iota\in X\ ,\tag{2}$$ где $I$ — некоторое «стандартное» множество, например, $I={\mathbb N}$, $f(I)=S$ и $f$ инъективно. Другими словами: каждый элемент $S$ создается $f$ ровно один раз хорошо понятным способом. 92=1\}$).
Элементы набора могут быть указаны с помощью математических выражений, предпочтительно позволяющих проводить эффективные вычисления. Это делает решение конструктивным.
В случаях, когда никакое математическое выражение невозможно, можно считать уравнение решенным, если была выполнена изоляция корней, т.
е. перечисление интервалов, гарантированно содержащих ровно один корень, потенциально допускающих вычисления с помощью численных методов.
Например, я считаю, что утверждение «уравнение 92=1$ имеет один отрицательный корень, $x_-$, и один положительный корень, $x_+$. Не зная их, мы все равно можем утверждать $x_-=-x_+$.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Если кто-то говорит, что решениями уравнения являются все числа из множества {y∈R|f(y)=0}{y∈R|f(y)=0}, решил ли он уравнение? Я не думаю, что он/она имеет.
я думаю, что вы должны понимать «решить» больше как упрощает в этом контексте. От произвольного уравнения к решению, как от абстрактного к частному. Вы указываете абстрактные правила вашей модели. У вас есть уравнение, которое представляет что-то в абстрактной форме, вы его решаете, у вас есть конкретные объекты.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Необходимое условие для ответа на вопрос «Что значит решить уравнение?» состоит в том, чтобы иметь определение слова «уравнение».
Определение: уравнение – это равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Согласны ли вы с этим определением?
Если да, решение уравнения состоит либо из:
определения того, какие значения или конкретная форма (формы) неизвестных делают равенство верным,
или доказательство того, что ни значение, ни конкретная форма неизвестного(ых) не делают равенство верным.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Прежде всего давайте посмотрим, что означает решение :
Бесплатный словарь:
Чтобы найти ответ, объяснение или решение (например, проблемы).
Так.
У нас есть результат справа от знака равенства.
Если вы видите там число то слово решение не имеет смысла. Это амбициозно.
Но.
Если вы видите там результат события или событий, мы можем сказать, что:
Ничего себе! Что-то случилось и мы получили 2 , авария и так далее.
Затем мы начинаем находить возможные причины объяснять почему результат существует.
Я думаю, что глагол решить лучше всего описывает весь процесс нахождения причин .
$\endgroup$
$\begingroup$
Ваш пример {$y \in \mathbb R | f(y) = 0$} как решение уравнения $f(x)=0$. Это просто утверждение, что все решения для f(x) являются решениями для f(x). Более описательным набором решений будет {$y \in \mathbb R | г(у)=0$}.
А теперь решаем решения рекурсивно. Вы смотрите на набор решений $g(x)$, затем на функцию, которая его описывает, и так далее, пока не придете к тривиальному решению, представляющему собой список чисел, которые нельзя упростить*, например {$2 000 000 | n \in \mathbb N$}. Этот набор можно записать без решения уравнения.
*Под упрощением я подразумеваю, что в наборе решений больше нет функции и, следовательно, больше не требуется рекурсия.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
производных — Что именно означает решение дифференциального уравнения?
Ваш вопрос — отличный вопрос, который я задавал себе очень давно.
В самом деле, почему концепция решения уравнений преподается так, как она преподается, а не таким образом, чтобы уточнить, что именно вы ищете? Причина в том, что начальное образование, даже на уровне бакалавриата, преподает математику не для того, чтобы вы понимали ее концептуально, а для того, чтобы вы могли хорошо овладеть вычислительными методами и символическими манипуляциями. Лично я считаю, что это неправильный способ преподавания математики, но, тем не менее, так оно и есть, и именно так устроено образование в большинстве стран мира. Вот почему учителя, учебники и образовательные ресурсы в Интернете не могут по-настоящему объяснить, что значит решить уравнение.
Итак, что означает для решения уравнения? Каждое уравнение в конечном счете можно свести к записи $f(x)=y,$, где $f$ — функция $X\to{Y}$ (другими словами, область определения — $X,$, а область значений — $ Y$), $x$ — некоторый объект в множестве $X,$ и $y$ — некоторый объект в множестве $y.$ Идея состоит в том, чтобы найти, какие объекты в множестве $X$ составляют уравнение $f( x)=y.
$ Это все, что это значит.
Но есть проблема. Очень часто уравнение, которое вам дают, дает явное выражение для $f,$, но не определяет домен из $f.$ Таким образом, это делает неоднозначным то, что вы должны искать. Рассмотрим, например, уравнение $x+x=0.$ Каковы решения этого уравнения? Вы можете подумать, что легко сказать, каковы решения: очевидно, $x=0,$ и ничего больше. Но вы были бы неправы. Если у меня есть алгебраическая структура, в которой $0+0=0,$ $1+0=0+1=1,$ и $1+1=0,$, то $x+x=0$ подразумевает $x=0$ или $x =1.$ Это совершенно правильный ответ? Да, поскольку вы никогда не указывали домен $X$, вы просто дали мне то, что фактически представляет собой бессмысленную строку символов, и сказали мне заполнить пробел. Теперь, если вы скажете мне, что домен $\mathbb{R},$, тогда это изменит ситуацию. Указание домена делает так, что множество решений определено корректно: очевидно, это некоторое подмножество $\mathbb{R},$, и оно единственно. Вот более экстремальный пример: рассмотрим уравнение $x\cdot{x}=1.
$ Сколько у него решений? Ну, это зависит от домена. Если областью является $\mathbb{N},$, то она имеет решение $1$. Если домен $\mathbb{R},$, то у него есть два решения. Но если областью является множество матриц $2\times2$, то решений бесконечно много. Все три множества можно снабдить алгебраической структурой, в которой понятие умножения, обозначаемое $\cdot,$, определено корректно. Поскольку я указал символ $\cdot,$, но не область определения функции, которую он представляет, я не указал однозначно эту функцию, и поэтому просьба решить уравнение более или менее бессмысленна. Хорошо написанный вопрос всегда будет спрашивать что-то вроде «найти все $x\in{S}$ такие, что $x\cdot{x}=1$». Указание $S$ делает этот вопрос хорошо написанным.
Дифференциальные уравнения ничем не отличаются. базовое дифференциальное уравнение первого порядка выглядит так: $$F(x,f(x),D[f](x))=0,$$, но это не очень хорошо написанный вопрос, на который нужно ответить, потому что область $F$ не указан, и домен $f$ не указан.
Даже простейшее уравнение $D[f]=g$ решить неоднозначно. Почему? Потому что я знаю, что $D$ означает оператор производной, но конкретный класс дифференцируемых функций, который будет областью определения $D$, не указан. Меня спрашивают обо всех функциях, дифференцируемых в $(0,1)$? Дифференцируемость на $(0,\infty)$? Или дифференцируем по всему $\mathbb{R}$? Хорошо написанный вопрос для решения дифференциального уравнения выглядит так: «Найдите все $y\in{C(\mathbb{R})}$ такие, что $D[y]=f$», где $C(\mathbb {R})$ — множество всех функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которые всюду дифференцируемы. И уравнение $D[y]=f$ по определению эквивалентно $y'(x)=f(x)$ для всех $x\in\mathbb{R}$ в этом случае. Таким образом, двусмысленности нет, если $f$ определено корректно. А в настройках более высокого уровня вы обнаружите, что вопросы написаны лучше и недвусмысленны. Но если вы только знакомитесь с темой дифференциальных уравнений, то обычно бывает так, что тексты и преподаватели будут очень неряшливыми.
Они будут думать, что «домен подразумевается из контекста» или что-то в этом роде, и они будут думать так даже в ситуациях, когда контекста на самом деле нет вообще или он очень сильно не подразумевается. В таких ситуациях я советую вам задавать вопросы и уточнять, чтобы вы могли получить представление о том, что на самом деле означает текст или что на самом деле имеет в виду ваш профессор, когда он что-то говорит. В конечном итоге все сводится к общению.
Но, с учетом сказанного, большинство обыкновенных дифференциальных уравнений, которые нас интересуют решить, — это уравнения, в которых неизвестная функция имеет область определения $\mathbb{R}$, дифференцируема везде в области определения и удовлетворяет уравнению повсюду в области определения. В конце концов, на самом деле мало пользы в уравнении, которое удовлетворяется только в какой-то ограниченной части области. В таких случаях мы просто ограничиваем домен и указываем его явно. Опять же, это вопрос общения, а общение часто сопровождается условностями.