1 рациональное число – . .

infoogle.ru

1.2. Рациональные числа

Десятичные дроби – это такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель – единица с нулями, то есть 10; 100; 1000 и т.д. Десятичные дроби записывают без знаменателей. Сначала пишется целая часть числа, справа от нее ставится запятая; первая цифра после запятой означает число десятых, вторая – сотых, третья – тысячных и т.д. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Бесконечной называется десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно много цифр.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если у нее, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, .

Верно и обратное утверждение: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Перечислим некоторые сведения о периодических дробях.

1. Если период дроби начинается сразу после запятой, то дробь называется чисто-периодической, если не сразу после запятой – смешанно-периодической.

Например, 1,(58) – чисто-периодическая дробь, а 2,4(67) – смешанно-периодическая.

2. Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители содержатся лишь числа 2 и 5, то запись числав виде десятичной дроби представляет собой конечную десятичную дробь; если в указанном разложении есть другие простые множители, то получится бесконечная десятичная периодическая дробь.

3. Если несократимая дробь

4. У периодической дроби период может быть любой длины, то есть содержать любое количество цифр.

1.3. Иррациональные числа

Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Примерами иррациональных чисел служат корни из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел. Например, ,. Иррациональными являются числа;. Множество иррациональных чисел обозначают буквой

Пример 1.10. Доказать, что – иррационально число.

Решение. Предположим, что – рациональное число. Очевидно, оно не является целым, а поэтому, гдеи– несократимая дробь; значит, числаивзаимно простые. Так как, то, то есть.

Последнее равенство означает, что

studfiles.net

Рациональное число — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, которое можно представить обыкновенной дробью mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, числитель m{\displaystyle m} — целое число, а знаменатель n{\displaystyle n} — натуральное число, к примеру 2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

Множество рациональных чисел[ | ]

Множество рациональных чисел обозначается Q{\displaystyle \mathbb {Q} } (от лат. quotient, «частное») и может быть записано в таком виде:

Q={mn∣m∈Z, n∈N}.{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} \right\}.}

Другими словами, числитель (m) может иметь знак, а знаменатель (n) должен быть положительным целым числом.

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, 34{\displaystyle {\frac {3}{4}}} и 912{\displaystyle {\frac {9}{12}}}, (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве

Q={mn∣m∈Z, n∈N, gcd(m,n)=1}.{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ \gcd(m,n)=1\right\}.}

Здесь gcd(m,n){\displaystyle \gcd(m,n)}

encyclopaedia.bid

определение, сумма, разность, умножение, деление

Произвольное целочисленное число b называется рациональным числом, если его возможно написать в виде b/1. Число, которое возможно написать в виде дроби b / m , где b является целым числом, а m натуральным числом, называется рациональной дробью.