2 3 квадратный корень – Квадратный корень. Подробная теория с примерами.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти число возможных исходов	7 выберем 3
2	Найти число возможных исходов	8 выберем 3
3	Найти число возможных исходов	5 выберем 2
4	Найти число возможных исходов	10 выберем 2
5	Найти число возможных исходов	4 выберем 2
6	Найти число возможных исходов	8 выберем 4
7	Найти число возможных исходов	6 выберем 2
8	Найти число возможных исходов	5 выберем 2
9	Найти число возможных исходов	10 выберем 3
10	Найти число возможных исходов	7 выберем 4
11	Найти число возможных исходов	6 выберем 3
12	Найти число возможных исходов	9 выберем 3
13	Найти число возможных исходов	9 выберем 3
14	Найти число возможных исходов	3 выберем 2
15	Найти число возможных исходов	6 выберем 4
16	Найти число возможных исходов	5 выберем 4
17	Найти число возможных исходов	7 меняем порядок 3
18	Найти число возможных исходов	7 выберем 2
19	Найти число возможных исходов	6 выберем 2
20	Найти число возможных исходов	10 выберем 5
21	Найти число возможных исходов	10 выберем 6
22	Найти число возможных исходов	13 выберем 5
23	Найти число возможных исходов	3 выберем 3
24	Найти число возможных исходов	4 выберем 1
25	Найти число возможных исходов	4 выберем 4
26	Найти число возможных исходов	5 выберем 1
27	Найти число возможных исходов	6 меняем порядок 3
28	Найти число возможных исходов	8 выберем 5
29	Найти число возможных исходов	9 меняем порядок 4
30	Найти число возможных исходов	13 выберем 3
31	Найти число возможных исходов	12 выберем 2
32	Найти число возможных исходов	12 выберем 4
33	Найти число возможных исходов	12 выберем 3
34	Найти число возможных исходов	9 выберем 5
35	Найти число возможных исходов	9 выберем 2
36	Найти число возможных исходов	7 выберем 5
37	Вычислить	6!
38	Вычислить	pi
39	Найти число возможных исходов	6 меняем порядок 6
40	Найти число возможных исходов	8 меняем порядок 5
41	Найти число возможных исходов	8 меняем порядок 3
42	Найти число возможных исходов	7 меняем порядок 5
43	Найти число возможных исходов	52 выберем 5
44	Найти число возможных исходов	5 меняем порядок 3
45	Найти число возможных исходов	12 выберем 5
46	Найти число возможных исходов	3 выберем 1
47	Найти число возможных исходов	11 выберем 5
48	Найти число возможных исходов	10 выберем 2
49	Найти число возможных исходов	15 выберем 3
50	Найти число возможных исходов	52 выберем 4
51	Найти число возможных исходов	9 выберем 4
52	Найти число возможных исходов	9 меняем порядок 3
53	Найти число возможных исходов	7 меняем порядок 4
54	Найти число возможных исходов	7 меняем порядок 2
55	Найти число возможных исходов	11 выберем 4
56	Найти число возможных исходов	11 выберем 2
57	Найти число возможных исходов	11 выберем 3
58	Вычислить	7!
59	Вычислить	3!
60	Вычислить	2+2
61	Вычислить	5!
62	Найти число возможных исходов	10 меняем порядок 5
63	Найти число возможных исходов	5 выберем 5
64	Найти число возможных исходов	6 выберем 1
65	Найти число возможных исходов	8 меняем порядок 4
66	Найти число возможных исходов	8 выберем 6
67	Найти число возможных исходов	13 выберем 4
68	Вычислить	e
69	Найти уравнение, перпендикулярное прямой	-7x-5y=7
70	Вычислить	9!
71	Вычислить	4!
72	Найти число возможных исходов	13 выберем 2
73	Найти число возможных исходов	10 меняем порядок 2
74	Найти число возможных исходов	10 меняем порядок 3
75	Найти число возможных исходов	10 выберем 7
76	Найти число возможных исходов	20 выберем 4
77	Найти число возможных исходов	6 меняем порядок 4
78	Найти число возможных исходов	5 меняем порядок 4
79	Найти число возможных исходов	6 выберем 5
80	Найти число возможных исходов	52 выберем 3
81	Найти число возможных исходов	4 выберем 0
82	Найти число возможных исходов	9 меняем порядок 7
83	Найти число возможных исходов	6 выберем 2
84	Найти число возможных исходов	5 меняем порядок 5
85	Найти число возможных исходов	5 меняем порядок 2
86	Найти число возможных исходов	6 выберем 6
87	Найти число возможных исходов	7 выберем 6
88	Найти число возможных исходов	8 меняем порядок 6
89	Найти число возможных исходов	7 меняем порядок 7
90	Найти число возможных исходов	9 меняем порядок 5
91	Найти число возможных исходов	2 меняем порядок 2
92	Найти число возможных исходов	10 выберем 8
93	Найти число возможных исходов	12 выберем 7
94	Найти число возможных исходов	15 выберем 5
95	Найти обратный элемент	[[1,0,1],[2,-2,-1],[3,0,0]]
96	Вычислить	3^4
97	Вычислить	4/52
98	Определить область значений	1/4x-7
99	Решить относительно x	x+2y=8
100	Вычислить	8!

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1	Вычислить	6^3-4^3-7^2
2	Найти медиану	11 , 13 , 5 , 15 , 14	, , , ,
3	Найти объем	сфера (5)	
4	Вычислить	квадратный корень 12
5	Преобразовать в десятичную форму	3/8
6	Преобразовать в десятичную форму	5/8
7	Найти длину окружности	окружность (5)	
8	Вычислить	10^2
9	Вычислить	квадратный корень 75
10	График	y=2x
11	Вычислить	квадратный корень 48
12	Найти площадь	окружность (5)	
13	Найти площадь	окружность (6)	
14	Вычислить	3^4
15	Вычислить	5^3
16	Вычислить	2^4
17	Вычислить	квадратный корень 32
18	Вычислить	квадратный корень 18
19	Вычислить	квадратный корень 2
20	Вычислить	квадратный корень 25
21	Вычислить	квадратный корень 8
22	Найти площадь	окружность (4)	
23	Разложить на простые множители	360
24	Вычислить	3^-2
25	Вычислить	2+2
26	Преобразовать в десятичную форму	1/3
27	Вычислить	квадратный корень 9
28	Вычислить	квадратный корень 64
29	Преобразовать в десятичную форму	3/5
30	Вычислить	квадратный корень 20
31	Вычислить	pi
32	Вычислить	-3^2
33	Вычислить	2^3
34	Вычислить	(-3)^3
35	Вычислить	квадратный корень 27
36	Вычислить	квадратный корень 5
37	Вычислить	квадратный корень 50
38	Вычислить	квадратный корень 16
39	Преобразовать в десятичную форму	3/4
40	Преобразовать в десятичную форму	2/3
41	Найти площадь	окружность (3)	
42	Вычислить	3^2
43	Вычислить	-9^2
44	Вычислить	квадратный корень 72
45	Преобразовать в десятичную форму	2/5
46	Вычислить	квадратный корень 100
47	Найти объем	сфера (3)	
48	Вычислить	2^5
49	Множитель	x^2-4
50	Вычислить	-8^2
51	Вычислить	-6^2
52	Вычислить	-7^2
53	Вычислить	-3^4
54	Вычислить	(-2)^3
55	Множитель	x^2-9
56	Найти объем	сфера (6)	
57	Найти площадь	окружность (8)	
58	Вычислить	квадратный корень 81
59	Вычислить	кубический корень 64
60	Вычислить	кубический корень 125
61	Вычислить	квадратный корень 169
62	Вычислить	квадратный корень 225
63	Вычислить	квадратный корень 3
64	Преобразовать в десятичную форму	1/4
65	Преобразовать в смешанную дробь	5/2
66	Преобразовать в десятичную форму	1/2
67	Множитель	x^2-16
68	Вычислить	5^2
69	Вычислить	4^-2
70	Вычислить	8^2
71	Преобразовать в смешанную дробь	13/4
72	Вычислить	квадратный корень 24
73	Вычислить	квадратный корень 28
74	Вычислить	кубический корень 27
75	Найти длину окружности	окружность (4)	
76	Найти площадь	окружность (7)	
77	Найти объем	сфера (2)	
78	График	y=3x
79	Найти объем	сфера (4)	
80	Найти длину окружности	окружность (6)	
81	Вычислить	квадратный корень 150
82	Вычислить	квадратный корень 45
83	Вычислить	4^3
84	Вычислить	2^-3
85	Вычислить	2^2
86	Вычислить	-(-3)^3
87	Вычислить	3^3
88	Вычислить	квадратный корень 54
89	Вычислить	квадратный корень 10
90	Найти длину окружности	окружность (3)	
91	Преобразовать в смешанную дробь	10/3
92	Преобразовать в десятичную форму	2/5
93	Разложить на простые множители	36
94	Вычислить	квадратный корень 144
95	Вычислить	(-7)^2
96	Множитель	x^2+5x+6
97	Вычислить	(-4)^3
98	Вычислить	(-5)^3
99	Вычислить	10^2
100	Вычислить	6^2

www.mathway.com

Квадратный корень из 2 — это… Что такое Квадратный корень из 2?

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π:

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

См. также

dal.academic.ru

Квадратный корень из 2 Википедия

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения √2^[1]. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: 2.{\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к

ru-wiki.ru

Квадратный корень из 2

квадратный корень из 272, квадратный корень из 24
(перечислено в порядке увеличения точности)

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

Первые 1000 знаков значения √2. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: 2 . {\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} является дробь 99 70 {\displaystyle {\tfrac {99}{70}}} . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Содержание

• 1 История
• 2 Алгоритмы вычисления
• 3 Мнемоническое правило
• 4 Свойства квадратного корня из двух
• 5 Доказательство иррациональности
• 6 Непрерывная дробь
• 7 Размер бумаги
• 8 См. также
• 9 Литература
• 10 Ссылки
• 11 Примечания

История

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 1.41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.}

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 577 408 ≈ 1.414215686. {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

a n + 1 = a n + 2 a n 2 = a n 2 + 1 a n . {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только π {\displaystyle \pi } было вычислено более точно.

Мнемоническое правило

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

Половина 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

2 2 = 1 2 = 1 2 = cos ⁡ ( 45 ∘ ) = sin ⁡ ( 45 ∘ ) . {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).}

Одно из интересных свойств 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} состоит в следующем:

  1 2 − 1 = 2 + 1 {\displaystyle \!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1} . Потому что ( 2 + 1 ) ( 2 − 1 ) = 2 − 1 = 1. {\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.}

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} :

2 + 2 + 2 + ⋯ = 2. {\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2.\,}

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

i + i i i {\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}} и − i − i − i − i . {\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

2 2 2   ⋅ ⋅ ⋅ = 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2}

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π {\displaystyle \pi } :

2 m 2 − 2 + 2 + ⋯ + 2 → π  as  m → ∞ {\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi {\text{ as }}m\to \infty \,}

С точки зрения высшей алгебры, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} является корнем многочлена x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2} и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида a + b 2 {\displaystyle a+b{\sqrt {2}}} , где   a , b {\displaystyle ~a,b}  — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается Q [ 2 ] {\displaystyle \mathbb {Q} } и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n}  — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .

Так как разложение m2 на простые множители содержит 2 в четной степени, а 2n2 — в нечетной, равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}  — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

  2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ . {\displaystyle \!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.}

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , то последующая имеет вид m + 2 n m + n {\displaystyle {\frac {m+2n}{m+n}}} . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

3 2 ;   7 5 ;   17 12 ;   41 29 ;   99 70 ;   239 169 ;   577 408 ;   1393 985 ;   3363 2378 … {\displaystyle {\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots }

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно 1 : 2 {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} . При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне, получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

См. также

• Иррациональные числа
• Теорема Виета

Литература

• Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки

• Pythagoras’s Constant  (англ.).

Примечания

1. ↑ The Square Root of Two, to 5 million digits
2. ↑ Не путать с целым числом.

Непрерывная дробь

1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ {\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 4 июля 2014 года.

квадратный корень из 20, квадратный корень из 24, квадратный корень из 25, квадратный корень из 272

---

Квадратный корень из 2 Информацию О

---

---

Квадратный корень из 2 Комментарии

Квадратный корень из 2
Квадратный корень из 2
Квадратный корень из 2 Вы просматриваете субъект

Квадратный корень из 2 что, Квадратный корень из 2 кто, Квадратный корень из 2 описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Квадратный корень из 2 — это… Что такое Квадратный корень из 2?

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π:

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

См. также

dis.academic.ru

Квадратный корень из 2 — Википедия

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения √2^[1]. Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение:

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел^{[источник не указан 2112 дней]}.

Алгоритмы вычисления[править]

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Мнемоническое правило[править]

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней»

Свойства квадратного корня из двух[править]

Половина приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств состоит в следующем:

. Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство :

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом

www.wikiznanie.ru