Арифметический квадратный корень. Видеоурок. Алгебра 8 Класс
На сегодняшнем уроке нам необходимо ввести понятие арифметического квадратного корня. Чтобы это сделать, представим себе, что нам выделили участок земли квадратной формы (рис. 1) и мы хотим измерить длину его стороны. При этом известно, что сторона изображенной сетки равна 1 км.
Рис. 1.
Чтобы найти длину стороны участка, можно выписать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке красным цветом. Катеты этого треугольника имеют длины по 1 км, а длину гипотенузы обозначим за .
, но нами пока еще не найдена сторона участка, а найдено значение ее квадрата.
По-другому можно было найти следующим образом: записать площадь квадратного участка , с другой стороны, она равна сумме площадей четырех равных прямоугольных треугольников, из которых состоит участок: . Но площадь прямоугольного треугольника, который является равнобедренным в данном случае, равна . Таким образом, площадь участка: , а с другой стороны , т. е. получаем то, что было получено ранее: .
Вопрос заключается в том, как найти значение стороны квадрата, т. е. ? Попробуем перебрать числа, которые могут претендовать на роль ответа. Начнем с нуля, но не подходит, затем проверим : тоже не подходит (меньше двух), проверим : не подходит, т. к. это больше двух. Получаем следующий вывод, что это некое число между 1 и 2, но оно не может быть, очевидно, целым. Проверять отрицательные числа не будем, т. к. их возведение в квадрат дает положительные значения, которые мы уже проверили. Поскольку у уравнения нет целых решений, то необходимо проверить наличие рациональных решений. Вспомним для этого определение рационального числа.
Определение. Рациональное число – число, которое можно представить в виде дроби , в которой числитель () является целым числом, а знаменатель () натуральным.
Во вставке указано доказательство того факта, что число не может быть рациональным числом.
Вставка 1. Доказательство того, что не является рациональным числом
Теорема. Число , которое удовлетворяет уравнению , не является рациональным.
Доказательство. Предположим, что число , которое удовлетворяет уравнению , является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби ( целое число, натуральное), причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то, сократив ее, приступим к доказательству). Подставим такую запись в исследуемое уравнение:
.
Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Поскольку четное, то и тоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда число можно представить в виде , где – некое целое число. Подставим это в полученное уравнение:
Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа , можем сделать вывод, что число является четным, и его можно представить в виде . Тогда дробь , как видно, является сократимой, что противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то число не является рациональным.
Доказано.
Доказано, что искомое число не может быть ни целым, ни рациональным. Поскольку мы впервые столкнулись с числом, которое не является целым и не является рациональным, то необходимо ввести понятие нового вида чисел. Поможет нам в этом понятие квадратного корня.
Определение. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
Стоит отметить важные характеристики чисел из определения. Во-первых, квадратный корень можно вычислять только из неотрицательного числа, т. е. квадратный корень, например, из не имеет смысла, во-вторых, значение самого квадратного корня также является неотрицательным, т. е. квадратный корень не может равняться, например, .
Обозначение квадратного корня из числа : .
Соответственно, мы теперь имеем возможность определить значение стороны нашего земельного участка. Поскольку , то – это такое число, квадрат которого равен двум, а по определению квадратного корня следует, что . Таким образом, искомая сторона земельного участка равна км.
Рассмотрим примеры на работу с квадратными корнями.
Пример 1. Существуют ли выражения: , , , ?
Решение. Для ответа на поставленный вопрос необходимо воспользоваться определением, по определению квадратный корень извлекается только из неотрицательного числа. Поскольку 3, 5 и 0 являются неотрицательными числами, то выражения , и существуют. является отрицательным числом, поэтому не существует.
Ответ., и существуют; не существует.
Стоит отметить, что есть случаи, когда значение квадратного корня можно вычислить в виде целого числа, а есть – когда нельзя. Например, нельзя утверждать, что является целым числом, и значение этого выражения так и приходится оставлять в форме корня, а вот некоторые квадратные корни можно являются целыми числами, убедимся в этом на примере.
Пример 2. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г)
Решение. а) , т. к. корень из 4 – это такое число,
interneturok.ru
КОРЕНЬ (в математике) — это… Что такое КОРЕНЬ (в математике)?
- КОРЕНЬ (в математике)
- КОРЕНЬ (в математике)
КО́РЕНЬ, в математике —
1) корень степени n из числа a — всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n-я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня.
2) Корень уравнения — число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.
Энциклопедический словарь. 2009.
- КОРЕНЬ (в лингвистике)
- КОРЕЦ
Смотреть что такое «КОРЕНЬ (в математике)» в других словарях:
Корень (в математике) — Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое ), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… … Большая советская энциклопедия
КОРЕНЬ — в математике ..1) корень степени n из числа a всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня2)] Корень уравнения число, которое после… … Большой Энциклопедический словарь
Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени) это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как … Википедия
корень — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? корня, чему? корню, (вижу) что? корень, чем? корнем, о чём? о корне и на корню; мн. что? корни, (нет) чего? корней, чему? корням, (вижу) что? корни, чем? корнями, о чём? о корнях 1. Корень это … Толковый словарь Дмитриева
Корень n-й степени — Арифметический корень n й степени (n > 0) из неотрицательного числа есть единственное неотрицательное решение уравнения . Обозначается символом (или просто при ) … Википедия
КОРЕНЬ
— 1. В математике – любое число, которое при умножении его на само себя данное число раз дает данный результат; например, 2 – второй (или квадратный) корень из 4, третий (или кубический) корень из 8, четвертый корень из 16 и т.д. 2. В лингвистике – … Толковый словарь по психологииКорень — I Корень (radix) один из основных вегетативных органов листостебельных растений (за исключением мхов), служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питательных веществ, первичного превращения ряда поглощаемых веществ,… … Большая советская энциклопедия
Корень — I м. 1. Вросшая в землю часть растения, через которую оно всасывает соки из почвы. отт. Древесина или вещество такой части растения. отт. разг. Лекарственный препарат или настой, приготовляемый из такой части некоторых растений. 2. Внутренняя,… … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Корень — I м. 1. Вросшая в землю часть растения, через которую оно всасывает соки из почвы. отт. Древесина или вещество такой части растения. отт. разг. Лекарственный препарат или настой, приготовляемый из такой части некоторых растений. 2. Внутренняя,… … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Корень — I м. 1. Вросшая в землю часть растения, через которую оно всасывает соки из почвы. отт. Древесина или вещество такой части растения. отт. разг. Лекарственный препарат или настой, приготовляемый из такой части некоторых растений. 2. Внутренняя,… … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
dic.academic.ru
Алгебраический корень
Алгебраический корень.
Корень называется алгебраическим, если не требуется, чтобы он извлекался из положительного числа и чтобы сам он был положительный. Таким образом, если под выражением подразумевается алгебраический корень n-й степени, то это значит, что число а может быть и положительное, и отрицательное и сам корень может быть и положительным, и отрицательным.
Например,
Свойства алгебраических корней.
1) Корень нечётной степени из положительного числа — положительное число, так как отрицательное число, возведённое в степень с нечётным показателем, даёт отрицательное число.
Например,
2) Корень нечётной степени из отрицательного числа — отрицательное число, так как положительное число, возведённое в любую степень, даёт положительное число, а не отрицательное.
Например,
3) Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками и с одинаковой абсолютной величиной.
4) Корень чётной степени из отрицательного числа не может равняться никакому, ни положительному, ни отрицательному, числу, так как и то и другое после возведения в степень с чётным показателем даёт положительное число, а не отрицательное.
Например,
mirurokov.ru
Первообразный корень (абстрактная алгебра) — это… Что такое Первообразный корень (абстрактная алгебра)?
Все языкиАбхазскийАдыгейскийАзербайджанскийАймараАйнский языкАканАлбанскийАлтайскийАнглийскийАрабскийАрагонскийАрмянскийАрумынскийАстурийскийАфрикаансБагобоБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийБурятскийВаллийскийВарайскийВенгерскийВепсскийВерхнелужицкийВьетнамскийГаитянскийГреческийГрузинскийГуараниГэльскийДатскийДолганскийДревнерусский языкИвритИдишИнгушскийИндонезийскийИнупиакИрландскийИсландскийИспанскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКиргизскийКитайскийКлингонскийКомиКорейскийКриКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛюксембургскийМайяМакедонскийМалайскийМаньчжурскийМаориМарийскийМикенскийМокшанскийМонгольскийНауатльНемецкийНидерландскийНогайскийНорвежскийОрокскийОсетинскийОсманскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийРумынский, МолдавскийРусскийСанскритСеверносаамскийСербскийСефардскийСилезскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТатарскийТвиТибетскийТофаларскийТувинскийТурецкийТуркменскийУдмурдскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧеркесскийЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШайенскогоШведскийШорскийШумерскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЮпийскийЯкутскийЯпонский
Все языкиАбхазскийАварскийАдыгейскийАзербайджанскийАймараАйнский языкАлбанскийАлтайскийАнглийскийАрабскийАрмянскийАфрикаансБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийВенгерскийВепсскийВодскийВьетнамскийГаитянскийГалисийскийГреческийГрузинскийДатскийДревнерусский языкИвритИдишИжорскийИнгушскийИндонезийскийИрландскийИсландскийИспанскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКитайскийКлингонскийКорейскийКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛожбанМайяМакедонскийМалайскийМальтийскийМаориМарийскийМокшанскийМонгольскийНемецкийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийПуштуРумынский, МолдавскийРусскийСербскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТамильскийТатарскийТурецкийТуркменскийУдмурдскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧаморроЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШведскийШорскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЯкутскийЯпонский
dic.academic.ru
| 1. |
Квадратный корень из произведения
Сложность: лёгкое |
1 |
| 2. |
Свойства квадратных корней
Сложность: лёгкое |
1 |
| 3. |
Квадратный корень в квадрате
Сложность: лёгкое |
3 |
| 4. |
Квадратный корень из суммы или разности
Сложность: среднее |
2 |
| 5. |
Умножение квадратных корней
Сложность: среднее |
1 |
| 6. |
Квадратный корень из степени
Сложность: среднее |
3 |
| 7. |
Значение выражения, содержащего квадратный корень из степени
Сложность: сложное |
3 |
| 8. |
Вынесение множителя из-под знака корня
Сложность: сложное |
3 |
| 9. |
Внесение множителя под знак корня
Сложность: сложное |
3 |
www.yaklass.ru