Арккосинус числа – Онлайн калькулятор: Обратные тригонометрические функции

Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Функции с приставкой arc — это функции, обратные тригонометрическим. Например, для функции $sinα$ обратной функцией является её арксинус, записывается как $arcsinα$, а для функции косинуса обратной будет функция арккосинус, записывается как $arccosα$. Проще говоря, обратные тригонометрическим функции с приставкой $arc$ являются множеством значений углов $α$, от которых берётся какая-либо обычная тригонометрическая функция, также иногда функции с приставкой $arc$ используют как меру длины дуги, ограничивающей угол $α$.

Рисунок 1. Единичная окружность. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим теперь непосредственно определения для функций арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс по отдельности.

Арксинус числа

Определение 1

Арксинус числа $x$ — это множество значений углов, для которых $sinα = x$. Также определение арксинуса можно записать так: $arcsin(x) = α$.

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображена окружность с радиусом, равным единице. Как мы помним, $sinα$ — это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, численно он равен длине стороны $AC$. Так как арксинус его обратная функция и есть не что иное как угол, от которого берётся синус, свойства арксинуса очень похожи на свойства синуса:

  • Область определения функции арксинуса $D(y)= \ [-1;1\ ]$, для синуса $D(y)=\ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$;
  • Область значения для арксинуса $E = \ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$, для синуса $E = \ [-1;1\ ]$
  • Функции синуса и арксинуса обе возрастающие;
  • Функции арксинуса и синуса обе нечётные, то есть: $arcsin(-x)= -arcsinx$;
  • Функция $y=arcsin(x)$ равна нулю при $x=0$.

График арксинуса выглядит следующим образом:

Рисунок 2. График арксинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Арккосинус числа

Определение 2

Арккосинус числа $x$ — это множество значений углов, для которых $cosα = x$, то есть это значение угла.

Свойства арккосинуса в сравнении с косинусом:

  • Область определения функции арккосинуса $D(y)= \ [-1;1\ ]$, для косинуса $D(y)=\ [0; π\ ]$;
  • Область значения для арккосинуса $E = \ [0; π\ ]$, для косинуса $E = \ [-1;1\ ]$;
  • График функции арккосинуса симметричен относительно точки $(0; \frac{ π}{2})$, следовательно, он не является ни чётным, ни нечётным, в отличии от функции косинуса, которая является чётной;
  • График функции арккосинуса $y= arccos(x)$ является убывающим, это происходит на всей его области определения, так же, как и c графиком косинуса.
  • Функция $y=arccos(x)$ равна нулю при $x=1$.

Рисунок 3. График арккосинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Арктангенс числа

Определение 3

Арктангенс числа $x$ — это множество значений углов, для которых $tgα = x$.

Свойства арктангенса:

  • $D(y)= \ [-\infty;1\ ]$;
  • $E = \ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$;
  • Данная функция нечётная;
  • Функция $y= arctgx$ возрастающая на всей области определения;
  • Функция $y= arctgx$ равна нулю при $x=0$.

Рисунок 4. График арктангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Арккотангенс

Определение 4

Арккотангенс числа $x$ — это множество значений углов, для которых $ctgα = x$.

Свойства функции арккотангенса:

  • $D(y)= \ [-\infty;1\ ]$;
  • $E = \ [0; π\ ]$;
  • Данная функция не является ни чётной, ни нечётной;
  • Функция $y= arcсtgx$ убывает на всей области определения;

Рисунок 5. График арккотангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Найдите значение следующих выражений: $arcsin(\frac{1}{2}), arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}), arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}), arccos(-\frac{1}{2})$.

Решение:

$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$

$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{π}{4}$

$arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{π}{4}$

Здесь мы имеем арккосинус отрицательного числа $arccos(-\frac{-1}{2})$, для того чтобы его вычислить, необходимо прибегнуть к следующей формуле: $arccos(-α) = π – arccos(α)$

$arccos(-\frac{-1}{2}) = π – arccos(\frac{-1}{2}) = π – \frac{π}{3} = \frac{2π}{3}$

spravochnick.ru

Определения и свойства обратных тригонометрических функций

by Колпаков А.Н. on 15 сентября 2010

Обратные тригонометрические функции:



Определение:
Арксинусом числа а называется угол из отрезка , синус которого равен числу а.

Свойство арксинуса от отрицательного угла :


Определение:
Аркосинусом числа а называется угол из отрезка , косинус которого равен числу а.

Свойство арккосинуса от отрицательного угла :


Определение:
Арктангенсом числа а называется угол из интервала , тангенс которого равен числу а.

Свойство арктангенса от отрицательного угла

:

Определение:
Арккотангенсом числа а называется угол из интервала , котангенс которого равен числу а.

Свойство арккотангенса от отрицательного угла :

Дополнительные свойства обратных тригонометричесикх функций:

, если ;

, если ;

, если ;

, если ;

, если ;

, если ;

, если ;

, если

, если

, если

Справочные материалы по обратным тригонометрическим функциям предназначены для учащихся 10-11 классов, школьных преподавателей и репетиторов по математике. Рекомендуется использовать материалы на уроках по тригонометрии и подготовке к ЕГЭ по математике.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Метки: Справочник репетитора, Тригонометрия, Ученикам

ankolpakov.ru

Арккосинус | Алгебра

Что такое арккосинус? Для чего вводится понятие арккосинуса?

Функция y=cosx не является монотонной на всей своей области определения. Поэтому для нахождения обратной функции выбираем промежуток [0;π], на котором косинус убывает, то есть выполняется условие обратимости функции:

1) В формулу y=cos x вместо x подставим y, вместо y — x:

x=cos y.

2) Из этого равенства нужно выразить y через x. Для этого вводится определение арккосинуса (арккосинус икс обозначают как arccos x).

Определение.

Арккосинусом числа a называется такое число b из промежутка [0;π], косинус которого равен a:

   

Отсюда решение уравнения x=cos y на промежутке [0;π] — y=arccos x.

Функция y=cos x рассматривается для x∈[0;π] и принимает на этом промежутке значения y∈[-1;1]. Соответственно, область определения обратной функции y=arccos x — x∈[-1;1], область значений — y∈[0;π].

Таблица значений косинусов на промежутке [0;π] —

   

   

Таблица значений арккосинусов —

   

   

 

Графики взаимно обратных функций y=arccos x и y=cos x (на рассматриваемом промежутке) симметричны относительно прямой y=x:

В алгебре (в тригонометрии) введение понятия арккосинуса позволяет найти решение простейшего тригонометрического уравнения вида cosx=a.

www.algebraclass.ru

Тригонометрия: арккосинус

Абитуриентам и старшеклассникам – для повторения и закрепления

Уравнение cos x = a, где -1 ≤ a ≤ 1, на отрезке [0; π] имеет решение и при том только одно. Действительно, функция y = cos x непрерывна и на концах отрезка [0; π] принимает значения -1 (в точке π) и 1 (в точке 0) – это обеспечивает существование корня, а единственность следует из монотонности функции (убывает) на указанном отрезке (рис.1).                                         

Записывают этот корень (это число) в виде arccos a. Можно сказать и так: arccos a – это единственный корень системы

Итак, под записью arccos a мы понимаем число, которое удовлетворяет двум условиям:

1) 0 ≤ arccos a ≤ π и 2) cos(arccos a) = a.

Отметим, что запись «arccos a» будет числом, если -1 ≤ a ≤ 1. В противном случае эта запись теряет смысл. На практике удобно работать с числовой окружностью (рис.2).

Из точки a оси абсцисс проведем перпендикуляр к этой оси и точку его пересечения с верхней полуокружностью обозначим буквой М. На точке М имеем бесконечно много чисел. Среди них находится и число arccos a – число из отрезка [0 ; π]. Число arccos a , при девяти значениях числа a, можно (и нужно) записать в более простой форме (см.рис.3).

Задача 1.

Почему данные записи не имеют смысла (не являются числами) ?

Решение.

arccos a имеет смысл лишь при -1 ≤ a ≤ 1. Данные записи не являются числами, так как

Задача 2.

При каких значениях переменной x, выражение arccos(|x| - 3) имеет смысл (будет числом) . Решение.

arccosa имеет смысл лишь при -1 ≤ a ≤ 1. Следовательно:

Задача 3.

Найти значение числового выражения (вычислить).

Решение.

Воспользуемся таблицей значений арккосинуса (их нужно помнить!).

Задача 4.

Вычислить cos(arccos 0,7) + cos(arccos(-0,3)) .

Решение.

Воспользуемся равенством cos(arccosa) = a. cos(arccos 0,7) + cos(arccos(-0,3)) = 0,7 – 0,3 = 0,4

Задача 5.

Вычислить

Решение.

Задача 6.

Вычислить sin(arccos 0,8).

Решение.

Заметим, что 0 ≤ arccos 0,8 ≤ π , следовательно, sin(arccos0,8) ≥ 0. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заметим, что

Абитуриентам на заметку 

Задача 7.

Вычислить cos(arccos0,6 +arccos0,8) .

Решение.

Воспользуемся тождеством cos (x + y) = cosx•cosy – sinx•siny и указанной выше формулой.

Уравнение cosx = a Так как областью значений функции y = cosx является отрезок [-1 ; 1], то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда -1≤ a ≤ 1. Пусть a некоторое внутреннее число из отрезка [-1 ; 1]. На числовой окружности имеем две точки, ордината которых равна числу a: точки M и K на рисунке 2. Решить уравнение cosx = a – это значит найти все числа на этих точках. Одно из чисел на точке М мы знаем – это число arccosa, следовательно, с его помощью можем получить все числа этой точки: x = arccosa + 2πn, где n = 0; ±1; ±2; … . Теперь найдем все числа точки K. Так как точки M и K симметричны относительно оси абсцисс (MK – вертикальная хорда окружности), то число (-arccosa) находится на точке K и, значит, все числа точки K можно задать формулой: x = = -arccosa + 2πn, где n = 0; ±1; ±2; … . Объединив эти две формулы, запишем ответ в виде: x = ± arccosa + 2πn , n = 0; ±1; ±2; … . Для частных случаев числа a (девять значений) ответы записываются в упрощенном виде http://www.tutoronline.ru/blog/prosteishie-trigonometricheskie-uravnenia

Задача 8.

Решить уравнение cosx = π .

Решение.

Уравнение решений не имеет, т.к. π > 1.

Задача 9.

Решить уравнение cosx = 0,3 .

Решение. x = ± arccos0,3 + 2πn , n = 0; ±1; ±2; … .

Три свойства arccosa , которые должен знать абитуриент.

1. Сумма арккосинусов двух противоположных чисел равна π:

arccos(-a) + arccosa =π , или в виде arccos(-a) = π – arccosa . Действительно, числа arccos(-a) и arccosa равноудалены от точки π/2 (строгое доказательство мы опустим, но из рисунков 4 или 5 в этом легко убедиться). И так, π/2 – среднее арифметическое этих чисел, следовательно

Задача 10.

Вычислить.

.

Решение.

Так как ( a – b ) и (b – a) противоположные числа, то arccos(a –b) = π – arccos(b –a ).

 

2. Если b < a , то arccos b > arccos a и обратно, если arccos b > arccos a , то b < a. Понятно, что числа a и b принадлежат отрезку [-1 ; 1]. Убедиться в этом не сложно, если внимательно изучим рисунки 4 или 5.

Задача 11.

Расположить числа в порядке возрастания.

Решение.

Задача 12.

Принадлежит ли число arccos(-0,6) интервалу (2,08 ; 2,37) ?
Решение.

Ответить на данный в задаче вопрос нам поможет рисунок 3.

Ответ: да, принадлежит.

Задача 13 .

Решить неравенство: arccos(x – 2) > arccos( 2x –3).

3. Равенство arccos a = arccos b равносильно системе из двух условий: 1) a = b ; 2) -1 ≤ a ≤ 1 Разумеется, что в двойном неравенстве вместо числа a можно взять число b.

Задача 14.

Решить уравнение

arccos(x – 2) = arccos(3|x| – 7).

Решение.


© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

2) Понятие арксинуса и арккосинуса числа. Примеры. И 3 вопрос Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – основные сведения.

1)Понятие степени. Свойства степеней. Примеры.

Степенью называется выражение вида: , где:

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

  • По определению: .

  • Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 

  • Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себяраз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

n > 0

Возведение в нулевую степень:

a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случаеn ≤ 0. Если n > 0, то 

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней

Деление степеней

Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения:x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функциии увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен,a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнениясоответственнои

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа:.

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа— это число,-я степень которого равна.

Если — чётно.

  • Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.

  • Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнемn-ой степени из aи обозначается 

Если — нечётно.

Пример 4.

Задача, обратная нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла, подразумевает нахождение угла по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение обговорим некоторые тонкости, касающиеся этой темы, и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

  • Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

  • Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

  • Примеры.

  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?

  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности.

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа

Дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Определение.

Арксинус числа a из интервала от −1 до 1 включительно – это такой угол, лежащий в пределах от −π/2 до π/2 (от −90 до 90 градусов) включительно, синус которого равен a.

Определение.

Арккосинусом числа a−1≤a≤1, называется такой угол из отрезка [0, π] (от нуля до180 градусов включительно), косинус которого равен a.

Определение.

Арктангенсом числа aa – любое действительное число, называется угол из интервала(−π/2, π/2) (от −90 до 90 градусов не включительно), тангенс которого равен a.

Определение.

Арккотангенс числа aa – любое действительное число, - это такой угол из интервала(0, π) (от нуля до 90 градусов не включительно), котангенс которого равен a.

Из приведенных определений видно, что арксинус и арккосинус числа определены для чисел, лежащих в интервале [−1, 1], для остальных чисел арксинус и арккосинус не определяются. Например, не определены arcsin 2, арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 25, не лежат в интервале от−1 до 1.

В свою очередь определения арктангенса и арккотангенса даются для любых действительных чисел a. То есть, имеют смысл и арктангенс нуля, и арктангенс −500,2, и арккотангенс миллиарда, и арккотангенс −π/3, как и арктангенс, и арккотангенс любого другого действительного числа.

Также стоит отметить, что при условиях, указанных для числа a в определениях, арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс существуют, причем они определены однозначно, то есть, для данного числа a имеют единственное значение.

К началу страницы

Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующиеобозначения: arcsinarccosarctg и arcctg. То есть, арксинус числа a можно записать какarcsin a, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a,arctg a и arcctg a.

Также можно встретить обозначения arctan и arccot, они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, принятой в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg.

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа запишутся как:

  • arcsin a, где −1≤a≤1, есть угол α, если sinα=a и −π/2≤α≤π/2;

  • arccos a, где −1≤a≤1, есть угол α, если cosα=a и 0≤α≤π;

  • arctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если tgα=a и −π/2≤α≤π/2;

  • arcctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если ctgα=a и 0≤α≤π.

К началу страницы

Примеры

Самое время привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Угол π/3 является арксинусом числа , это действительно так, так как числопринадлежит интервалу от−1 до 1, угол π/3 лежит в пределах от −π/2до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа:arcsin(−1)=−π/2,arcsin(0,5)=π/6, .

А вот π/10 не является арксинусом 1/2, так как sin(π/10)≠1/2. Еще пример: не смотря на то, что синус 270 градусов равен −1, угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины осталось привести примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радиан является арккосинусом единицы (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 лежит в отрезке от −1 до 1, угол нуль радиан лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1), угол π/2 есть арккосинус нуля. По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 и арктангенс корня из трех равен 60 градусам (π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, чтоarcctg0=π/2, так как π/2 лежит в открытом интервале от 0 до пи и ctg(π/2)=0.

К началу страницы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?

В первом пункте данной статьи мы дали определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Таким образом, мы говорим именно об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа, а не угла.

Для себя нужно четко разграничить, что существует синус, косинус, тангенс и котангенс УГЛА, их значениями являются числа, и обратно: существует арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс ЧИСЛА, их значениями являются углы.

К началу страницы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности

Чтобы получить наглядное представление об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа a, взглянем на них с позиций геометрии. Это несложно сделать, если знать про линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

arcsin aarccos aarctg a и arcctg a можно связать с дугами единичной окружности, стягивающими углы, соответствующие значениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a.

Для примера получим дугу, соответствующую арксинусу числа a. Для этого на линии синусов отметим точку, отвечающую числу a, после чего из нее проведем луч, параллельно и в положительном направлении оси абсцисс. Этот луч будет пересекать единичную окружность в некоторой точке. Дуга единичной окружности от этой точки до начальной точки с координатами(1, 0) и будет отвечать арксинусу числа a.

По схожим принципам можно получить дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a. На рисунке ниже синими линиями показаны дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a.

4) Показатели функции, ее свойства и график.

В практике часто используются функции y=2x,y=10x,y=(12)x,y=(0,1)x и т. д., т. е. функция вида y=ax, где a - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число.

 

Функция, заданная формулой y=ax(где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.

  

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения - множество R действительных чисел.

2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.

ax1<ax2, если x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1)

4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства  

axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy

  Графики показательных функций изображены на рисунках:

1) для случая a>1

 

 

2) для случая 0<a<1 

 

 

Логарифм и его свойства. Примеры

Логарифмом числа по основанию() называется такое число, что, то есть записииравносильны. Логарифм имеет смысл, если.

Если немного перефразировать - Логарифм числа по основаниюопределяется как показатель степени, в которую надо возвести число, чтобы получить число(Логарифм существует только у положительных чисел).

Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".

Специальные обозначения:

  • Натуральный логарифм - логарифм по основанию, где-число Эйлера.

  • Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

1°    -основное логарифмическое тождество.

2°    

3°    

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°    -логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°    -логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°    -логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    

8°    

9°    - переход к новому основанию.

Вычислить , если

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ. 

studfiles.net

Арксинус и арккосинус числа

Просмотр содержимого документа
«Арксинус и арккосинус числа»

Урок алгебры в 10 классе

Работам устно

  • Определите знак произведения

Sin157 °·sin275°·cos157°

Cos73°·cos140°·cos(-384°)

  • Существует ли угол, для которого
  • Упростите выражение:

Sin² α +cos² α =

1-cos² α =

Sin ² α – 1=

Вычислите

Определение арксинуса, арккосинуса числа а

Цель урока: ввести понятие арксинуса и арккосинуса числа; рассмотреть их свойства и научиться применять при упрощении выражений

Арксинус числа а , |а | ≤ 1 есть такое число α из промежутка [– π / 2; π / 2 ], синус которого равен числу а

Sin

π /2

arc sin ( – a ) = arc sin a

1

arc sin a

а

α

α

x

a

-1

arc sin ( – a )

- π /2

Sin

π /2

Вычислите :

- π /2

Ищу число из отрезка

[ - π /2; π /2] , синус которого равен

Арккосинус числа а , |а | ≤ 1 есть такое число α из промежутка [ 0; π ], косинус которого равен а

Sin

arc cos a

arc со s ( – a )

α

0

π

Cos

-1

1

a

а

arc cos ( – a ) = π arc cos a

Вычислите :

Cos

π

0

Ищу число из отрезка [0; π ] , косинус которого равен…..

Имеет ли смысл выражение?

а rcsin (-1/2) arccos arcsin

да нет нет

а rcsin 1,5 arccos arccos

нет да да

Историческая справка.

  • Современные обозначения arcsin и arccos появляются в 1772 в работах великого математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Д. Бернули, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка « arc » происходит от латинского « arcus » (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x , например, - это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x .

π

1

=

arcsin

6

2

3

π

3

arcsin

=

2

π

1

-

)

(

arcsin

-

6

=

2

π

arcsin

1 =

2

π

2

arcsin

-

=

(

)

4

2

10

π

1

3

arccos

=

2

π

3

arccos

=

2

6

2 π

1

1

arccos

)

arccos

π ̶

=

=

(

2

2

3

2

3 π

)

(

arccos

=

2

4

π

0

=

arccos

2

Работаем вместе

  • № 7.78
  • № 7.86
  • № 7.100(а,б,в)
  • № 101 ( а,б,в)
  • № 102
  • № 103

Домашнее задание

№ 7.79

№ 7.87

№ 7.100(г,д,е)

№ 101 ( г,д,е)

Арктангенс числа а есть число (угол) α из интервала

(- π /2; π /2), тангенс которого равен а

у

π /2

а

1

arctg a

α

α

х

0

arctg (- a )

- а

- π /2

arctg ( – a ) = arctg a

-1

Арккотангенс числа а есть число (угол)

α из интервала (0; π ),

котангенс которого равен а

а

- а

1

у

arcctg (- a)

arcctg a

α

π

х

0

0

-1

arcctg ( – a ) = π arcctg a

1

П

ar с tg

=

6

3

П

ar с ctg

1

=

4

П

3

ar с tg

=

3

3

3

П

П

П

+

arccos

arcsin

=

+

=

6

3

2

2

2

1

П

1

П

arccos

П

+

=

+

=

arcsin

2

2

6

2

3

16

multiurok.ru

Обратные тригонометрические комплексного числа

В данном материале мы рассмотрим способы вычисления и рассчитаем значения обратных тригонометрических функций  в поле комплексных чисел. Результат выдается как в радианах, так и в градусах.

Арксинус комплексного числа

Если представить  

То арксинус числа, выраженный через логарифм

 

Арккосинус комплексного числа

Если представить  

То арккосинус числа, выраженный через логарифм

Введите в поле  число, комплексное или вещественное и  программа выдаст результат

http://abak.pozitiv-r.ru

http://abak.pozitiv-r.ru

Арктангенс комплексного числа

Если представить  

То артангенс числа, выраженный через логарифм

Через арксинус

Через арккосинус

Или вот так

АРКкоТАНГЕНС КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Арккотангенс комплексного числа легко решается  через связь с арктангенсом 

 

  • Онлайн калькулятор. Расчет произвольных выражений. >>

abakbot.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *