Решение биквадратных уравнений
Разделы: Математика
Цель: Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений, и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса. Скорректировать ЗУН по теме. Привить аккуратность в работе, выработать умение слушать и комментировать ответы, навыки самостоятельной работы на уроке.
Формы организации: общеклассная, групповая, индивидуальная.
Методы обучения: словесный, наглядный, частично-поисковый, иллюстративно-объяснительный, репродуктивный (по образцу).
Тип урока: Урок обобщения и коррекции знаний.
План:
1. Ознакомление с целью и задачами урока, инструктаж учащихся по организации работы на уроке. Орг.момент.
3–4 Проверка знаний учащимися основных понятий, правил, законов и умений объяснить их сущность, аргументировать свои суждения и приводить примеры. Проверка умений учащихся самостоятельно применять знания в стандартных условиях: а) Кто быстрее выйдет из лабиринта; б) Работа с консультантами.
5. Проверка умений учащихся применять знания в измененных, нестандартных условиях. Программированный тест.
6. Итог.
7. Домашнее задание
Приложение 1
Ход урока
1. Организационный момент. Сообщение цели и задачи урока
2. Математический диктант.
Два ученика выходят к доске и пишут диктант на “крыльях” так, чтобы весь класс не видел результатов. Все остальные уч-ся пишут диктант под копирку, чтобы потом сделать самопроверку, самооценку своей работы, увидеть свои ошибки и скорректировать их с помощью учителя и учеников, которые писали у доски.
Диктант
| 1 вариант. | 2 вариант |
| 1) Какова степень уравнения | |
| 5х(х2+4)=17 5х3+20х=17 третья степень |
(х+8)(х-7)=0 х2-7х+8х-56=0 вторая степень |
| 2) Приведите уравнение к квадратному | |
| 9х4-10х2+1=0 х2=у 9у2-10у+1=0 |
х4-25х2+144=0 х2=а а2-25а+144=0 |
| 3) Запишите формулу нахождения | |
| Дискриминанта | Корней квадратного уравнения |
| D=b2-4ac | |
| 4) Выпишите числовые коэффициенты уравнения | |
| 3х2+11х-34=0 а=3 в=11 с=-34 |
9х2-24х+16=0 а=9 в=-27 с=16 |
| 5) Сколько корней имеет уравнение, если | |
| D>0, то по какой формуле они вычисляются Два корня | D=0, то по какой формуле они вычисляются Один корень |
Диктант окончен, верхние листочки сдаем помощникам – консультантам, нижний листок оставляем у себя и делаем самоконтроль и самооценку. После чего учитель спрашивает, сколько ошибок было допущено по каждому вопросу и заостряет внимание на тех вопросах, корректируя их, где допущено больше всего ошибок.
Критерии оценок за правильные ответы:
5в – “5”
4в – “4”
3в – “3”
2в и меньше – “2”
3-й этап
По итогам диктанта те ребята, которые получили оценку “2” входят в 3 группу, которая продолжает работу с консультантами по карточкам – образцам и консультанты заполняют ведомость учета ЗУН. В конце урока они должны с комментариями подвести итог и выставить оценку за работу каждому ученику.
| Карточка – образец. | Ведомость. |
х4-25х2+144=0
Введем новую переменную х2=у, тогда получаем уравнение:
у2-25у+144=0
а=1 в=-25 с=144
D=b2-4ac
D=(-25)2-4*1*144=625-576=49>0 два корня
Подставляем в замену х2=у
Ответ: 4; -4; 3; -3
Реши:
Остальные учащиеся делятся на две группы: 1 ряд и 2 ряд.
“Кто быстрее выйдет из лабиринта” (Приложение1).
Работа дифференцирована: каждому ученику по способностям дается стрелочка, с уравнением, которое он должен решить и, найдя правильный ответ на карте прикрепить ее. Те учащиеся, которые справятся с заданием приходят к следующему этапу: программируемому тесту, а ребята, не справившиеся с заданием, работают с индивидуальными карточками
4. “Программируемый тест”
К нему приступают учащиеся удачно прошедшие лабиринт.
На оценку “4–5”
1. Определить вид уравнения: а4-4а2+3=0
а) линейное;
б) биквадратное;в) неполное;
г) квадратное.
2. Приведите уравнение к квадратному: (х2-4х)2+9(х2-4х)+20=0
а) а2-а+28=0;
б) а2+9а+20=0;
в) а2+11х+28=0;
г) а2-9а+20=0.
3. Найдите дискриминант: 3х2+11х-34=0
а) 196;
б) 225;
в) 529;
г) 1
4. Решите уравнение: 4х4-5х2+1=0.
а)
б)
в)
г) .
На оценку “3”
1. Определить вид уравнения: 5а4-3а2-3=0
а) линейное;
г) квадратное.
б) биквадратное;
в) неполное;
2. Приведите уравнение к ква
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Примеры решения квадратных и биквадратных уравнений
Пример 4. Решить квадратное уравнение x2 + 12x + 36 = 0.Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.
Так как b = 12 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :
D1 = (b/2)2 — ac = 62 — 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = (-6)/1 = -6.
Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
x2 + 12x + 36 = 0 (x+6)2 = 0 x = -6.
Ответ: -6.
Пример 5. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.
Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :
D1 = (b/2)2 — ac = (-14)2 — 4*49 = 196-196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = 14/4 = 7/2.
Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
4x2 -28x + 49 = 0 (2x-7)2 = 0 2x = 7 x = 7/2.
Ответ: 7/2.
Пример 6. Решить уравнение .
Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:
Умножив обе части уравнения на -4, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
x2 + 3x = 0 x(x+3) = 0
x = 0, x = 0,
x — 3 = 0 x = 3.
Ответ: 0, 3.
Пример 7. Решить уравнение .
Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:
Получим 6x2 + 3x = 20x-10 6x2 + 3x — 20x + 10 = 0 6x2 — 17x + 10 = 0.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: 5/6, 2.
Пример 8. Решить уравнение .
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.
Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D1:
D1 = (b/2)2 — ac = (√2)2 — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: -√2-1, -√2+1.
Пример 9. Решить уравнение .
Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:
Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.
Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2=3), вычислим дискриминант D1:
D1 = (b/2)2 — ac = 32 — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: (3-√3)/3, (3+√3)/3.
Пример 10. Решить уравнение x4 — 17x2 + 16 = 0.
Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:
x4 — 17x2 + 16 = 0 => t2 — 17t + 16 = 0.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,
D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:
Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.
Ответ: ±1, ±4.
Пример 11. Решить уравнение 9x4 + 32x2 — 16 = 0.
Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:
9x4 + 32x2 — 16 = 0 => 9t2 + 32t — 16 = 0
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.
Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2=16), вычислим дискриминант D1:
D1 = (b/2)2 — ac = 162 — 9*(-16) = 400 >0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.
По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:
Первое уравнение x2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x= ±2/3.
Ответ: ±2/3.
Пример 12. Решить уравнение x4 + 3x2 — 10 = 0.
Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:
x4 + 3x2 — 10 = 0 => t2 + 3t — 10 = 0
Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,
D = b2 — 4ac = 32 — 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:
Первое уравнение x2 = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = ±√2.
Ответ: ±√2.
ru.intemodino.com
Задания к уроку по теме Биквадратные уравнения
Биквадратные уравнения
1 вариант
Биквадратные уравнения
1 вариант
Биквадратные уравнения
1 вариант
Биквадратные уравнения
1 вариант
Биквадратные уравнения
1 вариант
Биквадратные уравнения
2 вариант
1)х4-3х2+2=0
2) х4-10х2+9=0
3) х4-5х2+4=0
4) х4-26х2+25=0
5) 4х4-41х2+100=0
6) х4-20х2+64=0
Биквадратные уравнения
2 вариант
1)х4-3х2+2=0
2) х4-10х2+9=0
3) х4-5х2+4=0
4) х4-26х2+25=0
5) 4х4-41х2+100=0
6) х4-20х2+64=0
Биквадратные уравнения
2 вариант
1)х4-3х2+2=0
2) х4-10х2+9=0
3) х4-5х2+4=0
4) х4-26х2+25=0
5) 4х4-41х2+100=0
6) х4-20х2+64=0
Биквадратные уравнения
2 вариант
1)х4-3х2+2=0
2) х4-10х2+9=0
3) х4-5х2+4=0
4) х4-26х2+25=0
5) 4х4-41х2+100=0
6) х4-20х2+64=0
Биквадратные уравнения
2 вариант
1)х4-3х2+2=0
2) х4-10х2+9=0
3) х4-5х2+4=0
4) х4-26х2+25=0
5) 4х4-41х2+100=0
6) х4-20х2+64=0
Биквадратные уравнения
3 вариант
1 ) х4-17х2+16=0
2) х4-29х2+100=0
3) х4-8х2+16=0
4) 4х4-37х2+9=0
5) 9х4-40х2+16=0
6) 16х4+55х2-36=0
Биквадратные уравнения
3 вариант
1 ) х4-17х2+16=0
2) х4-29х2+100=0
3) х4-8х2+16=0
4) 4х4-37х2+9=0
5) 9х4-40х2+16=0
6) 16х4+55х2-36=0
Биквадратные уравнения
3 вариант
1 ) х4-17х2+16=0
2) х4-29х2+100=0
3) х4-8х2+16=0
4) 4х4-37х2+9=0
5) 9х4-40х2+16=0
6) 16х4+55х2-36=0
Биквадратные уравнения
3 вариант
1 ) х4-17х2+16=0
2) х4-29х2+100=0
3) х4-8х2+16=0
4) 4х4-37х2+9=0
5) 9х4-40х2+16=0
6) 16х4+55х2-36=0
Биквадратные уравнения
3 вариант
1 ) х4-17х2+16=0
2) х4-29х2+100=0
3) х4-8х2+16=0
4) 4х4-37х2+9=0
5) 9х4-40х2+16=0
6) 16х4+55х2-36=0
infourok.ru
І. Актуализация знаний Вопросы для обсуждения:
| Квадратным уравнением называется уравнение вида ,где x — переменная, a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты. В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:
О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) : D0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня D — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет) В общем случае корни уравнения равны: . Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны . Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:
В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:
| Мячик Метод «снежный ком» | Самостоятельная работа Раздает карточки каждой группе, приложение №1 Учитель открывает ответы уравнений — Чем они отличаются? — Вы уже знаете способы решения квадратных уравнений различных видов. Теперь переходим к рассмотрению уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений. — Составьте алгоритм решения биквадратного уравнения. Показывает ролик
Скажите, что нового мы сегодня узнаем? — От чего зависит количество корней квадратного уравнения? -Всё это вы будете узнавать вместе самостоятельно, в задании №2 Упражнение №2 -Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение? Задание №4. Проверь себя! Упражнение — Сколько корней имеет биквадратное уравнение Работа на доске Работа с книгой Домашнее задание №190/1-3/, 191 /1-2/ | Задание №1. Укажите виды уравнений: а) х2+9х-20=0; в) х2 —8х=0; Ответы записывают в тетрадь. 1 группа х2+4х-5=0; х2-х-72=0; х2+3х-28=0; х4-13х2+36=0; 2 группа х2-10х+16=0;х2-10х+21=0;х2-6х+8=0;х4-34х2+225=0; 3 группа х2-7х+12=0; х2-9х+18=0; х2-4х-5=0; х4— 20х2+64=0; 4 группа х2+5х-6=0; х2-7х-18=0; х2-9х+14=0; х4— 4х2+45=0; 5 группа х2-8х+15=0; х2-6х+8=0; х2-7х-18=0; х4— 20х2+100=0; Ребята сверяются, выясняют , что есть в задании такие уравнения, которые они не смогли решить. Представители групп записывают свои биквадратные уравнения на доске.: х2-7х-18=0; х4— 20х2+100=0. — 1 слагаемое в 2 раза меньше Каждая группа получает карточку с 1 биквадратным уравнением, с его решением по алгоритму . Приложение № 2 Объясняют решение уравнения
Алгоритм решения биквадратного уравнения.
Биквадратными — так как «би» означает «два» Задание №3 Приложение №4 От дискриминанта. Каждая группа решает пример в ноутбуке, После выполнения задания учащиеся производят самопроверку по результатам. Выполняют задание №№ 1 карточка: х4-10х2+9=0, /4 корня / Каждая группа меняется карточками и проверяют ответы выполненных работ с ключами ответов на слайде. Упражнение 5 Каждая группа выполняет по одному примеру из задачи №189. После выполненных работ сверяют с ключами ответов на слайде. | Карточки Карточки Слайд В сайте BILIM land, в разделе Курсы→Математика→Алгебра→Уравнения и неравенства→Биквадратные уравнения→содержание урока →Биквадратные уравнения /просмотреть видео «Решение биквадратного уравнения»/ Биквадратные уравнения→содержание урока →Биквадратные уравнения→ Упражнение №1 Прежде чем приступить к работе в разделе Биквадратные уравнения → нахождение биквадратных уравнений→ Важно! Карточки Слайд из презентации Биквадратные уравнения→содержание урока →Биквадратные уравнения→ Упражнение 5 Доска Алгебра 8 класс, стр 78 Слайд | Дифференциация. Поощряется каждый правильный ответ, неуверенно ответившему задается направляющие вопросы. | Оценивание. Критериальное оценивание каждого задания в ходе приобретения знаний учащихся позволяет реально оценивать каждого ученика. | Межпредметные связи: руский язык, информатика. ИКТ компетентность: ученики умеют пользоваться компьютером, исспользовать интернет ресурсы. Связи с ценностями: в группе слушаются доводы каждого. |
multiurok.ru
Биквадратные уравнения примеры для решения
Как решать биквадратное уравнение: видео
В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».
Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.
Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:
1)вводим новую переменную ${{x}^{2}}=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим
\[\begin{align}& {{({{x}^{2}})}^{2}}={{t}^{2}} \\& {{x}^{4}}={{t}^{2}} \\\end{align}\]
2)переписываем наше выражение — $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+4=0\to a{{t}^{2}}+bt+c=0$
3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$, если корней будет два.
4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: ${{x}^{2}}={{t}_{1}}$ и ${{x}^{2}}={{t}_{2}}$.
5)решаем полученные уравнения и находим иксы.
Реальные задачи
Пример № 1
Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.
Решаем первую задачу:
\[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0\]
Вводим новую переменную и переписываем:
\[{{x}^{2}}=t\to {{t}^{2}}-5t+4=0\]
Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:
\[D={{(-5)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\]
Это хорошее число. Корень равен 3.
Теперь находим значение $t$:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2}=\text{ }\frac{8}{2}\text{ }=\text{ }4 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2}=\text{ }\frac{2}{2}\text{= }1 \\\end{array}\]
Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=2 \\& x=-2 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1\to {{x}^{2}}-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right.
Биквадратное уравнение
\\\end{align}\]
Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.
Пример № 2
Переходим ко второму примеру:
\[{{x}^{4}}-25{{x}^{2}}+144=0\]
Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.
Заменяем:
\[{{x}^{2}}=t\]
Тогда у нас выйдет:
\[{{t}^{2}}-25t+144=0\]
Считаем$D$:
\[D=\text{ }625\text{ }-\text{ }4\text{ }\cdot \text{ }144\text{ }=\text{ }49\]
Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
{{t}_{1}}\text{ }=\frac{25+7}{2}\text{ }=\text{ }\frac{32}{2}=\text{ }16 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{25-7}{2}=\text{ }\frac{18}{2}\text{ }=\text{ }9 \\\end{array}\]
Вспоминаем, что такое $t$:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=16 \\& \left[ \begin{align}& x=4 \\& x=-4 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Второй вариант:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=9 \\& \left[ \begin{align}& x=3 \\& x=-3 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.
Пример № 3
Переходим к последнему биквадратному уравнению:
\[{{x}^{4}}-\frac{5}{4{{x}^{2}}}+\frac{1}{4}=0\]
Опять же вводим замену:
\[{{x}^{2}}=t\]
Тогда:
\[{{t}^{2}}-\frac{5}{4t}+\frac{1}{4}=0\]
Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
\[4{{t}^{2}}-5t+1=0\]
Найдем $D$:
\[D=\text{ }25\text{ }-\text{ }16\text{ }=\text{ }9\]
Корень из дискриминанта равен трем:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{8}{8}\text{ }=\text{ }1 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{2}{8}=\text{ }\frac{1}{4} \\\end{array}\]
Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Второй вариант чуть посложнее:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}=\frac{1}{4} \\& \left[ \begin{align}& x=\frac{1}{2} \\& x=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right. \\\end{align}\]
Мы получили снова четыре корня:
\[1;\text{ }-1;\text{ }\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\]
Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!
Смотрите также:
- Следствия из теоремы Виета
- Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
- Тест к уроку «Десятичные дроби» (1 вариант)
- Правила комбинаторики в задаче B6
- Когда действительно требуется репетитор по математике?
- Вебинар по задачам С1: тригонометрия
laservirta.ru