Чему равна площадь фигуры – Как найти площадь геометрических фигур? – boeffblog.ru

---

S =p · r

---

где р – полупериметр треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Как найти площадь прямоугольника?

1. Площадь прямоугольника находится довольно-таки просто:

---

S = a · b

---

Никаких подвохов.

Как найти площадь квадрата?

1. Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то к нему применяется такая же формула:

S = a · a = a²

2. Также площадь квадрата можно найти через его диагональ:

---

S =   d²

---

 

Как найти площадь параллелограмма?

1. Площадь параллелограмма находится по формуле:

S = a · h

Это связано с тем, что если от него отрезать прямоугольный треугольник справа и приставить его слева, получится прямоугольник:

2. Также площадь параллелограмма можно найти через угол между двумя сторонами:

S = a · b · sinα

Как найти площадь ромба?

Ромб по своей сути является параллелограммом, у которого все стороны равны. Поэтому для него применяются те же формулы площади.

1. Площадь ромба через высоту:

S = a · h

2. Площадь ромба через угол между сторонами:

S = a · a sinα = a² · sinα

3. Площадь ромба через диагонали:

---

S =   d₁ · d₂

---

Как найти площадь трапеции?

1. Площадь трапеции находится по следующей формуле:

---

S =   · h 

---

Как найти площадь круга?

1. Площадь круга можно найти через радиус:

---

S = π r² 

---

2. Площадь круга можно найти через диаметр:

---

S = πd²/4

---

boeffblog.ru

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α, β — углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α, β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α, β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Площадь фигуры. Все формулы

Площади геометрических фигур — численные значения, характеризующие их размер в двумерном пространстве. Эта величина может измеряться в системных и внесистемных единицах. Так, например, внесистемная единица площади — сотка, гектар. Это в том случае, если измеряемой поверхностью является участок земли. Системная же единица площади — квадрат длины. В системе СИ принято считать, что единица площади плоской поверхности — это квадратный метр. В СГС единица площади выражается через квадратный сантиметр.

Геометрия и формулы площадей неразрывно связаны. Эта связь заключается в том, что вычисление площадей плоских фигур основывается именно на их применении. Для многих фигур выведены несколько вариантов, по которым вычисляются их квадратные размеры. Опираясь на данные из условия задачи, мы можем определить максимально простой способ для решения. Тем самым облегчить расчет и свести вероятность ошибки вычисления к минимуму. Для этого рассмотрим основные площади фигур в геометрии.

Треугольник

Формулы для нахождения площади любого треугольника представлены несколькими вариантами:

1) Площадь треугольника рассчитывается по основанию a и высоте h. Основанием считают сторону фигуры, на которую опущена высота. Тогда площадь треугольника:

2) Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается точно также, если гипотенузу считать основанием. Если же за основание принять катет, то площадь прямоугольного треугольника будет равна уменьшенному вдвое произведению катетов.

На этом формулы для вычисления площади любого треугольника не заканчиваются. Другое выражение содержит стороны a,b и синусоидальную функцию угла γ, заключенного между a и b. Значение синуса находится по таблицам. Также его можно узнать с помощью калькулятора. Тогда площадь треугольника:

По данному равенству тоже можно убедиться в том, что площадь прямоугольного треугольника определяется через длины катетов. Т.к. угол γ — прямой, поэтому площадь прямоугольного треугольника рассчитывается без умножения на функцию синуса.

3) Рассмотрим частный случай — правильный треугольник, у которого сторона a известна по условию или ее длина найдется при решении. О фигуре в задаче по геометрии больше ничего не известно. Тогда площадь как найти при этом условии? В этом случае применяется формула для площади правильного треугольника:

Прямоугольник

Как найти площадь прямоугольника и использовать при этом размеры сторон, имеющих общую вершину? Выражение для вычисления такое:

Если для вычисления площади прямоугольника требуется использовать длины диагоналей, то тогда понадобится функция синуса угла, образованного при их пересечении. Такая формула площади прямоугольника имеет вид:

Квадрат

Площадь квадрата определяют как вторую степень длины стороны:

Доказательство вытекает из определения, согласно которому квадратом называют прямоугольник. У всех сторон, образующих квадрат, одинаковые размеры. Поэтому вычисление площади такого прямоугольника сводится к перемножению одной на другую, т. е. ко второй степени стороны. И формула для вычисления площади квадрата примет искомый вид.

Площадь квадрата можно найти другим способом, например, если использовать диагональ:

Как вычислить площадь фигуры, которая образована частью плоскости, ограниченной окружностью? Для расчета площади формулы такие:

1. Через радиус окружности r. Для площади круга вычисление можно сделать следующим образом:
2. Через диаметр окружности d. Найти площадь круга можно так: 

Параллелограмм

Для параллелограмма формула содержит линейные размеры стороны, высоты и математическое действие — умножение. Если же высота неизвестна, то тогда как найти площадь параллелограмма? Есть еще один способ вычисления. Потребуется определенное значение, которое примет тригонометрическая функция угла, образованного смежными сторонами, а также их длины.

Формулы площади параллелограмма таковы:

Ромб

Как найти площадь четырехугольника, называемого ромбом? Площадь ромба определяется с помощью простых математических действий с диагоналями. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки диагоналей в d1 и d2 пересекаются под прямым углом. По таблице синусов видно, что для прямого угла данная функция равна единице. Поэтому площадь ромба рассчитывается так:

Еще площадь ромба может быть найдена другим способом. Доказать это тоже нетрудно, если учесть, что стороны его одинаковы по длине. Затем подставить их произведение в похожее выражение для параллелограмма. Ведь частным случаем именно этой фигуры является ромб. Здесь γ — внутренний угол ромба. Площадь ромба определяют так:

Трапеция

Как найти площадь трапеции через основания (a и b), если в задаче указаны их длины? Здесь без известного значения длины высоты h вычислить площадь такой трапеции не удастся. Т.к. эту величину содержит выражение для вычисления:

Квадратный размер прямоугольной трапеции тоже можно вычислить таким же способом. При этом учитывают, что в прямоугольной трапеции понятия высоты и боковой стороны объединены. Поэтому для прямоугольной трапеции нужно указывать вместо высоты длину боковой стороны.

Цилиндр и параллелепипед

Рассмотрим что нужно, чтобы рассчитать поверхность всего цилиндра. Площадь данной фигуры составляет пара кругов, называемых основаниями, и боковая поверхность. Окружности, образующие круги имеют длины радиусов, равные r. Для площади цилиндра имеет место такое вычисление:

Как найти площадь параллелепипеда, который состоит из трех пар граней? Его измерения совпадают с конкретной парой. Грани, находящиеся противоположно, имеют одинаковые параметры. Сначала находят S(1), S(2), S(3) — квадратные размеры неравных граней. Затем уже площадь поверхности параллелепипеда:

Кольцо

Две окружности с общим центром образуют кольцо. Они же ограничивают площадь кольца. При этом обе расчетные формулы учитывают размеры каждой окружности. Первая из них, вычисляющая площадь кольца, содержит больший R и меньший r радиусы. Чаще их называют внешним и внутренним. Во втором выражении площадь кольца рассчитывается через больший D и меньший d диаметры. Таким образом, площадь кольца по известным радиусам рассчитывают так:

Площадь кольца, с использованием длин диаметров, определяют следующим образом:

Многоугольник

Как найти площадь многоугольника, форма которого не является правильной? Общей формулы для площади таких фигур нет. Но если она изображена на координатной плоскости, например, это может быть клетчатая бумага, тогда как найти площадь поверхности в этом случае? Тут применяют способ, который не требует приблизительно измерить фигуру. Поступают так: если нашли точки, которые попадают в уголок клетки или имеют целые координаты, то учитывают только их. Чтобы затем выяснить, чему равна площадь, используют формулу, доказанную Пиком. Необходимо сложить количество точек, расположенных внутри ломаной линии с половиной точек, лежащих на ней, и вычесть единицу, т. е. вычисляется это таким образом:

где В,Г — количество точек, расположенных внутри и на всей ломаной линии соответственно.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Формула вычисления площади для всех геометрических фигур

Стандартное обозначение площади — S

Площадь

Пусть длина стороны квадрата равна a, тогда формул квадрата:

S = a ⋅ a = a²

Прямоугльник

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b

S = a ⋅ b

Параллелограмм

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b и h_a это высота на сторону a, и h_b это высота на сторону b
Формула площади параллелограмма:

S = a ⋅ h_a = b ⋅ h_b

Трапеция

Допустим, что длины параллельных сторон трапеции имеют длину a и b и расстояние между двумя основами s h(the trapezoid altitude). Тогда формула площади:

$S = \frac{(a + b)\cdot h}{2}$

Площадь круга

$P = \pi\cdot r^2$

$\pi=3,14$

Площадь прямоугольного треугольника

$S=\frac{a \cdot b}{2}$

$S=\frac{c \cdot h_c}{2}$

Площадь треугольника — калькулятор

Треугольник

ABC — треугольник

длина его сторон: a, b, c и длина его высот: h_a, h_b и h_c.

S = ½(ab ⋅ sinC) = ½(ac ⋅ sinB) = ½(bc ⋅ sinA)

p = ½(a + b + c)

S = √p(p — a)(p — b)(p — c) — формула Герона

$S = R^2\sin(A) \cdot \sin(B) \cdot \sin(C) = \frac{abc}{4R}$

Площадь параллелограмма(ромба)

$S = AB\cdot DE = BC \cdot DF$
$S = AB \cdot AD \sin \alpha$
$S = \frac12 AC \cdot BD \sin \gamma$

Площадь выпуклого четырехугольника

$S = \frac12 AC \cdot BD \sin \varphi $

Площадь правильного многоугольника

$S = \frac14 n\cdot a^2\cdot \text{ctg}(\frac{\pi}{n})$

n — число ребер(вершин).
$\pi=3,14159265359$

www.math10.com

Площади геометрических фигур / math5school.ru

math4school.ru

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

1. (положительность) площадь неотрицательна;
2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

• Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:

  ,

где  — угол между диагоналями.

• Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

Ссылки

• В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

dic.academic.ru

Нахождение площади различных фигур — Сегодня на уроке. — Каталог статей

В этой статье мы разберемся, как вычислить площадь фигуры.

Сравнить площади разных фигур можно способом наложения. Посмотрите на рисунок. Мы видим две фигуры: треугольник и прямоугольник. Для того, чтобы их сравнить мы можем наложить меньшую фигуру на большую. Треугольник полностью поместился в прямоугольнике, это значит, что треугольник меньше прямоугольника.

Но не всегда можно сравнить площади фигур таким способом. Тогда можно разбить фигуру на равные квадраты и посчитать количество квадратов входящих в эту фигуру.

На рисунке изображено две фигуры. Путем наложения эти фигуры сравнить невозможно. Мы разбили эти фигуры на квадраты с одинаковой площадью. Теперь можно посчитать количество квадратов входящих в эти фигуры. В первую фигуру вписалось 6 квадратов, а во вторую 8. Значит площадь первой фигуры меньше площади второй.

Площадь фигуры равна числу единичных квадратов, составляющих эту фигуру.

Если у квадрата сторона равна 1 см, то площадь такого квадрата равна 1 квадратному сантиметру (см²).

Площадь квадрата сторона которого равна 1 дециметр равна 1 квадратному дециметру (дм²) или 100 квадратным сантиметрам(см²).

Площадь фигуры обозначается заглавной латинской буквой S.

Допустим нам надо найти площадь прямоугольника, длины сторон которого равны 6 и 4 см. Разделим прямоугольник на квадратные сантиметры и вычислим его площадь.

Итак, умножим длину прямоугольника на его ширину и получим площадь:

S = 6 × 4 = 24 см²

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, надо измерить его длину и ширину в одинаковых единицах измерения и найти их произведение.

Если известна площадь прямоугольника и ширина, то найти длину просто, надо разделить площадь на известную длину.

Д = S ÷ Ш

или

Ш = S ÷ Д

Например, площадь прямоугольника равна 15 см². Длина прямоугольника равна 5 см. Найдем его ширину:

Ш = 15 ÷ 5 = 3 см

Если фигура сложная, например, такая как на рисунке, то вычислить её площадь можно разбив фигуру на прямоугольники, вычислить их площадь, а затем сложить полученные площади.

Итак нашу фигуру мы можем разбить на два прямоугольника: первый площадью 2 см², и второй площадью 8 см²:

S = 2 × 1 + 4 × 2 = 10 см²

А как найти площадь прямоугольного треугольника. Для этого надо достроить треугольник до прямоугольника, так как показано на рисунке.

Теперь найдем площадь полученного прямоугольника и разделим её пополам:

S = (3 × 6) ÷ 2 = 9 см²

Кажется все просто, когда треугольник прямоугольный. Если у треугольника нет прямого угла, то вычислить его площадь можно следующим образом:

На следующем рисунке мы видим треугольник, площадь которого нам надо вычислить, он выделен желтым цветом. Впишем его в прямоугольник, так как показано на рисунке. Длина полученного прямоугольна – 5 см. Ширина – 4 см. Вершина треугольника делит длину прямоугольника на части в 3 и 2 см.

Теперь для того, чтобы найти площадь нашего треугольника, надо вычислить площади двух полученных прямоугольных треугольников и сложить их:

S1 = (3 × 4) ÷ 2 = 6 см²

S2 = (2 × 4) ÷ 2 = 4 см²

S = S1 + S2 = 6 + 4 = 10 см²

ludmilasorokina.3dn.ru