Число слева над корнем – как называеться цифорка над корнем слева???

Извлечение квадратного корня в столбик

Когда-то уже довольно давно, когда я училась классе в восьмом, моя учительница математики на кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))

Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.

Возьмем число (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).

1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем .

2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева — в нашем случае это (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число . Записываем в ответ — это старшая цифра корня.

3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр — из числа . В нашем случае остается .

4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: . Число , которое уже стоит в ответе, умножаем на , получаем .

5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу справа приписать одну цифру , и число умножить на , то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к , но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра , ее записываем в ответ рядом с , справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.

6. Из вычитаем произведение , получаем .

7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к справа следующую группу цифр , умножаем на , к полученному числу > приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее , но наиболее близкое к нему –– это цифра –– следующая цифра в десятичной записи корня.

8. Далее у нас в числе стоит десятичная точка, ставим такую же в результате после цифры . Продолжаем процесс, снося по две цифры после точки. Ясно, что можно сносить и два нуля.

Вычисления запишутся следующим образом:

А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле

   

Первый раз вычитаем квадрат, дальше, приписывая по одной цифре к результату, к числу под корнем, тем самым, приписываем две десятичных цифры. Отсюда разбиение на пары (видно из формулы). Вычтя квадрат, необходимо вычитать дальше числа вида , где — удвоенный известный на данный момент результат, приписывая к нему цифру, получаем , умножаем на эту же самую цифру, имеем . Вот и все!

P.S. Красивую модификацию описанного метода извлечения квадратного корня, которую предложил С.В. Савич, можно найти здесь: http://hijos.ru/2012/04/25/krasivaya-modifikaciya-metoda-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/

hijos.ru

термины / Арифметический и алгебраический корни / Математика

По определению, арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число в, n-я степень которого равна а. Что касается алгебраического корня, то здесь понятие шире, поскольку нет требования неотрицательности: алгебраическим корнем n-й степени из числа а называется число в, n-я степень которого равна а. Вроде все ясно. А вопрос такой: а в каких случаях какой корень используется? Скажем попалось уравнение с корнями — так какой именно корень имеется в виду? Как это узнать?

Перенесено из ответа. При извлечении алгебраического корня слева и справа получаются четыре возможных варианта, из которых различных только два — икс равен плюс-минус единице. Теперь такой вопрос — скорее, качественный. При решении уравнения икс в квадрате равен единице можно использовать как арифметический, так и алгебраический корни. Решение при этом получается одно и то же: икс равен плюс-минус единице. Но почему так получается? Ведь при использовании арифметического корня мы просто отбрасываем минус единицу при извлечении корня из единицы. Формально я понимаю, почему все же решение получается полное — потому что при извлечении корня из икса в квадрате получаем модуль икса, оттуда минус и вылезает. Но это формально. А как КАЧЕСТВЕННО объяснить тот факт, что мы не теряем решение, хотя сначала чем-то там пренебрегаем?

Дополнение DocentI. Комментарии растянулись в огромную змею, поэтому пишу здесь.

При использовании арифметического корня мы ничего не отбрасываем. В уравнении $%x^2=1$% x — это число. Но чисел, удовлетворяющих такому уравнению, может быть несколько.
Множество таких чисел образует «алгебраический корень» из 1. Как его обозначить? Собственно, адекватного обозначения нет, потому что запись вида $%\sqrt a$% задает одно значение корня, а не все. В ТФКП использую знак $%\sqrt[n] {*}$%, но это нестрого.

Чтобы записать все решения уравнения $%x^n = a$% поступают так: выбирают из них один (который нам больше нравится, обозначим его за $%s_0$%), а остальные выражают через него. Как выбирают? Если можно — берут положительный корень (его называют арифметическим). Если нет положительного — действительный (отрицательный). Если нет и действительного, никакой и не выбирают (в «школьной» математике говорят, что корня нет).

Как выражают остальные решения через выбранное? По заранее доказанным правилам. Для четного n — берем $%s_0$% и $%-s_0$%. Если n нечетно — только $%s_0$%. В случае комплексных корней правила сложнее.

Почему получаем правильное решение? Потому что эта задача решена математиками, описанные выше правила доказаны и внесены в школьную программу.

math.hashcode.ru

Как складывать корни — 17 Июня 2015

2 части:Определение корнейУпрощение и сложение корней В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней. Шаги Часть 1 из 2: Определение корней 1 Обозначение корней. Выражение под знаком корня (√) означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени. Корень обозначают знаком √. Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: 3√(27) Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).[1] Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5√(2) Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе). Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение. 2 Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя. Так же, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b ≠ 4ab, вы не можете складывать разные корни.[2] Нельзя складывать корни с разными подкоренными выражениями, например, √(2) + √(3) ≠ √(5). Но вы можете сложить числа, стоящие под одним корнем, например, √(2 + 3) = √(5) (квадратный корень из 2 примерно равен 1,414, квадратный корень из 3 примерно равен 1,732, а квадратный корень из 5 примерно равен 2,236).[3] Нельзя складывать корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями, например, √(64) + 3√(64) (эта сумма не равна 5√(64), так как квадратный корень из 64 равен 8, кубический корень из 64 равен 4, 8 + 4 = 12, что гораздо больше, чем корень пятой степени из 64, который примерно равен 2,297). Часть 2 из 2: Упрощение и сложение корней 1 Определите и сгруппируйте подобные корни.[4] Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение: 2√(3) + 3√(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно. 2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3√(81) Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно. 2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3√(81) 2 Упростите корни. Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.[5] В приведенном выше примере разложите число 50 на 2*25, а число 32 – на 2*16. Из 25 и 16 можно извлечь квадратные корни (соответственно 5 и 4) и вынести 5 и 4 из-под корня, соответственно умножив их на множители 2 и 1. Таким образом, вы получите упрощенное выражение: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3√(81) Число 81 можно разложить на множители 3*27, а из числа 27 можно извлечь кубический корень, равный 3. Это число 3 можно вынести из-под корня. Таким образом, вы получите еще более упрощенное выражение: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 33√(3) 3 Сложите множители подобных корней.[6] В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет. 10√(2) + 4√(2) = 14√(2). 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3). Окончательное упрощенное выражение: 14√(2) + 8√(3) + 33√(3) Советы Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. [7] Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.

nikitka.at.ua