стороны, вершины и углы. Виды треугольников
Треугольник – это выпуклый многоугольник с наименьшим числом углов и сторон. Треугольник образуется замкнутой ломаной, состоящей из трёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.
В тексте треугольники обозначаются символом Δ и тремя прописными латинскими буквами, стоящими при вершинах – ΔABC:
В треугольнике ABC точки A, B и C – это вершины треугольника, отрезки AB, BC и CA – стороны треугольника. Углы, образованные сторонами треугольника, называются углами треугольника.
Нижнюю сторону треугольника обычно называют основанием. В треугольнике ABC сторона AC – основание.
Виды треугольников
Треугольники различаются между собой, во-первых, по характеру углов, во-вторых, по характеру сторон.
По характеру углов треугольник называется:
- Остроугольным, если все его углы являются острыми.
- Прямоугольным, если один угол прямой. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла – гипотенузой.
- Тупоугольным, если один из его углов тупой.
По характеру сторон треугольник называется:
- Разносторонним, если все его стороны имеют различную длину.
- Равнобедренным, если две его стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны.
- Равносторонним, если все три его стороны равны между собой. В равносторонних треугольниках все три угла равны.
Равные стороны стороны на чертежах отмечаются одинаковым количеством чёрточек.
naobumium.info
Треугольник — Циклопедия
Математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Планиметрия. Треугольники и их свойства // Timetostudy Сourses [39:59]Треугольник в евклидовой геометрии — (плоская) геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, которые их соединяют. Треугольник с вершинами
Основные сведения о треугольниках были приведены Евклидом в его труде «Начала», написанном около 300 г. до н. э.
[править] Типы треугольников
Треугольники можно классифицировать в зависимости от относительной длины его сторон:
- В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Все углы равностороннего треугольника также одинаковы и равны 60°. Равносторонний треугольник еще называют правильным.
- В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, третья сторона при этом называется основой треугольника. Равнобедренный треугольник имеет два одинаковых угла, которые находятся при его основе.
- Разносторонний треугольник имеет стороны разной длины. Внутренние углы разностороннего треугольника разные.
Равносторонний
Равнобедренный
Разносторонний
Также треугольники можно классифицировать в соответствии с их внутренними углами:
- Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол равный 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенуза. Другие две стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
- Тупоугольный треугольник имеет один внутренний угол больше 90°.
- В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°. Равносторонний треугольник является остроугольным, но не все остроугольные треугольники равносторонние.
Прямоугольный
Остроугольный
- Треугольник Рёло — это выпуклый криволинейный треугольник, получаемый при пересечении трёх окружностей одного радиуса с центрами в вершинах правильного треугольника со стороной равной радиусу.
Треугольник Рёло
[править] Точки и линии, связанные с треугольником
Есть сотни различных построений для определения особых точек внутри треугольника, которые удовлетворяют некоторым уникальным условиям. Часто необходимо построить три прямые, связанные аналогично с тремя сторонами (вершинами, углами) треугольника и тогда убедиться, что они пересекаются в одной точке. Важным инструментом для проверки этого является теорема Чевы, которая дает критерии для определения конкурентности прямых. Подобно этому, линии, связанные с треугольником часто строятся после проверки, три аналогичным образом полученные точки является коллинеарными — теорема Менелая дает для этого случая общий критерий. В этом разделе приведены только такие построения, которые наиболее часто встречаются.
Центр описанной окружности.
Срединный перпендикуляр треугольника — это перпендикуляр, который проходит посередине стороны треугольника. Три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Диаметр описанной окружности можно определить из теоремы синусов.
Исходя из теоремы Фалеса, можно утверждать, что если центр описанной окружности расположен на одной из сторон треугольника, тогда противоположный угол прямой. Более того, если центр описанной окружности находится внутри треугольника, то треугольник остроугольный, а если наружу, то треугольник тупоугольный.
Высота треугольника — прямая, проведенная из вершины и перпендикулярная к противоположной стороне или к продолжению противоположной стороны. Эта сторона называется основанием треугольника. Точка пересечения стороны и перпендикуляра называется основой перпендикуляра. Длина высоты — это расстояние от вершины к основанию треугольника. Три высоты пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Ортоцентр лежит внутри треугольника (и соответственно все основания перпендикуляров лежат в треугольнике) тогда и только тогда, когда треугольник не тупоугольный.
Биссектриса треугольника — это прямая, проведенная через вершину, которая делит соответствующий угол на две равные части. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, инцентре, центре вписанной в треугольник окружности. Вписанная окружность — это круг, который лежит внутри треугольника и примыкает к трем его сторонам. Кроме того, есть еще три важных круга, внешние вписанные; они лежат за пределами треугольника и соприкасаются с одной его стороной, а также к продолжению других двух. Центры внутреннего и внешних вписанных кругов образуют ортоцентрическую систему.
Медиана треугольника — это прямая, проведенная через вершину и середину противоположной стороны и делящая треугольник на две одинаковых площади. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. Эта точка также центр масс треугольника: если бы треугольник был сделан из дерева, то можно было бы держать равновесие держась за центроид. Центроид делит каждую медиану в соотношении 2:1, например расстояние между вершиной и центроидом вдвое больше, чем между центроидом и противоположной стороной.
Окружность девяти точек.
Средние точки трех сторон и основы трех высот лежат на одном круге, который называется кругом девяти точек треугольника. Остальные три точки, из-за которых круг получил свое название, это середины той части высоты, лежащей между ортоцентром и вершиной. Радиус окружности девяти точек равен половине описанной окружности. Она соприкасается со вписанной окружностью (в точке Фейербаха) и с тремя внешними вписанными кругами.
[править] Основные факты
Вершины треугольника обычно обозначают большими латинскими буквами A, B, C, углы при соответствующих вершинах греческими буквами α, β, γ, а длины противоположных сторон — маленькими латинскими буквами a
Сумма внутренних углов треугольника — 180 градусов. Внешний угол треугольника (угол смежный к внутреннему углу) всегда равен сумме двух других внутренних углов треугольника. Как и у всех выпуклых многогранниках сумма внешних углов треугольника 360 градусов.
- [math]\alpha+ \beta+ \gamma\ = 180^\circ[/math]
Сумма длин двух любых сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это неравенство треугольника или аксиома треугольника (в частном случае равенства два угла уменьшаются до нуля и треугольник вырождается в отрезок).
[править] Вычисление площади треугольника
cyclowiki.org
Обозначения: А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах; а, b, с — стороны, противолежащие углам ha , hb , hc — высоты, опущенные на стороны а, b, с соответственно; ma , mb , mc — медианы; la , lb , lc — биссектрисы; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности.
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника: |
| ||||||||||||
Высоты треугольника пересекаются в одной точке О, называемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. |
| ||||||||||||
Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника. Точкой О медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1 (считая от вершины).
| |||||||||||||
Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности. | |||||||||||||
| Два треугольника называются равными, если при наложении друг на друга они совместятся.
и соответственные углы равны
| ||||||||||||
Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
Медиана, биссектриса, высота |
| ||||||||||||
Высоты и стороны треугольника | |||||||||||||
Теорема косинусов |
| ||||||||||||
Теорема синусов |
| ||||||||||||
Теорема тангенсов |
| ||||||||||||
Теорема Пифагора |
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
osiktakan.ru
Треугольники, виды треугольников, свойства треугольников
Понятие треугольника
Вспомним следующую аксиому для такого основного понятия геометрии, как прямая.
Аксиома 1: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.
Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда
Определение 1
Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.
Определение 2
Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.
Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)
Виды треугольников
Треугольники можно разделять на различные виды по углам и по сторонам треугольника. Рассмотрим для начала виды треугольников в различии от их углов.
Определение 4
Треугольник будем называть остроугольным, если все углы в нем менее $90^0$.
Определение 5
Треугольник будем называть тупоугольным, если один из углов в нем более $90^0$.
Определение 6
Треугольник будем называть прямоугольным, если один из углов в нем равен $90^0$.
Все эти виды изображены на рисунке 2.
По сторонам треугольники разделяются на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Определение 7
Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны будут равны между собой.
Определение 8
Треугольник будем называть равносторонним, если три его стороны будут равны между собой.
Все эти виды треугольников изображены на рисунке 3.
Свойства треугольников
Введем теперь некоторые свойства треугольников в виде теорем. В данной статье доказательства их мы рассматривать не будем.
Вначале приведем теоремы, которые относятся ко всем видам треугольников. Но для них нам будут необходимы еще несколько понятий.
Определение 9
Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
Определение 10
Биссектрисой будем называть луч, который проведен из вершины так, что делит угол в этой вершине на две равные части.
Определение 11
Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.
Теорема 1
Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.
Теорема 2
Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.
Теорема 3
Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.
Следующие две теоремы рассматривают свойства для равнобедренных треугольников.
Теорема 4
Углы при основании равнобедренного треугольника будут равными.
Теорема 5
Высота, медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике являются одной и той же прямой.
Замечание 1
Отметим, что теоремы, относящиеся к равнобедренным треугольникам также справедливы и для равносторонних треугольников.
Пример задачи
Пример 1
Пусть дан треугольник $ABC$. Доказать, что он будет равнобедренным в условиях рисунка 5.
Доказательство.
По условию задачи угол 1 равняется углу 2, а сторона $BD$ равняется стороне $CD$. Так как у треугольников $ADB$ и $ADC$ сторона $AD$ является общей, то треугольники $ADB$ и $ADC$ будут равняться по первому признаку. Но тогда и стороны $AB$ и $AC$ также равны между собой. Следовательно, данный треугольник будет равнобедренным.
spravochnick.ru
Как называются стороны треугольника | Треугольники
Всегда ли возможно ответить на вопрос: «Как называются стороны треугольника?» Ответ зависит от того, что конкретно требуется — назвать стороны треугольника как отрезки, соединяющие вершины треугольника или речь идет об общем названии сторон треугольника определенного вида.
Как называются стороны прямоугольного треугольника
Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой.
Две другие стороны прямоугольного треугольника называются катетами.
Как называются стороны равнобедренного треугольника
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми.
Третья сторона называется основанием.
Как называются стороны произвольного треугольника
Специальных названий стороны произвольного треугольника не имеют.
Иногда в задачах одну из сторон произвольного треугольника называют основанием. Как правило, это делают для того, чтобы облегчить построение чертежа (такую сторону располагают горизонтально).
Как можно назвать стороны любого треугольника
Стороны треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника. Поэтому название сторон треугольника любого вида — это название соответствующих отрезков.
Например, для треугольника АВС название сторон — АВ, ВС и АС.
www.treugolniki.ru
прошу знатоки по геомерии помогите:*
1) Это фигура состоящая из трех точек, и трех отрезков поочередно соединенных между собой. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон 2)равными называют треугольники если у них соответственные стороны углы равны 3)Теорема-утверждение, которое доказывается. Доказательство-рассуждение о правильности утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры.
открой учебник, хорош п… здой своей любоваться
не царское это дело- в геометрии ковыряться! заведи себе придворного математика!
да уж но помогу вот всё что смогу сказать: 1) Это фигура состоящая из трех точек, и трех отрезков поочередно соединенных между собой. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон 2)равными называют треугольники если у них соответственные стороны углы равны 3)Теорема-утверждение, которое доказывается. Доказательство-рассуждение о правильности утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры.
touch.otvet.mail.ru
Объясните, какая фигура называется треугольником. 2. Что такое периметр треугольника? 3. Какие треугольники называются р
1. Треуго́льник — одна их основных фигур в геометрии: это многоугольник, у которого три вершины последовательно соединены тремя отрезками или, что тоже самое, фигура, ограниченная тремя сторонами, образующими три угла. 2. Сумма длин сторон. 3. ??
# Тема: Треугольник и его элементы Просмотреть Загрузить521 КБ Теоретический опрос по вопросам: объясните, какая фигура называется треугольником; начертите треугольник и покажите его стороны вершины и углы; что такое периметр треугольника? какие треугольники называются равными? uchitmatematika.ucoz.ru›_tbkp/treugolnik.doc ещё # 2 Виды треугольников: прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.. . О треугольнике. Какая же фигура называется треугольником? Треугольник — это геометрическая фигура, у которой три вершины, три угла, три стороны. (Уч-ся показывают на чертеже треугольник, называют вершины, углы и стороны) . festival.1september.ru›articles/419779/
треугольник 1)
Треугольник это фигура геометрии Задаемся вопросу как его начертить? ответ прост возьмем 3 точки не лежащиш на одной прямой соеденим их отрезками вот и все!
Треугольник -это геометрическая фигура состоящая из 3х углов 3х вершин и 3х сторон. Периметр . Суммам длин всех сторон Равные треугольники — это треугольники у которых все элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.Треугольная 😀
Равнобедренными?
Треугольник — это геометрическая фигура, у которой три вершины, три угла, три стороны. (Уч-ся показывают на чертеже треугольник, называют вершины, углы и стороны)
touch.otvet.mail.ru