Чему равна средняя линия трапеции
Добрый вечер!
Спасибо за обращение к нам.
Давайте сначала вспомним, что трапеция — это четырёхугольник у которого параллельны две стороны (основания), а другие — нет (боковые стороны).
А средняя линия — это отрезок, который соединяет середины боковых сторон.
А теперь давайте подумаем, чему равна средняя линия трапеции. Как мне кажется, то это легче всего сделать через площадь трапеции (то есть Ваше предположение верно). Давайте вспомним, какую формулу площади тут следует использовать:
где m — средняя линия трапеции, а h — её высота.
Давайте попробуем, через данную формулу выразить среднюю линию трапеции:
Как видим, знать площадь — маловато.
Давайте рассмотрим задачу. Нам дана трапеция ABCD, KB — средняя линия, BM — высот, которая равна 5 см. А площадь равна 100 см . Теперь поймём, чему равна средняя линия трапеции:
ru.solverbook.com
Средняя линия трапеции
Понятие средней линии трапеции
Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.
Определение 1
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.
Определение 2
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Теорема о средней линии трапеции
Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её векторным методом.
Теорема 1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).
Рисунок 1. Средняя линия трапеции
Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что
С другой стороны
Сложим два последних равенства, получим
Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь
Получаем:
Следовательно
Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.
Теорема доказана.
Примеры задач на понятие средней линии трапеции
Пример 1
Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.
Решение.
Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.
Сумма боковых сторон равна
\[15\ см+17\ см=32\ см\]Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна
\[52\ см-32\ см=20\ см\]Ответ: $10\ см$.
Пример 2
Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.
Решение.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем
\[OH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{9\ см+5\ см}{2}=7\ см.\]Значит
\[d=2OH=2\cdot 7\ см=14\ см.\]Ответ: $14$ см.
Пример 3
Доказать, что средняя линия трапеции проходит через середину произвольной диагонали данной трапеции.
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ADCD$ со средней линией $MN$. Рассмотрим диагональ $AC$. Обозначим точкой $K$ — точку пересечения средней линии с этой диагональю (Рис. 3).
Рисунок 3.
Докажем, что $AK=KC$.
Так как $MN$ — средняя линия трапеции, то по теореме 1 $MN||BC$. Следовательно, $AM=NB$ и $MK||BC$. Тогда, по теореме о средней линии треугольника, получим что $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Значит $AK=KC$.
ч. т. д.
spravochnick.ru
Все формулы средней линии равнобедренной трапеции
1. Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — боковая сторона
α — угол при нижнем осровании
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
α — угол при нижнем осровании
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
www-formula.ru
Средняя линия трапеции
1. Формула средней линии трапеции через основания
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
α, β — углы трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Все формулы средней линии прямоугольной трапеции
1. Формула средней линии трапеции через основания (для всех видов трапеции)
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
a, b — основания трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
d — боковая сторона
α — угол при основании
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту (для всех видов трапеции)
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
www-formula.ru
Средняя линия трапеции — это… Что такое Средняя линия трапеции?
- Средняя линия трапеции
Wikimedia Foundation. 2010.
- Средняя линия
- Средняя наработка до отказа
Смотреть что такое «Средняя линия трапеции» в других словарях:
Средняя линия — фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция. Содержание 1 Средняя линия треугольника 1.1 Свойства … Википедия
Средняя линия треугольника — Средняя линия треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.[1] Свойства средней линии треугольника: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине; при проведении всех трёх средних линий… … Википедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… … Большая политехническая энциклопедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Большой Энциклопедический словарь
средняя линия — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Энциклопедический словарь
Средняя линия — 1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… … Большая советская энциклопедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… … Математическая энциклопедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Естествознание. Энциклопедический словарь
Трапеция — У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον «столик»; … Википедия
Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
dic.academic.ru
Средняя линия — трапеция — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Средняя линия — трапеция
Cтраница 1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований. [1]
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. [2]
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобочной. В равнобочной трапеции углы при основании равны. Трапеция, у которой хотя бы один угол прямой, называется прямоугольной. [3]
Средняя линия трапеции делит высоту трапеции на два равных отрезка. [4]
Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми 2 дм. [5]
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и делит высоту пополам. [6]
Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равча 2 дм. [7]
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме. [8]
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и длина ее равна полусумме длин оснований. [9]
Средняя линия трапеции равна 21 4, а биссектриса большего угла параллельна боковой стороне. [10]
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. [11]
Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований. [12]
Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из оснований больше другого на 4 см. Найти основания трапеции. [13]
Средняя линия трапеции равна 56 дм. [14]
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. [15]
Страницы: 1 2 3 4
www.ngpedia.ru