Вывод формул обратных тригонометрических функций
Основные формулы
Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.
В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (–∞ < x < +∞)
ctg(arcctg x) = x (–∞ < x < +∞)
Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при
Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n — целое):
sin x = sin(–x–π); sin x = sin(π–x); sin x = sin(x+2πn);
cos x = cos(–x); cos x = cos(2π–x); cos x = cos(x+2πn);
tg x = tg(x+πn); ctg x = ctg(x+πn)
Например, если известно, что то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π — x )) = π — x .
Легко убедиться, что при π – x попадает в нужный интервал. Для этого умножим на –1: и прибавим π: или Все правильно.
Обратные функции отрицательного аргумента
Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
Поскольку то умножив на –1, имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.
Аналогично для остальных функций.
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x
Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс
Выразим арксинус через арккосинус.
Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку
Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на –1: и прибавим π/2: или Все правильно.
Итак,
Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.
Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот
Поступаем аналогичным способом.
Формулы суммы и разности
Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.
Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x, Y = arcsin y. Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(–x) = – arcsin x, arcsin(–y) = – arcsin y, то при разных знаках у x и y, X и Y также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: . То есть при формула справедлива.
Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0, или X > 0 и Y > 0. Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: . Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0, до π, то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;
;
;
.
Поскольку и ; то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем sin X = sin arcsin x = x:
;
;
;
.
Итак, полученная формула справедлива при или .
Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0 и x2 + y2 > 1. Здесь аргумент синуса принимает значения: . Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :
.
Итак,
при и.
Заменив x и y на – x и – y, имеем
при и.
Выполняем преобразования:
при и.
Или
при и.
Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:
при или ;
при и ;
при и .
Аналогичным способом получаются остальные формулы:
при или ;
при и ;
при и ;
при ;
при ;
при ;
при ;
при ;
при ;
при ;
при ;
при ;
при .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы
Арксинус, arcsin
Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений –π/2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x
Арксинус иногда обозначают так:
.
График функции арксинус
График функции y = arcsin x
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccos
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Арккосинус иногда обозначают так:
.
График функции арккосинус
График функции y = arccos x
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
Четность
Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x
Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Область определения и непрерывность | – 1 ≤ x ≤ 1 | – 1 ≤ x ≤ 1 |
| Область значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы | ||
| Минимумы | ||
| Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
Таблица арксинусов и арккосинусов
В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| – 1 | – 90° | – | 180° | π |
| – | – 60° | – | 150° | |
| – | – 45° | – | 135° | |
| – | – 30° | – | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формулы
Формулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
Производные
;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >
Производные высших порядков:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Интегралы
Делаем подстановку x = sin t. Интегрируем по частям, учитывая что –π/2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.
Выразим арккосинус через арксинус:
.
Разложение в ряд
При |x| < 1 имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | График | y=sin(x) | |
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com