Cos x sin x график функции – Урок по теме «Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики»

Урок по теме "Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики"

Разделы: Математика


Цели:

  • Закрепление навыков построения графиков функций на основе изученного теоретического материала и перенос знаний в новую ситуацию.
  • Развитие познавательного интереса к обучению.

Задачи:

  • Использовать имеющиеся знания о свойствах функций в конкретных ситуациях.
  • Уметь отстаивать свою точку зрения.
  • Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями тригонометрических функций.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II.Опрос

Два ученика у доски выполняют задание:

Построить график функции: а) y = sin x; б) y = cos x. Перечислите их свойства.

III. Проверка домашнего задания

(Фронтальная работа. Учащиеся отвечают, а на экране демонстрируются слайды с поэтапным выполнением работы

)

№ 671(в) Решите графически уравнение sin x = х + .

Ответ учащегося.

  • Рассмотрим функцию y = sin x и построим ее график.
  • Построим график линейной функции у = х + в этой же системе координат.
  • Построенные графики пересекаются в одной точке А(–; 0), значит, заданное уравнение имеет один корень х = – .

№ 652 (б) найдите значение функции у = – sin (х +) при х =.

Решение:

Если х =, то у = – sin ( + ) = – sin (–) = sin = .

Дополнительные вопросы: Какие свойства функции здесь применили?

№ 654 (в, г) Найдите область определения функции: в) у = sin2x; г) у = .

Решение:

в) у = sin2x. D( f ) = ().

г) у = D( f ) = (), т.к. sin x +2 0 при любом значении х .

Дополнительные вопросы: Что такое область определения функции?

№ 655 (в, г) г Найдите область значений функции: в) у = sin2x; у = sin x.

Решение:

в) у = sin2x. Е( f ) = .

г) у = sin x. Е( f ) = .

Дополнительные вопросы:

1. Что такое множество значений функции?
2. Какие свойства функции еще не повторили?

IV. Ответ учащихся, работающих у доски

Дополнительные вопросы:

1. Что называется периодом функции?
2. Назовите основной период данных функций.

V. Устная работа

1. Вычислить:

2. Не выполняя построения графиков функций, определить, принадлежат ли точки графикам функции:

а) y = sin x точка (; 1)
б) y = cos x точка (2; –1).
(Нет)
(Нет)

3. Какая функция называется периодической?

Является ли число 17 (8) периодом функции y = sin x? y = cos x? (Нет , да)
Назовите основной период для этих функций. (2)

4. Решите уравнение:

5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке:

 

а) y = sin x на ;
б) y = sin x на ;
в) y = cos x на .

Ответы:

1 и –1

нет,

1 и –1

VI. Разминка

Учащиеся работают за партами по вариантам, 2 ученика у доски (за крыльями доски)/

Задание 1. Решите уравнение:

Взаимоконтроль (учащиеся меняются тетрадями и проверяют работу).

VII. Графическая линия

Задание 2. Построить график функции:

а) y = – sin x;
б) y = sin x +1.
в) y = – cos (x + ).
г) y = sin (x – ) + 1.

Учащиеся работают по вариантам, выбирая задания по своим силам. Представитель от группы рассказывает порядок построения графика, его ответ сопровождается соответствующими слайдами.

Задание 3. Решите графически уравнение:

 

В-1 sin х =

В-2 cos х = +1.

Решение:

х =

х = 0

Учащиеся работают самостоятельно за партами.

Взаимоконтроль: учащиеся меняются тетрадями. Решение уравнений выводится на слайдах.

Задание 4.

Построить график кусочной функции и перечислите ее свойства.

В-1

f (x) =

В-2

f (x) =

Работа выполняется самостоятельно, желающие могут сдать тетради на проверку. Затем учащимся предлагается проверить свои работы с помощью слайдов.

VIII. Итоги урока

– На уроке мы исследовали свойства функций, научились строить графики функций и решать графически уравнения.

IX. Задание на дом: № 660 (в,г), № 671 (а,б), № 669.

22.02.2008

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(60)
4 Найти точное значение sin(30 град. )
5 Найти точное значение sin(60 град. )
6 Найти точное значение tan(30 град. )
7 Найти точное значение arcsin(-1)
8 Найти точное значение sin(pi/6)
9 Найти точное значение cos(pi/4)
10 Найти точное значение sin(45 град. )
11 Найти точное значение sin(pi/3)
12 Найти точное значение arctan(-1)
13 Найти точное значение cos(45 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение tan(60)
16 Найти точное значение csc(45 град. )
17 Найти точное значение tan(60 град. )
18 Найти точное значение sec(30 град. )
19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
20 График y=sin(x)
21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
22 Найти точное значение cos(60 град. )
23 Найти точное значение cos(150)
24 Найти точное значение tan(45)
25 Найти точное значение sin(30)
26 Найти точное значение sin(60)
27
Найти точное значение
cos(pi/2)
28 Найти точное значение tan(45 град. )
29 График y=sin(x)
30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
31 Найти точное значение csc(60 град. )
32 Найти точное значение sec(45 град. )
33 Найти точное значение csc(30 град. )
34 Найти точное значение sin(0)
35 Найти точное значение
sin(120)
36 Найти точное значение cos(90)
37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
38 Найти точное значение sin(45)
39 Найти точное значение tan(30)
40 Преобразовать из градусов в радианы 45
41 Найти точное значение tan(60)
42 Упростить квадратный корень x^2
43 Найти точное значение cos(45)
44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
46 Найти точное значение cot(30 град. )
47 Найти точное значение arccos(-1)
48 Найти точное значение arctan(0)
49 График y=cos(x)
50 Найти точное значение cot(60 град. )
51 Преобразовать из градусов в радианы 30
52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
57 Найти точное значение tan(pi/2)
58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
59 Найти точное значение sin(300)
60 Найти точное значение cos(30)
61 Найти точное значение cos(60)
62 Найти точное значение cos(0)
63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
64 Найти точное значение cos(135)
65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
66 Найти точное значение cos(210)
67 Найти точное значение sec(60 град. )
68 Найти точное значение sin(300 град. )
69 Преобразовать из градусов в радианы 135
70 Преобразовать из градусов в радианы 150
71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
74 Преобразовать из градусов в радианы 60
75 Найти точное значение sin(135 град. )
76 Найти точное значение sin(150)
77 Найти точное значение sin(240 град. )
78 Найти точное значение cot(45 град. )
79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
81 Найти точное значение sin(225)
82 Найти точное значение sin(240)
83 Найти точное значение cos(150 град. )
84 Найти точное значение tan(45)
85 Вычислить sin(30 град. )
86 Найти точное значение sec(0)
87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
89 Найти точное значение csc(30)
90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
92 Найти точное значение tan(0)
93 Вычислить sin(60 град. )
94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
96 Вычислить arcsin(-1)
97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
100 Найти точное значение csc(45)

www.mathway.com

Внеклассный урок - Функции y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x

Функции y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x

Функция y = sin x

Графиком функции является синусоида.

Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.

Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).

 
Свойства функции
y = sin x:

1) Область определения функции – множество действительных чисел.

2) Область значений функции – отрезок [–1; 1]

3) Это нечетная функция.

4) Это непрерывная функция.

5) Координаты точек пересечения графика:
    - с осью абсцисс: (πn; 0),
    - с осью ординат: (0; 0).

6) На отрезке [-π/2; π/2] функция возрастает, на отрезке [π/2; 3π/2] – убывает.

7) На промежутках [2πn; π + 2πn] функция принимает положительные значения.
    На промежутках [-π + 2πn; 2πn] функция принимает отрицательные значения.

8) Промежутки возрастания функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn].
    Промежутки убывания функции: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

9) Точки минимума функции: -π/2 + 2πn.
    Точки максимума функции: π/2 + 2πn

10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1,
      наибольшее значение 1.

11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π)

 

Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:

- на листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.

- на оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x.

- на оси y отметим 1, включающий две клетки.

 

Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x:

 
x

 

0

π

6

π

3

π

2



3



6

 
π

 
y

 
0

1

2

√3

2

 
1

√3

2

1

2

 
0

Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке [0; π]. Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].

Можно продолжить волну, построив ее и на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т.д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как на отрезке [-π; π]. Получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.

 

Функция y = cos x.

Графиком функции является синусоида (ее иногда называют косинусоидой).

 

Свойства функции y = cos x:

1) Область определения функции – множество действительных чисел.

2) Область значений функции – отрезок [–1; 1]

3) Это четная функция.

4) Это непрерывная функция.

5) Координаты точек пересечения графика:
    - с осью абсцисс: (π/2 + πn; 0),
    - с осью ординат: (0;1).

6) На отрезке [0; π] функция убывает, на отрезке [π; 2π] – возрастает.

7) На промежутках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функция принимает положительные значения.
    На промежутках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] функция принимает отрицательные значения.

8) Промежутки возрастания: [-π + 2πn; 2πn].
    Промежутки убывания: [2πn; π + 2πn];

9) Точки минимума функции: π + 2πn.
    Точки максимума функции: 2πn.

10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1,
      наибольшее значение 1.

11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π)

 

Функция y = mf(x).

Возьмем предыдущую функцию y = cos x. Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x (либо сожмется, в зависимости от величины m).
Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.

Таким образом, функция y = mf(x) – это привычная нам функция y = f(x), умноженная на m.

Если m < 1, то синусоида сжимается к оси x на коэффициент m. Если m > 1, то синусоида растягивается от оси x на коэффициент m.

 

Выполняя растяжение или сжатие, можно сначала построить лишь одну полуволну синусоиды, а затем уже достроить весь график.

 

Функция y = f(kx).

Если функция y = mf(x) приводит к растяжению синусоиды от оси x либо сжатию к оси x, то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y либо сжатию к оси y.

Причем k – любое действительное число.

При 0 < k < 1 синусоида растягивается от оси y на коэффициент k. Если k > 1, то синусоида сжимается к оси y на коэффициент k.

 

Составляя график этой функции, можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а по ней достроить затем весь график.

 

Функция y = tg x.

Графиком функции y = tg x является тангенсоида.

Достаточно построить часть графика на промежутке от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить ее на промежутке от 0 до 3π/2.

  

Свойства функции y = tg x:

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
x = π/2 + πk, где k – любое целое число.

Это означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой x = π/2,
либо прямой x = 3π/2, либо прямой x = 5π/2, либо прямой x = –π/2 и т.д.

2) Область значений функции (–∞; +∞)

3) Это нечетная функция.

4) Это непрерывная функция на интервале (–π/2; π/2).

5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π)

6) Функция возрастает на интервале (–π/2; π/2).

7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

 

Функция y = ctg x

Графиком функции y = ctg x также является тангенсоида (ее иногда называют котангенсоидой).

 

Свойства функции y = ctg x:

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
x = πk, где k – любое целое число.

2) Область значений функции (–∞; +∞)

3) Это нечетная функция.

4) Это непрерывная функция.

5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π)

6) Функция убывает в промежутке (πk; π + πk), где k – любое целое число.

7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

 

raal100.narod.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *